精品解析：黑龙江省哈尔滨市第五十九中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

2023-2024学年度下学期高一月考试题 考试科目：数学 一、单选题（共40分，每题5分） 1. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 7 4. 下列说法错误的是（ ） A. B. 、是单位向量，则 C. 两个相同的向量的模相等 D. 单位向量均相等 5. 已知，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 8. 设向量与的夹角为，定义，已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共20分，每题5分，全对得5分，部分选对得2分） 9. 已知，，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论中，错误的是（    ） A. 表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B. 若，则，不是共线向量； C. 若，则四边形是平行四边形； D. 有向线段就是向量，向量就是有向线段. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则与的方向相同或者相反 B. 若，为非零向量，且，则与共线 C. 若，则存在唯一的实数λ使得 D. 若，是两个单位向量，且，则 12. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则b取值范围是 D. 若D为边上的中点，则的最大值为 三、填空题（共20分） 13. 在下列各组向量中，①，②，③，④，不可以作为基底的是________. 14. 如图，在中，、分别为边、的中点. 为边上的点，且，若，，则的值为___________. 15. 已知向量，，若，则__________. 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则cosB的值为___________. 四、解答题（共20分） 17. 已知向量与，，． （1）设与的夹角为，求的值； （2）若向量与互相平行，求的值． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下学期高一月考试题 考试科目：数学 一、单选题（共40分，每题5分） 1. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可. 【详解】因为，，且，所以， 解得，所以D正确. 故选：D. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的减法运算可得答案. 【详解】， 故选：B 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】在中，直接利用余弦定理求解 【详解】在中，由余弦定理得：， 所以， 故选：D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. B. 、是单位向量，则 C. 两个相同的向量的模相等 D. 单位向量均相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量、单位向量的定义判断即可. 【详解】对于A：因为，又互为相反向量的两个向量的模相等，所以，故A正确； 对于B：因为、是单位向量，所以，故B正确； 对于C：两个相同的向量的模相等，故C正确； 对于D：单位向量的模相等均为，由于无法确定方向是否相同，故单位向量不一定相等，故D错误. 故选：D 5. 已知，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为，可得，进而求解. 【详解】，，即， ，，，即， 设向量与的夹角为，， 则，即，. 故选：D. 6. 在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 由正定理得：， 由于，所以 故选：A 7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，化简可得角的关系，进而判断三角形形状即可. 【详解】由正弦定理得， 因为，所以， 因为，所以或，又， 所以，所以为直角三角形． 故选：C. 8. 设向量与的夹角为，定义，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算法则求得与，进而求得，再代入，利用数量积求模长公式即可得解. 【详解】，，， 即，则， 故，得， ，， . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用转化法求得与，从而得解. 二、多选题（共20分，每题5分，全对得5分，部分选对得2分） 9. 已知，，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量坐标表示的线性运算即可得出答案. 【详解】解：因为，， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 10. 下列结论中，错误的是（    ） A. 表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； B. 若，则，不是共线向量； C. 若，则四边形是平行四边形； D. 有向线段就是向量，向量就是有向线段. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确； 对于B，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误； 对于C，若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误； 对于D，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，故D错误. 故选：BCD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则与的方向相同或者相反 B. 若，为非零向量，且，则与共线 C. 若，则存在唯一的实数λ使得 D. 若，是两个单位向量，且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，结合零向量的性质，共线向量的概念，以及向量的线性运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，，则与的方向相同或相反，所以A正确； 对于B中，由，为非零向量，表示与方向相同的单位向量， 表示与方向相同的单位相同，因为，所以与共线，所以B正确； 对于C中，当，且为非零向量时，此时不存在，所以C错误； 对于D中，由，可得，即， 即可得，故，所以D错误． 故选：AB． 12. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则b取值范围是 D. 若D为边上的中点，则的最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，利用正弦定理可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D. 【详解】根据平面向量数量积公式及三角形面积公式由， 因为，所以，故A错误； 由上可知：，故有两解，故B错误； 若为锐角三角形， 则，且，即， 由正弦定理可知：，故C正确； 若D为边上的中点，则， 由余弦定理知， 根据基本不等式有，当且仅当时取得等号， 所以， 即，故D正确. 故选：CD. 三、填空题（共20分） 13. 在下列各组向量中，①，②，③，④，不可以作为基底的是________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】借助基底的定义，判断两向量是否共线即可得. 【详解】对①：由可得为零向量，故，故①不能作为基底； 对②：由，，故两向量不共线，故②可以作为基底； 对③：由，故③不能作为基底； 对④：由，故④不能作为基底. 故答案为：①③④. 14. 如图，在中，、分别为边、的中点. 为边上的点，且，若，，则的值为___________. 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：为的中点，，，，，. 考点：平面向量的基底表示 15. 已知向量，，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再由向量垂直得到，即可求出，再根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以，解得， 所以. 故答案为： 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则cosB的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合三角恒等变换、正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理求得. 【详解】依题意，，， ， ，由正弦定理得， 所以. 故答案为： 四、解答题（共20分） 17. 已知向量与，，． （1）设与的夹角为，求的值； （2）若向量与互相平行，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数乘与加法的坐标公式计算可得，根据向量的夹角的坐标公式即可求解； （2）根据向量的平行的坐标表示列方程求的值． 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以，. 则，， ． 【小问2详解】 ， ， 由向量与互相平行可得，， 整理可得，，解得，． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案； （2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，则， 所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，， 所以，即， 因为，所以， 所以，解得. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $