专题01 集合的三类综合问题（精讲精练+过关测试）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修第一册）

专题01集合的三类综合问题（精讲精练+过关测试） 题型01根据集合间的关系求参数 【典例分析】 【例1-1】（24-25高一上·上海·单元测试）若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 【例1-2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，，且，则 ． 【例1-3】（23-24高一上·四川资阳·期中）已知全集集合，． (1)求，； (2)若求实数的取值范围. 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 【变式1-2】（22-23高一上·江苏扬州·开学考试）已知全集且，，，且，则的值为 ． 【变式1-3】（23-24高一上·浙江·期中）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型02集合的新定义问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是水仙花数，如，所以1是水仙花数．已知所有的水仙花数组成集合，集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．128 【例2-2】（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）集合，当时，若，，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素为 . 【例2-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 【变式2-3】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合，. (1)求； (2)定义且，求. 题型03直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 【典例分析】 【例3-1】（多选）（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，，若，则实数的可能取值有（    ） A．1 B．0 C． D． 【例3-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，当时，则实数a的取值范围是 . 【例3-3】（20-21高一上·安徽芜湖·阶段练习）若集合，，且，求实数m的值. 【变式演练】 【变式3-1】（23-24高一上·贵州黔东南·期中）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，则 . 【变式3-3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合，或． (1)是否存在实数，使得是成立的充分条件？ (2)是否存在实数，使得是成立的必要条件？ 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知是全集，、、是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏·期中）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·天津南开·阶段练习）已知全集且，则集合的非空真子集共有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 6．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·四川·期中）给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合不为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 8．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知集合，，若，则实数m可以是（    ） A． B．1 C． D．0 10．（23-24高一上·四川资阳·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）设非空集合，其中，若集合S满足：当时，有，则下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（23-24高一上·辽宁·期中）若，则实数a的值是 ． 13．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则 . 14．（24-25高一上·上海·单元测试）设、是非空集合，定义且.已知，，则 . 四、解答题 15．（2023秋•丰城市校级期末）已知集合或，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 16．（22-23高一上·四川·阶段练习）设集合，. (1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值； (2)若求实数m的值. 17．（2023高一·上海·专题练习）已知集合． (1)由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合的偶数． 18．（22-23高一上·湖南怀化·期末）已知集合，.若，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合A为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01集合的三类综合问题（精讲精练+过关测试） 题型01根据集合间的关系求参数 【典例分析】 【例1-1】（24-25高一上·上海·单元测试）若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等价于，分类讨论是否等于，求出对应a的范围即可. 【详解】因为，所以， 若，则，得，满足； 若，即时，要使，则有， 所以，此时. 综上所述. 故选：C． 【例1-2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据子集的概念求解即可. 【详解】∵，，且， 又，∴，解得. 故答案为：. 【例1-3】（23-24高一上·四川资阳·期中）已知全集集合，． (1)求，； (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1)；或. (2) 【分析】（1）利用集合的运算求解即可； （2）利用集合的包含关系求解即可. 【详解】（1）集合， ,且全集 或， 或. （2）, 若 当时，; 当时，，解得； 综上得，实数的取值范围是 【变式演练】 【变式1-1】（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，结合集合元素满足互异性可求得实数的值. 【详解】因为集合，且， 所以，或， 解得或， 当时，，集合中的元素不满足互异性； 当时，，符合题意． 综上，． 故选：D 【变式1-2】（22-23高一上·江苏扬州·开学考试）已知全集且，，，且，则的值为 ． 