精品解析：江苏省江阴市祝塘中学2024届高三第二次适应性模拟考试数学试卷

高三数学第二次适应性模拟考试 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则图中阴影部分代表的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若向量满足：则 A. 2 B. C. 1 D. 3. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，，将函数的图象经过下列哪种可以与 的图象重合（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 已知点是抛物线上的一点，，是抛物线的焦点，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 在中，，点D是边的中点，的面积为，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数是奇函数的导函数，．当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据． 月份代码x 1 2 3 4 5 碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 若y关于x的经验回归方程为，则下列说法中正确的有（ ） A. y与x的样本相关系数 B. C. 经验回归方程经过点 D. 由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.84 10. 已知圆，下列说法正确的有（ ） A. 对于，直线与圆都有两个公共点 B. 圆与动圆有四条公切线的充要条件是 C. 过直线上任意一点作圆的两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为4 D. 圆上存在三点到直线距离均为1 11. 下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（ ） A. B. 设，则的个位数字是6 C. 已知，则等式对任意正整数，都成立 D. 等式对任意正整数都成立 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 13. 已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________. 14. 若正四面体的棱长为4，则该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为______． 四､解答题 15. 设函数，． （1）若，且在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）若且，求证：在区间上有且仅有一个零点． 16. 如图所示，四棱锥中，底面为矩形，与交于点O，点E在线段上，且平面，二面角，二面角均为直二面角． （1）求证：； （2）若，且平面与平面夹角的余弦值为，求的长度． 17. 已知正项数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 18. 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 19. 已知函数． （1）若对于任意都有，且，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学第二次适应性模拟考试 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则图中阴影部分代表的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据Venn图，由集合运算可解. 【详解】由题意，而阴影部分为. 故选：C 2. 若向量满足：则 A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意易知：即，，即. 故选B. 考点：向量的数量积的应用. 3. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 4. 已知函数，，将函数的图象经过下列哪种可以与 的图象重合（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合三角函数的平移即可. 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位：； 故选：C 5. 已知点是抛物线上的一点，，是抛物线的焦点，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程可得，设出点的坐标利用向量的坐标运算即可计算出的值. 【详解】易知，由点在抛物线上，可设； 又，由可得 即，计算可得； 又，可得. 故选：D 6. 设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由已知利用等比数列的性质可求，又，可得，解得或，分类讨论可求的值，即可求解数列的各项，即可求解． 【详解】等比数列中，公比；由，所以，又，所以解得或； 若时，可得，可得的值为，可知数列单调递增，且各项均大于，所以不会存在使得的乘积最大(舍去)； 若时，可得，可得的值为，…， 可知数列单调递减，从第项起各项小于且为正数，前项均为正数且大于等于， 所以存在，使得的乘积最大，综上，可得的一个可能值是. 故选：A. 7. 在中，，点D是边的中点，的面积为，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设，再根据三角形面积，余弦定理，列式，变形，换元后转化为在上有解，即可求得的取值范围. 【详解】设，所以，即①，由余弦定理得，即②，由①②得：，即，令，设，则方程在上有解，所以，解得，即． 故选：C． 8. 设函数是奇函数的导函数，．当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，由已知条件可得，所以在上单调递增，由和为奇函数，可得为奇函数，且，从而由的单调性可得答案 【详解】因为当时，，所以， 故令，则，故在上单调递增. 因为，所以， 又因为为奇函数，所以为奇函数， 所以，且在区间上，单调递增. 所以使得，即成立的的取值范围是. 故选：B 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据． 月份代码x 1 2 3 4 5 碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 若y关于x的经验回归方程为，则下列说法中正确的有（ ） A. y与x的样本相关系数 B. C. 经验回归方程经过点 D. 由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.84 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由相关系数的计算公式即可判断A，由经验回归方程必过样本中心即可判断BCD. 【详解】由题意可得，，， ， ， ， 则与的样本相关系数.故A错误； 由关于的经验回归方程为恒过样本中心点，则有，解得，故B正确，C正确； 由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为，故D正确； 故选：BCD 10. 已知圆，下列说法正确的有（ ） A. 对于，直线与圆都有两个公共点 B. 圆与动圆有四条公切线的充要条件是 C. 过直线上任意一点作圆的两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为4 D. 圆上存在三点到直线距离均为1 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，转化为判断直线恒过的定点与圆的位置关系即可；对于选项B，转化为两圆外离，运用几何法求解即可；对于选项C，由，转化为求最小值即可；对于选项D，设圆心到直线的距离为d，比较与1的关系即可. 【详解】对于选项A，因为，即：， 所以，所以直线恒过定点， 又因为，所以定点在圆O外， 所以直线与圆O可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项A错误； 对于选项B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离， 又因为圆O的圆心，半径，圆C的圆心，半径， 所以，即：，解得：.故选项B正确； 对于选项C，， 又因为O到P的距离的最小值为O到直线的距离，即：， 所以四边形PAOB的面积的最小值为.故选项C正确； 对于选项D，因为圆O的圆心，半径，则圆心O到直线的距离为， 所以，所以圆O上存在两点到直线的距离为1.故选项D错误. 故选：BC. 11. 下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（ ） A. B. 设，则的个位数字是6 C. 已知，则等式对任意正整数，都成立 D. 等式对任意正整数都成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：根据运算求解；对B：可得，结合排列数分析运算；对C：根据组合数分析运算；对D：构建，利用的系数结合二项展开式的通项公式分析运算. 【详解】对A：，A正确； 对B：∵， 则， 故， ∵其个位数字是0， 故的个位数字是9，B错误； 对C：若，则，C正确； 对D：∵的展开式为， ∴， 故展开式的的系数为， 又∵，则， 同理可得：的展开式为， 即展开式的的系数为， 由于，故，D正确； 故选：ACD. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260. 【解析】 【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为 因此一共有个没有重复数字的四位数. 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 13. 已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解. 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 14. 若正四面体的棱长为4，则该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】设O为正四面体的内切球球心，也是外接球球心，D为的外心，过作，垂足为G，由题意求出，，又因为，求出，再由，即可求出答案. 【详解】如图，设O为正四面体的内切球球心，也是外接球球心，D为的外心， 过作，垂足为G，， ． 因为，所以，解得． 因为，所以，解得， 即该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为． 故答案为：. 四､解答题 15. 设函数，． （1）若，且在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）若且，求证：在区间上有且仅有一个零点． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)已知单调区间求参数的取值范围，将问题转化为求函数的最值问题； (2)研究函数的零点，用零点存在性定理、数形结合思想求解. 【小问1详解】 ∵，∴， 若，且在区间上单调递增， 则对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 而在上单调递增，故， ∴，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，，∴， 由，得；由，得. ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，且， ∴在区间上有且仅有一个零点， 当时，，∴在区间上单调递减， 又，， ∴在区间上有且仅有一个零点. 综上，若且，则在区间上有且仅有一个零点. 【点睛】方法点晴：第(1)问已知单调区间求参数的取值范围，将含参函数问题转化为确定函数的最值问题；第(2)问研究函数的零点，用零点存在性定理、数形结合思想求解. 16. 如图所示，四棱锥中，底面为矩形，与交于点O，点E在线段上，且平面，二面角，二面角均为直二面角． （1）求证：； （2）若，且平面与平面夹角的余弦值为，求的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）运用线面平行推出线线平行，结合矩形证明相等即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量翻译二面角求解参数即可. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，平面平面，所以． 又因为四边形为矩形，所以，则． 【小问2详解】 解：因为四边形为矩形，所以． 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 因为平面，所以．同理，． 设，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，． 设为平面的法向量， 因为所以令，则，所以； 设为平面的法向量， 因为所以令，则，所以， 所以， 解得．故． 17. 已知正项数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用公式，已知求即可； （2）求出，后运用错位相减求出，后结合函数单调性可解． 【小问1详解】 ①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. 【小问2详解】 ，，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 18. 已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为. （2）. 【解析】 【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. 【小问1详解】 如图， 由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. 【小问2详解】 由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 19. 已知函数． （1）若对于任意都有，且，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）时，对称中心为；时，对称中心为; （2）; （3） 【解析】 【分析】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心； （2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值； （3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围． 【小问1详解】 ∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由，的对称中心为； 当时，， 由，的对称中心为； 综上所述，时，图像的对称中心为， 时，图像的对称中心为. 【小问2详解】 ∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴，又是的一个零点， ，即， ∴或， 解得或， 由可得， ∴，最小正周期. 令，则 即或，解得或，； 若函数在（且）上恰好有10个零点，必有， 要使最小，须、恰好为的零点，故. 【小问3详解】 由（2）知，对任意，存在，使得成立，则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $