山东省泰安市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学试题 第 页 （共4页） 试卷类型:A 高 二 年 级 考 试 数 学 试 题 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 2024.07 1. 已知集合A = { -2,0, 2 } ,B = { x | x2 - 4 < 0 }，则A⋂ B = A. { -2,0, 2 } B. { -2,0 } C. { 2 } D. { 0, 2 } 2. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x（单位：℃）的关系，在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 ( x i ,y i )( i = 1,2,…,20 )，得到下面的 散点图： 由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和温 度 x的回归方程类型的是 A. y = a - bx B. y = a + b x C. y = a + bex - 2 D. y = a + log 12 x 3. 已知函数 f ( x ) = 2x + cos 2x，则 f '( π4 )的值为 A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 4.“m ≥ 0”是“函数 f ( x ) = ln x + mx在 (0,1 ]上为增函数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1 高二数学试题 第 页 （共4页） 5. 已知某产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且y = 0.8x + a ,x1 + x2 + x3 + x4 = 96 现有一对测量数据为(30,23.4)，则该数据的残差为 色差 x 色度 y x1 15 x2 18 x3 19 x4 20 A. -0.76 B. -0.6 C. 0.6 D. 0.76 6. 端午节期间，学校餐厅推出蜜枣粽子和咸肉粽子，—个餐盘中装有相同大小的蜜枣粽 子和咸肉粽子共10个,其中咸肉粽子3个.某同学逐个连续不放回的从盘中取粽子，直 到取出咸肉粽子为止，设此时已取出了X个蜜枣粽子，则 3A27 A310 = A. P (X = 3 ) B. P (X ≥ 2 ) C. P (X ≤ 3 ) D. P (X = 2 ) 7. 设X~N ( μ1,σ21 )，Y~N ( μ2,σ22 )，这两个变量的正态曲线如图所示，下列说法正确的是 A. P (X ≤ μ1 ) ≥ P (X ≤ μ2 ) B. P (Y ≥ σ1 ) ≥ P (Y ≤ σ2 ) C. P (Y ≥ -2 ) ≤ P (X ≥ -2 ) D. 若 t < 0，则P (Y ≤ t ) ≤ P (X ≤ t ) 8.已知 x > 0,y > 0,且 x2 y + 2xy2 + 2xy ≤ x + 2y，则 2x + 1 y的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列说法正确的是 A. 若a > b，则 1 a < 1 b B. 若a > b > c，且ac > 0，则ab (a - c ) > 0 C. 若a - b ∈ [ 0,1 ] ,a + b ∈ [ 2,4 ]，则4a - 2b的取值范围是 [ 2,7 ] D. 若a > b > 0且ab = 1，则 log2 (a + b ) < a + 1b 10. 下列说法正确的是 A. 若随机变量X~B ( 4, 1 2 )，则E (2X + 1 ) = 4 B. 已知随机变量X的分布列为P (X = k ) = 13 ,k = 1,2,3,则D (2X + 3 ) = 8 3 C. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P (X<2 )= 1415 D. 甲乙两位垂钓爱好者抛一次杆中鱼概率分别为 2 3 和 3 4 ,两人同时中鱼的概率为 1 3 ,则 二人各抛杆一次，在乙中鱼的条件下，甲也中鱼的概率为 4 9 2 高二数学试题 第 页 （共4页） 11. 定义在(0,+∞)的函数 f ( x ),其导函数为 f '( x )，且满足 f '( x ) > f ( x ) > 0,若 0 < x1 < 1 < x2， 且 x1x2 = 1，则下列不等式一定正确的是 A.f ( x1 ) > f (2 - x2 ) B. x1 f ( x2 ) < x2 f ( x1 ) C.ln f ( x1 ) - ln f ( x2 ) < x1 - x2 D.2f (2 ) > 3f ( 12 ) 三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共15 分。 12. 某学校计划选派2名男生和3名女生去支教.现有6名男同学和5名女同学报名，则共 有 种不同的派出方案. 13. 关于 x的不等式 x2 - ax + 54 a < 0任意两个解的差不超过6，则 a的最大值与最小值的 和是 . 14. 已知二项式 ( 1 x - 2x3 )n = a0x-n + a1x4 - n + a2x8 - n + … + ak + … + anx3n，若 ak = -1760， 则a1 + a2 + a3 + … + an = . 四、解答题：本题共5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知函数 f ( x ) = ( x + 1 )ln x + 2x，其导函数为 f '( x ) （1）求曲线 y = f ( x )在 (1,f (1 ) )处的切线方程； （2）若直线 y = m与曲线 y = f '( x )在 [ 12 ,2 ]上有两个不同交点，求m的取值范围； 16.（15分） 某公司销售其研发的新产品，投入广告费进行广告宣传.经过一段时间的宣传后，统 计得到 x,y之间的五组数据如下表： x y 1 9 2 11 3 14 4 26 5 20 其中，x(单位：万元）是广告宣传的投入，y（单位：万元）是新产品的收益. （1）求相关系数 r的大小（精确到0.01），并判断新产品收益 y与广告宣传投入 x的线性 相关程度； （2）该公司对此产品的满意程度进行了调研，在调研100名男女消费者中，得到的数据 如下表： 男 女 总计 满意 45 25 70 不满意 10 20 30 总计 55 45 100 3 高二数学试题 第 页 （共4页） 依据小概率值α = 0.01的独立性检验，分析消费者满意程度是否与性别有关？ 参考公式：①r = ∑ i = 1 n ( x i - -x ) ( y i - -y ) ∑ i = 1 n ( x i - -x )2∑ i = 1 n ( y i - -y )2 ； ②χ 2 = n (ad - bc ) 2 (a + b ) (c + d ) (a + c ) (b + d )，其中n = a + b + c + d 临界值表： α χα 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 参考数据： 485 ≈ 22. 17.（15分） 已知一个班级中共有 n (n ∈ N 且n ≥ 3 )名学生.若先从这 n名学生中任意选择 k名学 生组建班委，再从这 k名班委中人选一人担任班长，共有m种不同的选择方式；若先从这n 名学生中任选一人担任班长，再从剩余 n - 1人中任选 k - 1人组建班委，共有 t种不同的 选择方式. （1）判断m与 t的关系并证明； （2）当n ∈ N 且n ≥ 3时，求∑ k = 1 n k2Ckn的值. 18.（17分） 某学校篮球社团设计了一项三分球投篮比赛.规定:三人组队参赛，每次只派一个人， 且每人只派一次，如果一个人投篮失败，再派下一个人重新投篮;三人中只要有人投篮成 功即视作比赛胜利，无需继续投篮.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自投篮成功的概 率分别为P1、P2、P3，且P1、P2、P3互不相等，且每人能否投篮成功互不影响. （1）计划依次派甲、乙、丙进行投篮，若P1 = 23 ,P2 = 1 3 ,P3 = 3 4，求该小组比赛胜利的概 率; （2）若依次派甲、乙、丙进行投篮，设所需派出的人员数目为X，求X的分布列及数学 期望; （3）若乙只能安排在第二个派出，问：选择何种派出方案，派出人员数目的数学期望 较小？ 19.（17分） 已知函数 f ( x ) = ex - 1 - m ln x （1）当m = 1时，讨论函数 f ( x )的单调性； （2）令g ( x ) = f ( x ) - 12 x2 + x,若存在不相等的 x1 ,x2使得g ( x1 ) - g ( x2 ) = 0, 求证：e 2m e > x1x2 . * * 4 高二年级考试 数学试题参考答案及评分标准 2024.07 一、单项选择题: 题号12345678 答案DB A D 二、多项选择题: 题号 9 10 11 答 案 BCD BCD ACD 三、填空题: 12.150 13.5 14.0 四、解答题: 15.(13分) 1 解:(1). .'.三1.+-..... ................................... 1分 。 .切线...................5分. (2)令g(x)=/f(x)=lnx+-+3 1 1 1x-1 .g'(x)=- xx2 2} 令g'(x)=0.得x=1 列表 2 (21) (1.2) 1 2 C g'(x) / 0 / g(x) 5-ln2 _ 4 ln2+ 由表知g(x)=g(1)=4.即f'(x)=4 -2.2.o..................... 2=2 11分 高二数学试题参考答案 第1页 (共5页) 16.(15分) (1)由题意可得 1+2+3+4+5 -3.......................................................... 1分 9+11+14+26+20 =16 5 (x-)(-)=[(-2)+(-1)+0+1+2]i(-7)+(-5)+(-2)+10+4] =1940......”.分. 37 .7三. 0.84.................. 1940 2V485 44 .新产品收益y与广告宣传投人x具有较强的相关性................................. 10分 (2)零假设:L:消费者满意程度与性别无关 .......................... 100×(45x20-25×10) ~8.129>6.635 ....................................... 14分 55×45x70x30 .依据小概率值a=0.01的独立性检验,推断儿.不成立,即消费者满意程度与性别有 关 17.(15分) 解:(1)由题知m=CtCl=kC1=C.C)=nC) m = ...............分... n! (n-)!!(n-h)!(k-1)! (n-1)! n! t=nC二=n *(n-)!(k-1)! (n-h)!(k-1)! (2)(法一) .rC . .-(.l.. -_. .. - ........ .分... 又kC1=(k-1)C+C1=(n-1)C+C1 'kC..n..)... n.................................................. 12分 °C=n(n-1)ZC=3+nZc:! ,: , =n(n-1)2-2+n2-1 =n(n+1)2*-2 15分 高二数学试题参考答案 第2页(共5页) (法二) .C三......................................分 设/(x)=x(1+x)r1 x(1+x)=x(C+xC,+”C.+xC=l) =xC.+rC.+rC.+..+xC! 两边同时求导得 (1+x-1+(n-1)x(l+x)-}=C.+2xC.+3xC,+..+n”C! 令x=1得 .,+2,+3C,+...nC:=(+ 1)-............ 13分 : 15分 (法三) .C......... .-..................... 9分 .SC:)_C2C3C+nC: 设$=C+2C.+3C+..+nC① S=nC=)+(n-1)C}+(n-2)C+.+C ② ................. ①+②相加得 2$=(n .......... ........................... 13分 ...............分 2 二 18.(17分) 解;(1)记事件A三“小组比赛胜利”,A.(i三1.23)分别表示事件甲、乙、丙投篮成功,且 AA...... ..........................................................2分.. 法一:A=A. +A.A.+A.A.A.且AA.AA.A.A.彼此互斥 P(A)=P(A.+AA.+A.AA)=P(A)+P(A.A)+P(AAA 二 “_ 4 18 法二:-AAA P(A)=1-P(A)=1-P(AAA)=1-P(A)P(A)P(A 一# =1- ........................................................................................ 5分 18 高二数学试题参考答案,第3页。 (共5页) (2)由.... .......................................................................... 6分 P(X=1)=P. P(X=2)=(1-P)P P(X=3)=(1-P)(1-P) ......................... .X的分布列为 X 1 2 3 P P (1-P)P。 (1-P)(1-P) E$)=P +2(1-P)/P+31-P)(1-P)=PP -2P -P +3..... 11分 (3)方案一:依次派甲、乙、丙进行投篮,由(2)知E(X)=P.P-2P.-P。+3 方案二:依次派丙、乙、甲进行投篮,设所需派出的人员数目为) 则Y=1.2.3 P(Y=1)=P P(Y=2)=(1-P)P P(Y=3)=(1-P(1-P) :.Y的分布列为 V _ 2 3 P P (1-P)P: (1-P)(1-P) ....................................................................... 14分 .E(V)=PP-2P-P+3 ·E(X)-E(Y)=(PP -2P -P+3)-(PP -2P -P+3 =P.P-P.P.+2P.-2P ............................................... =(P.-P)(P-2) 16分 当P.>P.时,E(X)<E(Y).选择方案一,所需派出的人员数目的数学期望较小 当P.>P.时,E(X)>E(Y).选择方案二.所需派出的人员数目的数学期望较小 高二数学试题参考答案 第4页(共5页) 19.(17分) 解:(1):f'(x)=e-” 当m=1,f'(x)=,-1 令m(x)=f'(x),m'(x)=e - ->0 .f(x)在(0.+x)单调递增 ....................................................... 3分 又f(1)=0 ..............................................4分 .当xe(0.1)f'(x)<0.f(x)单调递减 当xe(....).'(x),..f(.x)单..增........................... 6分 (2)不妨设x.>x.>0,由g(x)=g(x),得m= lnx.-Inx2 .x>x。 .. lnx.>lnx. 要证:,...,..:.-.是.......)................... 8分 即证:-11 (lne)} 1 令h(x)=e1- f(lnx),只需证:h(x:)>h(xc) ........................... 10分 只要证h(x)在(0.+x)单调递增 elnxo在(0.+~)恒成立 即证:h'(x)=e-1-x+1- ...............1. x 只要证-1-x+1e enx x 令(x)=eI-x+1,'(x)= *-I-1 当xE(0.1)(x)<0.(x)单调递减,当xE(1.+)’(x)0.(x)单调递增 14分 eln3 e(1-lnx) 令P(x)= 。P()= x 当xe(0.e),p'(x)>0.p(x)单调递增,当xE(e.+x),p'(x)<0.p(x)单调递减 ' p( )........................ 16分 elnx .1-x+1 在(0.+x)恒成立 17分 高二数学试题参考答案 第5页 (共5页)