精品解析：海南省文昌市田家炳中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

2023-2024学年度高中数学期末考试卷 高一数学期末试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上； 一、单选题（本题共8小题，每题5分，满分40分） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 2. 已知，，若与共线，则（ ） A. B. 4 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为与共线， 所以，解得. 故选：A. 3. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. －2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】因为是实数，所以复数的实部是，虚部是，直接由实部等于0，虚部不等于0求解的值． 【详解】解：由是纯虚数，得，解得． 故选：A. 4. 已知，是两条直线，，是两个平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系的有关知识对选项进行分析，从而得解. 【详解】A选项，若，，则可能含于，A选项错误； B选项，若，，则可能含于，B选项错误； C选项，若，，则可能异面，C选项错误； D选项，若，，由线面垂直的性质定理可知，D选项正确. 故选：D. 5. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解析】 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 6. 一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的上四分位数为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 14 D. 14.5 【答案】D 【解析】 【分析】按照上四分位数的定义直接求解即可. 【详解】上四分位数即第百分位数，因为， 所以上四分位数为第位和第位的平均数，即， 故选：D. 7. 已知正三棱台的上､下底面的棱长分别为3和6，侧棱长为2，则该正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】如图画出正三棱台，连接上下底面中心，即为三棱台的高， 过作，垂足为，则，, 又上下底面外接圆半径分别，， 侧棱长为， 所以正三棱台的高为， 因为正三棱台的上､下底面的边长分别为3，6， 所以上下底面面积分别为，， 所以其体积为. 故选：D. 8. 从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：），甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165.据此估计甲、乙两班学生的平均身高，及方差，的关系为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据平均数和方差的计算公式分别计算出、、、，即可下结论. 【详解】，， ， ， 所以，. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，满分18分，全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分） 9. 已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是（ ） A. 这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3 B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据百分位数的定义进行判断选择. 【详解】通过定义知A正确； 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数，是，则C正确．BD错误. 故选：AC 10. 随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长.渝北区的陈先生计划在家所在的小区内开一家菜鸟驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和小兵驿站一周的日收件量（单位：件），得到折线图如下，则下列说法正确的是（ ） A. 菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于小兵驿站一周的日收件量的极差 B. 菜鸟驿站星期三的日收件量小于小兵驿站星期六的日收件量 C. 菜鸟驿站日收件量的平均值大于小兵驿站的日收件量的平均值 D. 菜鸟驿站和小兵驿站的日收件量的方差分别记为、，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用折线图可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，菜鸟驿站一周的日收件量的极差为， 小兵驿站一周的日收件量的极差为， 所以，菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于小兵驿站一周的日收件量的极差，A对； 对于B选项，菜鸟驿站星期三的日收件量为，小兵驿站星期六的日收件量为， 所以，菜鸟驿站星期三的日收件量小于小兵驿站星期六的日收件量，B对； 对于C选项，菜鸟驿站日收件量的平均值为， 小兵驿站的日收件量的平均值为， 所以，菜鸟驿站日收件量的平均值大于小兵驿站的日收件量的平均值，C对； 对于D选项， ， ，所以，，D错. 故选：ABC. 11. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩 〔均为整数〕整理后画出的频率直方图如图所示，则（ ） A. 估计 这一组的频数是15 B. 估计这组数据的众数74.5 C. 估计该次环保知识竞赛的平均成绩是72.5 D. 估计这组数据的中位数是72.8 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用频率和频数公式求解利用频率分布直方图的公式求众数、中位数、平均数进行逐项判断. 【详解】对于A，频率；频数，A正确； 对于B，一组的频率最大，人数最多，则众数为，B正确； 对于C，平均分为： ，C错误； 对于D，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，所以中位数在区间内， 设中位数为，所以中位数为72.8，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，满分15分） 12. 某单位有名职工，其中女职工有名，男职工有名，现要从中抽取名进行调研座谈，如果用比例分配的分层随机抽样的方法进行抽样，则应抽女职工_______名． 【答案】9 【解析】 【分析】利用分层抽样的比例关系列式求解． 【详解】根据分层抽样的定义和方法，设应抽女职工x名，则，解得． 故答案为：9． 13. 在中，已知，，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算即可. 【详解】因为在中，已知，，， 所以，即， 故答案为： 14. 如图，若正方体的棱长为1，则异面直线AC与所成的角的大小是__________；直线和底面ABCD所成的角的大小是__________． 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】①通过平行关系，直线与直线所成角即直线与直线所成角，解三角形即可得解； ②根据线面角定义，通过垂直关系找出线面角即可. 【详解】作图：连接交于，连接 ①在正方体中，，易得为等边三角形， 由与平行且相等，则四边形为平行四边形，， 直线与直线所成角即直线与直线所成角， 所以所成角为； ②正方体中，平面， 所以就是直线和平面所成的角 由于，，是等腰直角三角形，所以， 所以直线和底面ABCD所成的角的大小. 故答案为：①；②. 【点睛】此题考查求异面直线所成的角和直线与平面所成角，通过平行线求异面直线夹角，通过垂直关系根据定义找出线面角即可求解. 四、解答题（本题共5小题，满分77分） 15. 已知复数，，为虚数单位． （1）求 （2）若，求的共轭复数； （3）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由复数的乘法运算，即可得到结果； （2）由复数的除法运算，即可得到结果； （3）由复数的几何意义，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 【小问2详解】 ，， ， ． 【小问3详解】 在复平面上对应的点在第四象限， ，解得， 故实数的取值范围为． 16. 已知：，，向量与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积公式计算即可； （2）根据向量的模公式计算即可； （3）根据向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，根据向量的数量积公式得 【小问2详解】 根据向量的模公式得 【小问3详解】 根据向量的夹角公式得 . 17. 某中学为研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示． （1）求直方图中的值； （2）请估计本次联考该校数学成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）请估计本次联考该校数学成绩的分位数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可； （2）根据平均数公式计算可得； （3）根据百分位数计算规则计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得. 【小问2详解】 本次联考该校数学成绩的平均数为： . 【小问3详解】 成绩在的频率为， 的频率为， 的频率为， 因为，， 所以第分位数在之间，设为，则， 解得，所以本次联考该校数学成绩的分位数为. 18. 如图所示，在正四棱锥中，，求 （1）正四棱锥的表面积； （2）若为的中点，求证：平面． 【答案】（1） （2） 连接交于，由题意可得为的中点， 连接为的中点，在中，得， 平面，平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）取的中点，求出，进而求出正四棱锥的侧面积，进而求解； （2）连接交于，则，结合线面平面的判定定理即可证明. 【小问1详解】 因为， 取的中点，连接， 由题意可得， 由题意可得， 所以正四棱锥的表面积为； 【小问2详解】 略 19. 如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿翻折至，使得. （1）证明：； （2）求五棱锥的体积 【答案】（1） 由，，，， 得，，又，在中， 由余弦定理得， 所以，则，即， 所以，，又，平面， 所以平面，又平面，故； （2）19 【解析】 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）先证明平面，得，，勾股定理得，从而底面，即为五棱锥的高，再结合棱锥的体积公式计算得答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， ，即平面，所以，， 且，所以，由（1）， 而是平面内的两条相交直线， 由此得底面，即为五棱锥的高，过点作.则， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度高中数学期末考试卷 高一数学期末试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上； 一、单选题（本题共8小题，每题5分，满分40分） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 已知，，若与共线，则（ ） A. B. 4 C. 9 D. 3. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. －2 C. D. 4 4. 已知，是两条直线，，是两个平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 6. 一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的上四分位数为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 14 D. 14.5 7. 已知正三棱台的上､下底面的棱长分别为3和6，侧棱长为2，则该正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：），甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165.据此估计甲、乙两班学生的平均身高，及方差，的关系为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多选题（本题共3小题，每题6分，满分18分，全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分） 9. 已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是（ ） A. 这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3 B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数 10. 随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长.渝北区的陈先生计划在家所在的小区内开一家菜鸟驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和小兵驿站一周的日收件量（单位：件），得到折线图如下，则下列说法正确的是（ ） A. 菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于小兵驿站一周的日收件量的极差 B. 菜鸟驿站星期三的日收件量小于小兵驿站星期六的日收件量 C. 菜鸟驿站日收件量的平均值大于小兵驿站的日收件量的平均值 D. 菜鸟驿站和小兵驿站的日收件量的方差分别记为、，则 11. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名学生，将其成绩 〔均为整数〕整理后画出的频率直方图如图所示，则（ ） A. 估计 这一组的频数是15 B. 估计这组数据的众数74.5 C. 估计该次环保知识竞赛的平均成绩是72.5 D. 估计这组数据的中位数是72.8 三、填空题（本题共3小题，每题5分，满分15分） 12. 某单位有名职工，其中女职工有名，男职工有名，现要从中抽取名进行调研座谈，如果用比例分配的分层随机抽样的方法进行抽样，则应抽女职工_______名． 13. 在中，已知，，，则的值为________. 14. 如图，若正方体的棱长为1，则异面直线AC与所成的角的大小是__________；直线和底面ABCD所成的角的大小是__________． 四、解答题（本题共5小题，满分77分） 15. 已知复数，，为虚数单位． （1）求 （2）若，求的共轭复数； （3）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 16. 已知：，，向量与的夹角为． （1）求； （2）求； （3）求与的夹角的余弦值． 17. 某中学为研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示． （1）求直方图中的值； （2）请估计本次联考该校数学成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）请估计本次联考该校数学成绩的分位数． 18. 如图所示，在正四棱锥中，，求 （1）正四棱锥的表面积； （2）若为的中点，求证：平面． 19. 如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿翻折至，使得. （1）证明：； （2）求五棱锥的体积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $