专题测试卷03（范围：导数的几何意义、单调性及极值最值）-2025年高考数学一轮复习考点剖析及精准练习（新高考专用）

2025年高考数学一轮复习考点剖析及精准练习（新高考专用） 专题测试卷03 （范围：导数的几何意义、单调性及极值最值） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在上有极大值 D．是函数的极小值点 2．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．某厂家生产某种产品，最大年产量是10万件．已知年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）满足，若年产量是2万件，则年利润是万元（生产的均可售完）．要使生产厂家获得最大年利润，年产量为（    ） A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件 5．已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．关于函数，下列结论中错误的是（    ） A．定义域为 B．在上单调递增 C．当时， D．当时， 7．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．某弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则（    ） A．时，弹簧振子的位移为 B．时，弹簧振子的瞬时速度为 C．时，弹簧振子的瞬时加速度为 D．时，弹簧振子的瞬时速度为 10．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数在上可导，其导函数满足且，令，则（    ） A．函数的单调递减区间为 B．是函数的极大值点 C．函数必有零点 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 13．若对任意的，且，则实数的取值范围是 . 14．已知有两个极值点，，如果和两点所在的直线与轴的交点在曲线上，则 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 16．已知函数在处取得极值. (1)求实数的值和函数的极值； (2)当时，求函数的最小值. 17．已知函数，其中，，其中， (1)在条件①；②中选择一个，研究函数的单调性； (2)当时，若和在上具有相同的单调性，求实数a的取值范围． 18．已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 19．已知函数，在处取得极大值2． (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高考数学一轮复习考点剖析及精准练习（新高考专用） 专题测试卷03 （范围：导数的几何意义、单调性及极值最值） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在上有极大值 D．是函数的极小值点 【答案】D 【详解】根据导函数图象知，当时，，当 时， ， 当时，，故AB正确； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 是的极大值点，即函数在上有极大值，故C正确； 函数的极小值点为，故D错误. 故选：D. 2．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，可得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，函数取得极小值，也是最小值. 故选：D. 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得，解得， 所以， 令，得，解得， 所以，所以，所以. 故选：D 4．某厂家生产某种产品，最大年产量是10万件．已知年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）满足，若年产量是2万件，则年利润是万元（生产的均可售完）．要使生产厂家获得最大年利润，年产量为（    ） A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件 【答案】B 【详解】由年利润与年产量满足， 因为年产量是万件，则年利润是万元，所以，解得， 所以，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，取得最大值， 即年产量为万件时，厂家获得的年利润最大. 故选：B. 5．已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当时，，则， 所以，． 则所求的切线方程为，即． 故选：B. 6．关于函数，下列结论中错误的是（    ） A．定义域为 B．在上单调递增 C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】A．有意义时真数大于0，故定义域为，故A正确，不符合题意； B．，故， 令，即，解得， 当时，，故在上单调递增，正确，不符合题意； C．当时，例如时，，当，显然， 故错误，符合题意； D．当时，，令，即，解得， 当时，则，故在上单调递减， 当时，则，故在上单调递增， 当时，函数取到极小值，也是最小值，，故正确，不符合题意； 故选：C． 7．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，令，则在上单调递增， 所以， 令，则在上单调递增， 所以， 因为， 令，则， 令，则，单调递增； 令，则，单调递减； 所以，则， 故， 综上所述，即. 故选：C. 8．若关于的方程存在三个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】关于的方程存在三个不等的实数根， 等价于方程存在三个不等的实数根， 令，，解得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，当时，有极大值， 方程，，方程有两个不等的实数根，且两根之积为， 则方程有一正根一负根，且正根位于区间上， 此时关于的方程存在三个不等的实数根， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．某弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则（    ） A．时，弹簧振子的位移为 B．时，弹簧振子的瞬时速度为 C．时，弹簧振子的瞬时加速度为 D．时，弹簧振子的瞬时速度为 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，， 即时，弹簧振子的位移为，故A正确； 对于B，， 当时，， 即时，弹簧振子的瞬时速度为，故B正确； 对于C，设， 则， 当时，， 即时，弹簧振子的瞬时加速度为，故C错误； 对于D，， 当时，， 即时，弹簧振子的瞬时速度为，故D正确. 故选：ABD. 10．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】令，则， 令，有，则， 即有，即，故， 令，则， 令，有，则， 即有，即， 故有，即. 故选：BD. 11．已知函数在上可导，其导函数满足且，令，则（    ） A．函数的单调递减区间为 B．是函数的极大值点 C．函数必有零点 D． 【答案】ABD 【详解】由可得当时， 当时， 由，得，当时，，故在上单调递增，当时，，当时，，故在上单调递减，所以是函数的极大值点，故A正确，B正确； 若，则没有零点，故C错误； 由在上单调递增，得，即，化简得，故D正确， 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 13．若对任意的，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】对任意的，且， 由有意义可知， 则，所以，即. 令，则函数在上单调递减. 因为，由，可得， 所以函数的单调递减区间为，所以，故， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 14．已知有两个极值点，，如果和两点所在的直线与轴的交点在曲线上，则 . 【答案】或或 【详解】，由，. 得，， 故 ， 同理得. 故在直线上，所以， 令，则，解得：， 所以直线交轴于点，又该交点在曲线上. 代入可得. 化简可得即，，. 故答案为：或或. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以切线斜率， 又因为， 所以切点坐标为，所以所求直线方程为， 故曲线在处的切线方程为. （2）因为，设切点为， 则， 所以切线方程为， 则，即，解得或， 所以切点为或，切线的斜率为或， 所以切线方程为或 即切线方程为或， 16．已知函数在处取得极值. (1)求实数的值和函数的极值； (2)当时，求函数的最小值. 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）函数，则， 又函数在处取得极值， 所以有； 此时，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以，； （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为和中较小的一个， 又，， 故函数在上的最小值为. 17．已知函数，其中，，其中， (1)在条件①；②中选择一个，研究函数的单调性； (2)当时，若和在上具有相同的单调性，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）选择①：，则， 当时，，在上严格递减， 当时，，在上严格递增； 选择②：，则， 当时，，在上严格递减； （2），， 所以在上严格递减， 由题意设，得在上严格递减， 由在上恒成立， 即在上恒成立， 因为单调递减，所以， 得. 18．已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)1个 (2)见解析 【详解】（1）当时，， 即， 设， 则， 且定义域为， 故在时，恒成立，在上单调递增， 在时，恒成立，在上单调递减， 所以， 故只有一个解， 即方程只有一个解. （2）函数定义域为， 由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增， 当时，的解为，的解为， 在上递增，在上递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减． 19．已知函数，在处取得极大值2． (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 由题意可知，，， 即，，得， 所以，，得， 如下表，的变化情况如表所示， 0 0 减 极小值 增 极大值 减 所以符合题意，所以； （2）因为函数，在时，， 在时，，且， 所以由（1）知，当时，函数有最小值， 又因为对任意，总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 对于的开口向上，对称轴为， 当时，则在上单调递增， 故的最小值为，得， 当时，则在上单调递减， 故的最小值为，得， 当时，则在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，得或，不合题意，舍去； 综上所述：的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$