第1章 集合（数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修第一册）

第1章集合（数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测） 一、集合的相关概念 1．集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．通常用大写拉丁字母来表示集合． 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写拉丁字母来表示集合的元素． 2．常用数集及表示符号 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 3．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于A 注意点： 元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写． 二、集合元素基本属性的应用 集合元素的基本属性 (1)确定性：集合的元素必须是确定的． (2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的． (3)无序性：集合中的元素可以任意排列． 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． 三、集合的表示 1.列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法叫做列举法． 注意点： (1)集合中的元素之间用逗号分隔，元素不重复，元素无顺序． (2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多且有明显规律，可用列举法，但必须把规律显示清楚，然后加省略号． 2．描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，这样表示集合的方法称为描述法． 注意点： (1)用描述法表示集合时，应写清该集合中元素的代表符号，并用简明、准确的语言描述集合的特征性质． (2)从上下文的关系来看，若元素的取值(或变化)范围是明确的，则可省略不写． 3．为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图． 4．集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等． 5．集合的分类 按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集． (1)一般地，含有有限个元素的集合称为有限集．含有无限个元素的集合称为无限集． (2)不含任何元素的集合称为空集，记作∅. 四、子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A AB或BA 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C； (3)若A⊆B且B⊆A，则A＝B； (4)规定∅⊆A (1)对于集合A，B，C，若AB且BC，则AC； (2)若A≠∅，则∅A 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A的任意一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (3)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． 五、补集与全集 1．补集 定义 文字语言 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA＝{x|x∈S，且x∉A} 图形语言 性质 (1)A⊆S，∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)＝A； (3)∁SS＝∅，∁S∅＝S 2.全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U. 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 六、交集 1．交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 2.交集的性质 (1)A∩B＝B∩A. (2)A∩B⊆A，A∩B⊆B. 注意点： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 七、并集 1．并集的概念 自然语言 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 2.并集的性质 (1)A∪B＝B∪A. (2)A⊆A∪B，B⊆A∪B. 注意点： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 八、区间及其表示 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 注意点： (1)区间只能表示连续的数集，不能表示有限集，开闭不能混淆． (2)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立． (3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (4)∞是一个符号，而不是一个数． 题型一：数形结合思想 1．（2022秋•鼓楼区校级月考）设全集是实数集，或，．如图所示，则阴影部分所表示的集合为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•江苏期末）已知全集，，，0，1，2，，，0，，，2，，则图中阴影部分表示的集合为　　 A．，2， B． C．， D．， 3．（2023秋•常州期中）设集合，，则图中的阴影部分表示的集合为　　 A． B． C． D． 4．（多选）（2023秋•无锡期末）已知全集为，则如图阴影部分表示正确的为　　 A． B． C． D． 5．（多选）（2023秋•淄博期末）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为　　 A． B． C． D． 题型二：分类讨论思想 6．已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ） A． B． C． D． 7.集合是单元素集合，则实数________ 8.已知集合各元素之和等于3，则实数___________. 9.集合且，用列举法表示集合________ 题型三：补集思想（逆向思维） 10.设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 11.已知集合A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围． 考点1：集合中的元素个数 【例题1】（2020·全国·高考真题）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】（2020·全国·高考真题）已知集合，，则A∩B中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（全国·高考真题）设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则MN中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．5 D．7 【变式3】（湖北·高考真题）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（ ） A．77 B．49 C．45 D．30 考点2：元素、集合之间的关系 【例题2】（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（全国·高考真题）已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则 A． B． C． D． 【变式2】（江苏·高考真题）若为三个集合，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2020•浙江）设集合，，，，，中至少有2个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则．下列命题正确的是　　 A．若有4个元素，则有7个元素 B．若有4个元素，则有6个元素 C．若有3个元素，则有5个元素 D．若有3个元素，则有4个元素 考点3：集合之间的运算 【例题3】（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·全国·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024•天津）集合，2，3，，，3，4，，则　　 A．，2，3， B．，3， C．， D． 【变式3】（2020·江苏·高考真题）已知集合，则 . 题型一：新定义中的概念问题 1．（2023秋•鼓楼区校级月考）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知集合，23，81，153，254，，是自恋数，则的真子集个数为　　 A．7 B．15 C．31 D．63 2．（2023秋•江阴市校级期中）用（A）表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则　　 A．4 B．3 C．2 D．1 题型二：新定义中的运算问题 3．（2022秋•海门市校级月考）对于集合，，定义且，⊕，设，，，则⊕　　 A． B． C．或， D．或， 4．（2021秋•常州期中）对于任意两个正整数，，定义某种运算“※”如下：当，都为正偶数或都为正奇数时，※；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，则在此定义下，集合※中的元素个数是　　 A．10 B．9 C．8 D．7 5．（2023秋•锡山区校级期中）整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中，1，2，3，．以下判断中不正确的是　　 A． B． C． D．若，则整数，属同一类 6．（2023秋•贾汪区校级月考）定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为（A），用（A）表示有限集的元素个数，则下列命题中错误的是　　 A．对于任意集合，都有（A） B．若（A）（B），则（A）（B） C．若，则（A）（B） D．若，则（A）（B） 7．（2023秋•新吴区校级月考）已知集合，，定义叫做集合的长度，若集合的长度为4，则的长度为　　 A．3 B．4 C．5 D．10 题型三：逻辑推理 8．（2023秋•镇江月考）某校高一（4）班学生47人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，三项都参加的人数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 9．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）某校高中部先后举行了数理化三科竞赛，参赛学生中至少参加一科竞赛的有：数学807人，物理738人，化学437人，至少参加其中两科的有：数学与物理593人，数学与化学371人，物理与化学267人，三科都参加的有213人，则该校参加竞赛的学生总数为 . 10．（23-24高一上·上海浦东新·期中）某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有 人． 一、单选题 1．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，则的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（24-25高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）集合，，则中的元素个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·上海·课后作业）若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知全集，集合，集合，则（    ） A．中的元素个数为5 B． C． D．集合的非空真子集有6个 10．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知非空集合都是的子集，满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．； B．某中学新高一全体学生可以构成一个集合； C．集合有两个元素； D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 三、填空题 12．（21-22高一上·广东湛江·期中）设全集，集合，，则 ， ． 13．设集合是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称为集合的一个“孤立元”，给定集合，，由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 　　个． 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设集合，，，则中元素的个数为 ． （2）设，集合，则 ． （3）若集合中只有一个元素，则 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·假期作业）确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系： (1)A={为12的正约数}与； (2)与{为4的正整数倍}. 16．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 17．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 18．已知集合，． （1）若，求实数，的值及集合，； （2）若且，求实数和满足的关系式． 19．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合或，． (1)求，； (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章集合（数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测） 一、集合的相关概念 1．集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．通常用大写拉丁字母来表示集合． 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写拉丁字母来表示集合的元素． 2．常用数集及表示符号 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 3．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于A 注意点： 元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写． 二、集合元素基本属性的应用 集合元素的基本属性 (1)确定性：集合的元素必须是确定的． (2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的． (3)无序性：集合中的元素可以任意排列． 注意点： 集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． 三、集合的表示 1.列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法叫做列举法． 注意点： (1)集合中的元素之间用逗号分隔，元素不重复，元素无顺序． (2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多且有明显规律，可用列举法，但必须把规律显示清楚，然后加省略号． 2．描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，这样表示集合的方法称为描述法． 注意点： (1)用描述法表示集合时，应写清该集合中元素的代表符号，并用简明、准确的语言描述集合的特征性质． (2)从上下文的关系来看，若元素的取值(或变化)范围是明确的，则可省略不写． 3．为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图． 4．集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等． 5．集合的分类 按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集． (1)一般地，含有有限个元素的集合称为有限集．含有无限个元素的集合称为无限集． (2)不含任何元素的集合称为空集，记作∅. 四、子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A AB或BA 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C； (3)若A⊆B且B⊆A，则A＝B； (4)规定∅⊆A (1)对于集合A，B，C，若AB且BC，则AC； (2)若A≠∅，则∅A 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A的任意一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (3)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． 五、补集与全集 1．补集 定义 文字语言 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA＝{x|x∈S，且x∉A} 图形语言 性质 (1)A⊆S，∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)＝A； (3)∁SS＝∅，∁S∅＝S 2.全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U. 注意点： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 六、交集 1．交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 2.交集的性质 (1)A∩B＝B∩A. (2)A∩B⊆A，A∩B⊆B. 注意点： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 七、并集 1．并集的概念 自然语言 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 2.并集的性质 (1)A∪B＝B∪A. (2)A⊆A∪B，B⊆A∪B. 注意点： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 八、区间及其表示 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 注意点： (1)区间只能表示连续的数集，不能表示有限集，开闭不能混淆． (2)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立． (3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别． (4)∞是一个符号，而不是一个数． 题型一：数形结合思想 1．（2022秋•鼓楼区校级月考）设全集是实数集，或，．如图所示，则阴影部分所表示的集合为　　 A． B． C． D． 【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，根据集合的运算求解即可． 【解答】解：全集是实数集，或，， 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为， 或， ． 故选：． 【点评】本题考查的知识点是图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键． 2．（2023秋•江苏期末）已知全集，，，0，1，2，，，0，，，2，，则图中阴影部分表示的集合为　　 A．，2， B． C．， D．， 【分析】根据题中条件知，图中阴影部分表示集合，进一步计算即可． 【解答】解：由条件全集，，，0，1，2，， ，0，，，2，， 可得，，2，， 则由题中图阴影部分集合为，． 故选：． 【点评】本题考查利用集合的运算表示韦恩图中的集合、考查利用交集、补集的定义求集合的交集、补集，是基础题． 3．（2023秋•常州期中）设集合，，则图中的阴影部分表示的集合为　　 A． B． C． D． 【分析】根据图形得到阴影部分表示的集合为与的交集，即为集合与中不等式的公共部分，即可求解结论． 【解答】解：由图可知，阴影部分的元素为属于且属于的元素构成， 所以用集合表示为． 故选：． 【点评】本题主要考查图表达集合的关系和运算，比较基础． 4．（多选）（2023秋•无锡期末）已知全集为，则如图阴影部分表示正确的为　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合韦恩图及集合的交并及补集运算即可求解． 【解答】解：由韦恩图可知，图中阴影部分为或． 故选：． 【点评】本题主要考查了韦恩图的应用，属于基础题． 5．（多选）（2023秋•淄博期末）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分可表示为　　 A． B． C． D． 【分析】结合韦恩图及集合交、并、补的定义判断即可． 【解答】解：在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以，阴影部分可表示为，故正确； 且，阴影部分可表示为； 且，阴影部分可表示为，故正确； 显然，阴影部分区域所表示的集合为、的真子集，故、错误． 故选：． 【点评】本题考查集合的运算，属于基础题． 题型二：分类讨论思想 6．已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，当时，， 因此，若都为正数，则； 若两正一负，则； 若一正两负，则； 若都为负数，则. 所以代数式表示的所有的值的集合是. 7.集合是单元素集合，则实数________ 【答案】0，2或18 【详解】当时，，符合题意； 当时，令，即，解得或 8.已知集合各元素之和等于3，则实数___________. 【答案】或 【详解】由题意知：中元素，即为的解， ∴或，可知：或 ∴当时，；当时，， ∴或， 9.集合且，用列举法表示集合________ 【答案】 【详解】由题意，集合且，可得，则， 解得且， 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，此时分母为零，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意； 综上可得，集合. 故答案为：. 题型三：补集思想（逆向思维） 10.设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 【详解】当A∩B＝∅时，如图所示， 则解得－1≤a≤1. 即A∩B＝∅时， 实数a的取值范围为M＝{a|－1≤a≤1}． 而A∩B≠∅时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集，故实数a的取值范围为{a|a＜－1，或a＞1}． 11.已知集合A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围． 解　若A∩B＝A，则A⊆B. 又A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}， 所以解得2≤k≤3. 又k∈R，所以当A∩B≠A时， 实数k的取值范围为集合{k|2≤k≤3}在R中的补集，即k的取值范围为(－∞，2)∪(3，＋∞)． 考点1：集合中的元素个数 【例题1】（2020·全国·高考真题）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】采用列举法列举出中元素的即可. 【详解】由题意，中的元素满足，且， 由，得， 所以满足的有， 故中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题 【变式1】（2020·全国·高考真题）已知集合，，则A∩B中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】采用列举法列举出中元素的即可. 【详解】由题意，，故中元素的个数为3. 故选：B 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题 【变式2】（全国·高考真题）设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则MN中元素的个数为 A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】试题分析：.故选B. 考点：集合的运算 【变式3】（湖北·高考真题）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为 A．77 B．49 C．45 D．30 【答案】C 【详解】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个． 考点：1．集合的相关知识，2．新定义题型 考点2：元素、集合之间的关系 【例题2】（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 故选: 【变式1】（全国·高考真题）已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B． 故选B 【变式2】（江苏·高考真题）若为三个集合，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式可推导得到，由此可依次判断各个选项得到结果. 【详解】，，， ，，即； 对于A，，，A正确； 对于B，当且仅当时，，B错误； 对于C，当时，满足，C错误； 对于D，当时，满足，D错误. 故选：A 【变式3】（2020•浙江）设集合，，，，，中至少有2个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则．下列命题正确的是　　 A．若有4个元素，则有7个元素 B．若有4个元素，则有6个元素 C．若有3个元素，则有5个元素 D．若有3个元素，则有4个元素 【分析】利用特殊集合排除选项，推出结果即可． 【解答】解：取：，2，，则，4，，，2，4，，4个元素，排除． ，4，，则，16，，，4，8，16，，5个元素，排除； ，4，8，则，16，32，64，，，4，8，16，32，64，，7个元素，排除； 故选：． 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，集合的基本运算，利用特殊集合排除选项是选择题常用方法，难度比较大． 考点3：集合之间的运算 【例题3】（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 【变式1】（2024·全国·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 【变式2】（2024•天津）集合，2，3，，，3，4，，则　　 A．，2，3， B．，3， C．， D． 【分析】利用交集的运算法则求解即可． 【解答】解：集合，2，3，，，3，4，，则，3，． 故选：． 【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题． 【变式3】（2020·江苏·高考真题）已知集合，则 . 【答案】 【分析】根据集合的交集即可计算. 【详解】∵, ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型 题型一：新定义中的概念问题 1．（2023秋•鼓楼区校级月考）定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知集合，23，81，153，254，，是自恋数，则的真子集个数为　　 A．7 B．15 C．31 D．63 【分析】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合，进而即得． 【解答】解：，所以8是自恋数； ，所以23不是自恋数； ，所以81不是自恋数； ，所以153是自恋数； ，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数． 所以集合，153，． 所以真子集个数：个． 故选：． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题． 2．（2023秋•江阴市校级期中）用（A）表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由条件可得（A），结合，易得（B）或（B），由定义分类讨论方程的根计算即可． 【解答】解：由已知得（A），因为，所以（B）或（B）． 当（B）时，若要满足题意，则有一个实根，即， 此时没有实根，所以符合题意； 当（B）时，若要满足题意，，有两个不等实根， 则有两个相等且异于上面两个根的实根，即且△，所以， 此时的三个根为，符合题意． 综上，或，故． 故选：． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合包含关系的应用，属于中档题． 题型二：新定义中的运算问题 3．（2022秋•海门市校级月考）对于集合，，定义且，⊕，设，，，则⊕　　 A． B． C．或， D．或， 【分析】根据定义求出和，再求出⊕即可． 【解答】解：对于集合，，定义且，⊕， 设，，， 则，， 或，． 故选：． 【点评】本题考查集合的新定义问题，并集的运算，考查运算求解能力，属于基础题． 4．（2021秋•常州期中）对于任意两个正整数，，定义某种运算“※”如下：当，都为正偶数或都为正奇数时，※；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，则在此定义下，集合※中的元素个数是　　 A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】由定义分类讨论，列举出所有满足条件的元素即可． 【解答】解：由定义知， 当，都为正偶数或都为正奇数时，※， 故是，，，，，，； 当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※， 故是，； 故共9个元素， 故选：． 【点评】本题考查了集合的应用及新定义的应用，应用了分类讨论的思想与列举法，属于中档题． 5．（2023秋•锡山区校级期中）整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中，1，2，3，．以下判断中不正确的是　　 A． B． C． D．若，则整数，属同一类 【分析】根据“类”的定义，对选项进行分析，得到答案． 【解答】解：选项，，故，正确； 选项，全体整数被5除的余数只能是0，1，2，3，4， 故，正确； 选项，，故，错误； 选项，由题意可知能被5整除，故，分别被5除的余数相同， 故整数，属同一类，正确． 故选：． 【点评】本题考查集合新定义，属于中档题． 6．（2023秋•贾汪区校级月考）定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为（A），用（A）表示有限集的元素个数，则下列命题中错误的是　　 A．对于任意集合，都有（A） B．若（A）（B），则（A）（B） C．若，则（A）（B） D．若，则（A）（B） 【分析】利用（A）的定义逐项判断即可． 【解答】解：对于任意集合，都有，所以（A），故正确； 由题意得（A），（B），又（A）（B）， 则（A），所以（A）（B），故正确； 因为（A），（B），所以（A）（B）， 所以（A）（B），故错误， 对于任意的（A），则， 又，所以，所以（B），故正确． 故选：． 【点评】本题考查集合新定义，属于中档题． 7．（2023秋•新吴区校级月考）已知集合，，定义叫做集合的长度，若集合的长度为4，则的长度为　　 A．3 B．4 C．5 D．10 【分析】先求出一元二次不等式对应方程的根，再讨论根的大小确定两个集合，从而可求出两集合的交集，通过长度为4可求出的值，再求两集合的并集及其长度． 【解答】解：方程的两根为，，的两根为，， 当时，， 当时，，，则， 当时，，，则， 因为的长度为4， 所以或， 得或， 当时，，， 则， 当时，，， 则， 所以的长度为10． 故选：． 【点评】本题考查了集合的运算，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题． 题型三：逻辑推理 8．（2023秋•镇江月考）某校高一（4）班学生47人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，三项都参加的人数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可． 【解答】解：设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则（A），（B），（C），，，， 设三项都参加的有人，即， 所以由， 即， 解得， 三项都参加的有5． 故选：． 【点评】本题主要考查集合中元素个数的求解，属于基础题． 9．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）某校高中部先后举行了数理化三科竞赛，参赛学生中至少参加一科竞赛的有：数学807人，物理738人，化学437人，至少参加其中两科的有：数学与物理593人，数学与化学371人，物理与化学267人，三科都参加的有213人，则该校参加竞赛的学生总数为 . 【答案】 【分析】根据题意，分列出作出如图所示的韦恩图，结合韦恩图，即可求解. 【详解】根据题意，作出如图所示的韦恩图，可得 只参加物理和数学的人数为人， 只参加数学和化学的人数为 只参加物理和化学的人数为人， 所以参加的总人数为人. 故答案为：人.    10．（23-24高一上·上海浦东新·期中）某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有 人． 【答案】 【分析】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，作出韦恩图，根据题意可得出关于的等式，即可解出的值. 【详解】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，如下图所示： 由韦恩图可的，解得. 因此，同时参加田赛和径赛的有人. 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，则的非空真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据补集定义求，再由结论确定其非空真子集的个数. 【详解】由已知，非空真子集有个. 故选：A. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由各数集的含义可得 【详解】为自然数集，为整数集，因为整数集包含自然数集与负整数集，所以； 为整数集，为有理数集，因为有理数集包含整数集和小数集，所以 为有理数集，为实数集，因为实数集包含有理数集与无理数集，所以 为实数集，复数集，因为复数集包含实数集和虚数集，所以， 综上，所以， 故选：A. 4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）集合，，则中的元素个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【分析】根据交集的定义可解. 【详解】由题意，， 而集合表示函数图象上的点， 所以. 故选：D 5．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再利用集合的并交补运算即可得解. 【详解】因为，， 又， 所以，. 故选：B. 6．（23-24高一下·云南普洱·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出交集及并集再分别判断各个选项即可. 【详解】，A、B错误； ，C正确； 不正确，D错误. 故选：C. 7．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合以及集合间的关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为0是元素，是自然数集，则，故A错误； 对于选项B：因为与都是集合，且的元素为数值，用表示两集合关系不对，故B错误； 对于选项C：因为是整数集，则，可知，故C正确； 对于选项D：因为是有理数集，则，故D错误； 故选：C. 8．（24-25高一上·上海·课后作业）若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式可推导得到，由此可依次判断各个选项得到结果. 【详解】因为， 所以，，， 所以, 所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当且仅当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，故C错误； 对于D，当时，满足，故D错误. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知全集，集合，集合，则（    ） A．中的元素个数为5 B． C． D．集合的非空真子集有6个 【答案】ACD 【分析】用列举法表示集合B，再逐项求解判断即得. 【详解】显然，而，因此，A正确； 而，B错误；，则，C正确；集合的非空真子集有个，D正确. 故选：ACD 10．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知非空集合都是的子集，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据子集的定义和集合的基本运算判断正误. 【详解】A. ，所以，故A正确； B. ，则，所以，故B正确； C．若，， 则，，故C错误； D.，所以，所以又， 所以，故，所以D正确. 故选：ABD. 11．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．； B．某中学新高一全体学生可以构成一个集合； C．集合有两个元素； D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 【答案】BC 【分析】区分0，的含义判断A；根据集合的定义判断B；根据一元二次方程有两个不相等的实数根判断C；根据集合元素的无序性判断D． 【详解】对于A，0是一个数，是一个集合，二者不相等，A错误； 对于B，根据集合定义知，某中学新高一全体学生可以构成一个集合，B正确； 对于C，由于方程的判别式，故方程有两个不相等的实数根，故集合有两个元素，C正确； 对于D，集合的元素具有无序性，故小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到的两个集合是同一个集合，D错误， 故选：BC． 三、填空题 12．（21-22高一上·广东湛江·期中）设全集，集合，，则 ， ． 【答案】 或 【分析】根据集合的交并补的运算即可得解. 【详解】因为集合，， 所以或， 所以或. 故答案为：；或. 13．设集合是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称为集合的一个“孤立元”，给定集合，，由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 　7　个． 【分析】根据集合的新定义，可得集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，利用列举法，即可求解． 【解答】解：由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”， 则集合中的三个数必须连在一起， 所以符合题意的集合是，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，，8，，共7个． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查集合的新定义的应用，其中解答中正确理解新定义，合理转化求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属基础题． 14．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设集合，，，则中元素的个数为 ． （2）设，集合，则 ． （3）若集合中只有一个元素，则 ． 【答案】 5 0或 【分析】（1）根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. （2）由已知可得，所以，则，进而求得，可求结论. （3）分析当与两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）因集合，， 当时，的值有：6，7，8，9， 当时，的值有：7，8，9，10， 于是得，所以中元素的个数为5. （2）由题意，可得，所以，则， 所以，所以. （3）当时，有，解得，满足条件； 当时，仅有一根，故，解得， 综上，或. 故答案为：①；②；③或 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·假期作业）确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系： (1)A={为12的正约数}与； (2)与{为4的正整数倍}. 【答案】(1) (2)为的真子集 【分析】（1）用列举法表示出集合可得答案； （2）根据集合与里元素的性质可得答案. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，， 所以为.的真子集. 16．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 【答案】(1)8个； (2)证明见解析． 【分析】（1）需要对的取值进行分类讨论，然后计算出，再根据元素的互异性求解； （2）设，计算出，即可证明． 【详解】（1）时，； ，； ，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； 所以，它有8个元素； （2）因为， 所以设，． ，所以得证． 17．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，得出，结合交集的概念即可得解； （2）对集合是否是空集分类讨论，依次列出不等式（组）即可求解. 【详解】（1）当时，集合，， 故． （2）当时，，即，满足，故满足题意； 当时，，即时，， 解得，于是得，所以， 故实数m的取值范围是． 18．已知集合，． （1）若，求实数，的值及集合，； （2）若且，求实数和满足的关系式． 【分析】（1）直接将代入集合，，能求出结果； （2）求出集合中元素，代入集合，能求出结果． 【解答】解：（1）集合，，， ，解得，， ， ，． （2）， ， ，， ， ， 实数和满足的关系式为． 【点评】本题考查交集、并集定义、根的判别式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合或，． (1)求，； (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）根据集合的运算法则计算即可得； （2）由子集的定义得出不等关系后计算即可得． 【详解】（1）， 则， ，或， ∴或； （2）∵集合是集合的真子集， ∴或，解得或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$