精品解析：河北省石家庄市赵县柏林中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

河北省赵县柏林中学2022−2023学年度第一学期八年级 数学期末质量检测卷 一、选择题、（本大题有 16个小题，1~10小题每题3分：11~16小题每题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果一个多边形的边数增加2，那么关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（ ） A. 内角和、外角和均增加 B. 外角和不变，内角和增加 C. 内角和不变，外角和增加 D. 内角和、外角和均不变 2. 如图，≌，若，，则长为（    ） A. 6cm B. 7cm C. 4cm D. 3cm 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 若一个边形的内角和为，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，一束光线与水平面成60°角照射到地面，现在地面AB上支放着一块平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线射出(∠1=∠2)，那么平面镜CD与地面AB所成∠DCA度数为(　　) A. 30° B. 45° C. 50° D. 60° 8. 如图，把一根直尺与一块直角三角尺如图放置，若，则的度数为（ ）． A. 120° B. 122° C. 58° D. 146° 9. 在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（ ） A. B. C. D. 10. 下列计算中正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，平分，，的面积12，则AB的长是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 12. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ） A. (-3，2) B. （2，-3） C. （1，-2） D. （-1，2） 13. 下列各式不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ） A. B. C. D. 16. 从，，，，这五个数中，随机抽取一个数，记为，若使得关于，的二元一次方程组有解，且使关于的分式方程有正数解，那么这五个数中所有满足条件的的值之和是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共3题，每题4分，共12分） 17. 因式分解：_______． 18. 如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AC上，AD＝1． （1）△ABC的周长等于_____； （2）线段PQ在边BA上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC，QD，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____． 19. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分别以点A 、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为________． 三、解答题（本大题共6题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 因式分解的思想对解决其它一些数学问题有很大的帮助，比如探求方程的解时，我们可以这样处理： 第一步：将方程的左边通过提取公因式进行因式分解得：． 第二：依据“两个数之积为零，则这两个数中必有一个数为零”得：或． 第三：分别解上述两个一元一次方程得：或． 所以原方程的解为：，． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求方程的解． 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数． 22. 如图所示，已知中，D为上一点，E为外部一点，交于一点O，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，的顶点A、和的顶点、在一条直线上，且，，请你再添加一个条件使得，并说明理由． 24. 如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合） （1）求证：； （2）当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由． 25. 某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动．已知A班每天植树量是B班每天植树量的1.5倍，A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天，求A、B两班每天各植树多少棵？ 26. 平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． （1）探究发现：如图1，P是等边内一点，．求的度数． 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵， ∴ ∴为 三角形． ∴的度数为 ． （2）类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P．连接，若，求的长； （3）拓展迁移：如图3，若点P是正方形外一点 ，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省赵县柏林中学2022−2023学年度第一学期八年级 数学期末质量检测卷 一、选择题、（本大题有 16个小题，1~10小题每题3分：11~16小题每题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果一个多边形的边数增加2，那么关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（ ） A. 内角和、外角和均增加 B. 外角和不变，内角和增加 C. 内角和不变，外角和增加 D. 内角和、外角和均不变 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是，内角和公式是进行判断即可． 【详解】解：∵多边形的外角和是， ∴边数增加2，外角和不变， ∵边形的内角和是，边数增加2之后的内角和是， ∴边数增加2，内角和增加， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和与内角和，熟练掌握多边形的外角和是以及内角和公式是解题的关键． 2. 如图，≌，若，，则长为（    ） A. 6cm B. 7cm C. 4cm D. 3cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：≌， ， ，即， ，， ， 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，线段的和与差．掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据合并同类项、幂的乘方法则、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解答即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故A选项计算错误； B．，故B选项计算错误； C．，故C选项计算错误； D．，故D选项计算正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则． 4. 下列从左到右变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解，熟练掌握此定义是解此题的关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解： A、右边，左边不等于右边，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意； B、，右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意； C、，右边是整式的积的形式，故从左到右的变形是因式分解，所以本选项正确，符合题意； D、，右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】以点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则点关于轴对称，符合题意． 【详解】解：如图所示，以点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系， 点关于轴对称， 故选：B． 【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点，坐标与图形，确定原点的位置是解题的关键． 6. 若一个边形的内角和为，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 根据边形的内角和为列出关于的方程，解方程即可求出边数的值． 【详解】解：这个多边形的边数是， 则， 解得：． 故选：D． 7. 如图，一束光线与水平面成60°角照射到地面，现在地面AB上支放着一块平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线射出(∠1=∠2)，那么平面镜CD与地面AB所成∠DCA度数为(　　) A. 30° B. 45° C. 50° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】如图，根据对顶角相等可得出∠2=∠3，再根据两直线平行得出∠1+∠2=60°，再根据∠1=∠2求出∠2的度数，最后由三角形外角的性质得出结论. 【详解】如图所示， ∵∠2与∠3是对顶角 ∴∠2=∠3 ∵MN//AB ∵∠1+∠3=60°， ∴∠1+∠2=60°， ∵∠1=∠2 ∴∠2=30° ∵∠2+∠DCA=60° ∴∠DCA=60°-∠2=60°-30°=30° 故选：A. 【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，求出∠2=30°是解决此题的关键. 8. 如图，把一根直尺与一块直角三角尺如图放置，若，则的度数为（ ）． A. 120° B. 122° C. 58° D. 146° 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质和三角形外角的性质即可求解． 【详解】如图，因为直尺的对边平行， 所以∠1=∠3， ∴∠2=∠3+90°=32°+90°=122°， 故选：B． 【点睛】 本题考查了两直线平行同位角相等，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，解题关键是牢记相关概念． 9. 在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于，则点D为AB的垂直平分线与BC的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 10. 下列计算中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方，正确计算是解题的关键． 11. 如图，在中，，平分，，的面积12，则AB的长是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质定理可以得到DE=DC=3，再根据三角形的面积公式即可得出AB． 【详解】过点D作DE⊥AB于E， ∵，平分，， ∴DE=DC=3， ∵的面积12， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握是本题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ） A. (-3，2) B. （2，-3） C. （1，-2） D. （-1，2） 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案． 【详解】解：点A的坐标是（﹣2，3），向右平移4个单位长度后的坐标为（2，3），再关于x轴对称的坐标为（2，-3）， 故选B． 13. 下列各式不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式的特征，两个数的和乘以两个数的差对各选项进行判断． 【详解】解：符合平方差公式的结构， 能用平方差公式计算； 不符合平方差公式的结构， 不能用平方差公式计算； 符合平方差公式的结构， 能用平方差公式计算； 符合平方差公式的结构， 能用平方差公式计算． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2．熟练掌握平方差公式特征是解题的关键． 14. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方和完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：A、，该选项正确； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方和完全平方公式，准确的计算是解决本题的关键． 15. 如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．根据题意可得拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， 【详解】解：根据题意得：拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， ∴． 故选：D 16. 从，，，，这五个数中，随机抽取一个数，记为，若使得关于，的二元一次方程组有解，且使关于的分式方程有正数解，那么这五个数中所有满足条件的的值之和是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别解出二元一次方程组，分式方程，根据题意得到满足条件的m的值，计算即可． 【详解】解：解方程组， 解得：， 当方程组有解时，， 解分式方程，得， ∵关于的分式方程有正数解， ∴， 解得，， 当，即时，分式方程无解， ∴， ∴或， ∴满足条件的的值之和为：． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解法、二 元一次方程组的解法， 正确解出分式方程、二元一次方程组是解题的关键． 二、填空题（本大题共3题，每题4分，共12分） 17. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 18. 如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AC上，AD＝1． （1）△ABC的周长等于_____； （2）线段PQ在边BA上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC，QD，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____． 【答案】 ①. 12 ②. 见解析，过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形 【解析】 【分析】（1）根据三角形周长公式计算； （2）过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形． 【详解】（1）△ABC的周长等于， 故答案为：12； （2）如图： 故答案为：过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形． ． 【点睛】此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键． 19. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分别以点A 、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质与作法得出AD=BD，再利用等腰三角形的性质以及直角三角形的性质得出AD的长． 【详解】解：∵分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D， ∴MN垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴∠DAB=∠B=15°， ∴∠ADC=30°， ∵∠C=90°，AC=2， ∴AD=2AC=4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了基本作图，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 三、解答题（本大题共6题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 先仔细阅读材料，再尝试解决问题： 因式分解的思想对解决其它一些数学问题有很大的帮助，比如探求方程的解时，我们可以这样处理： 第一步：将方程的左边通过提取公因式进行因式分解得：． 第二：依据“两个数之积为零，则这两个数中必有一个数为零”得：或． 第三：分别解上述两个一元一次方程得：或． 所以原方程的解为：，． 解决问题：请根据上面的解题思路，探求方程的解． 【答案】或 【解析】 【分析】把方程左边提取公因式进行分解因式得到，由此可得或，分别解两个一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴或． 解得：或． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，求∠BAC的度数． 【答案】∠BAC＝20°． 【解析】 【分析】利用等腰三角性的性质可得到AE⊥BC，利用补角的概念可求出∠CDE的度数，进而可求∠DCE的度数，利用角平分线的定义和角的等量代换可得到∠B＝∠ACB＝80°，再通过三角形内角和为运算求解即可． 【详解】∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）， ∵∠ADC＝130°， ∴∠CDE＝50°， ∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝40°， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠DCE＝80°． 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝20． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义，熟练运用等腰三角形的性质转化角的度数是解题的关键． 22. 如图所示，已知中，D为上一点，E为外部一点，交于一点O，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在C和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定、三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据已知条件即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再利用等式的性质得到，最后利用三角形内角和定理得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，的顶点A、和的顶点、在一条直线上，且，，请你再添加一个条件使得，并说明理由． 【答案】 解：答案不唯一． 添加的条件为． 理由：在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】添加条件由证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 24. 如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合） （1）求证：； （2）当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵点O为对角线的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）四边形为菱形， 理由如下：连接、，如图所示： 根据解析（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）连接、，根据，得出，根据，证明四边形为平行四边形，根据，证明四边形为菱形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动．已知A班每天植树量是B班每天植树量的1.5倍，A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天，求A、B两班每天各植树多少棵？ 【答案】A班每天植树30棵，B班每天植树20棵． 【解析】 【分析】设B班每天植树x棵，从而可得A班每天植树棵，再根据“A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天”建立分式方程，解方程即可得． 【详解】设B班每天植树x棵，则A班每天植树棵， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：A班每天植树30棵，B班每天植树20棵． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． 26. 平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． （1）探究发现：如图1，P是等边内一点，．求的度数． 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是 三角形． ∵， ∴ ∴为 三角形． ∴的度数为 ． （2）类比延伸：如图2，在正方形内部有一点P．连接，若，求的长； （3）拓展迁移：如图3，若点P是正方形外一点 ，求的度数． 【答案】（1）等边，直角，150度 （2）6 （3）45度 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等边三角形，勾股定理逆定理，得到为直角三角形，进一步求解即可； （2）把绕点B顺时针旋转90°得到，旋转的性质，推出是等腰直角三角形，求出，再利用勾股定理进行求解即可； （3）将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接，得到，利用勾股定理及其逆定理，得到是直角三角形，且，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：将绕点A旋转到的位置，连接，则是等边三角形． ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∴的度数为． 故答案为：等边，直角，150度； 【小问2详解】 如图1，把绕点B顺时针旋转90°得到， 则， ∵旋转角是， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，； 【小问3详解】 将绕点B逆时针旋转90°，得到，连接， ∴， ∴， 在中，， ∴，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是通过旋转，构造特殊图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $