精品解析：安徽省六安市叶集皖西当代中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

绝密★启用前 叶集皖西当代中学高一年级期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数与其共轭复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 3. 的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 1或3 4. 已知m，n为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列条件能推出的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，，， 5. 若为的边的中点，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知向量与的夹角为120°，||＝3，|＋|＝，则等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 7. 已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 的内角的对边分别为，且，，则（ ） A B. 的外接圆半径为 C. 的面积的最大值为 D. 周长的取值范围是 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于样本数据：，下列结论中正确的是（ ） A. 极差为6 B. 众数为7 C. 中位数为8 D. 平均数为8 10. 湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点．某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点，测得米，，，则（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 11. 已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ） A. 三角形面积的最大值为 B. 三棱锥体积的最大值 C. 四面体外接球表面积的最小值为11 D. 直线SP与平面所成角的余弦值的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数虚部为______. 13. 若一组数据方差为1，则数据的标准差为______. 14. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若与共线，求的值. 16. 已知三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，侧棱底面ABC，，E为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积 17. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求图中的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从成绩在第四､五组的志愿者中，按比例分配的分层抽样方法随机抽取5人，再从这5人中选出两人，求选出的两人成绩来自同一组的概率. 18. 的内角的对边分别为，其面积为. （1）求角； （2）若的角平分线交于点，且，求的值. 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，，． （1）证明：平面PAB⊥平面ABCD； （2）求二面角P－AD－B的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 叶集皖西当代中学高一年级期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数与其共轭复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的计算公式及复数的几何意义即可判断. 【详解】设复数，则， 所以，即 所以， 所以 所以复数在复平面上对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 2. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】设事件A为不用现金支付， 则 故选：B. 3. 的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 1或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理运算求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或. 故选：D. 4. 已知m，n为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列条件能推出的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可判断A；根据平面与平面关系的判定可判断BCD. 【详解】对A，若，，则，故A正确； 对B，若，，则与平行或相交，故B错误； 对C，若，，，则与平行或相交，故C错误； 对D，若，，，，则与平行或相交，故D错误. 故选：A. 5. 若为的边的中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量的加减法及数乘运算即可. 【详解】2(2-. 故选:A. 【点睛】在几何图形中进行向量运算: (1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算. 6. 已知向量与的夹角为120°，||＝3，|＋|＝，则等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将|＋|＝两边平方，得到关于的一元二次方程，解方程即可. 【详解】∵向量与的夹角为120°，||＝3，|＋|＝， ∴, ∵， ∴， ∴＝﹣1（舍去）或＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查向量数量积的运算，考查向量的模的计算，考查计算能力，属于基础题. 7. 已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱锥的体积公式，结合正四棱锥的性质、勾股定理、球的体积公式进行求解即可. 【详解】设在底面的射影为，则为该正棱锥的高， 因为正四棱锥的体积为，底面边长为， 所以有， 因为在该正四棱锥中，底面是正方形， 所以， 因此由勾股定理可得， 所以为半径的球的体积为， 故选：D 8. 的内角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. 的外接圆半径为 C. 面积的最大值为 D. 的周长的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【详解】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于样本数据：，下列结论中正确的是（ ） A. 极差为6 B. 众数为7 C. 中位数为8 D. 平均数为8 【答案】AB 【解析】 【分析】分别求出平均数、众数、极差和中位数，即可判断. 【详解】对于数据：， 极差，故A正确； 众数为7，故B正确； 中位数，故C错误. 平均数为，故D错误； 故选：AB. 10. 湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点．某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点，测得米，，，则（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】ABD 【解析】 【分析】中，由等腰三角形的性质求判断选项B；在和中，正弦定理求和判断选项AC；在中，由余弦定理得判断选项D. 【详解】在中，，，则米，B选项正确． 在中，，又，则， 由正弦定理可得，即， 解得米，A选项正确； 中同理可得米，C选项错误； 在中，由余弦定理得， 所以米，D选项正确． 故选：ABD 11. 已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ） A. 三角形面积的最大值为 B. 三棱锥体积的最大值 C. 四面体外接球表面积的最小值为11 D. 直线SP与平面所成角的余弦值的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，由已知计算出底面半径的长度，以及轴截面的顶角大小，利用三角形的面积公式可知，当时，三角形面积最大，可判断选项A；利用三棱锥等体积转换，可得当面时，三棱锥体积最大，可判断选项B；因为底面圆，所以四面体外接球球心在的中垂面和过外接圆圆心的底面垂线的交点处，利用勾股定理和正弦定理可计算出最小值，判断选项C；由线面角公式可得，当面时，直线SP与平面所成角的余弦值最小，判断出选项D． 【详解】选项A，由母线长为，高为，可得底面半径为，设是底面圆的一条直径，则，即是钝角，又，则存在点，当时，，三角形面积的最大值为，故A错误； 选项B，，当面时，，故B正确； 选项C，设的外接圆半径为，底面圆，四面体外接球半径满足，若外接球表面积的最小，即外接球的半径最小，又，即在底面圆中，的外接圆半径最小，由正弦定理，无最大值，的外接圆半径无最小值，即四面体外接球表面积无最小值，故C错误； 选项D，设点到平面的距离为，直线SP与平面所成角的正弦值为，则当面时，，此时直线SP与平面所成角的余弦值最小，最小值为，故D正确； 故选：BD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部为______. 【答案】-1 【解析】 【分析】计算出模长，并利用复数除法法则得到，求出虚部. 详解】， 故虚部为-1. 故答案为：-1 13. 若一组数据的方差为1，则数据的标准差为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据方差的性质得到数据的方差为，进而得到标准差. 【详解】数据的方差为， 故数据的标准差为. 故答案为：2 14. 如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值. 【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD. ， 得即故. 【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求； （2）若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得，进而可求； （2）根据向量共线的坐标表示求得. 【小问1详解】 因为，则， 又因为，则，解得， 则，所以. 【小问2详解】 由题意可得：， 因为∥，则，解得. 16. 已知三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，侧棱底面ABC，，E为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于，连接，证明即可； （2）取中点，连接，取中点，连接，可得平面，由可求. 【详解】（1）连接，交于，连接， 在中，为中点，， 平面，平面，平面； （2）取中点，连接，取中点，连接， 为等边三角形，， 平面，平面，平面，， ，平面， 为中点，，平面，且， 则. 17. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求图中值； （2）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从成绩在第四､五组的志愿者中，按比例分配的分层抽样方法随机抽取5人，再从这5人中选出两人，求选出的两人成绩来自同一组的概率. 【答案】（1）， （2）第80百分位数为77.5，平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，即可求出a，b； （2）根据频率分布直方图中各个数字特征的求法计算即可求解； （3）先分层抽样求出第四、五组抽取的人数，利用列举法求出古典概型的概率即可. 【小问1详解】 因为第三､四､五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，解得. 【小问2详解】 前三组频率之和为0.75，所以第80百分位数位于组内， 且，即估计第80百分位数为77.5； 估计平均数为. 【小问3详解】 成绩在第四､五两组志愿者分别有20人、5人， 按比例分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人选出2人，所有情况有，共10种， 其中选出的两人来自同一组的有，共6种， 所以选出的两人来自同一组的概率为. 18. 的内角的对边分别为，其面积为. （1）求角； （2）若的角平分线交于点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用面积公式和余弦定理整理可得，即可得结果； （2）根据题意利用面积公式可得，结合余弦定理运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：，整理可得， 且，所以. 【小问2详解】 由题意可得：，且， 可知，可得，即， 又因为，可得， 解得，故. 在中，由余弦定理得， 即，所以. 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，，． （1）证明：平面PAB⊥平面ABCD； （2）求二面角P－AD－B的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作图，取AB的中点E，连接PE，DE，分析图中的几何关系，即可证明； （2）根据第1问的结果，过点E作，垂足为F，则∠PFE即为二面角P—AD—B的平面角. 【小问1详解】 取AB的中点E，连接PE，DE，则， 由已知可得，∴， 平面ABCD， 平面ABCD，∵∴PE⊥平面ABCD， ∵PE平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD； 【小问2详解】 过点E作，垂足为F，连接PF，则AD⊥平面PEF， ∴ ，∴∠PFE即为二面角P—AD—B的平面角， 在 中，EF是AD边上的高，运用等面积法得：， ，∴， ∴二面角P－AD－B的余弦值为； 综上，二面角P－AD－B的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$