山东省济宁市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2023—2024学年度第二学期质量检测 高一数学试题 2024.07 本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知 2i z=1-i ,则z= A.1-i B.1+i C.-1+i D.-1-i 2.已知向量a=(1,m),b=(4,6),c=(1,1),若a//(b-2c),则m= A.2 B.-2 C. 1 2 D.- 1 2 3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙三个社 区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、 乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16,20,26,则这三个社区驾驶员的总人数N 为 A.744 B.620 C.372 D.162 4.如图是函数f(x)= 3tan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< π 2 )的部分图象,则f(x)= A.3tan(2x+ π 6 ) B.3tan(2x+ π 3 ) C.3tan(4x+ π 6 ) D.3tan(4x+ π 3 ) 5.在△ABC 中,BD→= 1 3DC →,记AB→=m,AD→=n,则AC→= A.3m-2n B.3n-2m C.4m-3n D.4n-3m 6.对24小时内降落在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义: 积水厚度(mm) 0~10 10~25 25~50 50~100 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 )页4共(页1第 题试学数一高 小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水,如图所示,则这一天的雨 水属于哪个等级 A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨 7.如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与 D.设∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,则塔高AB 为 A. s·sinβ·tanθ sin(α+β) B. s·sinβ sin(α+β)·tanθ C. s·sin(α+β)·tanθ sinβ D. s·sin(α+β) sinβ·tanθ 8.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 都是常数,A>0,ω>0),若f(x)在区间[0, π 3 ]上具有 单调性,且f( π 3 )=f( π 2 )=-f(0),则f(x)的最小正周期为 A. 3π 2 B.π C. π 2 D. π 4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.把函数f(x)=sin(4x- π 3 )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再把所 得曲线向左平移π 3 个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)= A.sin(2x+ 2π 3 ) B.sin(2x+ π 3 ) C.cos(2x- π 6 ) D.cos(2x+ 5π 6 ) 10.体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容,对学生的发展有着不可忽视的重要作 用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神,举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次 各自投10个球,每人8次机会,每次投篮投中个数记录如下: 同学 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲(投中个数) 6 7 5 6 4 3 8 9 乙(投中个数) 8 4 6 7 6 5 7 5 记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为x甲、x乙,方差分别为s2甲、s2乙 . )页4共(页2第 题试学数一高 则下列结论正确的是 A.x甲>x乙 B.x甲=x乙 C.s2甲<s2乙 D.s2甲>s2乙 11.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,O 为下底面的中心,P 为DD1 的中点, 则下列结论正确的是 A.PO⊥B1C B.直线PA 与BD 所成角的余弦值为 10 5 C.PO 与平面ABB1A1 所成角为 π 4 D.三棱锥B1-PAC 的外接球的表面积为 33π 12 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知一组数据为5,6,7,7,8,9,则该组数据的第75百分位数是 ▲ . 13.某校举行立体几何模型制作比赛,某同学制作的模型如图所示:底面 ABC 是边长为12(单位:厘米)的正三角形,△DAC,△EBC,△FAB 均 为正三角形,且他们所在的平面都与底面ABC 垂直,则该几何模型的体 积为 ▲ 立方厘米. 14.已知△ABC 三个顶点A、B、C 及平面内一点P,满足AP→=2AB→+AC→,且(PA→+PB→)·AB→ =(PA→+PC→)·AC→=(PB→+PC→)·BC→,则sin∠BAC= ▲ . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 人工智能发展迅猛,在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后,可以为用户提 供更个性化的服务,某用户提出:“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间,并形成统 计表”.地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出 来,将数据分成了 45,55 ,55,65 ,65,75 ,75,85 ,85,95 (单位:秒)这5组,并整理 得到频率分布直方图,如图所示. (1)估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司 的红灯等待时间不超过60秒的次数; (2)估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待 时间的平均数. 16.(15分) 设向量a=(2sinx,cosx),b=(2cosx,-sinx),c=(cosy,-2siny). (1)若(a-3b)⊥c,求tan(x-y)的值; (2)若f(x)=|a-b|,x∈(0, 5π 12 ],求f(x+ π 6 )的取值范围. )页4共(页3第 题试学数一高 17.(15分) 如图所示,AB 为圆锥PO 底面的直径,C 为圆O 上异于A、B 的一点,D、F 分别为AC、PA 的中点,连接DO 并延长交圆O 于点E. (1)证明:AC⊥平面PDE; (2)证明:EF//平面PBC. 18.(17分) 记锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知(a-2c)cosC+ccosA=0,且a>c. (1)证明:B=2C; (2)若BD→= 1 2DC →,AD= 76 3 ,且cosB= 1 3 ,求b,c; (3)若cos(A-C)+λsinB 存在最小值,求实数λ的取值范围. 19.(17分) 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA→=a,OB→=b,则∠AOB 叫做向量a,b 的 夹角,记作<a,b>.定义a 与b的“向量积”为:a×b是一个向量,它与向量a,b 都垂直,它 的模 a×b = a · b sin<a,b>.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形, PD⊥底面ABCD,DP=DA=4,E 为AD 上一点,AD→×BP→ =85. (1)求AB 的长; (2)若E 为AD 的中点,求二面角P-EB-A 的余弦值; (3)若M 为PB 上一点,且满足AD→×BP→=λEM→,求|λ|. )页4共(页4第 题试学数一高 2023—2024学年度第二学期质量检测 高一数学试题参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。 1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。 9.BC 10.BD 11.ABD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 8 13. 486 14. 10 4 四、解答题:本题共5小题,共77分。 15.解:(1)因为各组频率之和为1,组距为10. 所以10×(0.01+m+0.035+0.02+0.01)=1 解得:m=0.025 3分…………………………………………………………………………… 该用户早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的频率为: 10×(0.01+ 0.025 2 )=0.225 5分……………………………………………………………… 所以该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的 次数约为:200×0.225=45 8分………………………………………………………………… (2)由题意可知各组的频率分别为:0.1,0.25,0.35,0.2,0.1 10分………………………… 所以该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数约为: 0.1×50+0.25×60+0.35×70+0.2×80+0.1×90=69.5. 13分………………………… 16.解:(1)因为(a → -3b →)⊥c → 所以(a → -3b →)·c → =0 2分……………………………………………………………………… 即:a →·c → -3b →·c → =2sinxcosy-2cosxsiny-3(2cosxcosy+2sinxsiny)=0 即:2sin(x-y)-6cos(x-y)=0 5分………………………………………………………… 所以tan(x-y)=3 6分………………………………………………………………………… (2)a → -b → =(2sinx-2cosx,cosx+sinx) 7分………………………………………………… |a → -b → |2=(2sinx-2cosx)2+(cosx+sinx)2 =4sin2x-8sinxcosx+4cos2x+cos2x+2sinxcosx+sin2x =5-6sinxcosx=5-3sin2x 10分…………………………………………………………… 所以f(x)=|a → -b → |= 5-3sin2x,x∈(0, 5π 12 ] 11分……………………………………… 所以f(x+ π 6 )= 5-3sin(2x+ π 3 ) 由x∈(0, 5π 12 ]得:2x+ π 3∈ (π 3 ,7π 6 ] 12分…………………………………………………… )页4共(页1第 案答考参题试学数一高 所以sin(2x+ π 3 )∈[- 1 2 ,1]可知5-3sin(2x+ π 3 )∈[2, 13 2 ] 所以 5-3sin(2x+ π 3 )∈[2, 26 2 ] 14分…………………………………………………… 故f(x+ π 6 )的取值范围为[2, 26 2 ] 15分…………………………………………………… 17.(1)证明:由题意可知PO⊥平面ABC,AC⊂平面ABC. 所以PO⊥AC 2分……………………………………………………………………………… 由AB 为圆O 的直径,C 为圆O 上异于A、B 的一点可知BC⊥AC. 因为D 为AC 的中点,所以BC//DE,所以DE⊥AC 4分………………………………… 又因为PO⊂平面PDE,DE⊂平面PDE,PO∩DE=O 6分……………………………… 所以AC⊥平面PDE 7分……………………………………………………………………… (2)证明:连接DF,因为D、F 分别为AC、PA 的中点, 所以DF//PC 8分…………………………………………… 又DF⊄平面PBC,PC⊂平面PBC. 所以DF//平面PBC. 10分………………………………… 同理DE//平面PBC. 12分………………………………… 又因为DE⊂平面DEF,DF⊂平面DEF,DE∩DF=D 所以平面DEF//平面PBC. 14分…………………………… 又因为EF⊂平面DEF 所以EF//平面PBC. 15分…………………………………………………………………… 18.解:(1)由 a sinA= b sinB= c sinC ,(a-2c)cosC+ccosA=0,可得: (sinA-2sinC)cosC+sinCcosA=0, 2分……………………………………………………… 从而sin(A+C)=sin2C,即sinB=sin2C 3分……………………………………………… 从而B=2C,或B+2C=π, 由a>c,可知A>C,所以B+2C=π(舍去), 4分…………………………………………… 故B=2C 5分…………………………………………………………………………………… (2)因为cosB= 1 3>0 ,可知B∈(0, π 2 ),所以sinB= 22 3 , 又B=2C,从而C∈(0, π 2 ), 所以cosB=cos2C=2cos2C-1= 1 3 ,可知:cosC= 6 3 ,sinC= 3 3 , 所以cosA=-cos(B+C)=-(cosBcosC-sinBsinC)= 6 9 , 7分………………………… 因为BD→= 1 2DC →,可知AD→= 2 3AB →+ 1 3AC →, 8分…………………………………………… )页4共(页2第 案答考参题试学数一高 AD→ 2= 4 9AB →2+ 1 9AC →2+ 4 9AB →·AC→, 9分………………………………………………… 即76 9= 4 9c 2+ 1 9b 2+ 46 81cb① 又 b sinB= c sinC ,B=2C 所以b c=2cosC= 26 3 ,② 由①②解得:b=26,c=3. 11分……………………………………………………………… (3)因为△ABC 为锐角三角形,且A>C, 所以 0<A< π 2 0<B< π 2 0<C< π 2 A>C 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,即 0<π-3C< π 2 0<2C< π 2 0<C< π 2 C<π-3C 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , 解得:π 6<C< π 4 ,即π 3<2C< π 2 ,可知 3 2<sin2C<1 , 13分………………………………… 又cos(A-C)+λsinB=cos(π-4C)+λsin2C =-cos4C+λsin2C=2sin22C+λsin2C-1 14分………………………………………………… 令t=sin2C,则t∈( 3 2 ,1), 所以cos(A-C)+λsinB=2t2+λt-1 15分………………………………………………… 对称轴t=- λ 4 ,又cos(A-C)+λsinB 存在最小值 所以t=- λ 4∈ (3 2 ,1), 解得-4<λ<-23 故实数λ的取值范围为 -4,-23 17分…………………………………………………… 19.解:(1)由已知得AD//BC,BC⊥PC. 所以∠PBC 为异面直线AD 与PB 所成的角. 即:<AD→,BP→>=∠PBC 1分………………………………………………………………… 设AB=x,在Rt△PBC 中,sin∠PBC= PC PB= 16+x2 32+x2 3分……………………………… 又 AD→×BP→ =85 则4× 32+x2× 16+x2 32+x2 =85 )页4共(页3第 案答考参题试学数一高 解得:x=2 故AB=2. 5分…………………………………………………………………………………… (2)在平面ABCD 内过点D 作DF⊥BE 交BE 的延长线于点F,连接PF. 因为PD⊥底面ABCD,BF⊂平面ABCD 所以BF⊥PD,又DF∩PD=D 可知BF⊥平面PDF. 所以BF⊥PF 则∠PFD 为二面角P-EB-D 的平面角 7分………… 因为E 为AD 的中点 所以DF= 2,PF=32. 从而cos∠PFD= DF PF= 1 3 9 分………………………… 设二面角P-EB-A 的平面角为θ,则θ=π-∠PFD 10分……………………………… 所以cosθ=-cos∠PFD=- 1 3 11 分………………………………………………………… (3)由题意可知AD→×BP→⊥AD→,AD→×BP→⊥BP→,又AD→×BP→=λEM→ 则EM⊥AD,EM⊥BP 又AD//BC,所以EM⊥BC 又BC∩PB=B 所以EM⊥平面PBC 13分………………………………… 在平面PDC 内过点D 作DN⊥PC,垂足为N, 则DN⊥平面PBC 14分…………………………………… 在平面PBC 内过点N 作NM//BC 交PB 于点M, 在AD 上取点E,使DE=MN 15分……………………… 则DE//MN,DE=MN 所以四边形DEMN 为平行四边形. 所以EM→=DN→. 又|DN→|= 45 5 即:|EM→|= 45 5 16 分………………………………………………………… 所以|λ|= |AD→×BP→| |EM→| = 85 45 5 =10 17分……………………………………………………… )页4共(页4第 案答考参题试学数一高