福建省安溪第八中学2024-2025学年高三上学期8月份质量检测数学试题

福建省安溪第八中学2024-2025学年 高三年上学期8月份质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．设集合，，且，则　　 A． B． C．8 D．6 2．已知复数满足，则　　 A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则　　 A． B． C． D． 4．如表统计了2017年年我国的新生儿数量（单位：万人）． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码 1 2 3 4 5 6 新生儿数量 1723 1523 1465 1200 1062 956 经研究发现新生儿数量与年份代码之间满足线性相关关系，且，据此预测2023年新生儿数量约为（精确到（参考数据：　　 A．773.2万 B．791.1万 C．800.2万 D．821.1万 5．若过点可作3条直线与曲线相切，则的取值范围为　　 A． B． C． D．，， 6．设函数，正实数，满足（a）（b），若，则实数的最大值为　　 A． B．4 C． D． 7．若，为锐角，且，则的最小值为　　 A． B． C． D． 8．已知圆，椭圆，过上任意一点作圆的切线，交于，两点，过，分别作椭圆的切线，两切线交于点，则为坐标原点）的最大值为　　 A．16 B．8 C．4 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则直线的倾斜角可能为　　 A． B． C． D． 10．函数，则下列结论正确的是　　 A．若函数在上为减函数，则 B．若函数的对称中心为，则 C．当时，若有三个根，，，且 D．当时，若过点可作曲线的三条切线，则 11．已知实数，，满足，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．展开式中的常数项为 　　． 13．已知，，，则的最小值为 　　． 14．设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在中，，，所对的边分别为，，，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角． （1）若，求的大小； （2）求的最小值． 16．（本小题满分15分） 已知各项均为正数的数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，成等差数列，求数列的前项和． 17．（本小题满分15分） 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分． （1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的数学期望． 附：若，，则，，． 18．（本小题满分17分） 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍chú甍méng者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，窟盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍的字面意思为茅草屋顶．”现有一个“刍甍”如图所示，四边形为矩形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，是线段上一点． （1）若点是线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，且，证明：平面； （2）若到平面的距离为，与平面所成角的正弦值为，求的长． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当，时，求函数的单调区间； （2）若是的一个极大值点，求的取值范围； （3）令且，，是的两个极值点，是的一个零点，且，，互不相等．问是否存在实数，使得，，，按照某种顺序排列后构成等差数列，若存在求出，若不存在说明理由． 第 1 页 共 1 页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省安溪第八中学2024-2025学年 高三年上学期8月份质量检测 数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．【解答】解：由，可得或，即或，， ，，可得．故选：． 2．【解答】解：因为，由，所以， 即，则．故选：． 3．【解答】解：因为，量，， 所以，即，所以，解得．故选：． 4．【解答】解：由题意得，， 所以，所以， 当时，．故选：． 【点评】本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于基础题． 5．【解答】解：设过点的直线与曲线相切于点，则， 其中表示直线的斜率，即，整理，得． 过点可作3条直线与曲线相切等价于方程有3个不同的实数根． 设，则．由，得或，易知和是的两个极值点． 方程有3个不同的实数根，即有3个不同的零点， 所以，即，解得．故选：． 6．【解答】解：因为，所以（a），（b）， 又（a）（b），所以，即， 因为，，所以，所以，所以， 又，即，所以，所以， 令，则，所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以，所以，则实数的最大值为．故选：． 7．【解答】解：已知，为锐角，且，则， 即， 所以， 又， 即，得， 显然， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为．故选：． 8．【解答】解：，，，，其中为圆的切点，则根据导数及同解方程原理易得：直线的方程为①， 又过圆上点的切线方程为②， 由①②可得，，为，，又点在圆上， ，点的轨迹方程为，即的轨迹为长轴长为的椭圆， 的最大值为，故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【解答】解：当的倾斜角为锐角时，如图所示，由抛物线的焦点为，准线方程为， 分别过，作准线的垂线，垂足为，， 直线交准线于，作，垂足为， 则，，， 所以，， 所以在中，， 则的倾斜角，同理可得当直线的倾斜角为钝角时，其大小为．所以直线的倾斜角为或．故选：． 10．【解答】解：对于，，， 函数在上为减函数，则，对， 所以，解得，故正确； 对于，函数的对称中心为，则（2）， 即，解得，故错误； 对于，当时，，则，即， 化简得，其3个根为，，，所以，故正确； 对于，当时，，设切点为，， 则，切线的斜率， 则切线方程为， 将点代入上式，整理得， 过点可作曲线的三条切线， 即方程有三个不同的解， 令，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数在处取得极小值，极小值为， 在处取得极大值，极大值为， 由方程有三个不同的解， 所以，故正确．故选：． 11．【解答】解：设，代入得，， 化简得，所以△， 解得，，选项正确； 当，时，由，得， ，解得，当且仅当，时成立，选项正确； 由，得时，， ，解得，选项错； 由，得， ，解得，当且仅当，时取等号，选项正确．故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【解答】解：展开式中的常数项为 可得此时常数项为故答案为： 13．【解答】解：，，，， 则 ． 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为．故答案为：． 14．【解答】解：令，则， 令，则， 解得或．而，故．因此． 则， 即， 因此或， 当时，，在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，满足题意． 则．故答案为：2021． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 【解答】解：（1）由余弦定理可得，可得， 再由正弦定理可得，， 所以， 在三角形中，可得，而，可得； （2）由（1）可得， 在三角形中，可得或， 即，即，可得，与角不是直角矛盾， 或，可得， 所以，当且仅当时取等号，即时取等号， 所以的最小值为． 16．（本小题满分15分） 【解答】解：（1）由，得， ，，所以，又知， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故数列的通项公式为； （2）由成等差数列可知，， 所以， 所以，① ，② 由①②，得， 故． 17．（本小题满分15分） 【解答】解：（1）服从正态分布，． 进入面试环节的人数，． 进入面试环节的人数大约为16． （2）根据题意，的所有可能取值为0，2，4，6，8，10， 则；； ；； ；． ． 18．（本小题满分17分） 【解答】解：（1）证明：四边形为矩形，四边形、为两个全等的等腰梯形， ，，，是线段上一点， 点是线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，且， 连接交于点，连接， ，且，， ，，，， 平面，平面， 平面． （2）分别取，的中点，，连接，，，则，且， 四边形与四边形为全等的等腰梯形， ，四边形为等腰梯形，且，， ，，，， ，平面，且，为两条相交直线， 平面，平面平面． 过在平面内作的垂线，垂足为，则平面， ，． 过作，易得，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，3，，，3，， 设，，，，，． 设平面的一个法向量， 则，即，令，解得，，， 设与平面所成角的大小为， 到平面的距离为，与平面所成角的正弦值为， 则， 解得，且满足题意，，或． 19． （本小题满分17分） 【解答】解：（1）由得， 当，时，，令，解得，，， 所以当或时，，当或时，， 所以的单调递减区间为，，单调递增区间为，． （2）函数的定义域为，且， 令，则△． 所以有两个不等实根，，不妨设． ①当或时，不是的极值点，此时不合题意； ②当时，则或时，当或时， 所以在，，上单调递减，在，，上单调递增， 所以不是的极大值点， ③当时，则或时，当或时， 所以在，，上单调递增，在，，上单调递减， 所以不是的极大值点， ④当时，则或时，当或时， 所以在，，，上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极大值点．所以（a），即， 所以，所以的取值范围． （3）由，知， 由，故， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 不妨设的两个极值点分别为，． 因为，，互不相等，是的一个零点，所以， 所以， 所以存在，使，，，成等差数列， 即存在实数，使得，，，按照某种顺序排列后构成等差数列，且． ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$