【答案】66 【分析】由题意，A、B的元素个数最多为2个，分别对集合元素个数（即）分类讨论，即可结合集合的整数元素求得对应的整数解，即可确定非负数 【详解】由题意，A、B的元素个数最多为2个. ，， 对，，如有根可设为 ； 对，，如有根可设为 . （1）当，不符合； （2）当，则，则，则，故或且有，即此时与矛盾，不符合； （3）当，则，则，则， i.当，不符合； ii.当，，则，不符合； iii.当，则，则， 综上，. 故答案为：66 【变式1-3】（23-24高一上·浙江·期中）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）根据题意，由集合的运算，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1），又， 或，或. （2） 当时，． 当时，． 综上所述，实数的取值范围为 题型02集合的新定义问题 【典例分析】 【例2-1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是水仙花数，如，所以1是水仙花数．已知所有的水仙花数组成集合，集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．128 【答案】B 【分析】确定集合中的水仙花数，求出后即可得其子集的个数. 【详解】，其中符合水仙花数特点的有 所以，其子集个数为. 故选：B. 【例2-2】（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）集合，当时，若，，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素为 . 【答案】5 【分析】根据“孤立元素”的定义，依次研究各元素即可得答案. 【详解】对于元素，，故不满足孤立元素的定义； 对于元素，，故不满足孤立元素的定义； 对于元素，，故不满足孤立元素的定义； 对于元素，，，故满足孤立元素的定义； 故答案为：5. 【例2-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）对于集合和，定义运算：且，又．设，，求． 【答案】 【分析】首先求和，再求. 【详解】∵，， ∴，， ∴ 【变式演练】 【变式2-1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、两种情况讨论，当时可得或，解得即可. 【详解】当时，此时，即两个集合构成“鲸吞”， 当时，此时两个集合不能构成“鲸吞”， 则两个集合构成“蚕食”，所以或，解得或， 当时，两个集合构成“蚕食”， 当时，两个集合构成“蚕食”， 综上可得的取值集合为. 故选：C 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）设全集，集合A、B是I的子集，若，就称为“好集”，那么所有“好集”的个数为 ． 【答案】9 【分析】根据题意，依次写出符合条件的“好集”. 【详解】 . 故答案为：9 【变式2-3】（23-24高一上·湖南永州·期中）已知集合，. (1)求； (2)定义且，求. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由并集的概念即可得解. （2）由集合与元素的关系以及集合新定义即可得解. 【详解】（1）由题意集合，，所以. （2）由题意若，则，所以或. 题型03直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养在求解集合问题中的应用 【典例分析】 【例3-1】（多选）（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，，若，则实数的可能取值有（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】BD 【分析】对进行分类讨论，根据求得的可能取值. 【详解】依题意，. 对于集合， 若，则，满足. 若，则， 由于，所以或， 解得或， 所以BD选项正确，AC选项错误. 故选：BD 【例3-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，当时，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用并集和解不等式的知识求解即可. 【详解】当时，则 又则解得， 则实数a的取值范围是 故答案为： 【例3-3】（20-21高一上·安徽芜湖·阶段练习）若集合，，且，求实数m的值. 【答案】或或 【分析】分和两种情况讨论，结合已知即可得解. 【详解】， 当时，， 当时，， 因为，所以或， 所以或， 综上所述，或或. 【变式演练】 【变式3-1】（23-24高一上·贵州黔东南·期中）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦恩图即可求解. 【详解】因为，，所以． 故选：A 【变式3-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】求出集合B的补集，根据集合的交集运算即可得答案。 【详解】由题意知，则, 则， 故答案为： 【变式3-3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合，或． (1)是否存在实数，使得是成立的充分条件？ (2)是否存在实数，使得是成立的必要条件？ 【答案】(1)存在 (2)不存在 【分析】（1）根据集合之间关系的判定，即可求解； （2）根据集合之间关系的判定，即可求解. 【详解】（1）欲使是成立的充分条件，则只要或，则只要即，故存在实数时使是成立的充分条件； （2）欲使是成立的必要条件，则只要或，则这是不可能的，故不存在实数，使是成立的必要条件 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知是全集，、、是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合韦恩图即可求解． 【详解】解：结合韦恩图可知，先看为如下阴影部分表示的集合， 则题干阴影部分所表示的集合， 即集合为． 故选：D． 2．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题意. 故选：D 3．（23-24高一上·江苏·期中）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的交集与补集运算求解即可. 【详解】因为集合或， 所以 所以， 故选：B 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【详解】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 5．（23-24高一上·天津南开·阶段练习）已知全集且，则集合的非空真子集共有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】先根据补集运算求出集合，再找出的非空真子集个数即可. 【详解】全集，且，， 集合的非空真子集共有个. 故选:B 6．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B的元素且C的元素，或是A的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案． 【详解】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素 故可以表示为，也可以表示为：. 故选：B． 7．（23-24高一上·四川·期中）给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（    ） A．集合不为闭集合； B．集合为闭集合； C．集合为闭集合； D．若集合为闭集合，则为闭集合． 【答案】C 【分析】由闭集合的定义判断AC；举例判断BD. 【详解】对于A，，有，且，则集合为闭集合，故A错误； 对于B，因为，但，故B错误； 对于C，设，，则， ，则集合为闭集合，故C正确； 对于D，设， 则，但，故D错误. 故选：C. 8．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据集合中的元素球集合，再求. 【详解】， 当，或，或，或，解得或或 或， 所以，， 所以. 故选：D 二、多选题 9．（23-24高一上·河南郑州·期中）已知集合，，若，则实数m可以是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】ACD 【分析】根据集合包含关系，讨论、求参数值. 【详解】由，当时满足题设， 若， 当，则， 当，则， 显然不可能有且， 综上，或或. 故选：ACD 10．（23-24高一上·四川资阳·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先求出集合中的元素，然后逐一代入集合计算求，不要遗漏即可. 【详解】， 当时，，符合题意； 当时，，得， 当时，，得， 综合得. 故选：ABC. 11．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）设非空集合，其中，若集合S满足：当时，有，则下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据题意，求得或，且，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】因为非空集合，满足：当时，有， 所以当时，由，即，解得或， 同理，当时，由，即，解得， 对于A中，若，则必有，则，解得，所以A正确； 对于B中，若，则，解得，所以B正确； 对于C中，若，则必有，则，此时，所以，所以C不正确； 对于D中，若，则满足，解得或，所以D错误. 故选：AB. 三、填空题 12．（23-24高一上·辽宁·期中）若，则实数a的值是 ． 【答案】0或4 【分析】依题意可得或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为， 所以或， 解得或或， 当时，符合题意， 当时，符合题意， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 所以或. 故答案为：或 13．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知集合，且，则 . 【答案】2 【分析】根据子集的性质进行求解即可. 【详解】①当时，，舍去, ②，由上可知，舍去， 综上所述：， 故答案为： 14．（24-25高一上·上海·单元测试）设、是非空集合，定义且.已知，，则 . 【答案】或 【分析】先求出，再求出，从而可求 。 【详解】∵、是非空集合，且， 而，，∴，， 故或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（2023秋•丰城市校级期末）已知集合或，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【分析】（1）根据交集，并集，补集的概念进行求解； （2）根据题目条件得到是的真子集，列不等式组，求出答案即可． 【解答】解：（1）时，，所以或， ，或， 所以； （2）由题意得是的真子集， 所以时，，解得； 时，或， 解得， 综上，的取值范围是或． 【点评】本题考查了集合的运算以及集合之间的关系应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 16．（22-23高一上·四川·阶段练习）设集合，. (1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值； (2)若求实数m的值. 【答案】(1)1 (2)m＝1或m＝2 【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案； （2）求得两个方程的根，利用集合之间的关系，根据分类讨论的思想，可得答案. 【详解】（1）解法一：因为，整理可得，解得或，又B中只有一个元素，故. 解法二：B中有且只有一个元素，所以方程有唯一实根，从而，所以m＝1. （2）由，解得或， 由，整理可得，解得或， B⊆A，当m＝1时，B＝{﹣1}，满足B⊆A， 当m＝2时，B＝{﹣1，﹣2}同样满足B⊆A，故m＝1或m＝2. 17．（2023高一·上海·专题练习）已知集合． (1)由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合的偶数． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据集合元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【详解】（1）由于，所以， 假设，，，则， 且，∵或， ∴或，显然不满足整数解条件，∴. （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于， 又，而， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件. （3）集合，成立， ①当和同为奇数和偶数时，，均为偶数，所以为4的倍数， ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数， 综上所述：所有满足集合的偶数为． 18．（22-23高一上·湖南怀化·期末）已知集合，.若，求实数的取值范围. 【答案】或. 【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案． 【详解】由，则. ， 为方程的解集. ①若，则， 或或， 当时有两个相等实根，即不合题意，同理， 当时，符合题意； ②若则，即， 综上所述，实数的取值范围为或 19．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合A为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义直接求解出集合S、T； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）通过假设集合，，求出相应的，，通过建立不等关系求出相应的值. 【详解】（1）根据定义：，， 所以，； （2）由于集合，，且， 所以也只有四个元素， 即， 所以其余的则应满足， 所以，即； （3）设满足题意，其中， 则， 所以， 因为， ， 因为， 所以， 中最小的元素为，最大的元素为， ， 所以， ， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设，， 则，， 依题意有，解得， 故的最小值为674， 于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 【点睛】本题考查了集合的新定义，解题时首先要理解题目所给出的定义，结合第（1）问理清定义，其次结合集合的性质、集合常见的运算等得出集合中元素的个数，要求有较强的逻辑推理思维. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$