第04讲 命题、定理、定义（4种题型+1个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修第一册）

第04讲 命题、定理、定义（4种题型+1个易错点+过关检测） 一、命题、定理、定义的概念 1．在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2．在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 3．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 注意点： (1)命题要求能判断真假，且为陈述句． (2)判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题，一个命题不能同时既是真命题又是假命题． (3)命题可用小写字母表示，如p，q…. (4)定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 【解题策略】 判断一个语句是否是命题的两个关键点 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题． (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题 二、命题的形式 数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． 注意点： 确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式 【解题策略】 1.把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐晦，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一 2.一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可 题型1：命题的理解 【例题1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【变式1】（23-24高一上·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 题型2：命题真假的判断 【例题2】（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【变式1】（22-23高一·全国·课堂例题）下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）证明命题“个位数字是0的自然数能被5整除”是真命题． 题型3：命题的构成 【例题3】（2021高一·全国·专题练习）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【变式1】（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）命题“对顶角相等”的条件是 . 【变式2】（21-22高一上·全国·课后作业）命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 【变式3】（20-21高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 题型4：命题真假的应用 【例题4】（多选）（22-23高一·江苏·假期作业）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【变式1】（20-21高一·全国·课后作业）已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【变式2】（20-21高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【变式3】（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 易错点：忽视命题的含义而致错 【例题5】（·广西钦州·期末）下列语句能作为命题是（    ） A．3比5大 B．太阳和月亮 C．高二年级的学生 D． 【变式1】（江苏扬州·期中）“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士，苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画？观摩诘之画，画中有诗，”这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是 A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷？ D．此物最相思 【变式2】（江西宜春·期末）唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 【变式3】（23-24高一上·江苏·课前预习）在数学中，有些已经被证明为真的 可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理. 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．梯形的对角线相等 D．有些菱形是正方形 2．（23-24高一上·陕西安康·期中）“若，则或”的否命题是（    ） A．若，则且 B．若，则且 C．若，则或 D．若，则或 3．（23-24高一上·北京昌平·期末）高一年级某班30名同学参加体能测试，给出下列三个判断： ①有人通过了体能测试： ②同学甲没有通过体能测试； ③有人没有通过体能测试. 若这三个判断中只有一个是真，则下列选项中正确的是（   ） A．只有1名同学通过了体能测试 B．只有1名同学没有通过体能测试 C．30名同学都通过了体能测试 D．30名同学都没通过体能测试 4．（21-22高一上·全国·课后作业）下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 5．（22-23高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（21-22高一上·全国·课后作业）下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 7．（20高一·全国·课后作业）已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（    ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 8．（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 二、多选题 9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列命题中为真命题的有（    ） A．所有的素数都是奇数. B．的个位数字不等于2. C．两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例. D．存在一个无理数，它的立方是有理数. 10．（23-24高一上·山东济宁·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．在一个三角形中至少有两个锐角 B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦 C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等 11．（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）若命题“若，则”为真命题，则下列命题中可能为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）命题“若且，则”是 命题．