精品解析：北京市八一学校教育集团2025-2026学年第二学期期末练习高一数学

北京市八一学校教育集团2025-2026学年第二学期期末练习 高一数学2026.07 班级________ 姓名________ 学号________ 本试卷共4页，100分．考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， 则. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可； 【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A. 3. 在中，若，则的大小为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】可根据题意求出，然后根据正弦定理求出，进而得出，然后即可求出的值，然后根据余弦定理即可求出的大小． 【详解】在中，若，，，则， 根据正弦定理得，，解得，且， ， ， 在中，根据余弦定理得，， ． 故选：A 4. 已知向量，，若，且满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，即可得解 【详解】根据题意向量，， 所以， 又，则， 化简得. 故选：D 5. 函数是（ ） A. 非奇非偶函数 B. 仅有最小值的奇函数 C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的偶函数 【答案】D 【解析】 【详解】∵，定义域为，又， ∴是偶函数，且不是奇函数， 又，又因为， 所以当时，取得最大值2；当时，取得最小值. 6. 设、、三点不共线，则“与的夹角是钝角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】首先设命题与的夹角是钝角，命题，根据与的夹角是钝角推得，又根据推得与的夹角是钝角，即可得到答案. 【详解】设命题与的夹角是钝角，命题， 若与的夹角是钝角， 则， ， 所以， 故，，即. 若， 则， 因为、、三点不共线 所以，故与的夹角是钝角，即. 所以“与的夹角是钝角”是“”的充分必要条件. 故选：C 【点睛】本题主要考查充分必要条件，同时考查了向量的模长计算，属于中档题. 7. 如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定两圆圆心距，结合垂直条件推导两个扇形的圆心角的大小，再代入公式计算弧长. 【详解】∵ 圆和圆的半径均为，且两圆相切， ∴ 圆心距. ∵ 为圆上一点， ∴ . ∵ ， ∴ ，即为直角三角形. 在中，，， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ 扇形弧长公式为（为圆心角弧度数，为扇形半径），两阴影扇形半径均为1， ∴ 两阴影扇形弧长之和为. 8. 设，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，，， 又，则，所以. 9. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（ ） A. 44 B. 48 C. 72 D. 76 【答案】B 【解析】 【分析】利用坐标法可得，设点到原点的距离为，则的最大值为，利用数形结合法可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】设点，正六边形的边长为4， 所以， 所以， 所以， 设点到原点的距离为，则的最大值为， 由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点， 如图，可取， 所以， 即的最大值为48. 故选：. 10. 已知，记在的最小值为，在的最小值为，则下列情况不可能的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先取特殊值，判断可能得选项，然后综合选项得到答案即可. 【详解】由题可知，，区间与的区间长度相同； 取，则，此时，，故A可能； 取，则，此时，，故B可能； 取，则，此时，，故C可能； 由三角函数性质可知，假设，成立，必然有， 所以区间与的区间长度大于，根据的函数图象可知， 当区间长度大于，在区间与上的取值必然有正有负， 此时，，故与假设矛盾，故D不可能. 故选：D 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 复数的实部为_________． 【答案】 【解析】 【详解】复数，其实部为. 考点：复数的乘法运算、实部. 12. 已知正四棱锥的底面积为3，O为底面正方形ABCD的中心．若，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正四棱锥的性质得为的高，结合底面正方形面积求出对角线的长度，代入三角形面积公式计算即可 【详解】由正四棱锥的性质可知，顶点在底面的投影为底面中心，故平面，因此， 底面为正方形，其面积为3，设正方形边长为， 则，正方形对角线， 因O为底面正方形ABCD的中心，故O为的中点， 因此为等腰三角形，底边上的高为， 由三角形面积公式得：. 13. 已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________． 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 因为在区间上单调递减，且， 所以有， 因此的一个取值可以为， 故答案为： 14. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则______；若为偶函数，则的最小值是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，从而可得的值；再利用函数是偶函数建立方程进行求解即可． 【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 即， 所以； 若函数为偶函数，则，， 得， ，当时，取得最小值为， 故答案为：；． 15. 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则________；的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用余弦定理即可求得，利用正弦定理求得，利用展开计算可求得的值． 【详解】空1，在中，， 由余弦定理知， 所以； 空2，由正弦定理得， 所以， 由知为锐角，故． 所以 ． 16. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）________； （2）若点P为所在平面上任意一点，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理可求； （2）设点关于点的对称点为，将问题转化为求的最小值，即可利用费马点求解. 【详解】（1）由以及正弦定理得， 因为，所以， 则，得， 则由勾股定理得，; （2）设点关于点的对称点为，则， 则， 则由题意可知，当点为的费马点时有最小值， 因为，所以全等， 则，故点位于线段上， 因为，所以，则， 故的最小值为. 三、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、D的坐标分别是，，． （1）求顶点C的坐标； （2）求向量与向量所成角的余弦值． 【答案】（1）顶点的坐标为. （2）向量与所成角的余弦值为. 【解析】 【小问1详解】 设，由题意得平行四边形中，， 得到，由，解得，即. 【小问2详解】 由，， 由向量夹角公式得. 18. 在中，已知 （1）求A； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，可求得，进而可求A； （2）利用已知结合（1）可得，利用两角和的正弦可求得，结合正弦定理求得，进而根据三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 由，得， 又，所以，所以， 又，所以或； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 由（1）可得，所以 . 在中，由正弦定理得，所以， 所以的面积． 19. 已知函数．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知． （1）求的解析式及最小值； （2）若函数的图象与直线在区间上有且仅有1个交点，求t的取值范围． 条件①：函数的最小正周期为； 条件②：函数的图象经过点； 条件③：函数的最大值为． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分；如果选择的条件不符合要求，则不得分． 【答案】（1）选择①②，，函数的最小值为；选择①③，函数的最小值为；选择②③，无解； （2）时，；当时， 【解析】 【分析】（1）首先化简函数的解析式，再选择条件，求解析式的参数； （2）根据（1）的结果，转化为的交点个数转化为或在区间上的交点个数，即可求解. 【小问1详解】 ，， 若选择条件①②，则函数的周期，得，且，得， 所以函数，函数的最小值为； 若选择①③，函数的最大值为，得， 所以，函数的最小值为； 若选择②③，则，得， 且，得，所以无解. 【小问2详解】 ，得， 由条件可知在区间上，有一个解， 由条件①②可得，，则， 则，解得：； 由条件①③可得，，则， 由得，，则，解得：. 20. 设，定义集合．对任意，，定义：，，． （1）若，判断X是否属于，并直接写出与的大小关系； （2）证明：对于任意，都有； （3）设，且． （ⅰ）当时，求的最大值； （ⅱ）求出所有使得取得最大值的X． 【答案】（1） （2）已知，，则； 所以， 根据绝对值不等式的性质，可得：，， 将上述两个不等式相加，可得：， 又因为，所以； （3）（ⅰ）；（ⅱ）为或 【解析】 【分析】（1）根据集合的定义判断是否属于，再分别计算与的值并比较大小； （2）利用绝对值不等式的性质来证明； （3）（ⅰ）根据得到，，，之间的关系，再结合求出的最大值； （ⅱ）根据得到的关系，分情况讨论取得最大值时的取值. 【小问1详解】 因为，，，，且，均为整数，所以， ，，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （ⅰ）因为，所以，即， ， 当时，，，且，， 要使最大，则，应尽可能大，当，时，，，此时； （ⅱ）对任意，的最大值为，仅在以下两种情况取得： ，得，即； ，得，即； 因此所有满足条件的 为和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市八一学校教育集团2025-2026学年第二学期期末练习 高一数学2026.07 班级________ 姓名________ 学号________ 本试卷共4页，100分．考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，若，则的大小为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知向量，，若，且满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 5. 函数是（ ） A. 非奇非偶函数 B. 仅有最小值的奇函数 C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的偶函数 6. 设、、三点不共线，则“与的夹角是钝角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（ ） A. 44 B. 48 C. 72 D. 76 10. 已知，记在的最小值为，在的最小值为，则下列情况不可能的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11. 复数的实部为_________． 12. 已知正四棱锥的底面积为3，O为底面正方形ABCD的中心．若，则的面积为________． 13. 已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为_________． 14. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则______；若为偶函数，则的最小值是______. 15. 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则________；的值为________． 16. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）________； （2）若点P为所在平面上任意一点，则的最小值为________． 三、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、D的坐标分别是，，． （1）求顶点C的坐标； （2）求向量与向量所成角的余弦值． 18. 在中，已知 （1）求A； （2）若，，求的面积． 19. 已知函数．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知． （1）求的解析式及最小值； （2）若函数的图象与直线在区间上有且仅有1个交点，求t的取值范围． 条件①：函数的最小正周期为； 条件②：函数的图象经过点； 条件③：函数的最大值为． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分；如果选择的条件不符合要求，则不得分． 20. 设，定义集合．对任意，，定义：，，． （1）若，判断X是否属于，并直接写出与的大小关系； （2）证明：对于任意，都有； （3）设，且． （ⅰ）当时，求的最大值； （ⅱ）求出所有使得取得最大值的X． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $