【预习衔接】第四单元人体的奥秘——比（讲义）-2024-2025学年六年级数学上册青岛版

第四单元人体的奥秘-比 （知识梳理+例题精讲+专项练习） 知识梳理 1、比的定义：两个数相除又叫两个数的比。 2、求比值的方法：前项÷后项 3、化简比的方法：同时缩小法、约分化简法、分数比化简法和小数比化简法。 4、依据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。 5、化简整数比：找前项和后项的最大公因数，前项后项同时除以最大公因数，化成最简整数比。 6、化简分数比：找前项和后项分母的最小公倍数，前项后项同时乘最小公倍数，再化简整数比。 7、化简小数比：把小数转化成整数，再化简整数比。 8、按比例分配：找总量，找出部分量是总量的几分之几，用乘法计算。甲：乙=a:b,甲是乙的a÷b，乙是甲的b÷a，甲是全部的a÷（a+b），乙是全部的b÷（a+b） 例题精讲 例题一．一堆糖果吃掉了总数的，吃掉的与剩下的糖果的比是（    ）。 A．4∶7 B．2∶1 C．3∶5 D．4∶3 【分析】把这堆糖果看作单位“1”，吃掉了总数的，则还剩总数的1－＝，再用吃掉的比上剩下的，再化简即可。 【详解】∶（1－） ＝∶ ＝（×3）∶（×3） ＝2∶1 吃掉的与剩下的糖果的比是2∶1。 故答案为：B 【点睛】本题考查比的意义，熟练运用比的基本性质是解题的关键。 例题二．一个长方体的棱长总和是240厘米，长、宽、高的比是5∶3∶4。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【分析】已知一个长方体的棱长总和是240厘米，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4； 又已知长、宽、高的比是5∶3∶4，则长、宽、高的总份数是（5＋3＋4）份；用长、宽、高之和除以它们的总份数，求出一份数，再用一份数分别乘长、宽、高的份数，求出长、宽、高； 最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个长方体的体积。 【详解】长、宽、高之和：240÷4＝60（厘米） 一份数： 60÷（5＋3＋4） ＝60÷12 ＝5（厘米） 长：5×5＝25（厘米） 宽：5×3＝15（厘米） 高：5×4＝20（厘米） 体积：25×15×20＝7500（立方厘米） 答：这个长方体的体积是7500立方厘米。 【点睛】先灵活运用长方体的棱长总和求出长、宽、高之和，再把长、宽、高的比看作份数，求出一份数，进而求出长、宽、高，最后根据长方体的体积公式求解。 例题三．李师傅加工一批零件，第一天完成的个数与零件总数的比是1∶3，如果再加工15个，就可以完成这批零件的一半，这批零件有多少个？ 【分析】由题意可知，第一天完成的个数与零件总数的比是1∶3，即第一天完成的个数占零件总数的，如果再加工15个，就可以完成这批零件的一半，即占零件总数的，也就是说15个零件占零件总数的（－），再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用15除以（－）进行计算即可求出这批零件的个数。 【详解】15÷（－） ＝15÷ ＝15×6 ＝90（个） 答：这批零件有90个。 专项训练 一、选择题 1．把一批书按2∶3∶4或2∶4∶5两种方案分给甲、乙、丙三个班，都可以将这批书正好分完，这批书可能有（　　）本。 A．90 B．99 C．110          D．180 2．圆的周长和它的直径之比是（　　） A．2π B．2π：1 C．Cπ D．π：1 3．一个直角三角形，两直角边长度之和是14分米，它们的比是3：4，这个直角三角形的斜边是10分米，那么斜边上的高为（  ）分米． A．7 B．8 C．10 D．4.8 4．含糖率是15%的糖水，糖与水之比是（　　） A．3：20 B．3：17 C．17：20 D．3：23 5．一个圆柱和一个圆锥的底面周长的比是2﹕3，体积比是6﹕5，那么圆柱与圆锥高的最简整数比是（　　） A．10﹕9 B．9﹕10 C．5﹕3 D．3﹕5 二、填空题 6．a除以b的商是，a和b的比是( )，b和a的比是( )． 7．甲数的20%等于乙数的20%，甲数和乙数的比是( )． 8．汽车3小时行180千米，自行车2小时行30千米，汽车和自行车的速度比是（　 　：　 　），比值是( )． 9．甲乙两人跑800米，甲和乙的时间比是2：3，那他们的速度比是( )． 10．大圆与小圆半径的比是3：2，大圆与小圆面积的比是( )． 11．一个三角形的底和一个平行四边形的底比是3：4，相对应的高的比是5：8，它们的面积之比是( )． 12．有一天某班的出席率为 96%，该班缺席人数与出席人数的比是( )． 13．男生人数的等于女生人数的，女生与男生的人数比是( )． 14．∶化成最简单的整数比是( )，比值是( )。 15．完成一项工作，甲单独做需10小时，乙单独做需15小时，甲、乙工作效率之比是( )。 三、判断题 16．妈妈和小红的年龄比是7∶2，2年后她们的年龄比不变。   ( ) 17．斐波那契数列的前一项与后一项的比值会越来越接近0.618。( ) 18．把6︰5的前项和后项同时加上7，比值不变。( ) 19．比的前项增加10，要使比值不变，后项应加10。( ) 20．把9.3:3.1化简乘最简整数比为3．( ) 四、计算题 21．把下面各比化成最简单的整数比。 32∶16                  48∶40               0.15∶0.3                                    五、解答题 22．某班学生人数在50到60之间，男、女生人数的比为5∶6，男生比女生少多少人？ 23．混凝土一般按水泥、沙子和石子的比是2∶3∶5进行搅拌，需要混凝土360吨，那么需要水泥、沙子和石子各多少吨？ 24．一个长方形的周长是48厘米，长与宽的比是5∶3，这个长方形的面积是多少？ 25．在如图中AB，AC的长度是15，BC的长度是9．把BC折过去与AC重合，B点落在E点上，求三角形ADE与三角形ABC面积之比． 26．王伯伯种植苹果树和梨树的总棵数在170～180棵之间，苹果树和梨树的棵数比是8：11．王伯伯种植苹果树和梨树各多少棵？ 27．学校里面有杏树和桃树共294棵，杏树与桃树的比是3：4，校园里杏树和桃树各有多少棵？ 28．体育社团和音乐社团的人数比是8∶7，如果将体育社团的8名学生调到音乐社团去，那么体育社团和音乐社团的人数比是4∶5，原来两个社团各有多少人？ 29．学校图书室买来560本儿童读物，将其中的按3:4分配给五、六年级的同学们阅读．五、六年级各能分到多少本儿童读物？ 30．向阳小学把80本图书按人数的比例分配给三个年级．四年级有50人，五年级有54人，六年级有56人．每个年级各分得多少本？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】分别求出两种方案的总份数，总本数是总份数的倍数，据此用各选项分别除以总份数，能整除的即可。 【详解】2＋3＋4＝9、2＋4＋5＝11 A．90不是11的倍数，排除； B．99÷9＝11、99÷11＝9，这批书可能有99本； C．110不是9的倍数，排除； D．180不是11的倍数，排除。 这批书可能有99本。 故答案为：B 【点睛】关键是理解比的意义，将比的前后项看成份数。 2．D 【详解】试题分析：根据圆的周长=圆的直径×π，用字母表示C=πd，根据比的意义即可求出圆的周长与它的直径的比． 解：因为C=πd， 所以圆的周长和它的直径的比为： C：d=πd：d=π：1， 点评：此题主要考查了灵活运用圆的周长公式与比的意义解决问题． 3．D 【详解】解：一条直角边为：14÷（3+4）×3， =14÷7×3， =6（分米）， 另一条直角边为：14﹣6=8（分米）， 设斜边上的高为x分米， 6×8÷2=10×x÷2， 10x=48， x=48÷10， x=4.8， 答：斜边上的高为4.8分米， 分析：先利用按比例分配的方法，求出两条直角边的长度；再根据直角三角形的面积是一定的，即两条直角边的乘积的一半等于斜边与斜边的高的乘积的一半，设出未知数列出比例解答即可． 故选D 4．B 【详解】试题分析：含糖为15%的糖水中，糖占糖水的15%，则水占糖水的（1﹣15%），求糖和水质量的比，用15%：（1﹣15%），化为最简整数比即可． 解：15%：（1﹣15%）， =15%：85%， =3：17； 点评：此题考查了比的意义，应明确糖占糖水的15%，则水占糖水的（1﹣15%），进而进行比即可． 5．B 【详解】试题分析：根据圆的周长公式知道底面周长的比就是半径的比，设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是6，则圆锥的体积是5，再根据圆柱的体积公式V=sh=πr2h与圆锥的体积公式V=sh=πr2h，得出圆柱的高与圆锥的高，进而根据题意，进行比即可． 解：设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是6，则圆锥的体积是5， 则：[6÷（π×22）]：[5÷÷（π×32）]， =：， =9：10； 点评：此题主要是根据圆柱的体积公式与圆锥的体积公式的推导出圆柱与圆锥的高的关系． 6．5：6，6：5． 【详解】试题分析：根据a除以b的商是，a看作5份，b看作6份，得出a和b的比5：6，由此进行转化并填空． 解：因为a除以b的商是， 所以a是5份，b是6份， a和b的比是5：6； b和a的比是6：5； 点评：此题考查分数和比、之间的转化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可． 7．1：1． 【详解】试题分析：根据“甲数的20%等于乙数的20%，”得出甲数×20%=乙数×20%，再逆用比例的基本性质作答，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积． 解：甲数×20%=乙数×20%， 甲数：乙数=20%：20%， =1：1， 点评：关键是根据题意得出：甲数×20%=乙数×20%，再灵活利用比例的基本性质和比的基本性质解决问题． 8．4、1；4． 【详解】试题分析：根据速度=汽车和自行车的速度比，分别求出汽车和自行车的速度，再写出相应的比，化简得出汽车和自行车的速度比；用汽车和自行车的速度比的前项除以后项求出比值． 解：（1）（180÷3）：（30÷2）， =60：15， =（60÷15）：（15÷15）， =4：1； （2）4：1=4÷1=4， 点评：本题用到的知识点为：比的意义，路程÷时间=速度及求比值的方法． 9．3：2． 【详解】试题分析：甲和乙的时间比是2：3，那么把甲用的时间看成2，乙的时间就是3，然后把全长看成单位“1”，甲的速度就是，乙的速度就是，用甲的速度比上乙的速度，然后化简即可求解． 解：甲和乙的时间比是2：3，甲的速度就是，乙的速度就是； =3：2； 答：他们的速度比是3：2． 点评：本题也可以根据路程一定，速度和时间之间的反比关系求解． 10．9：4． 【详解】试题分析：根据题意，可设小圆的半径为2r，则大圆的半径为3r，可根据圆的面积公式计算出大圆、小圆的面积，然后再用小圆的面积比上大圆的面积即可得到答案． 解：设小圆的半径为2r，大圆的半径为3r， 小圆的面积为：π（2r）2=4πr2， 大圆的面积为：π（3r）2=9πr2， 大圆面积与小圆的面积的比为：9πr2：4πr2=9：4． 答：小圆的面积与大圆面积的比是9：4． 点评：解答此题的关键是设小圆的半径，然后根据小圆直径与大圆半径的关系计算出大圆的半径，再根据圆的面积公式计算出大圆的面积和小圆的面积，最后用大圆的面积比上小圆的面积即可． 11．15：64 【详解】略 12．1：24． 【详解】试题分析：根据“出席率为 96%，”把出勤的人数看作96份，总人数为100份，则缺勤的人数为100﹣96=4份，用该班缺席人数的份数比出席人数的份数即可． 解：（100﹣96）：96， =4：96， =1：24， 答：该班缺席人数与出席人数的比是1：24． 点评：关键是把百分数转化为份数，找出对应的份数，写出比化简即可． 13．15：32． 【详解】试题分析：由题意可得：男生人数×=女生人数×，进而根据比例基本性质可知：如果男生人数是外项，则是外项，那么女生人数和是内项，据此解答即可． 解：男生人数×=女生人数×，则 女生人数：男生人数=：=15：32； 点评：此题应根据比例基本性质的逆运算进行解答． 14． 9∶8 【分析】第一空根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变。分数比的化简方法：比的前项和后项同时乘分母的最小公倍数，把分数比化为整数比，再按照整数比的化简方法计算；第二空用最简整数比的前项除以后项即可得解。 【详解】∶ ＝（×12）∶（×12） ＝9∶8 9∶8＝9÷8＝ 即∶化成最简单的整数比是9∶8，比值是。 【点睛】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数，小数或分数。 15．3∶2 【分析】根据工作量＝工作效率×工作时间，可得工作量一定时，工作效率的比等于它们所用的工作时间的反比，据此解答即可。 【详解】甲、乙单独做用的时间的比是：10∶15，所以甲的工作效率与乙的工作效率比是：3∶2。 【点睛】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率。 16．× 【详解】如妈妈的年龄是35岁，小红的年龄10岁，两年后妈妈的年龄是37岁，小红的年龄是12岁，则她们的年龄比是37：12，不是7：2。 故答案为：× 【点睛】根据妈妈和小红的年龄比是7：2，假设出妈妈与小红今年的年龄，再求出2年后她们的年龄，求出两年后她们的年龄比，然后再进行解答。 17．√ 【分析】公元13世纪，数学家斐波那契发现了一串神奇的数字：1，1，2，3，5，8，13…，计算前一项与后一项的比值越来越接近黄金分割0.618。 【详解】根据分析，斐波那契数列的前一项与后一项的比值会越来越接近0.618，说法正确。 故答案为：√ 18．× 【分析】比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，这就是比的基本性质。据此可知，把6︰5的前项和后项同时加上7，比值不变；是错误的。 【详解】根据分析可知，把6︰5的前项和后项同时加上7，比值不变；是错误的。 故答案为：× 【点睛】正确理解比的性质是解答此题的关键。 19．× 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 【详解】根据比的基本性质，比的前项增加10，要使比值不变，后项应加10，此说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查了比的基本性质的应用。 20．× 【详解】把9.3:3.1化简成最简整数比为3：1，化简后是一个比，而不是一个数．故答案为× 21．2∶1；6∶5；1∶2 5∶1；14∶9；1∶5 【分析】化简比根据比的基本性质，化简比的结果还是一个比；比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数，比值不变，这就是比的基本性质。 【详解】32∶16 ＝（32÷16）∶（16÷16） ＝2∶1               48∶40 ＝（48÷8）∶（40÷8） ＝6∶5 0.15∶0.3 ＝（0.15÷0.3）∶（0.3÷0.3） ＝（0.5÷0.5）∶（1÷0.5） ＝1∶2     ＝（×6）∶（×6） ＝5∶1 ＝（×24）∶（×24） ＝14∶9 ＝（0.125×8）∶（×8） ＝1∶5 22．5人 【分析】男、女生人数的比为5∶6，得出全班人数共（5＋6）份，每份的人数应为整数，则总人数应该为11的倍数，且在50到60之间，由此推出全班有55人，根据男生比女生少的分率，计算出男生比女生少的人数。 【详解】全班人数：（5＋6）×5 ＝11×5 ＝55（人） 55× ＝55× ＝5（人） 答：男生比女生少5人。 【点睛】根据全班人数的总份数和总人数的范围推算出具体的总人数是解答本题的关键。 23．水泥72吨；沙子108吨；石子180吨 【详解】水泥：360×=72（吨） 沙子：360×=108（吨） 水泥：360×=180（吨） 24．135平方厘米 【分析】由于长方形的周长＝（长＋宽）×2，所以用48除以2先求出长和宽的和，再根据长和宽的比是5∶3，把长看作5份，宽看作3份，长和宽共（5＋3）份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S ＝ab求出长方形的面积即可。 【详解】48÷2＝24（厘米） 24× ＝24× ＝15（厘米） 24× ＝24× ＝9（厘米） 15×9＝135（平方厘米） 答：这个长方形的面积是135平方厘米。 【点睛】本题主要考查按比例分配问题，求出长、宽的值是解题的关键。 25．1：4 【详解】试题分析：首先，根据△ADE和△DEC的高相等，那么可推出这两个三角形的面积之比，等于这两个三角形的底边之比为（15﹣9）：9=6：9=2：3．三角形BCD与三角形CDE面积相等．所以三角形ADE与三角形ABC的面积之比为2：8 即1：4 解：因为BC=CE=9， 所以AE=15﹣9=6（厘米）； 因为△ADE和△DEC的高相等， 所以△ADE和△DEC的面积比为（15﹣9）：9=6：9=2：3； 又因为三角形BCD与三角形CDE面积相等． 所以三角形ADE与三角形ABC的面积之比为2：8 即1：4． 答：三角形ADE与三角形ABC面积之比为1：4． 点评：此题重点考查等高的两个三角形的面积之间的关系．如果在两个三角形中，底边上的高相等，这两个三角形的面积比等于底边之比． 26．苹果树72棵，梨树99棵 【详解】根据“苹果树和梨树的棵数是8:11”可知，把苹果树的棵数看作8份，梨树的棵数看作11份，求出王伯伯共种植果树（8+11）份，那么两种果树的总棵数一定是19的倍数，并且在170～180棵之间． 解：8+11＝19（份） 在170～180间的19的倍数是171． 答：王伯伯种植苹果树72棵，梨树99棵． 考点：确立单位“1”的具体量． 反思：已知几种量和的范围及这几种量的比，求这几种量的和或者部分量各是多少，要先求出这几种量的份数和，将这个份数和扩大若干倍后正好在给出的范围内，然后按比例分配即可． 27．校园里有杏树126棵，有桃树168棵 【详解】试题分析：首先求得杏树和桃树棵数的总份数，然后求出桃树和杏树是总棵数的几分之几，再用总棵数分别乘桃树和杏树对应的分率就是它们的棵数． 解：3+4=7（份）， 杏树：294×=126（棵）； 桃树：294×=168（棵）； 答：校园里有杏树126棵，有桃树168棵 点评：此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答． 28．体育社团有48人，音乐社团有42人 【分析】题中体育社团和音乐社团的总人数是不变量，把它看作单位“1”， 原来体育社团的人数占总人数的，现在体育社团的人数占总人数的，体育社团减少的人数占总人数的，根据“总人数×＝体育社团减少的人数（体育社团调到音乐社团的人数）”求出总人数，进而求出原来两个社团各有多少人即可。 【详解】8＋7＝15；　 4＋5＝9； 8÷ ＝8÷ ＝90（人）；　 90÷（8＋7） ＝90÷15 ＝6（人）； 6×8＝48（人）；　 6×7＝42（人）； 答：原来体育社团有48人，音乐社团有42人。 【点睛】明确总人数是不变量，把它看作单位“1”是解答本题的关键。 29．五年级：150本；六年级：200本 【详解】五年级：560××=150（本） 六年级：560××=200（本） 30．四年级：25本；五年级：27本；六年级：28本 【详解】50:54:56=25:27:28 四年级：80×=25（本） 五年级：80×=27（本） 六年级：80×=28（本） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$