精品解析：安徽省淮北市国泰中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

高二数学试卷 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：北师大版选择性必修二，一轮复习集合、常用逻辑用语、不等式、复数、函数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 3. 下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是（ ） A. ，均有假命题 B. ，均有真命题 C ，有假命题 D. ，有真命题 4 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若等差数列满足，，则当的前项和最小时，（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6的保鲜时间为216小时，在24的保鲜时间为8小时，那么在12时，该果蔬的保鲜时间为（ ）小时． A. 72 B. 36 C. 24 D. 16 8. 若定义在实数集上函数满足：时，，且对任意，都有成立，则等于（ ） A. 1 B. e C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ） A. B. 复数虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若为复数，则 10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有且只有一个极值点 B. 设，则与的单调性不同 C. 有3个零点 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是首项和公比均为3的等比数列，且，则______． 13. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 14. 已知幂函数的图像过点，且当时，恒有，则实数a的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 设集合，集合． （1）若，求和； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知，若关于的不等式的解集是． （1）求的值； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知是定义在上的偶函数，当时，． （1）求的解析式； （2）求的解集． 18. 已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，（）． （1）求数列的公比q； （2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最小值． 19 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试卷 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：北师大版选择性必修二，一轮复习集合、常用逻辑用语、不等式、复数、函数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则得到，从而确定所在象限. 【详解】，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限. 故选：A 2. 已知集合，则集合的所有非空真子集的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据自然数集的特征，结合子集的个数公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以集合的元素个数为， 因此集合的所有非空真子集的个数是， 故选：A 3. 下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是（ ） A. ，均有假命题 B. ，均有真命题 C. ，有假命题 D. ，有真命题 【答案】B 【解析】 【分析】存在性命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，即可得该命题的否定，再判断真假即可. 【详解】命题“，使得”的否定是，均有， 对，又，故该命题为真命题. 故选：B 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数、对数函数的单调性即可求解. 【详解】，即， 同理可得，故． 故选：A 5. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解AD,利用作差法即可求解B，举反例即可求解C. 【详解】因为，所以，所以，故A错误； ，因为，所以，即，所以，故B正确； C项中,取，则不满足，故C错误， D项中应是．D错误， 故选：B． 6. 若等差数列满足，，则当的前项和最小时，（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，，所以等差数列为递增数列，前项都为负数，从第项开始为正数，即可求出的前项和最小时的值. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，， 所以，，所以，因为等差数列为递增数列， 前项都为负数，从第项开始为正数， 所以当时，的前项和最小. 故选：B. 7. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6的保鲜时间为216小时，在24的保鲜时间为8小时，那么在12时，该果蔬的保鲜时间为（ ）小时． A. 72 B. 36 C. 24 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出时所满足等式，利用指数幂的运算分别可求解出的值，然后即可计算出时的值，则对应保鲜时间可求. 【详解】当时，；当时，， 则，整理可得，于是， 当时，． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题属于指数函数模型实际应用，解答本题的关键在于通过所给的两组的取值计算得到所满足的等式，然后通过化简指数幂的运算求解出最终结果. 8. 若定义在实数集上的函数满足：时，，且对任意，都有成立，则等于（ ） A. 1 B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件可得函数为周期函数，从而可求. 【详解】因为，故，故， 故为周期函数，且周期为4， 故， 因为时，，故，即， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若为复数，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据的性质即可求解A，根据虚部的定义即可求解B，根据模长公式即可求解C，根复数的乘法运算以及模长公式即可求解D. 【详解】因为，A正确； 复数的虚部为，B不正确； 若，则，C不正确； 设，所以， ，D正确． 故选:BC． 10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知等式可得，由，，结合基本不等式可知AB正误；利用基本不等式可直接验证CD正误. 【详解】由，，得：； 对于A，（当且仅当，即，时取等号），A正确； 对于B，（当且仅当，即，），B错误； 对于C，（当且仅当，即，时取等号）， ，解得：（当且仅当，时取等号），C正确； 对于D，（当且仅当，即，时取等号）， 由C知：（当且仅当，时取等号）， （当且仅当，时取等号），D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 有且只有一个极值点 B. 设，则与的单调性不同 C. 有3个零点 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用的二次求导，得到， ，从而存在，使得，结合函数极值点的定义即可判断选项，求出的解析式，然后利用导数研究其单调性即可判断选项，利用函数的极值点即可判断选项，利用函数单调性的结论即可判断选项． 【详解】解：由题知，，，所以在上单调递增，当时，；当时，，所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以有且只有一个极值点，故A正确； 因为，所以，所以，所以，故的一个极值点为0，所以与的单调性不相同，故B正确； 因为有且只有一个极值点，，且，所以在和上各有一个零点，所以有且只有两个零点，故C错误； 因为与在上都是单调递增，所以在上单调递增，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是首项和公比均为3的等比数列，且，则______． 【答案】2024 【解析】 【分析】根据等比数列的通项即可求解. 【详解】根据题意可知的通项公式为，当时，． 故答案为：2024 13. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据解集为可得，解不等式即可. 【详解】由不等式的解集为可得：， 解得：，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知幂函数的图像过点，且当时，恒有，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，利用分离参数法得到在上恒成立. 令，利用单调性求出，即可实数a的取值范围. 【详解】因为幂函数的图像过点，所以，解得：，所以. 所以在上恒成立可化：在上恒成立. 令，只需. 因为，所以在上单减， 所以. 所以. 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15. 设集合，集合． （1）若，求和； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）确定集合中的元素后，由集合运算法则计算； （2）由是成立的必要不充分条件，得，根据集合包含关系可得参数范围． 【详解】解：（1）． 因为，所以，或， 所以，； （2）因为是成立的必要不充分条件，所以， 当时，，得 当时，，得， 所以实数的取值范围． 16. 已知，若关于的不等式的解集是． （1）求的值； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程的根之间的关系，即可代入求解， （2）分离参数，由二次函数的性质求解最值即可求解. 【小问1详解】 由题知1和是的两根， 将代入方程解得，经检验符合题意． 【小问2详解】 由（1）可知不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即实数的取值范围为． 17. 已知是定义在上的偶函数，当时，． （1）求的解析式； （2）求的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，先求出时，的解析式，得出函数的解析式； （2）由为偶函数，结合条件可得，由单调性从而可得，解出不等式可得答案. 【小问1详解】 当时，则，又为偶函数， 所以， 所以； 【小问2详解】 由为偶函数，则，即， 函数在上均为增函数， 则函数在上为增函数， 所以， 所以且，即且， 解得或，且， 所以不等式的解集为． 18. 已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，（）． （1）求数列的公比q； （2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最小值． 【答案】（1） （2）13 【解析】 【分析】（1）根据等比中项，结合等差数列基本量计算即可求解， （2）利用错位相减法可得，进而根据数列的单调性即可求解不等式. 【小问1详解】 ∵，，， 又，，，，， ∴，故，解得或（舍去）， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， ， 错位相减得： ， ∴， 由，可得， 令， 则， 令， 故当且时，，当且时，， 而，而， 故，，，满足， ∴满足的n的最小值为13． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数几何意义求得切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可； （2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可； （3）解法一：根据函数的单调性分类讨论研究的最小值，即可解答； 解法二：分类讨论，先求时a的取值范围，然后参变分离，把恒成立问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求解函数最值即可求解. 【小问1详解】 当时，，得， ，则， 所以切线方程为：，即； 【小问2详解】 由题，可得， 当时，，，单调递减， ，，单调递增， 当时，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； 【小问3详解】 解法一：， ①当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增，成立， ②当时，， 所以在上单调递增，所以成立. ③当时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合. 综上所述，的取值范围是. 解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.即在上恒成立. 当时，，所以. 当时，，所以恒成立. 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$