精品解析：宁夏回族自治区贺兰县第二高级中学2023-2024学年高二下学期第二阶段考试（4月月考）数学试题

贺兰县第二高级中学2023——2024学年第二学期高二年级第二阶段考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：冯军应审核： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，若，则公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和性质可得答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则依次求导即可判断． 【详解】对于A项，因为是常数，所以，故A项错误； 对于B项，利用复合函数的求导法则，，故B项错误； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，由求导法则易得，故D项正确． 故选：D． 3. 6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法即可. 【详解】对于每个班来说有7种选择，则根据分步乘法有种安排方法， 故选：D. 4. 在等比数列 中，成等差数列，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的等差中项的定义及等比数列的通项公式计算即可． 【详解】设等比数列 的公比为，则， 故， 由成等差数列，得， 即由于等比数列 中，， 故可得，解得：或， 由于，故即得， 故． 故选：D. 5. 在中不重复地选取4个数字，共能组成（ ）个不同的四位数. A. 96 B. 18 C. 120 D. 84 【答案】A 【解析】 【分析】5个数抽4个数全排列再减去首位是0的情况即可. 【详解】四位数首位不能为零， 故为种不同的四位数， 故选：A. 6. 设函数的导函数为，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导后，令即可求解. 【详解】因为， 所以，令，则， 解得：. 故选：C. 7. 某学校派出4名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每位教师只去一所中学，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（ ） A. 90种 B. 60种 C. 48种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】将4人分成3组，再分配到3所学校，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，先将4人分成3组，3组人数分别为， 则从人中选人一组，其余两人一人一组，共有种分法， 将3组分配到3所学校，共有种分法， 由分步计数原理可得，共有种不同的分配方法. 故选：D. 8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到在上恒成立，参变分离，只需，求出在上的值域即可，. 【详解】函数，则， 函数在区间上单调递减，则在上恒成立， 故，即在上恒成立， 令，， 则在上恒成立，故在上单调递增， 故，故，故m的最小值为． 故选：A． 二、多项选择题：选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分. 9. （多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 最小 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的性质分析可得，由此分析选项可得答案. 【详解】根据题意，等差数列中，若，即， 则有， 变形可得， 对于A，，但不确定的符号，不能确定是还是，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，不确定的符号，故不能确定最小还是最大，故D错误. 故选：BC. 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“御”、“书”、“数”、“射”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（ ） A. 课程“射”“御”不排在相邻两周，共有480种排法 B. 某学生从中选2门，共有30种选法 C. 课程“礼”“书”“数”要排在一起，共有144种排法 D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用插空法；B选项直接由计算；C选项利用捆绑法；D选项分课程“御”排在第一周和不排在第一周两种情况考虑. 【详解】课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故A正确； 6门中选2门共有种，故B错误； 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确； 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，“御”排在第一周有种不同的排法，符合题意， “御”不排在第一周，先除“乐”、“御”外的课程选一门排在第一周，再从剩余的除“御”外的课程中选一门排到最后一周，剩余的课程在第二周到第五周全排列即可， 由分布乘法计数原理知共种，再由分类加法计数原理，共有种排法，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 若曲线在处的切线方程为，则 B. 若，则函数的单调递增区间为 C. 若，则a的取值范围为 D. 若，则函数在区间上的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的几何意义、单调性与导数的关系、最值的定义逐一判断即可. 【详解】. A：因为曲线在处的切线方程为， 所以有，因此本选项说法不正确； B：若，则， 由，或舍去（因为）， 所以的单调递增区间为，所以本选项说法正确； C：在时恒成立， ， 当，时，单调递增，所以有，符合题意， 当时，， 函数在时，单调递减，在时，单调递增， 因为， 所以当时，即时，函数单调递增，则当时，有，符合题意， 当时，即，当时，函数单调递减， 此时有，不符合题意，综上若，则a的取值范围为，因此本选项说法正确； D：由上可知：函数在时，单调递减，在时，单调递增， 当时，函数单调递增，此时， 当时，函数在时，函数单调递减，在时，单调递增， 故， 所以本选项说法不正确， 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据导函数的零点与所给区间的位置关系进行分类讨论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，要求3人中至少有1名女生的选派方案有_________种（用数字作答）． 【答案】16 【解析】 【分析】分有1名女生，2名男生和有2名女生，1名男生，两种情况，求出相应的方案，相加即可. 【详解】若3人中有1名女生，2名男生，此时选派方案有种， 若3人中有2名女生，1名男生，此时选派方案有种， 故3人中至少有1名女生的选派方案有种. 故答案为：16 13. 数列满足，，则数列的前项和为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果. 【详解】由； 当时， ； 显然，对于时也成立； 所以，； 又， 故. 故答案为：. 14. 已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围. 【详解】当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，恒为正， 当时，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且， 画出的图象如下： 要想关于x的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可， 显然当时，符合要求. 故答案为： 四、解答题．（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知在的展开式中，各项系数和为81. （1）求的值； （2）求含的项的系数； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1）4； （2）-256； （3）. 【解析】 【分析】（1）令二项式中的时，可得到二项式的展开式中各项的系数和； （2）利用第项的通项公式可求得指定次数的项； （3）利用二项式系数性质可知最中间的一项或二项的二项式系数最大，如一定是最大的二项式系数. 【小问1详解】 因为的展开式中各项系数和为81， 所以令，则，解得. 【小问2详解】 由第项为， 令，解得， 所以的系数为. 【小问3详解】 根据二项式系数性质可知，当时，二项式系数最大， 即第三项， 所以展开式中二项式系数最大的项是. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令求得，当时，根据第一种情况的式子和该情况的式子联立即可求解； （2）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 因为①，当时可得，即， 当时，②， 由①-②得， 即，即是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， ， 两式相减得，， 即， 故. 17. 已知函数． （1）若，求a的取值范围． （2）点在的图象上，设函数，求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助导数研究函数的单调性后即可得其在上的最小值，即可得解； （2）由题意可计算出a的值，从而得到，再借助导数研究函数在上的单调性，比较的极值点和端点处的函数值的大小，即可得出答案. 【小问1详解】 ，故在上单调递增， 则有，故，即； 【小问2详解】 由在的图象上，则，即，得， 则，， 令，可得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，取得极大值，， 当时，取得极小值，， 又， 所以在上的值域为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，E为PD中点，且． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 连接，交于点，连接， ∵为中点，为中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量后，借助点到平面的距离公式计算即可得； （3）利用空间向量求出线面角的正弦值，再利用三角函数的基本关系求线面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由底面是矩形且平面， 故可以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 则点到平面的距离； 【小问3详解】 由轴平面，故平面的法向量可为， 设直线与平面所成角为，则， ∴， ∴，即直线与平面所成角的余弦值为. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最小值； （3）若，当时，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 设， 所以， 因为， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再求出，最后利用点斜式写出直线方程再整理即可； （2）含参数的单调性讨论问题，先求导，再分参数，讨论单调性得出结果即可，其中当时又分、、三种情况； （3）构造函数，结合对数的运算化简，求导再结合基本不等式得到的单调性，即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为， 当时，在区间上恒成立， 所以在区间上是增函数，此时； 当时，令，解得， ①当，即时，在区间上恒成立， 所以在区间上是增函数， 所以当时，； ②当，即时，与的情况如下： 负 0 正 减 极小值 增函数 所以当时，； ③当即时，在区间上恒成立， 所以在区间上是减函数， 所以当时，， 综上 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： （1）第一问可用导数的意义求出切线的斜率，再用点斜式求出直线方程； （2）第二问为带参数的单调性的讨论求极值点问题，可求导分析单调性，进而求极值，在求出最值； （3）第三问为函数不等式问题，可构造函数求导分析单调性求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贺兰县第二高级中学2023——2024学年第二学期高二年级第二阶段考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：冯军应审核： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，若，则公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 6个班分别从7个风景点中选择一处游览，不同的安排方法有（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列 中，成等差数列，则 （ ） A. B. C. D. 5. 在中不重复地选取4个数字，共能组成（ ）个不同的四位数. A. 96 B. 18 C. 120 D. 84 6. 设函数的导函数为，若，则=（ ） A. B. C. D. 7. 某学校派出4名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每位教师只去一所中学，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（ ） A. 90种 B. 60种 C. 48种 D. 36种 8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 二、多项选择题：选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分. 9. （多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 最小 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“御”、“书”、“数”、“射”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（ ） A. 课程“射”“御”不排在相邻两周，共有480种排法 B. 某学生从中选2门，共有30种选法 C. 课程“礼”“书”“数”要排在一起，共有144种排法 D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 11. 已知函数，则（ ） A. 若曲线在处的切线方程为，则 B. 若，则函数的单调递增区间为 C. 若，则a的取值范围为 D. 若，则函数在区间上的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，要求3人中至少有1名女生的选派方案有_________种（用数字作答）． 13. 数列满足，，则数列的前项和为______． 14. 已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为______． 四、解答题．（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知在的展开式中，各项系数和为81. （1）求的值； （2）求含的项的系数； （3）求展开式中二项式系数最大的项. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为. 17. 已知函数． （1）若，求a的取值范围． （2）点在的图象上，设函数，求在上的值域． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，E为PD中点，且． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最小值； （3）若，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $