精品解析：安徽省合肥市长丰县隆兴中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

2022-2023学年安徽省合肥市长丰县隆兴中学 九年级（上）期末数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列结论错误的是（ ） A. 对角线相等、垂直的平行四边形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线垂直的四边形是菱形 2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，则∠B的度数是(　 　) A. 130° B. 120° C. 100° D. 90° 3. 如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，如果，那么的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 我们都知道龟兔赛跑的故事：兔子和乌龟比赛跑步，比赛开始后，兔子飞快冲出，而乌龟在地上慢慢地爬．兔子看乌龟落后很多，就躺着睡着了．当兔子睡醒时，乌龟已经离终点不远了，兔子用比原来更快的速度追赶，但还是输了比赛．下列图象中，能大致反映比赛时他们之间的距离与时间关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 某组数据的方差计算公式为，由公式提供的信息如下：①样本容量为3；②样本中位数为3；③样本众数为3；④样本平均数为；其说法正确的有（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ②③ D. ③④ 7. 如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④为定值，其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，则的最小值为( )． A. 3 B. 4 C. D. 9. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（　　） A. 28 B. 26 C. 32 D. 30 10. 如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 11. 现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数为1.85米，方差分别为s甲2＝0.32，s乙2＝0.26，则身高较整齐的球队是___________队． 12. 一座城墙高，墙外有一条宽的护城河，那么一架云梯至少要___________m才能到达城墙的顶端． 13. 如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，得到与，将沿方向平移得到，连接、，则的最小值为______． 14. 如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，且CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，试求BC+DE的值为_____． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. （1）计算：； （2）化简：． 16. 计算： （1） （2） 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 【问题情境】如图，在矩形中，，．点F是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点B的对应点为点E． 【猜想证明】（1）当点E落在边上时，四边形的形状为 ． （2）当平分时，连接，求． 【能力提升】（3）在【问题情境】的条件下，是否存在点F，使点F，E，D三点共线．若存在，请直接写出 的长；若不存在，请说明理由． 18. 在等边三角形中，于点D，半圆O的直径开始在边上，且点E与点C重合，．将半圆O绕点C顺时针旋转，当时，半圆O与相切于点P．如图1所示． （1）求的长度； （2）如图2．当，分别与半圆O交于点M，N时，连接，，． ①求的度数； ②求的长度； （3）当时，将半圆O沿边向左平移，设平移距离为x．当与的边一共有两个交点时，直接写出x的取值范围． 五、作图题（本题共10分） 19. 如图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图中画一个面积为10的正方形； （2）在图②中画一个面积为12的菱形，并直接写出这个菱形的周长． 六、综合题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 20. 某篮球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮成绩测试，每天投3分球10次，五天中进球的个数统计结果如下： 队员 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2． （1）求乙进球的平均数； （2）现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员参赛？为什么？ 21. 甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地；乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示． （1）求乙车从B地到达A地过程中的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求乙车到达B地时甲车距A地的路程． 七、证明题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 22. 在四边形中，，，，四边形周长为32，求和的长度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与，交于点，与y轴交于点，且． （1）求直线的解析式； （2）若第二象限有一点，使得，请求出点P的坐标； （3）线段上是否存在一个点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年安徽省合肥市长丰县隆兴中学 九年级（上）期末数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列结论错误的是（ ） A. 对角线相等、垂直的平行四边形是正方形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线垂直的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，结论正确，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，结论正确，不符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，结论正确，不符合题意； D、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，结论错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，解题的关键是掌握它们的判定方法． 2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，则∠B的度数是(　 　) A. 130° B. 120° C. 100° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得：∠A=∠C，∠A+∠B=180°，再根据∠A+∠C=160°计算出∠A的度数，进而可算出∠B的度数． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，∠A+∠B=180， ∵∠A+∠C=160， ∴∠A=80， ∴∠B=180−80=100. 故选C. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，对角相等，对边平行. 3. 如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，如果，那么的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】证明是的中位线，得到，再根据菱形的性质即可求解， 本题考查了，中位线，菱形的性质，解题的关键是：证明是的中位线． 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， ∵菱形， ∴， 故选：． 4. 我们都知道龟兔赛跑的故事：兔子和乌龟比赛跑步，比赛开始后，兔子飞快冲出，而乌龟在地上慢慢地爬．兔子看乌龟落后很多，就躺着睡着了．当兔子睡醒时，乌龟已经离终点不远了，兔子用比原来更快的速度追赶，但还是输了比赛．下列图象中，能大致反映比赛时他们之间的距离与时间关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找出关键节点，根据龟兔赛跑的过程分段分析，进而得出函数图象． 【详解】解：兔子睡着前，兔子和乌龟之间的距离逐渐增大， 兔子睡着时，乌龟继续前进，则兔子和乌龟之间的距离先缩短，直到为零，然后再逐渐增大， 兔子睡醒后，乌龟到达终点前，兔子和乌龟之间的距离逐渐缩短， 乌龟到达终点后，兔子和乌龟之间的距离逐渐缩短，且缩短的更快，表现在函数图象上为较“陡”，直到兔子和乌龟之间的距离为零， 符合这一过程的函数图象为C， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，正确理解每个时间段他们之间的距离的变化情况是解题的关键． 5. 如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法即可解决问题. 【详解】在直线AB的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6. 某组数据的方差计算公式为，由公式提供的信息如下：①样本容量为3；②样本中位数为3；③样本众数为3；④样本平均数为；其说法正确的有（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得该组数据为2，2，3，3，3，5，5，再由样本容量，中位数，众数，平均数的意义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该组数据为2，2，3，3，3，5，5， ∴样本容量为7，故①错误； 把这一组数据从小到大排列后，位于正中间的数为3， ∴样本中位数为3，故②正确； 3出现的次数最多， ∴样本众数为3，故③正确； 样本平均数为，故④错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查了求样本容量，中位数，众数，平均数，熟练掌握样本容量，中位数，众数，平均数的意义是解题的关键． 7. 如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④为定值，其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】如图1，连接AC、AN，AC交BD于点H，根据正方形的性质可得A，B，N，M四点共圆，进而可得∠ANM＝∠NAM＝45°，于是可判断①；由余角的性质可得∠HAM＝∠PMN，从而可利用AAS证明Rt△AHM≌Rt△MPN，可得MP＝AH，再根据正方形的性质即可判断②；如图2，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，根据旋转的性质和SAS可推得△RAN≌△QAN，进而可得RN=QN，进一步即可判断③；如图3，作MS⊥AB于S，MW⊥BC于W，由题意易得四边形SMWB是正方形，进一步即可推出△AMS≌△NMW，可得AS＝NW，进而得AB＋BN＝2BW，然后利用等腰直角三角形的性质即可判断④，于是可得答案． 【详解】解：如图1，连接AC、AN，AC交BD于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AC=BD，AH=CH，∠DBC＝∠ABD＝45°， ∵∠AMN＝∠ABC＝90°， ∴A，B，N，M四点共圆， ∴∠NAM＝∠DBC＝45°，∠ANM＝∠ABD＝45°， ∴∠ANM＝∠NAM＝45°， ∴AM＝MN，故①正确； ∵∠MAH+∠AMH=90°，∠PMN+∠AMH=90°， ∴∠HAM＝∠PMN， ∵∠AHM＝∠MPN=90°，AM＝MN， ∴Rt△AHM≌Rt△MPN（AAS）， ∴MP＝AH＝AC＝BD，故②正确； 如图2，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°至△ABR，使AD和AB重合，连接AN， 则AR=AQ，∠BAR=∠DAQ，∠ABR=∠ADQ=90°， ∴R、B、N三点在同一直线上， ∵∠BAN＋∠QAD＝∠NAQ＝45°， ∴∠RAN=∠QAN=45°， 又∵AN=AN， ∴△RAN≌△QAN（SAS）， ∴RN=QN，即BN＋DQ＝NQ，故③正确； 如图3，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W， ∵点M是对角线BD上的点， ∴四边形SMWB是正方形，有MS＝MW＝BS＝BW， ∵∠AMN=∠SMW=90°， ∴∠AMS=∠NMW， 又∵∠ASM=∠NWM=90°， ∴△AMS≌△NMW（ASA）， ∴AS＝NW， ∴AB＋BN＝SB＋BW＝2BW， ∵BW：BM＝1∶， ∴，故④正确． 故答案为D． 【点睛】本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质和判定、四点共圆、圆周角定理的推论、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及旋转的性质等知识，综合性强、具有相当的难度，正确添加辅助线、灵活应用所学知识是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，则的最小值为( )． A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，过点作，分别与、交于点、点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值． 【详解】解：过点作于点，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，， 设则 ， 当时，有最小值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，确定点运动的轨迹． 9. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（　　） A. 28 B. 26 C. 32 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】设，，，则，连接、交于点M，连接、，证明，得出，证明，得出，连接，交于点N，同理可得：，得出，求出，，从而得出，，延长作于点P，作于点Q，证明，得出，证明，，，求出，最后求出即可． 【详解】解：设，，，则， 连接、交于点M，连接、，如图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，，，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 连接，交于点N， 同理可得：， ∴， ∴，， ，， ∴， 即， ∴， 即， 得：， 解得：， 得：， 即， 解方程组：， 解得：， ∴， ∵a、b、c为正数， ∴，， 延长作于点P，作于点Q，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， 同理：，， ， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握勾股定理． 10. 如图，在中，，，，点P为边上一动点，于点E，于点F，连接，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．连接，取的中点G，连结，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而可知当时最小，利用直角三角形的性质求出的最小值即可得到答案． 【详解】解：连接，取的中点G，连结，， ，， ， ， ， ， ， 当时，取最小值，此时，的值也最小， ， ， ， ， 的最小值为， 此时，的最小值为． 故选C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 11. 现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数为1.85米，方差分别为s甲2＝0.32，s乙2＝0.26，则身高较整齐的球队是___________队． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的意义解答．方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）． 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 【详解】∵s甲2＞s乙2， ∴身高较整齐的球队是乙队． 故答案为乙． 【点睛】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 12. 一座城墙高，墙外有一条宽的护城河，那么一架云梯至少要___________m才能到达城墙的顶端． 【答案】13 【解析】 【分析】根据已知得出两条直角边，再利用勾股定理求出梯子的高度即可． 【详解】解：根据题意， ∵一座城墙高，墙外有一条宽的护城河， 由勾股定理，则 一架云梯至少要米； 故答案为：13 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键． 13. 如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，得到与，将沿方向平移得到，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，如图，连接，，由平移的性质可知，，，，可知在直线上运动，四边形是平行四边形，则，如图，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，，则，，，，由，可知当三点共线时，最小为， ，由，可知，即三点共线，则，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图，连接，， 由平移的性质可知，，，， ∴在直线上运动，四边形是平行四边形， ∴， 如图，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键． 14. 如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，且CD⊥BE，CD＝3，BE＝5，试求BC+DE的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过E作EF//DC交BC的延长线于F，再说明四边形DCFE是平行四边形可得EF＝CD＝3、CF＝DE，然后说明EF⊥BE，最后运用勾股定理求出BF的长即可． 【详解】解：过E作EF//DC交BC的延长线于F， ∵DE∥BC，EF∥DC， ∴四边形DCFE是平行四边形， ∴EF＝CD＝3，CF＝DE， ∵CD⊥BE， ∴EF⊥BE， ∴BC+DE＝BC+CF＝BF＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、平行四边形的判定与性质等知识点，通过做辅助线得到BC+DE的值为BF成为解答本题的关键． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式性质、绝对值化简、零指数幂以及整式的混合运算运算等知识，解题的关键是掌握运算的顺序和相关运算的法则． （1）根据二次根式性质、零指数幂和绝对值化简的计算法则化简每一项，再进行加减混合运算即可； （2）利用平方差公式和整式的乘法运算法则去括号，再进行合并同类项计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，并用完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 【点睛】本题考查二次根式混合运算，绝对值化简，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 【问题情境】如图，在矩形中，，．点F是射线上的一点，将矩形沿直线折叠，点B的对应点为点E． 【猜想证明】（1）当点E落在边上时，四边形的形状为 ． （2）当平分时，连接，求． 【能力提升】（3）在【问题情境】的条件下，是否存在点F，使点F，E，D三点共线．若存在，请直接写出 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）正方形；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明是菱形，最后再证明是正方形； （2）过点E作于点G，可得为等腰直角三角形，设，在中，由勾股定理得：，解得：，故由代入求解即可； （3）①点F在线段上，根据“平行线+角平分线”可以得到等腰三角形，即 ，对运用勾股定理得，则，点F在线段延长线上，同理可求． 【详解】解：（1）如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴此时， ∵翻折， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； （2）过点E作于点G，则 ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设 ∵翻折， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即， ∴； （3）①点F在线段上，当F、E、D三点共线时，如图： ∵翻折 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴中，由勾股定理得， ∴， ②点F在线段延长线上，当F、E、D三点共线时，如图： 同理可求：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．． 18. 在等边三角形中，于点D，半圆O的直径开始在边上，且点E与点C重合，．将半圆O绕点C顺时针旋转，当时，半圆O与相切于点P．如图1所示． （1）求的长度； （2）如图2．当，分别与半圆O交于点M，N时，连接，，． ①求的度数； ②求的长度； （3）当时，将半圆O沿边向左平移，设平移距离为x．当与的边一共有两个交点时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）6； （2），； （3）或或． 【解析】 【分析】（1）如图，连接，等边三角形中，于点D，半圆O与相切于点P，根据角所对的直角边等于斜边的一半可求解； （2）①根据圆周角可求解,②过O作于P，结合①，可求得， 根据角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可得，进而求解； （3）由题意可知，始终与的交于一点，即求出与再有E以外的一个交点即可；如图，当F在上时，结合已知，根据角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可得；如图，当半圆O与相切于点P时，连接，结合已知，根据角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可得，从而求解；如图，当F在上时，结合已知，根据角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可得，从而求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 等边三角形中，于点D， ， 半圆O与相切于点P， ，， ， ， 【小问2详解】 ①如图，由题意可知， 点M，N时，与半圆O上， ； ②过O作于P， ，， 【小问3详解】 由题意可知， 始终与的交于一点， 如图，当F在上时， 在中， ，，， ， ， ， 即 解得， ， 如图，当半圆O与相切于点P时，连接， ，， ， ， ， 即， 解得：， ， 如图，当F在上时， 在中， ，，， ， ， ， 解得， ， 综上所述，当与的边一共有两个交点时， 或或 【点睛】本题考查了圆的基本性质，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，等边三角形性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理；解题的关键是解含角的直角三角形． 五、作图题（本题共10分） 19. 如图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图中画一个面积为10的正方形； （2）在图②中画一个面积为12的菱形，并直接写出这个菱形的周长． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积为10，得到边长为，利用勾股定理得到正方形的边长为两条直角边分别为的直角三角形的斜边，进行作图即可； （2）根据菱形的面积为，画出一个对角线分别为的菱形即可，勾股定理求出菱形的边长，进而求出周长即可． 【小问1详解】 解：如图所示，正方形即为所求； 由图可知：，， ∴四边形为正方形，且面积为． 