第04讲 双曲线的简单几何性质（3考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第04讲 双曲线的简单几何性质 课程标准 学习目标 1 掌握双曲线的几何性质； 2 理解并会求解双曲线的离心率； 3 培养抽象思维能力、分析和动手的能力． 1. 结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质：对称性、范围、顶点、渐近线、离心率，培养学生直观想象和逻辑推理的数学素养； 2. 熟练掌握双曲线的渐近线和离心率的求法； 3. 理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律． 知识点一、双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点二、双曲线中常用的结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. 知识点三、等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 题型01 双曲线顶点、焦点、实轴、虚轴、焦距 1.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为（    ） A． B． C． D． 2.若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 3.以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 . 5.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 题型02 等轴双曲线 1.若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 2.中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． 3.已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则 ． 4.经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 题型03 双曲线的渐近线 1.已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 4.函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论： ①直线的斜率的取值范围是； ②点P到C的两条渐近线的距离之积为； ③； ④． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 题型04 双曲线的离心率 1.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 3.已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 4.设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 6.已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（    ） A．2 B． C．6 D． 7.已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9.（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（　　） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若线段的中点在y轴上，则 D．内切圆的圆心到轴的距离为1 10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且.又以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为 . 题型05 双曲线的对称性 1.已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（    ） A．2 B． C． D． 3.若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 4.双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C的左、右支分别交于P，Q点.若，则该双曲线的离心率为 . 5.设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C：的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3.已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知双曲线的渐近线方程为，若双曲线C的焦点到渐近线的距离为12，则双曲线C的焦距为（    ） A．30 B．24 C．15 D．12 5.（2023秋·广州·高二校联考期中）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6.（2023秋·江西·高二校联考期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7.（多选）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（    ） A．C的方程为 B．C的离心率为2 C．若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 8.双曲线和椭圆有共同的焦点，则椭圆的离心率是 ． 9．双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ． 10．设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 . 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线，垂足为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为 ． 12.我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线的离心率分别为，则的最大值是 ． 13.已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积． 14.已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 双曲线的简单几何性质 课程标准 学习目标 1 掌握双曲线的几何性质； 2 理解并会求解双曲线的离心率； 3 培养抽象思维能力、分析和动手的能力． 1. 结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质：对称性、范围、顶点、渐近线、离心率，培养学生直观想象和逻辑推理的数学素养； 2. 熟练掌握双曲线的渐近线和离心率的求法； 3. 理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律． 知识点一、双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 知识点二、双曲线中常用的结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. 知识点三、等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 题型01 双曲线顶点、焦点、实轴、虚轴、焦距 1.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线的一条渐近线与直线垂直且可得， 由直线过双曲线的一个焦点可得， 又， 解得，， 所以双曲线实轴长， 故选：C 2.若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线实轴长为，有，又， . 故选：A. 3.以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】椭圆的长轴端点为， 椭圆焦点为， 即双曲线的焦点为，顶点为， 所以双曲线方程为. 故选：A. 4.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 . 【答案】 【详解】由双曲线的定义知，， 两式相加得，又 ，， 则， 故的周长为 . 故答案为： 5.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）依题意，可设双曲线的标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的方程为； （2）依题意，双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的标准方程为． 题型02 等轴双曲线 1.若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由于双曲线是焦点在轴上的双曲线，所以双曲线的标准方程为， 又因为双曲线为等轴双曲线，所以，解得. 故选：. 2.中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为双曲线实轴在上且焦点在直线上， 故令得，即. 又因为且，所以， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 3.已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则 ． 【答案】 【详解】，，则，，， . 故答案为：. 4.经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 【答案】 【详解】设所求双曲线方程为：， 双曲线经过点，， 所求双曲线方程为：. 故答案为：. 题型03 双曲线的渐近线 1.已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 2.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得的渐近线方程为，则． 故选：B. 3.已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线方程得其渐近线方程为， 由题知轴且过右焦点，令，得，. 则的面积，解得. 双曲线（），，解得. 故选：. 4.函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线和直线的夹角为， 由题意可得双曲线夹角为， 而双曲线的渐近线方程为， 所以， 则，解得（负值舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 5.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论： ①直线的斜率的取值范围是； ②点P到C的两条渐近线的距离之积为； ③； ④． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意知，，设，又点P在C上，所以， 所以，所以直线的斜率， 所以，令，， 所以 所以，即直线的斜率的取值范围是，故①正确； C的渐近线方程为，所以点P到C的两条渐近线的距离之积为．故②错误； ，故③正确； 当时，显然C在点P处的切线的斜率存在，设点P处的切线方程为， 由得， 所以得，， 解得， 所以C在点P处的切线方程为，即． 当时，C在点P处的切线方程为，所以点P处的切线方程为． 由，解得， 由解得 又，， 所以点P是线段MN的中点，所以，故④正确． 故选：C． 6.已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设双曲线焦点为，一条渐近线方程为， 所以该焦点到渐近线的距离为， 又双曲线实轴比虚轴长2，故，即， 故双曲线的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点， 则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为， 将代入，得，将代入，得， 则，； 当直线的斜率存在，设直线，且， 联立，消去并整理得， 因为动直线与双曲线恰有1个公共点， 所以，得， 设动直线与的交点为，与的交点为， 联立，得，同理得， 则， 因为原点到直线的距离， 所以， 又因为，所以，即， 故的面积为定值，且定值为. 题型04 双曲线的离心率 1.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以双曲线的左顶点，右焦点，故AB错误； 虚轴长，故C错误； 离心率，故D正确. 故选：D. 2．已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意可知，双曲线焦点在轴，，右焦点到渐近线的距离， 所以，，. 故选：A 3.已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】根据双曲线的几何性质可知，左焦点， 其到渐近线的距离为， 因为，所以. 故选：C． 4.设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，可得， 由双曲线定义可知， 所以，，， 由勾股定理可得，可得， 故， 故选:B. 5．已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且， 运用勾股定理，知道根据．由双曲线定义，知道， 即，解得，故离心率为：. 故选：C. 6.已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】    因为的垂直平分线经过点， 则， 记椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为 由椭圆定义得，所以， 由双曲线定义知：，所以， 故，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：B. 7.已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设该圆与渐近线分别交于、点， 则，故，则， 设，则， 则有， ， 即有，则有，即， 故，即， 即，即， 故有，即，故，即. 故选：B. 8.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 根据双曲线定义知：的周长为，而， 所以，而的周长为， 所以，即，所以，解得， 双曲线离心率的取值范围是. 故选：D 9.（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（　　） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若线段的中点在y轴上，则 D．内切圆的圆心到轴的距离为1 【答案】BCD 【详解】渐近线方程为， 由题意可得，焦点到渐近线的距离为，结合，解得，则双曲线的方程为 ， ，所以 或，选项A错； 记，则， 由，可得，即有，所以，选项B对： 因为的中点在轴上，所以,故轴，故，选项C对； 取点在双曲线的右支上，如图所示， ， 又因为，解得，， 所以切点是双曲线的右顶点，从而内切圆圆心的横坐标为1，选项D对． 故选：BCD． 10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且.又以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为 . 【答案】2 【详解】令，依题意，，解得， 显然，，， 而，于是， 在中，由余弦定理， 得，解得，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：2 题型05 双曲线的对称性 1.已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】双曲线的左、右焦点分别为，， 由，解得或，所以， 则，， 所以. 故选：A 2.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可得，关于原点对称，不妨设点在第一象限，连接、， 又，则四边形为矩形， 所以，则， 所以，即，即，又，解得， 所以. 故选：D 3.若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】双曲线的渐近线方程为， 由双曲线与直线有交点，则有， 所以， 则双曲线的离心率的取值范围为． 故答案为：． 4.双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C的左、右支分别交于P，Q点.若，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】设双曲线的半焦距为c，可得， 即有四边形为矩形，由双曲线的定义可得， 在直角三角形中，， 即有，可得， 即. 故答案为： 5.设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C：的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设是双曲线的左焦点，由题可知，直线的方程为， 由，得，且， 所以，， 因为，且大于， 所以， 所以，解得， 又因为，解得， 所以， 故选：D． 1．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方程表示双曲线,则，解得或， 故选：D 2.以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】椭圆化为标准方程为， 焦点为， 双曲线的半焦距， 离心率， ， ， 双曲线的标准方程为． 故选：A． 3.已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的方程为， 因为，所以，则， 所以渐近线方程为. 故选：C. 4.已知双曲线的渐近线方程为，若双曲线C的焦点到渐近线的距离为12，则双曲线C的焦距为（    ） A．30 B．24 C．15 D．12 【答案】A 【详解】依题意，右焦点到渐近线的距离，解得， 所以双曲线C的焦距为30. 故选：A. 5.（2023秋·广州·高二校联考期中）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线的下焦点为，一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离，因为， 联立解得， ∴双曲线方程为：. 故选：B. 6.（2023秋·江西·高二校联考期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，， 因为，则，则，解得 又因为，，则为的中点，所以， 则，在直角三角形中，， 即，化简得， 将代入上式得， 则， 化简得，两边同除得， 解得或1（舍去），则. 故选：A. 7.（多选）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（    ） A．C的方程为 B．C的离心率为2 C．若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 【答案】BC 【详解】对于A，双曲线C：的渐近线方程，则， 于是双曲线C的方程为，A错误； 对于B，双曲线C的离心率，B正确； 对于C，， ，当且仅当点为线段与双曲线上支的交点时取等号，C正确； 对于D，由点 在双曲线上支上，得，， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得， 因此的内切圆面积为，D错误. 故选：BC 8.双曲线和椭圆有共同的焦点，则椭圆的离心率是 ． 【答案】 【详解】对于双曲线，设右焦点为，所以， 对于椭圆，设右焦点为，所以， 因为有共同的焦点，所以，所以， 所以椭圆的离心率是． 故答案为： 9．双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 10．设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 . 【答案】 【详解】解析：设为双曲线右支上一点， 因为面积，所以得， 因为， 所以得 ， 即， 因为，所以. 故答案为：. 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线，垂足为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【详解】由题意可知：渐近线的斜率，则其垂线的斜率为， 且，则直线：， 联立方程，解得，即， 由直线的斜率可得， 整理可得，解得或，即或， 所以双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 12.我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线的离心率分别为，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】由题知，共轭双曲线和的半焦距相等，记为， 则，所以， 又，故设， 所以， 其中， 当时，取得最大值. 故答案为：. 13.已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为． (1)求双曲线的方程； (2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以双曲线方程为. （2）由（1）可知左，右焦点分别为，， 双曲线的渐近线为， 不妨取其中一条渐近线为， 则到直线的距离， 所以， 所以， 又，所以. 14.已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)23 【详解】（1）的一条渐近线的方程为，即， 点到的距离， 又因为，所以， 所以，所以双曲线的方程为． （2） 记双曲线的左焦点为，则， ， 当三点共线时，最小，且最小值为． 故的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$