（填“真”或“假”） 13．（21-22高一上·广西南宁·期中）已知命题“菱形的对角线互相平分”，将其改写成“若p，则q”形式为 .（格式正确，描述清楚即可） 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）α： β：．（填“”或“”） 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 16．（20-21高一上·全国·课后作业）判断下列命题的真假. （1）∃x∈Z，x3＜1； （2）存在一个四边形不是平行四边形； （3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； （4）∀x∈N，x2>0. 18．（21-22高一·全国·课后作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角； (2)当时，或； (3)已知x，，当时，，． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 命题、定理、定义（4种题型+1个易错点+过关检测） 一、命题、定理、定义的概念 1．在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2．在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 3．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵． 注意点： (1)命题要求能判断真假，且为陈述句． (2)判断为真的命题是真命题，判断为假的命题是假命题，一个命题不能同时既是真命题又是假命题． (3)命题可用小写字母表示，如p，q…. (4)定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别 【解题策略】 判断一个语句是否是命题的两个关键点 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题． (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题 二、命题的形式 数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． 注意点： 确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式 【解题策略】 1.把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐晦，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一 2.一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可 题型1：命题的理解 【例题1】（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【分析】根据命题的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 【变式1】（23-24高一上·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据命题的概念逐项判断即可. 【详解】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 【答案】② 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】对于①：若，，则，能判断真假，是命题，且为真命题； 对于②：，不能判断真假，故不是命题； 对于③：，能判断真假，是命题，且为真命题. 故答案为：② 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 【答案】答案见解析 【分析】根据命题是可以判断真假的陈述句，进行判断，再寻找关系. 【详解】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题． （3）是在（1）的基础上，用短语“所有”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题；（4）是在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题． 题型2：命题真假的判断 【例题2】（24-25高一上·上海·随堂练习）对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 【变式1】（22-23高一·全国·课堂例题）下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【分析】命题是可以判断真假的陈述句，判断为真的语句是真命题.依次对各选项分析，先判断是否为陈述句，再判断是否为真. 【详解】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题； 对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立. 如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题； 对选项C ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题； 对选项D， 与的和为锐角，所以D选项为假命题． 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【答案】 ③ ①④ 【分析】首先根据命题是可以判断真假的陈述句，来判断出是否为命题，如果判断为真，即为真命题，如果判断为假，即为假命题． 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④ 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）证明命题“个位数字是0的自然数能被5整除”是真命题． 【答案】证明见解析 【分析】设这个数为，根据即可判断是真命题． 【详解】证明：设这个数为， 因为能被5整除， 所以个位数字是0的自然数能被5整除 所以命题“个位数字是0的自然数能被5整除”是真命题 题型3：命题的构成 【例题3】（2021高一·全国·专题练习）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【答案】A 【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【详解】命题的大前提是“在三角形中”，条件是“大边”，结论是“对大角”. 故选:A. 【变式1】（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）命题“对顶角相等”的条件是 . 【答案】两个角是对顶角 【分析】根据命题的概念可知 【详解】命题“对顶角相等”即“若两个角是对顶角，则这两个角相等”；条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等. 故答案为：两个角是对顶角 【变式2】（21-22高一上·全国·课后作业）命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 【答案】 且 【分析】根据命题条件与结论相关知识直接填空. 【详解】命题：若，则且， 则条件p：，结论q：且. 故答案为：；且 【变式3】（20-21高一·江苏·课后作业）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． （1）6是12和18的公约数； （2）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根； （3）平行四边形的对角线互相平分． 【答案】答案见解析 【分析】分析出命题的条件、结论即可求解. 【详解】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数． （2）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根． （3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分. 题型4：命题真假的应用 【例题4】（多选）（22-23高一·江苏·假期作业）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 【变式1】（20-21高一·全国·课后作业）已知命题p：实数满足或．命题：实数满．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由p为真命题，q为假命题列不等式求x的范围. 【详解】∵  命题为真命题， ∴  或 又命题为假命题，∴  或， ∴  或． 所以实数的取值范围为 【变式2】（20-21高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案. 【详解】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即， ∴若q为真命题，实数a的取值范围为：. （2）∵为真命题，为假命题， ∴，解得. ∴ 【变式3】（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，解得即可； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）解：若是真命题，则，解得， 则； （2）解：因为，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为 易错点：忽视命题的含义而致错 【例题5】（·广西钦州·期末）下列语句能作为命题是（    ） A．3比5大 B．太阳和月亮 C．高二年级的学生 D． 【答案】A 【解析】根据命题定义逐个判断. 【详解】根据命题定义：能判断真假的陈述句，A正确，B、C不是陈述句，D不能判断真假. 故选：A. 【变式1】（江苏扬州·期中）“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士，苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画？观摩诘之画，画中有诗，”这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是 A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷？ D．此物最相思 【答案】A 【解析】根据命题的定义判断可得出结论. 【详解】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句是命题； 对于B选项，“春来发几支”是疑问句，不是命题； 对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题； 对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题. 故选：A. 【变式2】（江西宜春·期末）唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 【答案】A 【分析】根据命题的定义可得出结论. 【详解】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句为命题； 对于B选项，“春来发几枝”是疑问句，不是命题； 对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题； 对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题. 故选：A 【变式3】（23-24高一上·江苏·课前预习）在数学中，有些已经被证明为真的 可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理. 【答案】命题 一、单选题 1．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．梯形的对角线相等 D．有些菱形是正方形 【答案】D 【分析】根据题意结合二次函数以及几何知识逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如，其图象是开口向下的，故A错误； 对于选项B：根据平行线的传递性可知：一条直线与两条直线都平行，则这两条直线也平行，故B错误； 对于选项C：例如直角梯形的对角线不相等，故C错误； 对于选项D：正方形也是菱形，即有些菱形是正方形，故D正确； 故选：D. 2．（23-24高一上·陕西安康·期中）“若，则或”的否命题是（    ） A．若，则且 B．若，则且 C．若，则或 D．若，则或 【答案】A 【分析】由否命题的定义判断． 【详解】条件结论都加以否定得否命题， 若，则或”的否命题是：若，则且， 故选：A． 3．（23-24高一上·北京昌平·期末）高一年级某班30名同学参加体能测试，给出下列三个判断： ①有人通过了体能测试： ②同学甲没有通过体能测试； ③有人没有通过体能测试. 若这三个判断中只有一个是真，则下列选项中正确的是（   ） A．只有1名同学通过了体能测试 B．只有1名同学没有通过体能测试 C．30名同学都通过了体能测试 D．30名同学都没通过体能测试 【答案】C 【分析】根据给定条件，分析确定正确的一个判断，即可求得正确答案. 【详解】“有人通过了体能测试”与“有人没有通过体能测试”不可能都为真， 若“同学甲没有通过体能测试”为真，则“有人没有通过体能测试”必真，不符合题意， 因此“同学甲没有通过体能测试”是假的，即同学甲通过了体能测试，②假，①真，③假， 由“有人没有通过体能测试”是假的判断，得30名同学都通过了体能测试，C正确. 故选：C 4．（21-22高一上·全国·课后作业）下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 【答案】B 【分析】根据命题的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，“是一个大数”无法判断真假，不是命题，A错误； 对于B，“若两直线平行，则这两条直线没有公共点”是可以判断真假的陈述句，是命题，B正确； 对于C，“是一次函数吗”不是陈述句，不是命题，C错误； 对于D，“”无法判断真假，不是命题，D错误. 故选：B. 5．（22-23高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据命题的定义进行判断. 【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题． 故选：B 6．（21-22高一上·全国·课后作业）下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 【答案】D 【分析】对各选项逐一判断真假即可. 【详解】对于A，有元素，所以不是空集，故A不是真命题，A错误； 对于B，，即，即，为有限集，故B错误； 对于C，是无理数，故C错误； 对于D，方程的根0和5是自然数，故D正确. 故选：D 7．（20高一·全国·课后作业）已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是（    ） A．a≥－3 B．a>－3 C．a≤－3 D．a<－3 【答案】D 【分析】利用不等式的解法和命题的否定即可得出. 【详解】∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥}， 又∵a∈A是假命题，即aA，∴a<. 故选：D 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用、元素与集合的关系，属于基础题. 8．（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【答案】C 【分析】根据四人的描述可知，甲和丙的说法要么同时成立，要么同时不成立；若同时成立则可知丁的说法也对，这不合题意；所以甲和丙的说法都不成立，据此分情况讨论即可得出结论. 【详解】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 二、多选题 9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列命题中为真命题的有（    ） A．所有的素数都是奇数. B．的个位数字不等于2. C．两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例. D．存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】BCD 【分析】逐个判断命题即可. 【详解】对于A：2也是素数，但2不是奇数，所以A错误； 对于B：，则的末位数只能是0，1，4，5，6，9，所以B正确； 对于C：“两个三角形相似”，则三边成比例，“若三角形的三边成比例”，则这两个三角形是相似三角形，所以C正确； 对于D：当时，为无理数，则为有理数，所以存在一个无理数，他的立方是有理数，所以D正确， 故选：BCD 10．（23-24高一上·山东济宁·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．在一个三角形中至少有两个锐角 B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦 C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等 【答案】AB 【分析】根据三角形内角和判断A；根据圆的几何性质可判断B；举反例判断C；根据两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等判断D。 【详解】由于三角形内角和为，故内角中最多有一个钝角， 即在一个三角形中至少有两个锐角，A正确； 根据垂径定理知在圆中，垂直于弦的直径平分弦，B正确； 不妨取和互余，它们的补角为和，这两角不互余，C错误； 两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等， 两条不平行的直线被第三条直线所截，同位角不相等，D错误， 故选：AB 11．（22-23高一上·陕西西安·阶段练习）若命题“若，则”为真命题，则下列命题中可能为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据命题之间的相互关系对每个选项进行判断即可 【详解】对于B，该命题为原命题的逆命题，两个命题真假没关系，故可能为假命题； 对于C，该命题为原命题的否命题，两个命题真假没关系，故可能为假命题； 对于D，该命题为原命题的逆否命题，两个命题真假相同，故为真命题； 对于A，由原命题和D选项可知，两个元素只能有一个在集合里面， 所以若，则或，故A选项为假命题， 故选：ABC 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）命题“若且，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】通过集合的交集运算即可判断为真命题． 【详解】由且，可得， 所以命题“若且，则”成立， 故是真命题； 故答案为：真． 13．（21-22高一上·广西南宁·期中）已知命题“菱形的对角线互相平分”，将其改写成“若p，则q”形式为 .（格式正确，描述清楚即可） 【答案】若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分 【分析】此命题满足的条件是四边形是菱形，结论是四边形的对角线互相平分，从而可得结果 【详解】命题“菱形的对角线互相平分”，将其改写成“若p，则q”形式为 若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分， 故答案为：若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相平分 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）α： β：．（填“”或“”） 【答案】 【分析】解方程可得答案. 【详解】当时，解得， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【答案】(1)答案见解析，真命题． (2)答案见解析，真命题． (3)答案见解析，假命题． 【分析】（1）（2）（3）按给定条件改写命题，再判断真假. 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． （2）若，则，是真命题． （3）已知、为正整数，若，则且，是假命题． 16．（20-21高一上·全国·课后作业）判断下列命题的真假. （1）∃x∈Z，x3＜1； （2）存在一个四边形不是平行四边形； （3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； （4）∀x∈N，x2>0. 【答案】（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题. 【分析】（1）因为(－1)3＜1符合题意,命题正确；（2）梯形是四边形但不是平行四边形，命题正确；（3）任意有序实数对都对应一点，命题正确；（4）0是自然数，但平方不大于0，命题错误． 【详解】（1）因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1， 所以“∃x∈Z，x3＜1”是真命题. （2）真命题，如梯形. （3）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题. （4）因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查全称量词命题和存在量词命题的应用，属于基础题． 18．（21-22高一·全国·课后作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角； (2)当时，或； (3)已知x，，当时，，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）根据命题的知识改写即可，然后判断其真假. 【详解】（1）若一个三角形是等腰三角形，则其底边上的中线垂直于底边并且平分顶角．该命题是真命题． （2）若，则或．该命题是真命题． （3）已知x，，若，则，．该命题是假命题． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列命题的真假并说明理由： (1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根； (2)如果一元二次方程有实数根，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析 (2)假命题，理由见解析 【分析】（1）利用一元二次方程有解的条件求解即可. （2）举反例判断即可. 【详解】（1）真命题．理由：若，则， 故方程有实数根，命题是真命题． （2）假命题．理由：因为当时，显然方程有实数根， 此时不满足，所以命题是假命题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$