【小问2详解】 解：如图所示，菱形即为所求； 由图可知：与互相垂直平分，， ∴四边形为菱形，且面积为， ∴， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查格点作图，熟练掌握勾股定理，正方形的性质，菱形的判定和性质，是解题的关键． 六、综合题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 20. 某篮球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮成绩测试，每天投3分球10次，五天中进球的个数统计结果如下： 队员 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2． （1）求乙进球的平均数； （2）现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员参赛？为什么？ 【答案】（1）8 （2）选乙，理由： 乙的方差：， ∵， ∴乙成绩稳，选乙合适． 【解析】 【分析】（1）根据平均数的求法即可求解． （2）将乙的方差求出，再进行比较甲与乙的方差即可求解． 【小问1详解】 解：乙进球的平均数为：． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平均数、根据方差判断数据的稳定性，熟练掌握平均数的求法及方法的求法是解题的关键． 21. 甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地；乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示． （1）求乙车从B地到达A地过程中的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求乙车到达B地时甲车距A地的路程． 【答案】（1） （2）乙车到达B地时甲车距A地的路程是200千米 【解析】 【分析】（1）先用待定系数法求乙车从A地到B地过程中y与x的函数关系式，再求出乙车到达B地的时间为5小时，即m的值为5，再用待定系数法求出乙车从B地到达A地过程中的函数关系式，写出x的取值范围； （2）先求出甲车从B地前往A地过程中y与x的函数关系式为y＝−80x＋600，再求出当x＝5时的y值，即乙车到达B地时甲车距A地的路程． 【小问1详解】 解：设乙车从A地到B地过程中y与x的函数关系式为， 把（3，360）代入，得， 解得， ∴， 当y＝600时，则， 解得x＝5， ∴m＝5， 设乙车从B地到达A地过程中y与x的函数关系式为， 把（5，600），（11，0）代入，得， 解得， ∴， ∴乙车从B地到达A地过程中的函数关系式为； 【小问2详解】 设甲车从B地前往A地过程中y与x的函数关系式为， 把（3，360）代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴乙车到达B地时甲车距A地的路程是200千米． 【点睛】此题考查一次函数的图象、用待定系数法求函数关系式、一次函数的应用等知识，正确理解在不同范围内的函数图象所表示的实际意义是解题的关键． 七、证明题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 22. 在四边形中，，，，四边形周长为32，求和的长度． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理等知识．连接，先证明是等边三角形．得到，，进而得到．设，得到，根据勾股定理得到，解方程即可得到，． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 设， ∵四边形周长为32， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴， ∴，． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与，交于点，与y轴交于点，且． （1）求直线的解析式； （2）若第二象限有一点，使得，请求出点P的坐标； （3）线段上是否存在一个点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据，则，，即点A、的坐标分别为、，即可求解； （2）根据，可得点在过点和与点B关于x轴对称点且平行于的直线上，即可求解； （3）作直线关于y轴的对称直线，过点B作直线，交直线于点G，过点G作轴，垂足为Q，将线段绕点逆时针旋转到，并延长交直线于点，过点作轴，轴，垂足分别为H，E，证是等腰直角三角形，得到，推出，由旋转的性质得：，证，求出，进而求得，，从而得到，求出，得，求直线解析式为，联立直线与直线，求出，由对称可求，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ，， ∴、， 设直线的解析式为，将点、，代入得 ， 解得，， 即直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①当点在上方时， ∵，则点在过点且平行于的直线上， 该直线的表达式为：， 将点坐标代入上式得：， 解得：， 故点； ②当点在下方时，设B关于x轴对称点， ∵，则点在过点且平行于的直线上， 该直线的表达式为：， 将点坐标代入上式得：， 解得：， ∴点； 故点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在，的坐标为，理由如下： 作直线关于y轴的对称直线，过点B作直线，交直线于点G，过点G作轴，垂足为Q，将线段绕点逆时针旋转到，并延长交直线于点，过点作轴，轴，垂足分别为H，E， 由题意得：， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 同理，得， 点在直线上， ， ， 由旋转的性质得：，， 即此时点符合条件， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得：， 直线解析式为， 联立， 解得：， ， 关于y轴对称， ． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，旋转的性质，对称的性质，矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等，要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $