精品解析：安徽省六安市皖西中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023～2024学年度第二学期皖西中学高一年级期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. －1 C. i D. －i 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算即可化简复数，然后根据虚部的概念即可求解. 【详解】，∴虚部为－1． 故选：B 2. 已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则至少有一人命中的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立事件的公式求解即可. 【详解】设“篮球运动员甲、乙的罚球命中”分别为事件事件“至少有一人命中”为事件 故选：D. 3. 的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 1或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理运算求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或. 故选：D. 4. 已知m，n为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列条件能推出的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可判断A；根据平面与平面关系的判定可判断BCD. 【详解】对A，若，，则，故A正确； 对B，若，，则与平行或相交，故B错误； 对C，若，，，则与平行或相交，故C错误； 对D，若，，，，则与平行或相交，故D错误. 故选：A. 5. 若为的边的中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量的加减法及数乘运算即可. 【详解】2(2-. 故选:A. 【点睛】在几何图形中进行向量运算: (1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算. 6. 已知向量与的夹角为，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 所以，，即， 整理可得，解得（负值已舍去）. 故选：C. 7. 在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体中，连接， 根据线面角的定义可知， 因为，所以，从而求得， 所以该长方体的体积为，故选C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果. 8. 的内角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. 的外接圆半径为 C. 的面积的最大值为 D. 的周长的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【详解】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于样本数据：，下列结论中正确的是（ ） A. 极差为6 B. 众数为7 C. 中位数为8 D. 平均数为8 【答案】AB 【解析】 【分析】分别求出平均数、众数、极差和中位数，即可判断. 【详解】对于数据：， 极差为，故A正确； 众数为7，故B正确； 中位数为，故C错误. 平均数为，故D错误； 故选：AB. 10. 湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点．某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点，测得米，，，则（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】ABD 【解析】 【分析】中，由等腰三角形的性质求判断选项B；在和中，正弦定理求和判断选项AC；在中，由余弦定理得判断选项D. 【详解】在中，，，则米，B选项正确． 在中，，又，则， 由正弦定理可得，即， 解得米，A选项正确； 中同理可得米，C选项错误； 在中，由余弦定理得， 所以米，D选项正确． 故选：ABD 11. 如图，正方体中E，F，G分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面平行 C. 点C与点G到平面的距离相等 D. 平面截正方体所得大小两部分的体积比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过转化找到其异面直线所成角判断A；利用线面平行证明面面平行进而证明线线平行判断B；对点到平面的距离是否相等，通过反证法得出与其矛盾的结论判断C；对组合体体积进行合理分割求解即得D. 【详解】 对于A，因,则即直线与所成角或其补角， 不妨设正方体棱长为1，则, 在中，，故A正确； 对于B，如图，取中点，连接,则易得, 因平面,平面，则平面， 又得，则有, 因平面,平面，故平面， 因，故平面平面， 又平面，故平面，故B正确； 对于C，若点C与点G到平面的距离相等，则平面必过的中点， 连接交于，显然不是的中点，则平面不过的中点， 即点C与点G到平面的距离不相等，故C错误； 对于D，因，则等腰梯形即为平面截正方体所得截面， 正方体被平面所截的后半部分，即较小的那部分空间几何体，其体积为, 它是由四棱锥和三棱锥组成，易得： 故剩余部分体积为于是故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正方体中的线线关系，线面关系，点到平面的距离，空间几何体体积等，属于难题，综合性较强，尤其是D项中的组合体体积，需要对其进行合理分割再去求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正方形的边长为，为的中点，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】·=(+)·(-) =-·+·-·=22-×22=2. 13. 若一组数据的方差为1，则数据的标准差为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据方差的性质得到数据的方差为，进而得到标准差. 【详解】数据的方差为， 故数据的标准差为. 故答案为：2 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___． 【答案】 ①. ②. 64 【解析】 【分析】将鳖臑外接球即为堑堵的外接球，从而求出外接球直径为，得到外接球表面积，利用基本不等式得到，求出体积的最大值 【详解】鳖臑外接球即为堑堵的外接球，可将堑堵补成长方体， 则外接球直径为， ∴其表面积为． ∵，当且仅当时取等号， 所以， ∴阳马的体积为． 故答案为：，64 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求； （2）若与共线，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用向量垂直求参数的值，（2）利用向量共线求参数的值即可. 【小问1详解】 因为，所以 则则则 【小问2详解】 若与共线，则 则 16. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 【答案】 （1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB， 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面 ，因为AB平面，所以平面平面. （2）取AB中点G，连结EG，FG， 因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC， 因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=， 所以四边形为平行四边形，所以EG， 又因为EG平面ABE，平面ABE， 所以平面. （3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式. （1）略 （2）略 （3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=， 所以三棱锥的体积为：==. 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 17. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求图中的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从成绩在第四､五组的志愿者中，按比例分配的分层抽样方法随机抽取5人，再从这5人中选出两人，求选出的两人成绩来自同一组的概率. 【答案】（1）， （2）第80百分位数为77.5，平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，即可求出a，b； （2）根据频率分布直方图中各个数字特征的求法计算即可求解； （3）先分层抽样求出第四、五组抽取的人数，利用列举法求出古典概型的概率即可. 【小问1详解】 因为第三､四､五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，解得. 【小问2详解】 前三组频率之和为0.75，所以第80百分位数位于组内， 且，即估计第80百分位数为77.5； 估计平均数为. 【小问3详解】 成绩在第四､五两组志愿者分别有20人、5人， 按比例分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人选出2人，所有情况有，共10种， 其中选出的两人来自同一组的有，共6种， 所以选出的两人来自同一组的概率为. 18. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【答案】(1)(2) . 【解析】 【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为. 试题解析：（1）由题设得，即. 由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 19. 如图，直三棱柱的体积为，的面积为． （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求二面角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用体积桥可构造方程求得结果； （2）利用线面垂直的判定与性质可证得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 由题意知：； 设点到平面的距离为， ，解得：， 即点到平面的距离为. 【小问2详解】 取的中点，连接， ，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； 三棱锥为直三棱柱，平面， 又平面，； ，平面，平面 则以为坐标原点，正方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 由（1）知：，，， ，， ，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ， 而，所以， 则二面角的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度第二学期皖西中学高一年级期末考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. －1 C. i D. －i 2. 已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则至少有一人命中的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98 3. 的内角的对边分别为，已知，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 1或3 4. 已知m，n为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列条件能推出的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，，， 5. 若为的边的中点，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知向量与的夹角为，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A. B. C. D. 8. 的内角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. 的外接圆半径为 C. 的面积的最大值为 D. 的周长的取值范围是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于样本数据：，下列结论中正确的是（ ） A. 极差为6 B. 众数为7 C. 中位数为8 D. 平均数为8 10. 湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛玶湖研究的关键点．某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点，测得米，，，则（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 11. 如图，正方体中E，F，G分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面平行 C. 点C与点G到平面的距离相等 D. 平面截正方体所得大小两部分的体积比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正方形的边长为，为的中点，则__________． 13. 若一组数据的方差为1，则数据的标准差为______. 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）若，求； （2）若与共线，求k的值． 16. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 17. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求图中的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从成绩在第四､五组的志愿者中，按比例分配的分层抽样方法随机抽取5人，再从这5人中选出两人，求选出的两人成绩来自同一组的概率. 18. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 19. 如图，直三棱柱的体积为，的面积为． （1）求到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $