专题02 双角平分线模型-2025年初中数学几何模型全合集（不分教材通用版）

模型2：双角平分线模型 类型 双角平分线和型 双角平分线差型 图示 特点 OC 是∠AOB 内的一条射线, OP₁, OP₂ 分 别 是∠AOC,∠BOC的平分线 OC 是∠AOB外的一条射线,OP₁,OP₂ 分别是∠AOC,∠BOC的平分线 结论 ∠P₁OP₂=∠AOB 1.找模型 共顶点的三条射线组成的三个角中，已知任意两个角的平分线，考虑双角平分线模型 2. 用模型 利用角平分线性质及角的和差转换求解 双角平分线和型： 证明:∵OP₁,OP₂分别是∠AOC,∠BOC的平分线, (角平分线的性质)， 双角平分线差型： 证明： 分别是 的平分线， 拓展方向：三个角围成一个周角 图示 特点 ∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,OP₁平分∠AOC,OP₂ 平分∠BOC 结论 ∠P₁OP₂=180°₂∠AO 思考延伸：双角平分线模型在“邻补角”中应用,已知 OP₁,OP₂分别平分∠AOC,∠BOC,利用补角之和为 180°、角平分线性质可证 例1 如图,∠AOB=90°,OC是∠AOB外任意一条射线,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC.若∠DOE的度数是α,则 ( ) A. 45°<α<90° C. α=45° D. α随射线 OC 位置的变化而变化 思路点拨：OC 在∠AOB 外部,∠AOC =∠AOB+∠BOC,通过角度应用双角平分线差型即可求解. 例2 已知∠AOB=70°,OM平分∠AOB,∠BOC=20°,ON平分∠BOC,则∠MON的度数为 . 思路点拨：OC 位置不确定，分情况讨论两角位置关系，再结合双角平分线模型解题 针对训练 1. 如图,已知∠AOB=110°,OC 是∠AOB内部的一条射线,OD 平分∠AOB,OE 平分∠AOC,若∠AOE=20°,则∠COD的度数为( ) 8° B. 10° C. 15° D. 18° 1. C 【解析】∵OD 平分∠AOB,OE 平分∠AOC[双角平分线模型]， (双角平分线差型结论),∵ ∠COE=∠AOE=20°,∴ ∠BOC = 110° - 2×20° = 70°, ∠DOE-∠COE=15°. 2. ( 创新题型-过程性学习试题)如图，已知直线CD,EF 相交于点 O,OB 平分∠DOE,OC平分∠AOF,且∠AOB=90°.小雨猜想：OA也平分∠COE，并写出证明过程.请你将下列过程补充完整. 证明:∵OB 平分∠DOE, ∴∠BOE= , ∵OC平分∠AOF, ∵∠DOE=∠FOC,( )设∠DOE=x, ∵∠DOE+∠AOE+∠AOC= ,( ) ∴∠AOE=180°-2x, ∵∠AOB=90°, ∴x=60°, ∴∠AOE= ,∠AOC= , ∴OA平分∠COE.( ) 对顶角相等，180°，平角之和等于180°,60°,60°,角平分线的定义 3. (1)如图①,把∠APB放置在量角器上,点 P与量角器的中心重合，射线 PA，PB 分别对准刻度 117°和153°,将射线 PA绕点 P 逆时针旋转90°得到射线PC,则∠APB= ,∠BPC= ; (2)如图②,在图①的基础上,PD 是∠CPB内部任意一条射线，分别作∠CPD 和∠BPD的平分线PE 和PF,试探究 PD 在∠CPB 内部的任何位置，∠EPF的度数都是一个定值并求出这个定值. 3. 解:(1)36°,126°; 【解法提示】由题意可得， 36°,∠APC=90°,∴∠BPC=∠APB+∠APC= (2)∵∠CPD 和∠BPD 的平分线分别是 PE和PF, 角平分线性质)， ∵∠CPB=126°, ∴ 当 PD 在∠CPB 内部的任何位置时,∠EPF 的度数都是一个定值，这个定值是63° 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 课后练习 一、单选题 1．已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 1．C 【分析】本题主要考查角平分线定义的运用能力，能考虑到在外部和内部两种情况是关键． 分在外部和内部两种情况，由、分别平分、可得、度数，在根据两种位置分别求之． 【详解】解：①如图，当在外部时， ∵，平分， ∴， 又∵，平分， ∴， ∴； ②如图，当在内部时， ∵，平分， ∴， 又∵，平分， ∴， ∴， 综上所述：为或． 故选C． 2．如图，点，，在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．A 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，邻补角的性质，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据，可得，从而得到，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A 二、填空题 3．已知如图，，是的平分线，是的平分线，且，则的度数为 度 3． 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角的和差是解题的关键．设，即可得到，根据角平分线的性质得到，即可进行解答． 【详解】解：设， 是的平分线， ， ， 是的平分线，， ， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，，平分，平分，则 ． 4．/50度 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，几何图中角度的计算，由角平分线的定义得出，，再由计算即可得出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 ． 5．或 【分析】本题考查角的运算，根据题意分两种情况，分别画出图形求解即可，解答本题的关键是分类讨论． 【详解】解：当和在的同一侧时，如图， ∵射线、分别平分、，，， ∴，， ∴； 当和在的两侧时，如图， 同理可得，， ∴， 综上，的度数是或． 故答案为：或． 三、解答题 6．如图，点O在直线上，，，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若为的平分线，求的值． 6．(1)的度数为 (2) 【分析】本题考查了平角定义，角平分线的性质和角的运算，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）直接根据平角定义用即可解题； （2）根据角平分线的性质，可得，，进而可得，从而可求得的值． 【详解】（1）解：，， ， 答：的度数为； （2）解：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ， ． 7．如图，是的平分线，是的平分线，，求得度数． 7． 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的加减运算，难度较小． 因为是的平分线，所以，又因为是的平分线，所以，再根据即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 8．如图，是的平分线，是的平分线，，，求的度数． 解：平分，，， ____________________， ____________________， 平分， ___________________， ____________________． 8．；；；；；；； 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义． 根据角平分线的定义求出，根据，求出，根据角平分线的定义求出，即可得出答案． 【详解】解：平分，，， ， 平分， ， ． 9．已知平分． (1)如图1，若，则________°，_______°； (2)如图2，若，求的度数． 9．(1)； (2)或者 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的运算，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据角的数量关系直接运算即可得到的度数，利用角平分线的定义求解即可． （2）分类讨论与与直线的位置关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵平分， ∴， ∴； （2）如图2所示： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 当①当与在直线两侧时 ∴ ②当与在直线同侧时 ∴ 综上所述，的度数为或者． 10．（1）如图1，点C为线段的中点，点D在线段上，若，，求的长； （2）如图2，点A，O，E在同一直线上，，，平分．求的度数． 10．（1）25   （2） 【分析】此题主要考查了线段中点，角平分线．熟练掌握线段中点的定义，角平分线的定义，线段的和差计算，角的和差计算，是解题关键． （1）根据，得到，得到．根据中点定义得到，即得． （2）根据，得到．根据角平分线定义得到． 根据即得． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴． ∵C是的中点， ∴， ∴． （2）∵点A，O，E在同一条直线上，，， ∴． ∵OD平分， ∴． ∴． 11．已知，作射线．射线，分别是，的平分线． (1)当射线在的内部时，如图． ①若，则的度数为 ； ②若，求的度数（用含α的式子表示）； (2) 当射线在的左边时，若，且，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 11．(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）①利用角平分线的定义解答即可； ②利用角平分线的定义解答即可； （2）根据题意画出图形,利用角平分线的定义解答即可； 【详解】（1）解：①由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， 当射线在的内部时，； ②由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， 当射线在的内部时，； （2）解：由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， ． 12．如图，已知，是内部的一条射线，射线，分别是和的平分线．当射线在的内部绕点旋转时，若，求的度数． 12． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，以及角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 先求出的大小，再求出的大小，然后根据角平分线的定义求出和，求和即可得出答案． 【详解】解：，，是的平分线， ，， ， 是的平分线， ， ． 13．如图，，平分，，求的度数． 13． 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的计算，解题关键是对于角平分线和角之间的关系的理解． 根据角平分线的定义得，再根据求出，再求出即可解答． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 14．如图，直线与相交于点O，平分，射线在内部．若平分求的度数． 14． 【分析】本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义及角的和差倍分，确定各角度之间的和差关系是解题关键．注意利用数形结合的思想．由题意得设，则，，，根据即可建立方程求解． 【详解】解：∵ ∴可设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 15．已知，为内部的一条射线． (1)如图1，若平分，平分，的度数为______； (2)如图2，在内部，且，平分，平分（射线在射线左侧），求的度数； (3)在（2）的条件下，绕点，若，求的度数． 15．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线，理解角平分线的意义以及角的和差关系是解决问题的关键． （1）根据角平分线的意义以及角的和差关系得出即可； （2）根据角平分线的意义以及角的和差关系得到即可； （3）分两种情况进行解答，即在的右侧、左侧时，分别画出相应的图形，利用角平分线的意义以及角的和差关系进行解答即可． 【详解】（1）如图1， 平分，平分， ，， ； 故答案为：； （2）平分，平分， ，， ； （3）①当在的右侧时，如图2， ∵ ∴ ∵ ②当在的左侧时，如图3， ∵ ∴ 的度数为或 答案第1页，共2页 答案第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型2：双角平分线模型 类型 双角平分线和型 双角平分线差型 图示 特点 OC 是∠AOB 内的一条射线, OP₁, OP₂ 分 别 是∠AOC,∠BOC的平分线 OC 是∠AOB外的一条射线,OP₁,OP₂ 分别是∠AOC,∠BOC的平分线 结论 ∠P₁OP₂=∠AOB 1.找模型 共顶点的三条射线组成的三个角中，已知任意两个角的平分线，考虑双角平分线模型 2. 用模型 利用角平分线性质及角的和差转换求解 双角平分线和型： 证明:∵OP₁,OP₂分别是∠AOC,∠BOC的平分线, (角平分线的性质)， 双角平分线差型： 证明： 分别是 的平分线， 拓展方向：三个角围成一个周角 图示 特点 ∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,OP₁平分∠AOC,OP₂ 平分∠BOC 结论 ∠P₁OP₂=180°₂∠AO 思考延伸：双角平分线模型在“邻补角”中应用,已知 OP₁,OP₂分别平分∠AOC,∠BOC,利用补角之和为 180°、角平分线性质可证 例1 如图,∠AOB=90°,OC是∠AOB外任意一条射线,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC.若∠DOE的度数是α,则 ( ) A. 45°<α<90° C. α=45° D. α随射线 OC 位置的变化而变化 思路点拨：OC 在∠AOB 外部,∠AOC =∠AOB+∠BOC,通过角度应用双角平分线差型即可求解. 例2 已知∠AOB=70°,OM平分∠AOB,∠BOC=20°,ON平分∠BOC,则∠MON的度数为 . 思路点拨：OC 位置不确定，分情况讨论两角位置关系，再结合双角平分线模型解题 针对训练 1. 如图,已知∠AOB=110°,OC 是∠AOB内部的一条射线,OD 平分∠AOB,OE 平分∠AOC,若∠AOE=20°,则∠COD的度数为 ( ) A. 8° B. 10° C. 15° D. 18° 2. ( 创新题型-过程性学习试题)如图，已知直线CD,EF 相交于点 O,OB 平分∠DOE,OC平分∠AOF,且∠AOB=90°.小雨猜想：OA也平分∠COE，并写出证明过程.请你将下列过程补充完整. 证明:∵OB 平分∠DOE, ∴∠BOE= , ∵OC平分∠AOF, ∵∠DOE=∠FOC,( )设∠DOE=x, ∵∠DOE+∠AOE+∠AOC= ,( ) ∴∠AOE=180°-2x, ∵∠AOB=90°, ∴x=60°, ∴∠AOE= ,∠AOC= , ∴OA平分∠COE.( ) 3. (1)如图①,把∠APB放置在量角器上,点 P与量角器的中心重合，射线 PA，PB 分别对准刻度 117°和153°,将射线 PA绕点 P 逆时针旋转90°得到射线PC,则∠APB= ,∠BPC= ; (2)如图②,在图①的基础上,PD 是∠CPB内部任意一条射线，分别作∠CPD 和∠BPD的平分线PE 和PF,试探究 PD 在∠CPB 内部的任何位置，∠EPF的度数都是一个定值并求出这个定值. 课后练习 一、单选题 1．已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，点，，在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．已知如图，，是的平分线，是的平分线，且，则的度数为 度 4．如图，，平分，平分，则 ． 5．已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 ． 三、解答题 6．如图，点O在直线上，，，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若为的平分线，求的值． 7．如图，是的平分线，是的平分线，，求得度数． 8．如图，是的平分线，是的平分线，，，求的度数． 解：平分，，， ____________________， ____________________， 平分， ___________________， ____________________． 9．已知平分． (1)如图1，若，则________°，_______°； (2)如图2，若，求的度数． 10．（1）如图1，点C为线段的中点，点D在线段上，若，，求的长； （2）如图2，点A，O，E在同一直线上，，，平分．求的度数． 11．已知，作射线．射线，分别是，的平分线． (1)当射线在的内部时，如图． ①若，则的度数为 ； ②若，求的度数（用含α的式子表示）； (2) 当射线在的左边时，若，且，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 12．如图，已知，是内部的一条射线，射线，分别是和的平分线．当射线在的内部绕点旋转时，若，求的度数． 13．如图，，平分，，求的度数． 14．如图，直线与相交于点O，平分，射线在内部．若平分求的度数． 15．已知，为内部的一条射线． (1)如图1，若平分，平分，的度数为______； (2)如图2，在内部，且，平分，平分（射线在射线左侧），求的度数； (3)在（2）的条件下，绕点，若，求的度数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$