精品解析：安徽省合肥市长丰县杨公中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

2022－2023学年安徽省合肥市长丰县杨公中学 九年级（上）期末数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案． 【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”， 应先假设这个三角形中每一个内角都小于． 故选：B． 2. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次方程有实数根，利用一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可得到答案． 【详解】解： 一元二次方程有实数根， 故选D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式知识是解题的关键． 3. 口袋中有3个完全相同的小球，分别标号为1、2、3，随机的摸出一个小球，则摸出的小球标号是奇数的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率；用奇数球的个数除以球的总数即可． 【详解】解：∵口袋中有3个完全相同的小球，奇数球有2个， ∴随机的摸出一个小球，则摸出的小球标号是奇数的概率是， 故选：C． 4. 把抛物线的图像通过怎样平移可以得到抛物线的图像（ ） A. 先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度 B. 先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度 C. 先向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度 D. 先向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合题中所给抛物线的顶点式直接按要求平移即可得到答案． 【详解】解：抛物线线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， 将顶点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到顶点， 将抛物线向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到抛物线的图像， 故选：C． 【点睛】本题考查函数图像平移，熟记函数图像平移法则左加右减、上加下减是解决此类问题的关键． 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为这是一元二次方程，所以二次项的系数不能为零，即a－2≠0，可得：a≠2，将x＝1代入方程,化简方程可得一个关于a的方程，解出a的方程，最后结合之前的条件，求出a的值． 【详解】解：a－2≠0，可得：a≠2, 将x＝1代入方程中可得：（a－2）＋（a2－3）－a＋1＝0， 化简上式，可得：a2－4＝0， 解得：a＝±2， 综上所述可得：a＝－2， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念和性质，解此题的要点在于要知道一元二次方程的性质，要把x的值代入方程，求出a的值，然后根据一元二次方程的概念求出a的范围，最后得出a的值． 6. 在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A. x2+2x﹣3＝0 B. x2+2x﹣20＝0 C. x2﹣2x﹣20＝0 D. x2﹣2x﹣3＝0 【答案】B 【解析】 【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选： 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键. 7. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数经过点即可判断①；根据抛物线开口向下和对称轴为直线即可判断②③；根据图象法即可判断④． 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示，图象过点， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故②错误，故③正确； 由题意得，抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； ∴正确的一共有3个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系，根据图象求不等式的解集等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 8. 如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点．连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①连接，证得，又知，得到，圆周角定理得到，进而得到； ②、则、，证为中位线知、，进一步求得，再在中利用勾股定理逆定理证即可得出结论； ③连接，证明四点共圆，进而根据同弧所对的圆周角相等，即可得证； ④先证得，再证得，联立得，即，结合知，据此可得，结合可得相关线段的长，代入计算可得． 【详解】解：①连接， 在和中， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ，即， ， ②，， ， ，且， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 则与相切； ③连接， ，是圆的切线， 为等腰直角三角形， 为直径， ，， ， 四点共圆， ，故③正确 ④是的直径， ， ， ， ，即， 又，， ， ，即， 由可得，即， 又， ， ， ，，，，， ，即， 解得：，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点． 9. 如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题；根据图象可知函数与轴有两个交点，可判断①；由对称轴为直线，可判断②；由对称性可求该函数和轴的另一个交点为代入可判断③；由图象开口向上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④；理解二次函数的图象与系数的关系是解题的关键. 【详解】根据图象可知： 函数与轴有两个交点， ， ， 故①正确； ， ， ， 故②错误； 根据图象和，对称轴为直线可知， 该函数和轴的另一个交点为； 当时，， 故③错误； 开口向上， ， ， ， ， 故④正确． 故选：C． 10. 如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：；；；；正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用图象信息即可判断；根据时，即可判断；根据是方程的根，结合两根之积，即可判断；根据两根之和，可得，可得，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故正确， 时，， ，即，故正确， 的图象过点和， ，， ， ，故正确， ， ， ， ，故错误， ， ， ，故正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；决定抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 11. 如图，在中，，将线段绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当点在的边上时，恰好，则点到直线的距离为________． 【答案】或 【解析】 【分析】由四边形为平行四边形，可得，由题意知，分在上，在上两种情况求解：①当在上，如图①，过点作于点，由旋转的性质可得，证明为等边三角形，则，根据，计算求解即可；②当在上时，如图②，连接，过点作于点，则为等边三角形，，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 由题意知，分在上，在上两种情况求解： ①当在上，如图①，过点作于点， 由旋转的性质可得， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ②当在上时，如图②，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点到直线的距离为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等边对等角，正弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 12. 如图，中，，，，P为线段上一动点，连接，绕点B顺时针旋转到，连接．设，，y与x的函数关系式是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到M，使，连接，根据勾股定理和直角三角形的性质，求出，，证明，得出， 最后求出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：延长到M，使，连接，如图所示： ∵中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 13. 如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点的直线将菱形分成面积相等的两部分．过点作于点，连接．则线段的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点O．取的中点T，连接．求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接交于点O．取的中点T，连接． ∵直线平分菱形的面积， ∴直线经过点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，用勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 14. 如图，在纸片中，，点D，E分别在边上，连接，将沿翻折，使点B落在点F的位置，且四边形是菱形．若点F在边上时，则菱形的边长为______；连接，则的长的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】当点在边上时，设菱形的边长为，则，，然后在中得，进而得，据此解出即可；连接，根据菱形的性质得，为的平分线，再根据“垂线段最短”得当时，为最小，然后在中，由，可求出的值． 【详解】解：当点在边上时，如图， 设菱形的边长为，则，， ，， ，， 在中，， ， ， 解得：； 连接，如图， 四边形为菱形， 为的平分线， 点始终为平分线上的点， 根据“垂线段最短”得：当时，为最小． 在中，，，， ，， 平分， ， 当时， 在中，， 的最小值为1． 故答案为：；1． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，含角的直角三角形的性质，理解垂线段最短是解答此题的关键． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，实数的混合运算，零指数幂公式，解一元二次方程等知识，掌握相关法则和方法是解题的关键． （1）按照二次根式的加减法法则计算即可； （2）运用零指数幂公式，算术平方根的意义，去绝对值的方法计算即可； （2）运用因式分解法求解即可； （4）先化为一般式，再运用公式法计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解： 或 解得： （4）解：原方程化简为， ∴， ∴， ∴， 即， 16. 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）为抛物线上两点，其中． （）若，且两点均在该抛物线对称轴的左侧，求的取值范围； （）如图，为坐标原点，过两点作轴的垂线与线段分别交于两点．若四边形为平行四边形，求四边形周长的最大值． 【答案】（1）， （2）（）；（）四边形周长的最大值 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质． （1）把代入计算即可； （2）（）把代入解析式，再结合计算的取值范围即可；（）先根据垂线求出，的坐标，再根据四边形为平行四边形可得，得到与的关系，最后表示出四边形周长求最大值即可． 【小问1详解】 ）把代入可得 ， 解得； 【小问2详解】 （）由（1）可得抛物线解析式为，，， ∴对称轴为直线， ∵为抛物线上两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵两点均在该抛物线对称轴的左侧， ∴， 解得， ∴， ∴； （）∵， ∴直线解析式为， ∵过两点作轴的垂线与线段分别交于两点， ∴，， ∴， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，整理得， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形周长为 ∵， ∴， ∴当时最大，最大值， 即四边形周长最大值． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数（m是常数），如果二次函数的图像经过原点 （1）求m的值； （2）若，二次函数图像与x轴的另外一个交点为A，抛物线上是否存在点B，使得，如果存在，请求出点B坐标，如果不存在，请说明理由； （3）若，点是一次函数的图像上的一点，点在二次函数图像上，当时，求线段PQ的最大值 【答案】（1）；（2）存在，或者；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意令，解关于的一元二次方程即可求得； （2）设，由勾股定理列出方程，求得，进而求得点的坐标； （3）根据题意分类讨论，先求得的纵坐标，当时，点在点的上方，当时，点在点的下方，进而根据关于的二次函数求得最大值即可． 【详解】（1）二次函数的图像经过原点， ，令，得： ， ， 解得； （2）存在，理由如下： ， ， 二次函数解析式为， 二次函数图像与x轴的另外一个交点为A， 令，解得， ， 若抛物线上存在点B，使得， 则， 设， 则，，， ， 即， ， ， ， ， ， ， 解得， 当时，， 当时，， 或者， （3）， ， 二次函数解析式为， 点是一次函数的图像上的一点，点在二次函数图像上， 则， 如图，设一次函数与二次函数交于点， ， 解得， 当或者时，两点重合， 当时，点在点的上方， ， 当时，的最大值为， 当时，点在点的下方， ， 当时，取得最大值为4， 当时，线段PQ的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，根据二次函数的性质求最值是解题的关键． 18. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，抛物线有最小值5，求的值． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）点，点代入抛物线的解析式求出的值，即可得到抛物线的解析式； （2）当时，即，此时当时，抛物线取得最小值； 当时，即，此时当时，抛物线取得最小值． 【小问1详解】 解：将点，点代入抛物线的解析式可得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：， 抛物线的最小值是，对称轴为， 和不可能在抛物线对称轴的两侧， 当时，即， 此时当时，抛物线取得最小值，即， 解得：（舍去）或， 即， 当时，即， 此时当时，抛物线取得最小值，即， 解得：（舍去）或， 即， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 五、作图题作图题（本题共10分） 19. 小明探究函数的图象和性质的过程如下，请按要求回答问题： （1）列表： 0 1 2 3 4 0 0 3 0 0 3 表格中， ， ． （2）在如图所示的坐标系中进行描点，并画出函数M的图象． （3）观察图象并解答： ①当 时，y有最小值； ②求函数与直线的交点坐标． 【答案】（1）3； （2） 如图所示： （3）①；②交点坐标为，，． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，含有绝对值的解析式，分类讨论是关键． （1）将和分别代入即可求出、的值； （2）描点，画出图象即可； （3）①根据图像可得时，函数有最小值即可；②根据的取值范围分解为两个解析式，再与直线解析式联立求出交点坐标即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：3；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由图象可知，当时，函数有最小值为； 故答案为：； ②， 当时，联立方程组 解得或， 此时 与的交点坐标为和； 当时，，解得或 （舍去）， 综上， 与直线的交点坐标为，，． 六、综合题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 20. 已知二次函数的图像经过点． （1）求此二次函数的表达式； （2）求出该抛物线的顶点坐标，并指出当x为何值时y随x的增大而减小． 【答案】（1）二次函数的表达式为 （2）；当时，y随x的增大而减小 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）将二次函数转化为顶点式即可得到顶点坐标，进而即可得到解答． 【小问1详解】 ∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵， ∴其顶点坐标为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了求解二次函数，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 21. 在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为． （1）如图①，当时，求与的交点的坐标； （2）如图②，连接，当经过点A时，求的长； （3）设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴，利用，可得，利用和可得点D是OB的中点，从而得知点D的横坐标，利用和是等边三角形可得，即点D的纵坐标，从而得解； （2）过点作轴，垂足为，推导，从而得出，再计算，用勾股定理得，从而得解； （3）取线段的中点N，连接、，则，用中位线定理求，用勾股定理求，最后利用求范围． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴，垂足为． ∵点， ∴． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形， ∵，轴 ∴． ∴． ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，垂足为． 由旋转得，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，． 【小问3详解】 解：取线段的中点N，连接、，则 ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴ 由旋转的性质得：， ∴ ∴ 即 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识，掌握旋转的性质和正确作出辅助线是解题的关键． 七、证明题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 22. 已知：如图，中，，． （1）求作：，使得圆心O落在边上，且经过A、C两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； （2）求证：是的切线． 【答案】（1） 根据垂直平分线的性质，作垂直平分线即可． 如图1，即为所求作的图； （2） 证明：如图2，连接， ， ， 又， ， ， ， 点C在上， 是的切线． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图，圆周角定理，切线的判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）作垂直平分线即可得到答案； （2）连接，利用已知条件得到，进而求出即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 23. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如题图2， 点 D 为直线上方抛物线上一动点， 连接， 设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当 时，求点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，且点 D的横坐标小于2，是否在坐标轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用一次函数求出两点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G，设点，则， 求出点F的坐标，证明，由，得到，即，求解出m的值即可； （3）当点P在y轴时，以A、C、P为顶点的三角形与相似，存在、 两种情况，利用解直角三角形的方法即可求解；当点P 在x轴上时，同理可解． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ． 把代入得：， ， 将、代入得：， 解得，． 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线于点F和点G， 抛物线的解析式为，令，得， 解得：或， ， 设点，则， 当时， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 得， ∴， 解得， ∴点D坐标为或时，； 【小问3详解】 解：存在，理由： 由题意得，点， 由点A、B、C、D的坐标得，，， ， ， 在中，则，， 当点P在y轴时， ∵以A、C、P为顶点的三角形与相似， 当时， 则， 则， ， ， 则点； 当时， 此时，点P、O重合， ， ， ， 故点； 当点在x轴上时， 只有，以A、C、P为顶点的三角形与相似， 则， 则点， 综上，点P的坐标为或或时，以A、C、P为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022－2023学年安徽省合肥市长丰县杨公中学 九年级（上）期末数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于 C. 有一个内角大于 D. 每一个内角都大于 2. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 口袋中有3个完全相同的小球，分别标号为1、2、3，随机的摸出一个小球，则摸出的小球标号是奇数的概率是( ) A. B. C. D. 4. 把抛物线的图像通过怎样平移可以得到抛物线的图像（ ） A. 先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度 B. 先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度 C. 先向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度 D. 先向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. ， D. 6. 在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A. x2+2x﹣3＝0 B. x2+2x﹣20＝0 C. x2﹣2x﹣20＝0 D. x2﹣2x﹣3＝0 7. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点．连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：；；；；正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 11. 如图，在中，，将线段绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当点在的边上时，恰好，则点到直线的距离为________． 12. 如图，中，，，，P为线段上一动点，连接，绕点B顺时针旋转到，连接．设，，y与x的函数关系式是 ____________________． 13. 如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点的直线将菱形分成面积相等的两部分．过点作于点，连接．则线段的最大值为______． 14. 如图，在纸片中，，点D，E分别在边上，连接，将沿翻折，使点B落在点F的位置，且四边形是菱形．若点F在边上时，则菱形的边长为______；连接，则的长的最小值为______． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 16. 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）为抛物线上两点，其中． （）若，且两点均在该抛物线对称轴的左侧，求的取值范围； （）如图，为坐标原点，过两点作轴的垂线与线段分别交于两点．若四边形为平行四边形，求四边形周长的最大值． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数（m是常数），如果二次函数的图像经过原点 （1）求m的值； （2）若，二次函数图像与x轴的另外一个交点为A，抛物线上是否存在点B，使得，如果存在，请求出点B坐标，如果不存在，请说明理由； （3）若，点是一次函数的图像上的一点，点在二次函数图像上，当时，求线段PQ的最大值 18. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，抛物线有最小值5，求的值． 五、作图题作图题（本题共10分） 19. 小明探究函数的图象和性质的过程如下，请按要求回答问题： （1）列表： 0 1 2 3 4 0 0 3 0 0 3 表格中， ， ． （2）在如图所示的坐标系中进行描点，并画出函数M的图象． （3）观察图象并解答： ①当 时，y有最小值； ②求函数与直线的交点坐标． 六、综合题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 20. 已知二次函数的图像经过点． （1）求此二次函数的表达式； （2）求出该抛物线的顶点坐标，并指出当x为何值时y随x的增大而减小． 21. 在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为． （1）如图①，当时，求与的交点的坐标； （2）如图②，连接，当经过点A时，求的长； （3）设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)． 七、证明题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 22. 已知：如图，中，，． （1）求作：，使得圆心O落在边上，且经过A、C两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； （2）求证：是的切线． 23. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如题图2， 点 D 为直线上方抛物线上一动点， 连接， 设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当 时，求点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，且点 D的横坐标小于2，是否在坐标轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $