山东省菏泽市郓城县2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

1 2023——2024 学年度第二学期期末教学质量检测 八年级数学试题 （满分 120 分，时间：120 分钟） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.每小题只有一个选项符合 题目要求. 1.下列图形，是中心对称图形的是 A. B. C. D. 2.若分式 2 4 2 x x   的值为 0，则 x 的值为 A. 2 B. -2 C. 2 或-2 D. 0 3.若 m>n，则下列各式中一定成立的是 A.-2m>-2n B.m-3<n-3 C.3-m>3-n D.2m+1>2n+1 4.点 A(3,2)先向左平移 5 个单位，再向上平移 1 个单位得到点 A´，则 A´的坐标为 A.(8,3) B.(8,1) C.(-2,3) D.(-2,1) 5.已知 x y y x  3 ，则 2 2 6xy x y 的值为 A.2 B. 1 2 C.3 D. 1 3 6.如图，△ABC 中，∠BAC=114 0 ，将△ABC 绕点 A逆时针旋转，得到△AB´C´，当 B´在边 BC 上时，∠C´CB= A.60 0 B.62 0 C.64 0 D.66 0 7.已知△ABC 的三边 a、b、c满足 a(a+c)-bc-ab=0，则△ABC 的形状为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 8.在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E．若 BF=6，AB=5， 则 AE 的长为 A.4 B.6 C.8 D.10 第 8 题图第 6 题图 2 9.如图，一次函数 y=k1x+3 和 y=k2x+1 的图象交于点 A，不等式 k1x>k2x-2 的解集为 A.x<2 B. x>2 C. x<1 D. x>1 10.如图，▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，且∠ADC＝60°， AB= 2 1 BC，连接 OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE= 4 1 BC； ⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是 A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个 二、填空题：本题共 6小题，每小题 3分，共 18 分. 11.分解因式：4x 3 -x=___________． 12.一个 n 边形的内角和正好是它的外角和的 4 倍，则 n=______． 13.如图，将 Rt△ABC 沿着点 B 到 C 的方向平移到△DEF 的位置，此时 AB=10，DO=4，阴影部 分面积为 40，则平移的距离为______； 14.关于 x、y 的方程组 4 2 x y x y a      的解满足 x<2y，则 a 的取值范围为______． 15.在函数 1y x x   中，自变量 x 的取值范围是___． 16.如图，四边形 ABCD 中，AB//CD，AB=6，DC=13，AD 与 BC 的和是 12，点 E、F、G 分别是 BD、AC、DC 的中点，则△EFG 的周长是______． 三、解答题（共 8 个大题，共 72 分,解答要写出必要的文字说明、演算步骤） 17.(8 分)（1）因式分解：4a 2 (a-b)-(a-b)； （2）解不等式组  4 2 3 1 11 2 4 x x x x          ． 第 9 题图 第 13题图 第 16 题图 第 10题图 3 18. (8 分)先化简，再求值： 2 2 2a b a b b ab a b a ab ab         ，其中 a，b满足 3 2 a b   ． 19.（8 分）解下列方程： （1） 2 1 1 1 x x x     （2） 5 4 2 3 3 2 x x x     20.(8 分）如图，平行四边形 ABCD 中，CE 平分∠BCD． （1）若 AE=4，DE=3，求平行四边形 ABCD 的周长； （2）连接 BE，若 BE 平分∠ABC，求∠BEC 的度数． 21.(9 分）阅读下列题目的解题过程： 已知 a、b、c 为△ABC 的三边，且满足 a 2 c 2 -b 2 c 2 =a 4 -b 4 ，试判断△ABC 的形状. 解：∴ 2 2 2 2 4 4a c b c a b   ，① ∴      2 2 2 2 2 2 2c a b a b a b    ，② ∴ 2 2 2c a b  ，③ ∴△ABC 是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______； （2）错误的原因为___________； （3）写出本题正确的解题方法. 第 20 题图 4 22.(9 分）如图，平行四边形 ABCD 中，BD⊥AD，∠A=45 0 ，E、F 分别是 AB、CD 上的点，且 BE=DF，连接 EF 交 BD 于 O． （1）求证：BO=DO； （2）若 EF⊥AB，延长 EF 交 AD 的延长线于 G，当 FG=1 时，求 AE 的长． 23.(10 分）某文具店销售笔记本和笔两款文具，本周销售笔记本的数量是笔的 2 倍，其中笔 记本的销售单价比笔多 4 元，笔记本的销售总额是 240 元，笔的销售总额是 72 元． （1）求笔记本和笔的销售单价； （2）已知笔记本和笔的成本分别为 6 元/个和 4 元/个．由于文具热销，文具店再购进了这 两款文具共 60 个，其中笔的数量不少于笔记本数量的 2 倍．文具店决定对笔记本降价 10% 后再销售，若购进的这两款文具全部售出，则笔记本购进多少个时该文具店当周销售利润最 大，并求出最大利润． 24.(12 分）如图 1，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，直线 EF 过点 O 分别与 AD、BC 相交于点 E、F， (1)求证：OE=OF． (2)若直线 EF 分别与 DC、BA 的延长线相交于 F、E（如图 2），请问（1）中的结论还成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)若平行四边形 ABCD 的面积为 20，BC=10，CD=6，直线 EF 在绕点 O 旋转的过程中，线段 EF 何时最短？并求出 EF 长度的最小值． 第 22 题图 第 24 题图 C 5 2023——2024 学年度第二学期期末教学质量检测 八年级数学试题参考答案 一、选择题(每小题 3 分，共 24 分) 1、B 2、B 3、D 4、C 5、A 6、D 7、A 8、C 9、A 10、D 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11、x(2x+1)(2x-1) 12、10 13、5 14、a< 3 2 15、x≥-1 且 x≠0 16、 19 2 三、解答题 (共 78 分) 17.解：（1）原式    24 1a b a   ………………………………………2 分    2 1 2 1a b a a    ；…………………………………………………4 分 （2） 4 2 3 1 11 2 4 x x x x         （ ）① ② ， 由①得： 5x  ，…………………………………………………1 分 由②得： 2x  ，…………………………………………………2 分 不等式组的解集为2 5x  ．…………………………………4 分 18.解： 2 2 2a b a b b ab a b a ab ab             2 b a b a a a b a b a b b ab                2 22a ab b ab a b ab a a b b abab a b           ……………………………3 分   2 22 ab a a ab b a b abb      6     2 ab a b a a b a b b      a b a b    ，…………………………………………………………………………6 分 ∵ 3 2 a b   ， ∴可设 3a k ，  2 0b k k   ， 原式     3 2 5 3 2 k k k k       ．………………………………………………………8 分 19.(1)解： 2 1 1 1 x x x     方程的两边同乘    1 1x x  ，得，        2 1 1 1 1x x x x x      ………………1 分 去括号得， 2 22 2 1x x x x     ，………………………………………………………2 分 移项，合并同类项得， 3x  ， 解得 3x  ．………………………………………………………………………………3 分 检验：把 3x  代入   1 1 8 0x x    ． ∴原方程的解为 3x  ．…………………………………………………………………4 分 (2)解： 5 4 2 3 3 2 x x x     方程两边同时乘  2 3x  ，得  5 4 2 3x x   ，………………………………2 分 解方程，得 1x  ．…………………………………………………………………3 分 检验：当 1x  时， 2 3 1 0x     ， ∴原分式方程的解是 1x  ．………………………………………………………4 分 20.(1)解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AD BC AB DC AD BC= ， = ， ∥ ， 第 20 题图 7 ∴ DEC BCE   ， ∵CE平分 BCD ， ∴ BCE DCE   ， ∴ DEC DCE  ，……………………………………………………………2 分 ∴ 3DC DE  ， ∵ 4 3AE DE ， ， ∴ 7AD AE DE   ， ∴ ABCDY 的周长    2 2 7 3 20DC BC     ；…………………………4 分 （2）∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AB CD∥ ， ∴ 180ABC BCD   ， ∵ BE 平分 ABC ，CE平分 BCD ， ∴ 1 1, 2 2 EBC ABC ECB BCD      ， ∴ 1 90 2 ( )EBC ECB ABC BCD    = = ， ∴ 90BEC  ．…………………………………………………………………8 分 21.(1)解：∵ 2 2 2 2 4 4a c b c a b   ， ∴      2 2 2 2 2 2 2c a b a b a b    ， ∵当 2 2 0a b  时， 2 2 2c a b  ，当 2 2 0a b  时，无法得到 2 2 2c a b  ， 故答案为：③；……………………………………………………………2分 (2)解：当 2 2 0a b  时，等式不能两边同时除以 2 2a b ， 故答案为：除式可能为零；………………………………………………4分 (3)解：∵ 2 2 2 2 4 4a c b c a b   ， 8 ∴      2 2 2 2 2 2 2c a b a b a b    ， 当 2 2 0a b  时， 2 2 2c a b  ， ∴当 a b¹ 时，△ABC 为直角三角形， 当 2 2 0a b  时， a b ，△ABC 为等腰三角形， 故△ABC 是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．…………………9 分 22.证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴DC AB∥ ， ∴ OBE ODF   ， 在 OBE△ 与 ODF△ 中， OBE ODF BOE DOF BE DF       ， ∴ AASOBE ODF ≌ （ ）， ∴ BO DO ；…………………………………………………………………4分 (2)解：∵ EF AB ，DC AB∥ ， ∴ 90GEA GFD    ， ∵ 45A  ， ∴ 45G A    ， ∴ AE GE ， ∵ BD AD ， ∴ 90ADB GDO    ， ∴ 45GOD G    ， ∴DG DO ， ∵ EF AB ， 第 22 题图 9 ∴EF CD ， ∴ 1OF FG  ， 由（1）可知， 1OE OF  ， ∴ 3GE OE OF FG    ， ∴ 3AE  ；…………………………………………………………………9 分 23.（1）解：设笔的单价为 x 元，则笔记本的单价为（x+4）元，笔记本与笔的销售数量分 别为： 240 4x  本、 72 x 本， …………………………………1 分 由题意得： 240 722 4x x    ， 解得：x=6， …………………………………4 分 经检验 x=6 是原方程的解，且符合题意， 则 4 6 4 10x     （元）； 答：笔记本和笔的销售单价分别为 10 元和 6 元；…………………………………5 分 （2）解：设购进笔记本 y 个，则购进笔(60-y)个， 由题意得：60 2y y  ， 解得： 20y≤ ； …………………………………7 分 设当周的销售利润为 w 元， 则  (6 4)(60 ) 10(1 10%) 6 120w y y y        ， 其中 20y≤ 由于 1>0， ∴w 随 y 的增大而增大， ∴当 y=20 时，有最大值 140． 答：当购进 20 个笔记本时，利润最大，且为 140 元．………………………………10 分 24.（1）证明：四边形 ABCD是平行四边形 10 OA OC  ， AD BC∥ OAE OCF  在 AOE△ 和 COF中 OAE OCF AOE COF AO OC         AOE COF ≌ OE OF  ……………………………………………………………………3 分 （2）解：成立．理由 四边形 ABCD是平行四边形 OA OC  ， AB CD∥ E F   在 OAE△ 和 OCF△ 中 E F AOE COF OA OC         (AAS)AOE COF ≌ OE OF  ……………………………………………………………………6 分 （3）解：①当直线 EF 在绕点O旋转的过程中，直线 EF 与 AD，BC相交时，EF BC 时， EF 最短 平行四边形的面积为 20， 10BC  10 20ABCDS BC EF EF     平行四边形 2EF  直线 EF 在绕点O旋转的过程中， EF BC 时， EF 最短， EF 的最小值为 2…………9分 ②当直线 EF 在绕点O旋转的过程中，直线 EF 与DC、 BA的延长线相交时， EF AB 时， 11 EF 最短 同①的方法，得出 EF 最小值为 20 10 6 3  即：直线 EF 在绕点O旋转的过程中，EF BC 时，EF 最短，EF 的最小值为 2………12 分 (1)解：如图所示，连接OE， ∵四边形 ABCD是平行四边形， 12 ∴ / /AB CD， AB CD ，OD OB ， ∵ BD CD ， ∴ AB BD ，………………………………………………………………2 分 ∵点 E是 AD的中点，即 AE DE ，且OD OB ， ∴OE是 ABD△ 的中位线，即OE∥ AB ， 1 2 OE AB ， ∴OE BD ， ∴ 1 5 2DEF S DF OE  △ ，且 2DF  ， ∴ 5OE  ， ∴ 2 2 5CD AB OE   ， ∴ 2 5CD  ．……………………………………………………………………4 分 (2)证明： 2BD BM DH  ，理由如下， 如图所示，过点D作DR DM 于点 R， ∵ ,CD BD DR DM  ， ∴ 90MDR BDC    ， 90HDG GDR GDR RDC      ， ∴ HDG RDC   ， ∵ ,GH CE BD CD  ， ∴ 90HGF HFG DFC DCF      ，且 HFG DFC   (对顶角相等)， ∴ HGD RCD   ， 在 ,DHG DRC△ △ 中， HDG RDC DG DC HGD RCD         ， 13 ∴ (ASA)DHG DRC△ ≌△ ， ∴ ,DH DR HG RC  ，………………………………………………………6 分 ∵ 90HDR  ， ∴ HDR 是等腰直角三角形， ∴ 45DHR DRH     ， 2 2HR DH DR  ， ∵DG DC ， 90GDC  ， ∴ GDC 是等腰直角三角形， ∴ 45DGC DCG   ， 2CG CD ， ∵ AB CD ， ∴ 2 2CG CD AB  ， ∵ 2DM AB ， ∴DM CG ，……………………………………………………………………8 分 ∵在平行四边形 ABCD中，CD AB∥ ，且CD BD ， ∴ AB BD ，即 90ABDÐ = ° ， ∵ 90GHC  ， ∴ 90GHC MBD    ， 在 ,HFD GFC△ △ 中， 45DHF FGC    ， HFD GFC   (对顶角)， ∴ HDF FCG   ， 在 ,CHG DBM△ △ 中， HCG BDM GHC MBD CG DM         ， 14 ∴ (AAS)CHG DBM△ ≌△ ，………………………………………………………10 分 ∴ ,CH BD BM HG  ， ∵CR HG ， ∴ BM CR ， ∴CR RH CH BD   ，且 2RH DH ， ∴ 2BD BM DH  ．……………………………………………………12 分