精品解析：广东省江门市第一中学2024届高三下学期阶段性考试（一）数学试题

江门一中2024届高三下学期阶段性考试（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 8. 设为多面体的一个顶点，定义多面体在处的离散曲率为其中，为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，，…，，遍历多面体的所有以为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体（每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体），若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的，如果有两个选项正确的，选1对个得3分；如果有三个选项正确的，选对1个得2分，选对2个得4分. 9. 已知一组样本数据，其中为正实数.满足，下列说法正确的是（ ） A. 样本数据的第80百分位数为 B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 D. 若样本数据的方差，则这组样本数据的平均数等于2 10. 在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（ ） A. B. 2 C. D. 11. 已知双曲线（）的左､右焦点分别为F1（−c，0），F2（c，0）.直线与双曲线左､右两支分别交于A，B两点，M为线段AB的中点，且|AB|=4，则下列说法正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，若的展开式中存在常数项，则该常数项为__________. 13. 已知正四面体的内切球的表面积为，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为___________． 14. 已知函数，若存在实数，满足，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知递增等差数列满足，，数列满足. （1）求的前n项和； （2）若，求数列的通项公式. 16. 某店举行消费抽奖活动，顾客到店消费100元及以上，可参加一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有10张形状大小完全相同的卡片（7张红卡片，2张黄卡片，1张黑卡片）的抽奖箱中，一次性抽出3张卡片，其中1黑2黄，则全免单，1红1黄1黑，则享受5折优惠，1黑2红，则享受7折优惠，其余情况则享受8折优惠． （1）若某位顾客消费价格为100元的商品，求该顾客实际付款金额的分布列与数学期望． （2）若顾客通过抽奖享受8折优惠，则每消费满100元售货员可获得3元的提成；若顾客通过抽奖享受7折、5折或免单优惠，则每消费满100元售货员可获得2元提成若某售货员在某天可以接待100名消费满100元且不满200元的顾客，则该售货员可能获得的提成为多少元． 17. 已知多面体中，，且，， （1）证明:； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点． （1）若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值； （2）试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）当时，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门一中2024届高三下学期阶段性考试（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，解不等式求出集合，由，得，进而求出，从而可求出集合，最后根据并集的运算即可得出答案. 【详解】解：由题可知，， 而，即，解得：， 又由于，得， 因为，则，所以，解得：， 所以， 所以. 故选：D. 2. 已知，且，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合复数的运算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 又因为，即 化简可得：， 即，解得. 故选:A 3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可. 【详解】解：因为向量，且，那么， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和差余弦公式和辅助角公式可求得，结合二倍角余弦公式可求得结果. 【详解】，， . 故选：A. 5. 已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出，判断是等差数列，求出的通项公式，再求出，逐个判断即可. 【详解】当时，，解得； 当时，因为，代入得： ，化简得：， 所以是首项为，公差为的等差数列. 所以，因为，所以 所以，， ，经检验也成立， 所以， 对于B：， 所以B正确. 对于D： ， 所以D错误. 故选：B 6. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称中心结合正切函数性质可得，进而可求最小正周期. 【详解】因为函数的图象的一个对称中心为， 则，解得， 且，所以函数的最小正周期为， 对于选项A：若，此时，不合题意，故A错误； 对于选项B：若，此时，不合题意，故B错误； 对于选项C：若，解得，故C正确； 对于选项D：若，此时，不合题意，故D错误； 故选：C. 7. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，再利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】因为正实数x，y满足，所以， 则， 当且仅当且，即，时取等号. 故选：C. 8. 设为多面体的一个顶点，定义多面体在处的离散曲率为其中，为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，，…，，遍历多面体的所有以为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体（每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体），若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给定义，结合图形，分别计算出a，b，c，d的值即可 【详解】对于正四面体，其离散曲率； 对于正八面体，其离散曲率； 对于正十二面体，其离散曲率； 对于正二十面体，其离散曲率； 因为，所以， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的，如果有两个选项正确的，选1对个得3分；如果有三个选项正确的，选对1个得2分，选对2个得4分. 9. 已知一组样本数据，其中为正实数.满足，下列说法正确的是（ ） A. 样本数据的第80百分位数为 B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 D. 若样本数据的方差，则这组样本数据的平均数等于2 【答案】BCD 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可判断A；由极差的定义即可判断B，由频率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断；由方程计算公式即可判断D. 【详解】对于A，由，所以样本数据的第80百分位数为，故A错误； 对于B，由题意存在这样一种可能，若， 则极差为，此时样本数据的极差不变，故B正确； 对于C，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图， 由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处， 此时平均数大于中位数，故C正确； 对于D，由， 则，所以， 因为为正实数，所以，即，故D正确. 故选：BCD. 10. 在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由面积公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理将角化边，即可求出，再由正弦定理及三角恒等变换公式将转化为关于的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得. 【详解】在锐角中，由余弦定理及三角形面积定理得： ， 即有，而，则， 又， 由正弦定理、余弦定理得，，化简得：， 由正弦定理有：，即，， 又是锐角三角形且，有，，解得， 因此， 由得：，， 所以， 结合选项，的可能取值为，，. 故选：ACD 11. 已知双曲线（）的左､右焦点分别为F1（−c，0），F2（c，0）.直线与双曲线左､右两支分别交于A，B两点，M为线段AB的中点，且|AB|=4，则下列说法正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】连接，设，由已知，利用双曲线的定义求得，判断D正确，根据直线的斜率把图中线段用表示，从而求得，得离心率判断A，由数量积的定义计算数量积判断BC． 【详解】如图，连接，设，因为，所以，D正确. 又为线段的中点，所以.又，所以，则，得，所以双曲线的离心率为，A不正确； ，B正确，C不正确. 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，若的展开式中存在常数项，则该常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式及常数项的特点即可求解. 【详解】由题意可知，的展开式中的通项公式为. 令，解得， 又因为，且， 所以, 所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 已知正四面体的内切球的表面积为，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由内切球的表面积求出内切球的半径，过点A作平面BCD，连接BH并延长交CD于点E，且点E为CD中点，连接，记内切球球心为O，过O作，设正四面体边长为，然后结合正四面体的性质可求出，从而可求出截面的面积. 【详解】解：由内切球的表面积，得内切球半径 如图，过点A作平面BCD，则点H为等边的中心 连接BH并延长交CD于点E，且点E为CD中点，连接， 记内切球球心为O，过O作，设正四面体边长为， 则， 所以， 又因为，所以， 由，得，即，解得 因为过棱AB和球心O，所以即为所求截面 且. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查正四面体与其外接球问题，考查球的表面积公式，解题的关键是根据正四面体的性质找出外接球的球心，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题. 14. 已知函数，若存在实数，满足，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出的函数图象，得出，，将化简为，构造函数，，由得出单调递增，求出的最大值，即可求得答案． 【详解】解：作出的函数图象如图所示： ∵存在实数，满足， ， ， 由图可知，， ， 设，其中， ，显然在单调递增， ， ，， 在单调递增， 在的最大值为， 的最大值为， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知递增等差数列满足，，数列满足. （1）求的前n项和； （2）若，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列公式，列出方程组，求得的hi，得到，进而求得，得到答案. （2）由（1）得到，化简得到，代入数据计算得到答案. 【详解】（1）设数列公差为，由， 解得或（舍去）， 所以， 则，即，所以， 所以数列的前n项和. （2）由（1）知， 又由， . 【点睛】本题考查了等差、等比数列通项公式，等比数列的前和公式，以及“分组法”求和的应用， 其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式，以及合理利用“分组法”求和，准确计算是解答的关键，注重考查推理与运算能力，属于中档试题. 16. 某店举行消费抽奖活动，顾客到店消费100元及以上，可参加一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有10张形状大小完全相同的卡片（7张红卡片，2张黄卡片，1张黑卡片）的抽奖箱中，一次性抽出3张卡片，其中1黑2黄，则全免单，1红1黄1黑，则享受5折优惠，1黑2红，则享受7折优惠，其余情况则享受8折优惠． （1）若某位顾客消费价格为100元的商品，求该顾客实际付款金额的分布列与数学期望． （2）若顾客通过抽奖享受8折优惠，则每消费满100元售货员可获得3元的提成；若顾客通过抽奖享受7折、5折或免单优惠，则每消费满100元售货员可获得2元提成若某售货员在某天可以接待100名消费满100元且不满200元的顾客，则该售货员可能获得的提成为多少元． 【答案】（1）的分布列为： 0 50 70 80 P ，数学期望为元 （2）270元 【解析】 【分析】（1）可得付款金额可能为0，50，70，80，求出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望； （2）可得100名顾客中享受8折优惠的人数，根据二项分布即可求出. 【小问1详解】 该顾客实际付款金额为元，则可能为0，50，70，80． ；； ； 则的分布列为： 0 50 70 80 P ， 该顾客实际付款金额的数学期望为元． 【小问2详解】 设100名顾客中享受8折优惠的人数为Y人， 则， 售货员获得的提成为Z元， ， （元） 该售货员可获得的平均提成为270元． 17. 已知多面体中，，且，， （1）证明:； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接,， 在中，，，， ， 可得，即， 同时，可得， 同理可得， 因为，，且平面，平面，， 所以平面； 又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，得平面，从而证明； （2）由条件证得，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，易得，且， 所以，同时，， 以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，如图所示， 建立空间直角坐标系. 其中，，，， ，， 设向量为平面的法向量， 满足， 不妨取，， 直线与平面所成角的正弦值为： . 18. 已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点． （1）若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值； （2）试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）如图， 由，设，直线， 代入，整理得：， 由解得： 由韦达定理：， 由， 同理，． 为定值． 另法：由， 同理，． 由于，不妨设， 则． 由， 得． 所以为定值． （2）圆过定点 【解析】 【分析】（1）设直线，与双曲线方程联立得出韦达定理，根据弦长公式表示，再代入求得结果. （2）表示圆的方程，由对称性可知定点在轴上，令进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意：圆的方程为 即 由对称性可知：若存在定点，则必在轴上 令，有 由（1）可知， 代入方程后有：， 即， 令即．故圆过定点． 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）先求导数，利用导数判断单调性，根据单调性得出极值； （2）原问题转化为不等式在上恒成立，方法一通过研究函数单调性求得的最小值为，从而求出；方法二通过同构构造函数并研究其单调性最值，从而说明的最小值为，进而求出. 【小问1详解】 求导得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. 【小问2详解】 方法一：由题知不等式在上恒成立， 则原问题等价于不等式在上恒成立， 记， 则， 记，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以存在，使得， 即当时，，此时；当时，，此时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由，得， 即， 所以， ①当时， 因为，所以不等式恒成立， 所以； ②当时， 因为存在，使得，而， 此时不满足， 所以无解. 综上所述，. 方法二：由题知不等式在上恒成立， 原问题等价于不等式在上恒成立， 即在上恒成立. 记，则，当单调递减，单调递增， 因为即， ①当时， 因为，所以不等式恒成立，所以； ②当时，令，显然单调递增，且， 故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：已知不等关系求解参数范围时，求解的关键是转化为函数最值问题求解，求解最值时常借助隐零点、同构等方法进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $