精品解析：广东省河源市正德中学2023-2024学年高一下学期第一次段考数学试题

2023-2024学年高一年级第二学期第一次段考试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中，正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】两向量相等则方向相同,模长相等可判断AB,向量不可比较大小可判断C,由零向量的概念可判断D. 【详解】若，但是两个向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正确; 若，则两向量的方向相同,模长相等,则,B正确; 向量不能比较大小,C不正确; 若，则,D,不正确. 故选:B. 【点睛】本题属于向量的概念题,理解向量的相关概念是解题的关键,属于基础题. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算公式直接计算即可. 【详解】因为， 所以． 故选：A. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题. 3. 如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可. 【详解】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以. 故选：D. 4. 已知，，当与的夹角为时，在上的投影向量为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的定义知：在上的投影向量为，根据已知即可求投影向量. 【详解】由题设，在上的投影向量. 故选：B 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数同角关系结合诱导公式求得，然后结合二倍角余弦公式，利用1的代换化弦为切代入计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：D 6. 已知向量，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数的值为（ ） A. -4 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，化简即得解. 【详解】解：设，所以，所以 故选：C 7. 已知向量满足，且，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可知，利用数形结合的方式可确定所求夹角的正切值，进而求得结果. 【详解】由知：以为邻边的平行四边形的对角线相等， 以为邻边的平行四边形为矩形，即，如下图所示： 设向量与的夹角为 ，又， 向量与的夹角为. 故选：. 【点睛】本题考查平面向量夹角的求解问题，关键是能够根据已知中的模长相等的关系确定两向量互相垂直，易错点是忽略向量的方向，造成夹角判断错误. 8. 已知函数，则的值不可能是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将解析式进行变形可得，即可得到答案； 【详解】 ． ， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过判断向量是否共线即可得解. 【详解】对于A，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确； 对于B，因为，即向量与共线，故不能作为平面向量的一个基底；B错误； 对于C，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确； 对于D，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确 故选：ACD. 10. 如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量模、共线、夹角、投影向量等知识确定正确选项. 【详解】，A正确. ，所以且反向，所以B正确，C错误. 在方向上的投影向量为，D错误. 故选：AB 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 的单调递减区间为 D. 的一个对称中心为 【答案】ABC 【解析】 【分析】化简解析式，根据三角函数最小正周期、最值、单调区间，对称中心的知识确定正确选项. 【详解】. 所以的最小正周期为，A正确， 的最大值为，B正确， 由解得，所以的单调递减区间为，C正确. ，所以的一个对称中心为，D不 正确. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标求出向量的坐标，从而根据向量数量积的坐标运算求即可. 【详解】因为A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，所以， 所以. 故答案为：. 13. 化简：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】切化弦结合三角恒等变换公式变形化简即可求解. 【详解】由题 . 故答案为：. 14. 设x，，向量，，，且，，则向量与的夹角大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行关系求出，进而求出，从而利用向量夹角余弦公式进行计算. 【详解】由题意得，解得， 故，， 则， 因为，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、． （1）写出向量，的坐标； （2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标表示求解；（2）根据平行四边形中对边平行且相等的关系转化为向量的相等关系，利用坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 设，所以 四边形ABCD是平行四边形， 所以，所以解得， 所以. 16. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，记它们的交点为，设. （1）用，表示; （2）求<>的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法法则容易得出，然后求出的比值即可； （2）根据与夹角公式进行求解. 【小问1详解】 在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，所以，且 所以，所以，即， 根据向量的加法法则，∴ 【小问2详解】 由，， 于是，∴ 又， ∴. 17. 已知，，向量与的夹角为. （1）求； （2）求向量与垂直的实数m的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的数量积求平方，再求模. （2）向量垂直转化为数量积为0，进而求参数值. 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算、向量垂直和向量的模等基本知识，考查数学运算能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及对称中心坐标； （2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值. 【答案】（1）；对称中心为，；（2）减区间是：；有最大值，有最小值. 【解析】 【分析】（1）根据最大值可得，根据周期得，根据最高点得，从而可得解析式；根据余弦函数的对称中心可得的对称中心； （2）根据图象变换的结论可得的解析式，根据余弦函数的递增区间可得在上的单调减区间，根据余弦函数的图象可得在上的最值. 【详解】（1）由所给图象知：；，，，， ∴，把点代入得：， 即，，又∵，∴， ∴； 由，，得，， 所以的对称中心为，. （2）易知. 化简得， 当时，由，，得，所以的单调递减区间是：； 当时，，当，即时，有最大值，最大值为，当，即时，有最小值，最小值为. 【点睛】本题考查了根据图象求解析式，考查了余弦函数的对称中心，单调性，最值，考查了三角函数的图象变换，属于基础题. 19. 已知点和向量 （1）若向量与向量同向，且，求点的坐标； （2）若向量且向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设，得，接着利用坐标形式的向量共线定理和模长公式结合已知条件列式求出，再根据向量与向量同向进行检验即可得解. （2）先求出，再由且与不共线即可计算检验得解. 【小问1详解】 设，则， 因为向量与向量同向，且， 所以且， 或，所以或， 当时，，此时向量与向量反向，不符合； 当时，，此时向量与向量同向，符合， 故，所以. 【小问2详解】 若向量，则， 因为向量与的夹角是锐角， 所以， 又即， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年高一年级第二学期第一次段考试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中，正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，当与的夹角为时，在上的投影向量为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数的值为（ ） A. -4 B. C. D. 4 7. 已知向量满足，且，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则的值不可能是（ ） A. B. C. 0 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ） A. B. C. D. 10. 如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 的单调递减区间为 D. 的一个对称中心为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则的值为________． 13. 化简：_______________． 14. 设x，，向量，，，且，，则向量与的夹角大小为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、． （1）写出向量，的坐标； （2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标． 16. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，记它们的交点为，设. （1）用，表示; （2）求<>的余弦值. 17. 已知，，向量与的夹角为. （1）求； （2）求向量与垂直的实数m的值. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及对称中心坐标； （2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值. 19. 已知点和向量 （1）若向量与向量同向，且，求点的坐标； （2）若向量且向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $