函数的单调性知识点及题型讲义-2025届高三数学一轮复习

高中数学函数的单调性知识点及典型例题 类型一：定义法判断（证明）函数的单调性 一般地，设函数的定义域为： （1） 如果对于定义域内的某个区间上的 两个自变量的值，当 时，都有 ，那么就说函数在区间上是 ； （2） 如果对于定义域内的某个区间上的 两个自变量的值， 当 时，都有 ，那么就说函数在区间上是 ； 1.1若函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数在区间上 ( ) A.必是增函数 B.必是减函数 C.先增后减 D.无法确定单调性 1.2已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 1.3设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 类型二：利用基本初等函数的性质判断函数的单调性 一次函数的单调性： 二次函数的单调性： 一次函数的单调性： 指数函数的单调性： 对数函数的单调性： 幂函数的单调性： 正弦函数的单调性： 余弦函数的单调性： 正切函数的单调性： 2.1下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 2.2下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2.3下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 类型三：求函数的单调区间 3.1函数的单调增区间为（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞） 3.2已知函数，则的单调递增区间为 . 类型四：根据函数的单调性求参数 4.1函数的单调递增区间为，则的值为 4.2若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.3（多选）若二次函数在区间上是增函数，则a可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4.4已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（    ）． A． B． C．或 D．或 4.5函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型五：根据图像判断函数单调性 5.1已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A．是函数的增区间 B．是函数的减区间 C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数 5.2函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 5.3函数的单调递增区间是 ． 5.4偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（     ） A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值 C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值 类型六：根据函数单调性解不等式 6.1若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.2若函数是定义在[-1, 1]上的增函数，且，则实数的取值范围是 6.3已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.4已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是 . 6.5若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型七：复合函数的单调性 形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数. 当内层函数单增，外层函数单增时，函数是 ； 当内层函数单增，外层函数单减时，函数是 ； 当内层函数单减，外层函数单增时，函数是 ； 当内层函数单减，外层函数单减时，函数是 . 简称为“ ”. 7.1函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 7.2函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 7.3设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型八：分段函数的单调性 8.1已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　） A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2) 8.2 (多选)已知函数是上的增函数，则a的值可以是（    ） A． B． C． D．1 8.3若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 类型九：抽象函数的单调性 9.1函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集． 9.2已知函数对于任意，总有，且当时，。求证：在R上是减函数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中数学函数的单调性知识点及典型例题 类型一：定义法判断（证明）函数的单调性 一般地，设函数的定义域为： （1） 如果对于定义域内的某个区间上的 两个自变量的值，当 时，都有 ，那么就说函数在区间上是 ； （2） 如果对于定义域内的某个区间上的 两个自变量的值， 当 时，都有 ，那么就说函数在区间上是 ； 1.1若函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数在区间上 ( ) A.必是增函数 B.必是减函数 C.先增后减 D.无法确定单调性 【答案】D 1.2已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有. 所以函数一定是增函数. 故选：C 1.3设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，当时；当时； 所以函数在实数上单调递增，又，所以. 故选：A 类型二：利用基本初等函数的性质判断函数的单调性 一次函数的单调性： 二次函数的单调性： 一次函数的单调性： 指数函数的单调性： 对数函数的单调性： 幂函数的单调性： 正弦函数的单调性： 余弦函数的单调性： 正切函数的单调性： 2.1下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 2.2下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 2.3下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项：开口向上，对称轴，所以在上单调递减，故不符合题意. 对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在在上单调递减，故不符合题意. 对于选项：是向右平移了两个单位长度， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以不符合题意. 对于选项：是向右平移了两个单位长度， 所以在上单调递增，则在上单调递增，符合题意. 故选. 类型三：求函数的单调区间 3.1函数的单调增区间为（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞） 【答案】D 【详解】解：∵函数1，定义域为{x|x≠0}， 且y的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）， 故函数的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）， 故选：D． 3.2已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】当时，单调递减； 当时，，在上单调递增，在单调递减； 故答案为： 类型四：根据函数的单调性求参数 4.1函数的单调递增区间为，则的值为 【答案】-3 【详解】解：函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以1-m=4，解得m=-3， 所以的值为-3. 4.2若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的对称轴为， 要想函数在区间上是减函数，则， 解得， 故选：D 4.3（多选）若二次函数在区间上是增函数，则a可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AB 【分析】根据单调性得二次函数的对称轴和区间的位置关系，据此列不等式求解即可. 【详解】二次函数对称轴为， 因为二次函数在区间上是增函数， 所以，解得. 故选：AB. 4.4已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】函数的对称轴为， 因为函数在上具有单调性， 所以或，即或. 故选：C 4.5函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 由题意可得需满足在区间上单调递减，且， 而的图象开口向下，对称轴为，故且， 即， 故选：C 类型五：根据图像判断函数单调性 5.1已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A．是函数的增区间 B．是函数的减区间 C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数 【答案】C 【详解】根据函数图像可知函数在上递增，在上递减，故A，B正确； 函数在上也单调递增，但区间和不是连续区间， 并且由图象可知，因此不能说函数在上是增函数，C错误； 由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间， 故函数在上是减函数，D正确， 故选：C 5.2函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 5.3函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【详解】函数的图象如图所示： 由图象知：其单调递增区间是， 故答案为： 5.4偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（     ） A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值 C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值 【答案】A 【详解】解：偶函数在区间上单调递减， 则由偶函数的图象关于y轴对称，则有在上单调递增， 即有最小值为，最大值 对照选项，A正确． 故选：A 类型六：根据函数单调性解不等式 6.1若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上单调递增，，，解得：， 实数的取值范围为. 故选：C. 6.2若函数是定义在[-1, 1]上的增函数，且，则实数的取值范围是 6.3（10-11高一上·云南昆明·期中）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足， 所以，解得. 故选：D 6.4已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得. 6.5若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 类型七：复合函数的单调性 形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数. 当内层函数单增，外层函数单增时，函数是 ； 当内层函数单增，外层函数单减时，函数是 ； 当内层函数单减，外层函数单增时，函数是 ； 当内层函数单减，外层函数单减时，函数是 . 简称为“ ”. 7.1函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增， 而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 7.2函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t=，则y=lnt， ∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数； x∈(4,+∞)时,t=为增函数； y=lnt为增函数， 故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D. 7.3设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 类型八：分段函数的单调性 8.1已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　） A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2) 【答案】C 【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立， ∴在R上是减函数， ∴，解得， ∴a的取值范围是． 故选：C． 8.2 (多选)已知函数是上的增函数，则a的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】BC 【详解】由题意，函数的图象开口朝下，对称轴为， 因为函数是上的增函数， 所以，解得. 所以实数的取值可以是，. 故选：BC. 8.3若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 类型九：抽象函数的单调性 9.1函数的定义域为，对于，，，且当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集． 【详解】（1）设，且， 则，， 因为， 所以， 即为减函数. （2）因为， 所以， 令，则，即， 所以， 又因为在上单调递减， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$