精品解析：2024年江苏省苏州园区中考数学适应性训练试卷

2023-2024学年第二学期中考适应性训练 九年级 数学试卷 一．选择题(共8小题，每小题3分，共24分) 1. 求值：（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 6. 如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 二．填空题(共8小题，每小题3分，共24分) 9. 地球与月球的平均距离大约384000km，用科学记数法表示这个距离为__km． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 11. 因式分解：_____ 12. 方程的解为__________． 13. 某校要在张平和李波两位跳远成绩优秀的同学中选择一位同学代表学校参加区春季运动会．体育老师对两位同学近10次的测试数据进行了统计，发现其平均数都是米，并将两位同学的测试数据制成了折线图．如果要选出一名发挥相对稳定的同学参赛，则应该选择__________（填“张平”或“李波”）． 14. 如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________． 15. 平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点.若，则k的值为___________． 16. 如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为 ____． 三．解答题(本大题共11小题，共82分) 17. 计算：． 18. 解不等式组． 19. 先化简，再求值： 其中x选取合适的值代入． 20. 如图，在中，，延长至点C，D，过点C，D分别作交于点E，F，已知． （1）求证：． （2）当时，求的长． 21. 为参加学校举办的冬季运动会，九年级一班的嘉嘉、淇淇两名同学练习百米赛跑．操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道． （1）若嘉嘉抽到2道，则淇淇抽到3道的概率是______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道的概率． 22. 某校开展了“学习二十大”的知识竞赛(百分制)，七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了名学生的成绩，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级成绩的频数分布直方图如下 (数据分成五组：，，，，)； b． 七年级成绩在的数据如下 (单位: 分)：． c.七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 ， ; （2）下列推断合理的是 ； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩． （3）竞赛成绩分及以上记为优秀，该校七年级有名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． 23. 学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． （1）求入射角的度数． （2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 24. 如图，直线y＝﹣x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）．在x轴的负半轴上有一点C（﹣4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD． （1）求b的值及点D的坐标； （2）在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围． 25. 如图，中，，以为直径作，与边交于点，过点的的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH． （1）如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积， （2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K． ①求证：； ②设，和四边形AEHI的面积分别为，．求证：． 27. 如图1，抛物线与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，点M为抛物线上一动点，点M的横坐标为m，过点M作轴交抛物线于另一个点E，作 轴，垂足为F，直线交y轴于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若 ，当m为何值时，四边形是平行四边形； （3）如图2，点P是抛物线对称轴上的一动点，当最大时，求点P的坐标．（请直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期中考适应性训练 九年级 数学试卷 一．选择题(共8小题，每小题3分，共24分) 1. 求值：（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得结论． 【详解】解：， 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B选项既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； C选项是中心称图形而不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D选项是中心对称图形而不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图是5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可． 【详解】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同， 故选：A． 【点睛】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项． 【详解】解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B选项，原式=a4，故该选项不符合题意； C选项，原式=a6，故该选项不符合题意； D选项，原式=a4，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握am•an=am+n是解题的关键． 5. 如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长． 【详解】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2， ∴AE＝2DF＝4， ∵AE＝AD， ∴AD＝4， 在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点， ∴BD＝AC＝AD＝4， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长． 6. 如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的性质，首先证明出，得到，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】如图所示， ∵，， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 7. 如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何概率的应用，设围成的正方形的边长为a，算出6号板的面积与整体正方形的面积比即可知道答案． 【详解】解：设围成的正方形的边长为a， 则正方形的对角线长为， 五号板的直角边为， ∴六号板的一边为，另一边为：， ∴六号板的面积为， 正方形的面积为：， ∴停在1号板区域的概率是； 故选：B ． 8. 如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点O向AB作垂线，交AB于点M，根据含有30°角的直角三角形性质以及勾股定理可得AB、AC的长，再结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求出OM、AM的长，设，则，然后利用勾股定理可求出y与x的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断． 【详解】解：如图过点O向AB作垂线，交AB于点M， ∵AC⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∵BC＝4， ∴AB＝8，AC＝， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 当时，, 当时，． 且图像是二次函数的一部分 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性质以及二次函数图象等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围． 二．填空题(共8小题，每小题3分，共24分) 9. 地球与月球的平均距离大约384000km，用科学记数法表示这个距离为__km． 【答案】3.84×105 【解析】 【分析】根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示的形式． 【详解】384000=3.84×105. 故答案是：3.84×105. 【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 11. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 12. 方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的一般步骤进行求解即可． 【详解】解： 去分母得： 移项、合并同类项得： 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键，注意结果要检验． 13. 某校要在张平和李波两位跳远成绩优秀的同学中选择一位同学代表学校参加区春季运动会．体育老师对两位同学近10次的测试数据进行了统计，发现其平均数都是米，并将两位同学的测试数据制成了折线图．如果要选出一名发挥相对稳定的同学参赛，则应该选择__________（填“张平”或“李波”）． 【答案】李波 【解析】 【分析】平均数相同的情况下波动小的发挥稳定 【详解】解：平均数相等的情况下波动小的发挥稳定，李波波动小，更稳定，故选李波， 故答案为：李波. 【点睛】本题考查对数据的波动的理解，需要学生对折线统计图的理解． 14. 如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为，则扇形中未组成圆锥底面的弧长，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为， ∴扇形中未组成圆锥底面的弧长， ∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积， ∴圆锥上粘贴部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握，，其中为扇形的圆心角，为扇形的半径． 15. 平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点.若，则k的值为___________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】由点A、B、C的坐标可知，m＝n，点B、C关于原点对称，求出直线BC的解析式，不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据列式求出，进而可得k的值． 【详解】解：∵点是函数图象上的三点， ∴，， ∴m＝n， ∴，， ∴点B、C关于原点对称， ∴设直线BC的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为， 不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D， 把x＝m代入得：， ∴D（m，）， ∴AD＝， ∴， ∴， ∴， 而当m＜0时，同样可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关键． 16. 如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为 ____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，可证得，得出，，同理：，，得出，再证得四边形是矩形，得出，，，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点， 则， 由旋转得：，，， ，， ，， ，， 正方形的边长为2，点是边上的动点， 设，则， ，， 在和中， ， ， ，， 同理：，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， 即， ， 线段的取值范围为． 故答案为：． 三．解答题(本大题共11小题，共82分) 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可； 【详解】解：原式 ； 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找，得出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键． 19. 先化简，再求值： 其中x选取合适的值代入． 【答案】，原式的值为1 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质，乘法公式的运用是解题的关键． 运用乘法公式，分式的性质化简，再代入适当的值即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴令，原式． 20. 如图，在中，，延长至点C，D，过点C，D分别作交于点E，F，已知． （1）求证：． （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）由证明，即可证明； （2）由及已知得，由勾股定理即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴． 21. 为参加学校举办的冬季运动会，九年级一班的嘉嘉、淇淇两名同学练习百米赛跑．操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道． （1）若嘉嘉抽到2道，则淇淇抽到3道的概率是______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单概率计算，利用树状图或列表法求概率． （1）根据题意列式即可求出； （2）先根据等可能性列表，即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：∵操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道， 又∵嘉嘉抽到2道， ∴还有3条可选择， ∴设淇淇抽到3道为事件A， 即； 【小问2详解】 解：∵抽到的跑道等可能性，如下表所示： 淇淇 嘉嘉 1 2 3 4 1 （2，1） （2，1） （4，1） 2 （1，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） ， 通过列表法可知：共有12种等可能性，符合题意可能性有6种， ∴设嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道为事件B， ． 22. 某校开展了“学习二十大”的知识竞赛(百分制)，七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了名学生的成绩，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级成绩的频数分布直方图如下 (数据分成五组：，，，，)； b． 七年级成绩在的数据如下 (单位: 分)：． c.七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 ， ; （2）下列推断合理的是 ； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩． （3）竞赛成绩分及以上记为优秀，该校七年级有名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）， （2）①② （3）七年级有名学生成绩优秀的学生人数约为人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握中位数，众数的计算及决策，运用样本百分比估算总体数量的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数，众数的概念和计算方法即可求解； （2）根据平方数，方差可判定推理①；根据中位数可判定②，即可求解； （3）根据样本估算总体数量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：七年级成绩在的数据从小到大的排序为：． ∵七年级有人，中位数是第15，16名同学的成绩的平均数， ∴， ∵出现次数最多的是， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①七年级、八年级的平均数都是，七年级的方差为，八年级的方差为，八年级学生成绩的波动程度较小， ∴①推理正确； ∵八年级成绩的中位数是，小明同学的成绩是分， ∴他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩， ∴②推理正确； 故答案为：①②； 【小问3详解】 解：七年级竞赛成绩分及以上的人数有（人）， ∴（人）， ∴七年级有名学生成绩优秀的学生人数约为人． 23. 学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． （1）求入射角的度数． （2）若，求光线从空气射入水中的折射率．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，据此即可求解； （）根据直角三角形的边角关系求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，设法线为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴入射角约为； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴光线从空气射入水中的折射率， 答：光线从空气射入水中的折射率． 24. 如图，直线y＝﹣x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（6，0）．在x轴的负半轴上有一点C（﹣4，0），直线AB上有一点D，且CD＝OD． （1）求b的值及点D的坐标； （2）在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围． 【答案】（1）b＝3，D（﹣2，4） （2）＜a＜ 【解析】 【分析】（1）将A点坐标代入直线解析式即可得到b的值；根据CD=OD确定点D的横坐标，再将点D的横坐标代入直线解析式即可得到点D的纵坐标． （2）作点A关于y轴的对称点E，连接BE，交CD于F，交DO于G．根据点Q和点P关于y轴对称确定点Q在线段EB上，根据点Q落在△CDO内（不包括边界）确定点Q在线段FG上（不包括端点），使用待定系数法求出直线EB，直线CD，直线DO的解析式，再列出二元一次方程组并求解可得点F和点G的坐标，再列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：将点A的坐标（6，0）代入y＝﹣x+b得． 解得b＝3． ∴直线AB的解析式为． ∵CD＝OD， ∴点D在线段CO的垂直平分线上． ∵C（﹣4，0），， ∴点D横坐标为﹣2． ∵点D在直线AB上， ∴当x＝﹣2时，y＝4． ∴点D坐标为（﹣2，4）． 【小问2详解】 解：如下图所示，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，交CD于F，交DO于G． ∵，点A与点E关于y轴对称， ∴，线段AB和线段EB关于y轴对称． ∵动点P在线段AB上，点P的横坐标为a，点P与点Q关于y轴对称， ∴点Q在线段EB上，点Q的横坐标为-a． ∵点Q落在△CDO内（不包括边界）， ∴当点Q在线段FG上（不包括端点）时符合题意． ∵直线AB解析式， ∴当x=0时，y=3． ∴． 设直线EB解析式为，直线CD解析式为，直线DO解析式为． ∴将点E，B坐标代入直线EB解析式得 解得 ∴直线EB解析式为． 同理可得直线CD解析式为，直线DO解析式为． 联立直线EB解析式和直线CD解析式得 解得 ∴． 同理可得． ∵点Q的横坐标为-a， ∴． ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，线段垂直平分线的判定，轴对称的性质，用二元一次方程组求两直线交点坐标，正确应用数形结合思想是解题关键． 25. 如图，中，，以为直径作，与边交于点，过点的的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）由等边对等角，以及三角形内角和定理推出，再由圆周角定理推出，据此即证明结论； （2）设，则，，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 连接， 则， ∴， ∵为的直径，为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定和三角函数的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 26. 在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH． （1）如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积， （2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K． ①求证：； ②设，和四边形AEHI的面积分别为，．求证：． 【答案】（1）5 （2） ①证明：由题意知， ∴， ∵四边形EFGH是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ②证明：由①得， 又∵，， ∴， 设的面积为． ∵∠K=∠K， ∠KHI=∠A=90°， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由中点定义可得，从而可求，然后根据勾股定理和正方形的面积公式可求正方形EFGH的面积； （2）①根据余角的性质可证，进而可证，然后利用相似三角形的性质和等量代换可证结论成立； ②先证明，再证明，利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义整理可得结论． 【小问1详解】 解：∵，点M是边AB的中点， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得 ， ∴正方形EFGH的面积为5． 【小问2详解】 解：①略 ②略 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 27. 如图1，抛物线与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，点M为抛物线上一动点，点M的横坐标为m，过点M作轴交抛物线于另一个点E，作 轴，垂足为F，直线交y轴于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若 ，当m为何值时，四边形是平行四边形； （3）如图2，点P是抛物线对称轴上的一动点，当最大时，求点P的坐标．（请直接写出结果） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据平行四边形的性质由，即可求解； （3）设的圆心为T，当圆T和抛物线对称轴相切时，最大，再根据半径处处相等列方程即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入， 得，解得：， 所以抛物线函数表达式为：； 【小问2详解】 由题意得，， 由（1）令，则，可得， 图1 ， 当四边形是平行四边形时，， ， ， 设直线的表达式为， 把代入可得， 解得：， 直线的表达式为， 又过点作轴交抛物线于另一个点，且抛物线对称轴为， ， 联立直线和抛物线解析式可得，即， 解得（不符合题意，舍去）； 当为时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 如图1， 在对称轴上取异于点的任意一点，连接交圆于点，连接， 则， 而， 即， 故当经过点的圆与对称轴相切于点时，最大． 当的外接圆与对称轴相切时，切点即为使最大的点，如图2，点是外接圆圆心，即对称轴，设的坐标为，则， 令，则，解得， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、平行四边形的性质等，熟悉圆切线的性质是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $