内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A．x＜﹣3 B．x≥﹣3 C．x＞2 D．x≥﹣3且x≠2 2．（3分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．1，2，3 C．6，9，12 D．5，8，10 3．（3分）为了调查某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．11，11 B．12，11 C．13，11 D．13，16 4．（3分）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（　　） A．图象过点（1，1） B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到 C．y随着x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 5．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣8＝0的根的情况是（　　） A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 6．（3分）△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC＝6，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（　　） A．8 B．9 C．15 D．18 7．（3分）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C． D．x1x2＝7 8．（3分）如图，直线y＝kx+b与坐标轴交于两点，则y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＜﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜1 9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2，则BD的长是（　　） A． B．4 C．6 D． 10．（3分）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　） A． B． C． D．不确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）比较大小： 　 　．（填“＞”、“＝”、“＜”）． 12．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC＝4，则四边形CODE的周长是 　 　． 13．（3分）在一次爱心捐款中，某班有40名学生拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元、50元的．右图反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款　 　元． 14．（3分）请写出一个图象经过第一、二、四象限且与y轴交于点（0，2）的一次函数的解析式 　 　． 15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，则∠OAD＝　 　°． 16．（3分）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y＝kx+3上，则k＝　 　． 三、解答题（共7小题，共计52分） 17．（6分）计算： （1）﹣+； （2）（2）（2）． 18．（6分）解方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）． 19．（8分）中考体育体测试前，雁塔区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中a＝　 　，并补全条形图； （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 　 　个、　 　个； （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有2400人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，连接BD，分别过点B作BE∥CD，CE∥BD，BE与CE交于点E，求证：四边形CDBE是菱形． 22．（8分）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300），甲，乙两家超市所付费用分别为y1元和y2元． （1）请用含x的代数式分别表示y1和y2； （2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°． （1）求证：四边形ABDF是矩形； （2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S． 2023-2024学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A．x＜﹣3 B．x≥﹣3 C．x＞2 D．x≥﹣3且x≠2 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到x+3≥0且x﹣2≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得x+3≥0且x﹣2≠0， 所以x的取值范围为x≥﹣3且x≠2． 故选：D． 2．（3分）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．1，2，3 C．6，9，12 D．5，8，10 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、32+42＝52，是直角三角形，故此选项符合题意； B、1+2＝3，不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、62+92≠122，不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、52+82≠102，不是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（3分）为了调查某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．11，11 B．12，11 C．13，11 D．13，16 【分析】众数是出现次数最多的数，中位数是把数据从小到大排列位置处于中间的数； 【解答】解：将数据从小到大排列为：8，9，10，11，12，14，16，16，17，19， 中位数为：13； 数据16出现的次数最多，故众数为16． 故选：D． 4．（3分）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（　　） A．图象过点（1，1） B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到 C．y随着x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可． 【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣3×1+2＝﹣1， ∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过点（1，﹣1），选项A错误，不符合题意； B、由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到y＝3x﹣2，故选项B错误，不合题意 C、∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小，选项C错误，不符合题意； D、∵k＝﹣3＜0，b＝2＞0， ∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意； 故选：D． 5．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣8＝0的根的情况是（　　） A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号可以判断根的情况．先计算一元二次方程根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣8， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣8）＝36＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．（3分）△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC＝6，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（　　） A．8 B．9 C．15 D．18 【分析】首先确定DE，EF，DF是△DEF的中位线，再根据三角形中位线的性质得，，，进而求出各边长得出答案即可． 【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点， ∴DE，EF，DF是△DEF的中位线， ∴，，． ∵AB＝7，BC＝5，AC＝6， ∴EF＝3.5，DE＝3，DF＝2.5， ∴△DEF的周长为3.5+3+2.5＝9． 故选：B． 7．（3分）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C． D．x1x2＝7 【分析】直接利用一元二次方程根与系数的关系解题即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根， ∴， 故选：A． 8．（3分）如图，直线y＝kx+b与坐标轴交于两点，则y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x＜﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜1 【分析】根据图象得出一次函数y＝kx+b交x轴于点（﹣2，0），根据一次函数与一元一次不等式的关系即可求出答案． 【解答】解：根据图象可知：一次函数y＝kx+b是增函数，且交x轴于点（﹣2，0）， ∴函数值y＞0的x的取值范围是：x＞﹣2． 故选：C． 9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2，则BD的长是（　　） A． B．4 C．6 D． 【分析】由菱形的性质推出AC⊥BD，AO＝AD＝2，由直角三角形斜边的中线求出AD＝4，由勾股定理求出OD＝＝2，则可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝AC，OB＝OD， ∵AC＝4， ∴AO＝2， ∵E为AD的中点，∠AOD＝90°， ∴OE＝AD， ∵OE＝2， ∴AD＝4， ∴OD＝＝2， ∴BD＝2OD＝4， 故选：D． 10．（3分）如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　） A． B． C． D．不确定 【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA＝OD＝2.5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF求得答案． 【解答】解：连接OP， ∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4， ∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5， ∴OA＝OD＝2.5， ∴S△ACD＝S矩形ABCD＝6， ∴S△AOD＝S△ACD＝3， ∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×2.5×PE+×2.5×PF＝（PE+PF）＝3， 解得：PE+PF＝． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）比较大小： 　 　．（填“＞”、“＝”、“＜”）． 【分析】本题需先把进行整理，再与进行比较，即可得出结果． 【解答】解：∵＝ ∴ ∴ 故答案为：＜． 12．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC＝4，则四边形CODE的周长是 　 　． 【分析】先证明四边形CODE是平行四边形，再根据矩形的性质得出OC＝OD，然后证明四边形CODE是菱形，即可求出周长． 【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝AC＝2，OD＝BD，AC＝BD， ∴OC＝OD＝2， ∴四边形CODE是菱形， ∴DE＝CE＝OC＝OD＝2， ∴四边形CODE的周长＝2×4＝8； 故答案为：8． 13．（3分）在一次爱心捐款中，某班有40名学生拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元、50元的．右图反映了不同捐款的人数比例，那么这个班的学生平均每人捐款　 　元． 【分析】根据扇形统计图中，各种情况所占的比例，利用加权平均数公式即可求解． 【解答】解：5×60%+10×10%+20×10%+50×20%＝16元． 故答案为：16． 14．（3分）请写出一个图象经过第一、二、四象限且与y轴交于点（0，2）的一次函数的解析式 　 　． 【分析】根据一个一次函数的图象经过第一、二、四象限且与y轴交于点（0，2），可以得到k、b的正负情况和b＝2，然后即可写出一个符合要求的一次函数解析式，注意本题答案不唯一． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0， 又∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（0，2）， ∴b＝2， ∴符合条件的一个函数解析式是y＝﹣x+2， 故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）． 15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，则∠OAD＝　 　°． 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOD是等腰三角形，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠AOD＝∠BOC＝120°， ∴∠OAD＝（180°﹣120°）÷2＝30°． 故答案为：30． 16．（3分）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y＝kx+3上，则k＝　 　． 【分析】根据点P的坐标可求出点P′的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出关于k的一元一次方程，解之即可求出k值． 【解答】解：∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P′， ∴点P′的坐标为（1，﹣2）． ∵点P′在直线y＝kx+3上， ∴﹣2＝k+3， 解得：k＝﹣5． 故答案为：﹣5． 三、解答题（共7小题，共计52分） 17．（6分）计算： （1）﹣+； （2）（2）（2）． 【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）﹣+ ＝3﹣4+ ＝0； （2）（2）（2） ＝12﹣6 ＝6． 18．（6分）解方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）． 【分析】（1）根据因式分解法解方程即可； （2）整理后根据因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0， 因式分解得（x+1）（x﹣5）＝0， ∴x+1＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5． （2）原方程可变形为：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0， 因式分解得（x﹣1）（3 x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0， 解得． 19．（8分）中考体育体测试前，雁塔区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图． 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中a＝　 　，并补全条形图； （2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 　 　个、　 　个； （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有2400人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 【分析】（1）根据扇形统计图可以求得a的值，根据扇形统计图和条形统计图可以得到做6个的学生数，从而可以将条形图； （2）根据（1）中补全的条形图可以得到众数和中位数； （3）根据统计图可以估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的人数． 【解答】解：（1）由题意可得，a＝1﹣30%﹣15%﹣10%﹣20%＝25%， 做6 个的学生数是60÷30%×25%＝50， 补全的条形图，如图所示， 故答案为：25%； （2）由补全的条形图可知，这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是5个，5个， 故答案为：5，5； （3）该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有：2400×（25%+20%）＝1080（名）， 即该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有1080名． 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积． 【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝＝5， 在△ACD中，∵AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD ＝AB•BC+AC•CD ＝×3×4+×5×12 ＝6+30 ＝36． 21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，连接BD，分别过点B作BE∥CD，CE∥BD，BE与CE交于点E，求证：四边形CDBE是菱形． 【分析】由BE∥CD，CE∥BD可得出四边形CDBE是平行四边形，再利用直角三角形斜边中线的性质可推出BD＝CD，得证． 【解答】证明：∵BE∥CD，CE∥BD， ∴四边形CDBE是平行四边形， ∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点， ∴BD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴BD＝CD， ∴四边形CDBE是菱形． 22．（8分）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300），甲，乙两家超市所付费用分别为y1元和y2元． （1）请用含x的代数式分别表示y1和y2； （2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 【分析】（1）根据总费用等于两次费用之和就可以分别表示出y1，y2与x之间的函数关系式； （2）根据（1）的结论分别讨论当y1＜y2，y1＝y2，和y1＞y2时，三种情况就可以求出结论． 【解答】（1）解：由题意，得 y1＝300+0.8（x﹣300） 即y1＝0.8x+60（x＞300）， y2＝200+0.85（x﹣200）， 即y2＝0.85x+30（x＞300（x＞300）； （2）当y1＜y2可得：0.8x+60＜0.85x+30， ∴x＞600； 当y1＝y2可得： 0.8x+60＝0.85x+30， 得：x＝600； 当y1＞y2可得： 0.8x+60＜0.85x+30， 得：x＜600 ∴当购物超过600元时，到甲超市购物更优惠： 当购物少于600元时，到乙超市购物更优惠； 当购物等于600元时，两家超市花费一样多． 23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°． （1）求证：四边形ABDF是矩形； （2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S． 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF是矩形； （2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF•AF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF的面积S为18． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD， ∴∠BAE＝∠FDE， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△BEA和△FED中， ， ∴△BEA≌△FED（ASA）， ∴EF＝EB， 又∵AE＝DE， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵∠BDF＝90°． ∴四边形ABDF是矩形； （2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形， ∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD， ∴AF＝＝＝4， ∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3， ∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6， ∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18， 答：四边形ABCF的面积S为18． 学科网（北京）股份有限公司 $$