广东省五校（朝汕实验、高州中学、石门、湛江一中等）2024-2025学年高三上学期开学联考数学试题

2025届新高三开学联考 元若fx)-(-1+2-)-1加十，数列1的前w项和为8且8一 数学试题 25.-m,+1,则∑Lfa,)+fan门 本试卷共4页，19题。全卷裤分150分。考试用时120分钟。 注意事项： A.76 且38 C,10 D.0 1.答题前，先将自己的姓名，准考证号墩写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 8.若A为函数∫(x1一e十x图象上的一点，B(2,0),期引AB的最小值为 答题卡上的指定位置 A.6 &5 C32 2 D.2 2.选择通的作答：每小题选出答紫后，用B销笔把答题卡上对应随目的答案标号徐 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共8分，在每小愿给出的法项中，有多项符合题 黑。写在试题卷，草篇纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择遮的作答：用签字笔直接写在容题卡上对应的答题区城内。写在试题卷，草 日要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 .设z=(1一》z一1.其中：为x的共瓶复数，则 稿纸和答题卡上的非容避区城均无效。 A:的实部为2 B:的虚部是一？ 4.考试结束后，请将本试题卷和容遥卡一并上交 一、选择题：本题共8小题，每小驱5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 C.= D在复平西内，已对应的点在第二象限 是符合题目要求的 1.若M-x∈N*-2z运a1.N=0,l,2,则M门N 10已知双血线C后一苦-1的左，右然点分别为FR,实轴的左，右接点分别为A A.0 B(0,2 A:,虚轴的上，下端点分划为B,B,斜率为的直线1经过F,且与C的左支交于两 C.(-1,0.1 D.1,2 个不同的点A为C上一点，且∠FAF,=三，则 2.“1<2”是“点B(0,)在周C(工一1)十(y一2=2内"的 A.A:A:-8 A充分不必要茶件 且必要不充分条件 B,四边形BF出F:的周长小于24 C,充分要条作 D焉不充分又不必要条件 ce-是) 1D△AF,F的面积为9,3 3.函数八F的部分图象如图所示，期/x)可以为 A.e-1)sin ke-1os王 11.已知正三棱台ABC一AC上、下成面的边长及高分别为，33,2.期正三棱台 e'+1 ABC,一ABC的 etl C.te-Dy D.(e+1)cosz A.斜高为5 B.体积为13、3 e十1 e-1 C制棱与底面所成的角为子 D外接球的表面积为0际 4(G-+2展开式中的含数项为 三，痕空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 A.-10 B,0 C5 D.10 12.已知质点A,A:从点P(1.0)处分别以w=4/s此=2rd/s的建度同时在国工+ y=1上作逆时针运动，若经过1，A,A,第一次相遇，则1= 5.若a,b∈(0，十o∞)，位，5十b=,6.别6的最小值为 A.2 B.4 C16 D.4 13.已知P-(in,一1g-(csr,2若PLq期P-9- 6雨数-our+g>0:g长（一要.一受）的部分图象如图所示：若直找一号 1.己知直线（与地物线C:y=4r交于P,Q两点，F为C的焦点，若PQ中点的纵坐标始 篷为1，知PF+QF引的取值范围是 与图象两个交点的横坐标分别为0和江，则g 四，解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或清算步骤 A-号 &-g 15,(本小题满分13分) 设公比不为1的等比数列(e,的前r项和为S,且S一a. D,-2 (1)求10.的公比： (2)若1一2，求数列1a4.11的前n项和T. 整学试题第1夏（共4页 位学试题第2克（共4页} 16.(本小思满分15分) 18,(本小感清分17分) 在何平的1月份到7月份·某品俾空到销得商发现：“何月销售量（单位：台）”与当年 已知属数f(r)='一ar+bsin z.o∈R,6t一1.1]. 的月份“线性相关.根据统计得下表： (1)当a=0时，求f(x)在[0，+o)上的值域： 月份￥123 (2)当6-1时，VrE(0,十，fr>1,求4的取值范国. 销量y12213动4152慰 (1)根据往年的统计得，背年的月份x与销量y满足回归方程y=10x十太.请预满当年 7月份该品韩的空训以销售多少台？ (2)该情售高从当年的的6个月中随机选取3个月，记X为销量不低于简8个月的月 平均销量的月份数，求X的分布列和数学期里， 19.(本小愿清分17分》 我打把各边与椭圆E:后+景-1(。>b>0)的对移轴垂直或平行的E的内接西边形 叫做E的内接矩形，如图，已知四边形PQRS是E的一个边长为1的内接正方形，PS,QR 分别与x轴交于F,F,且F,F:为E的两个焦点 17.(本小题清分15分) (1》求E的标准方程， 如图，三棱柱ABC-ABC中，O为张血A:BC的重心，D∈C℃，G∈BC,且 (2)设A,(1=1,2,…,100》是四边形PQR5内富的100个不同的点，线段Q,RS与y CG-2B G.C D-2CD. 1)求证：AC∥平面D: E,记山=∑E,A,其中上=【，2，证明d,d中 (2)若AAL度面AB,C·且三棱柱ABC-AB,C的各楼长相等，求平面AA,CC 251+w5 与平面DG夹角的余弦值. 数学试幕第3页（共项） 数学试题第4页[共4页参考答案及解析 数学 2025届新高三开学联考 数学参考答案及解析 一、选择题 6C【解析】由图象得，∫(x)的周期为π一0=x,所以w= 1.D【解析】依题意，M=1,2.3},N=0,1,2},所以 红=2，因为了(0)=0s9=-2,且9∈ MnN=1.2.故选D. 2.A【解析】点B(0,b)在圆C:(x-1)°+(y一2)°=2 (一经，一受）所以g=一等或=一誓，因为0在单 内台(0-1)+(b-2)<2曰1<b<3,所以“1<b<2" 调递增区同内，所以g一一孕，所以og一怎故适C 是“点B(0,b)在圆C:(-1)2+(y-2)=2内”的充 7.A【解析】因为∫(x)=(x-1)1+2(x-1)- 分不必要条件.故选A 3.A【解析】函数y=巴)0s工中，x≠0，所以排除 n2号十2，所以f()的图象关于点1,2)对称，因为 e-1 2S,=a+1,所以2Sw1=(n-1)a(n≥2)，所以2S。一 D因为yy一血y=都为奇函数，上为 2S.-1=a+1-(n-1)a。(n≥2).所以2a.=a+1 偶函数，所以y=C1)m工，y=C)工为偶函 十1 e+十1 (a-1)a(≥2).所以号常-是（≥2）又S=: n十1n 数y=C一I为奇函数，所以排除B:当x∈ 2 e+1 2S=01所以a=04=品所以号 n=10所以a [0,十e)时，号同时单调适地，且同时非负，所以 =0所以a十a=2a,=2,fa)+fa)=4 (世-)工在x∈[0，十∞)时也单调递增，所以排除C e十1 所以公[/a片a)门=公4=派放遮 故选A 8.B 【解析】f(x)=e十x在R上单调递增，切线的斜率 4B【解析)（匠-） 也单调递增，设A(,十x1),在图象在A处的切线 展开式中的通项为（一1）C 斜率为k=e十1，所以|AB|取得最小值一k=一1白 )(x)y=(-1)C子，所以(G-)》 (+1).e+)=0=-1台即(a+1)(e4+ -2 (x1十2)展开式中的常数项为（一1）'C×2+ x1)十-2=0（米），令g(x)=(e+1)(e十x)十x-2. (-1)C=0.故选 则g(x)单调递增，取=0检验得，满足(“)，所以 5.C【解析】因为a,b∈(0，十∞)，所以aG十b≥ |AB引取得最小值为√+2=√5.故选B 2√a6·b=2√a(b),因为a6+b=√ab,所以wab ≥2a(6)立，所以≥16，当且仅当a=4时，b的最小值 为16.故选C 数学 参考答案及解析 IAF|=36,所以三角形AFF的面积为 吉1A加lA如吾-号×36·血晋=95，所以 D正确.故选ABD. Ax)e+x 1L.AC【解析】如图， 二、选择题 9.AC【解析】设：=a十i(a,b∈R),因为=(1一i)x 1,所以a一所=(1-i)(a+i)一1.所以a一所= a+b-1=a, (a十b-1)+(一a十b)i,所以 ,所以a 在正三棱台ABC一ABC中，设O,O分别为上下底 -a+b=-b 面的中心，D,D分别为CB,CB的中点，因为上底面 2,b=1,所以=2十i,2=2一i,所以之的实部为2，所以A 的边长，下底面的边长分别为3,33，所以A,O=1, 正确：x的虚部是一1，所以B错误：：|=√+F= 5,所以C正确：3-33=D2=5-i=1 A0=3.0n=,0D=号，又Q0=2.所以D0= x2+(2+i)(2-1) 5 V00+(OD-0DT-后，所以A正确：体积为子× -i,所以在复平面内对应的点在第四象限，所以D 错误.故选AC ×()+5x5×3w5+×(33)] 10.ABD【解析】C的实半轴a=4,虚半轴b=3,半焦距c 13 2 ,所以B错误：侧棱与底面所成的角为∠AAO,在 =V后+万=5，渐近线方程为y=士子，所以A 直角梯形AOOA中，由AO=1,AO=3,OO=2计算 |AA|=2a=8,所以A正确：四边形BFBF2的周 得∠AAO-=于，所以C正确：由已知得，外接球的球心 长为4√+配=4√3+F=4√<4X6=24,所以 E在直线OO上，设OE=x,由得，+(2士x)2=3+ B正确：作出C与其渐近线，直接由图形得，k∈ x产，解得x=1,所以外接球的表面积为4π·EA=4r (-,-马)U(子，+)，所以C错误：D不妨设A (3+x)=40x,所以D错误.故选AC 位于C的右支，则|AF|一|AF|=8,所以|AF 三、填空题 +|AF|-2|AF|·AF|=64①，因为 12.π【解析】由已知得，经过15，AA第一次相遇，此时 A,比A多走一圈，所以41一21=2x×1,所以1=元.故答 ∠FAF=,所以|AF+AF|P-2|AF|· 案为元 |AF|cos牙=|FF,F,所以|AF,2+AF|- 品号 【解析】因为p⊥q,所以p·q=0,所以sin rcos十 1AF|·|AF|=100②，所以①-②得，|AF· ·2· 参考答案及解析 数学 (-1)×号=0，所以sin rcos=,p-q=(sinx T=-8(1-2_8(1- 1-4 3 (13分) -cos r,- ）则1p-g=√-s+是 16.解：1)x=1+2+3+4+5+6-3.5, (1分) (sin r-cos x)=1-2sin rcos=0,p-q= y=12+21+33+41+52+63=37. 6 (2分) √厚=故答案为 3 又回归直线过样本中心点(x,y) 所以37=10×3.5十t,得1=2， (3分) 14.(号，十∞）【解析】不妨设P().Q() 所以y=10x+2, (5分) (2<0),直线l的方程为x=ky+m,与y2=4x联 当x=7时，y=72, 立消去x得，y一4ky一4m=0,此时必须A= 所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售72台. (-4k)+16m=16(k十m)>0,所以 (7分) ”十为=4k, (2)因为y=37,所以销量不低于前6个月的月平均 ,因为PQ中点的纵坐标为1，所以 为为=一4m 销量的月份数为4,5,6. 十为=2，所以4k=2,所以=之，所以x=y 所以X=0,1,2,3, (8分) C1 m,又F为抛物线的焦点，所以|PF|+|QF|= P(X=0)= C=20 (五+1)+(x+1D=(m十)+2=十) PX=I)-晋-易 十2(m+1)=2m十3，因为△=16(k+m)>0,所 P(X=2)= CC9 以m>-=-},所以PF+QF>号.放答 P(X=3)= (12分，1个1分) 案为（号，+∞） 所以X的分布列为： 四、解答题 0 2 3 15.解：(1)设{a.的公比为9， 1 9 9 1 S=3a1.a(1十g+g)=3a1 (2分) 20 20 20 20 :a1≠0，.g+g-2=0, (4分) (13分) g≠1，.g=-2. (6分) E(X)=0× 0+1×易+2×易+3×0-是 (2)a1=2,∴.a=2×(-2)1=-(-2)", 15分) (或a.=(-1)-1×2") (8分) 17.解：(1)连接CO并延长交AB,于E,延长G)交 .aa+1=-(-2)"[-(-2)1]=(-2)+1, A,C于点H,连接DH. (1分) (10分) 3. 数学 参考答案及解析 所以0元=(2.0,0)，0i=(0.23,4) (11分) 设平面DOG的一个法向量为n=(x,y,), 2r=0 所以 ,不妨设n=(0,一23) 2v3y十4g=0 (13分) 因为O为底面A,BC的重心，所以EO:OC=1 因为B,(3,0,0),所以平面AA,CC的一个法向量 2, (3分) 为OB=(3,-√3,0) 因为G∈BC,CG=2B,G, 设平面AA,CC与平面DOG夹角为0， 所以EO:OC=BGGC,所以OG∥AB,, 所以co50= n·OB1 257 n|1OB|√7×23 7,所以平面 所以AHHC=1:2, (4分) 因为CD:DC1=12,所以AH:HC=CD:DC, AA,CC与平面DOG夹角的余弦值为 ,(15分) 所以DH∥AC, (5分) 18.解：(1)当a=0时，f(x)=e+bsinr, 因为A,C工平面DOG,DHC平面DOG, (6分) 所以(x)=e十heos a, (1分) 所以AC∥平面DOG. (7分) 因为x∈[0，+∞)： (2)取AB的中点为F,连接EF. 所以e≥1.-1≤cosx≤1， 因为AA⊥底面AB:C,且三棱柱ABC-AB,C 因为b∈[-1.1] 的各棱长均相等，所以直线EB,EC,EF两两垂 所以一1≤beos r≤1， 直， (9分) 所以∫(x)≥0， (3分) 以E为坐标原点，EB,EC,EF所在直线分别为x, 所以f(x)在[0，+十∞)上单调递增， y:之轴建立空间坐标系， 所以f(x)≥f(0)=1,当x→十∞时，f(x)· 十0∞， 所以f(x)在[0，十∞)上的值域为[1，十∞). (5分) (2)当b=1时，Vx∈(0，+o∞)，f(x)>1, 即e'一ax十sinx>I在区间(0，十oo)上成立. 则f(x)=e-a十cosx, (6分) 设三棱柱ABC一A1B,C的棱长为6， 令m(x)=e一a+cosx,m'(x)=e-sinx, 则0(0,3,0).D(0,33,4),G(2w3,0) (7分) 因为r>0,所以e>1 4 参考答案及解析 数学 所以e>sinx,m(x)=e-sinx>0, 所以a=1+⑤ 4 (4分) 所以m(x)在x∈(0，十∞)时单调递增.可知 m(x)>m(0)=2-a. (9分) 所以？=4-2=1+5 8 当a≤2时，m(x)>0,即(x)>0, 所以E的标准方程为 所以∫(x)在r∈(0，十∞)上单调递增. (1+5 1+5 8 所以f(x)>f(0)=1成立. (12分) 即 =1. (6分) 当a>2时，m(0)=2-a<0,当x·十c∞时，m(x) 3+51+5 8 >0, (2)连接FA并延长与E交于点B,连接FB, 所以3x∈(0，十∞)使得m(6)=0, (14分) 则|AF:|+A,F,|<|AF,+IA,B,|+ 当x∈(0，x]时，m(x)<0, 1BF:=|BF,1+1BF1=2a=5+L,《8分) 即子(x)<0,即f(x)在(0，x]上单调递减， 2 所以f(xu)<f(0)=1,即Vx∈(0，十oo), 所以21RA1+1FA1<10O×1中5= 2 (x)>1不成立，舍去， (16分) 50(1+√5)， (11分) 综上，a≤2. (17分) 所以根据对称性山+d2= 19,解：(1)依题意，焦距2c=F,F:|=|PQ=1, 空IRA+ 所以一名 (2分) FA0(+5). (14分) 2a=PF:1+1PE1=1+E, 所以d,d中至少有一个小于25(1+5).(17分) 2 ·5