【预习衔接】第五单元完美的图形——圆（讲义）-2024-2025学年六年级数学上册青岛版

第五单元完美的图形-圆 （知识梳理+例题精讲+专项练习） 知识梳理 一定义 1、圆心：画圆时固定的一点叫做圆心。圆心确定圆的位置。 2、半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。半径确定圆的大小。 3、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。直径是圆的对称轴，用点划线画。 4、在长方形里画最大的圆，长方形的宽等于圆的直径；在正方形里画最大的圆，正方形的边长等于圆的直径； 二、周长： 1、圆周率:任意一个圆的周长和它的直径的比值是一个固定的数，这个比值就叫做圆周率，用字母π表示。 2、圆的周长： 已知d,C=πd；已知 r,C=2πr；已知C,d=C÷π；已知C,r=C÷2÷π 3、其它图形的周长： 已知d,C圆半= πd；已知 r, C圆半=πr； 已知 d, C半圆=(π+1)d＝2.57d 已知r, C半圆= (π+2)r=5.14 r；C跑道=πd＋2m（m是直道的长度） 4、r1：r2= d 1：d2=C1:C2 三、 面积 1、圆面积计算公式的推导过程： 把圆等分成若干个小扇形，分割后拼成一个长方形，长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径，因为，长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=C/2×r=πr2 2、圆的面积：已知r,S=πr2；已知d,S=1/4πd2 3、其它图形的面积： S半圆=1/2πr；S =1/8πd；S圆环=π(r－r) 4、S1：S2=r：r=d：d； 当半径扩大n倍，则直径扩大n倍，则周长扩大n倍，则面积扩大n2倍。 例题精讲 例题一．如果圆的半径扩大到原来的3倍，那么它的面积就扩大到（    ）。 A．原来的3倍 B．原来的6倍 C．原来的9倍 【分析】根据圆的面积公式S＝πr2，以及积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几；可知：圆的半径扩大到原来的3倍，即圆的半径乘3，那么它的面积就要乘32，即面积扩大到原来的（3×3）倍。 【详解】3×3＝9 如果圆的半径扩大到原来的3倍，那么它的面积就扩大到原来的9倍。 故答案为：C 【点睛】本题考查圆的面积公式以及积的变化规律的应用。 例题二．自己动手量出所需的条件，分别求出图中圆和正方形的面积． 答案．3.14平方厘米，4平方厘米 【详解】试题分析：量得图中正方形的边长为2厘米，也就是圆的直径为2厘米，运用公式分别求出圆和正方形的面积即可． 解：量得图中正方形的边长为2厘米， 正方形的面积：2×2=4（平方厘米）， 圆的面积：3.14×（2÷2）2=3.14×1=3.14（平方厘米）． 答：图中圆的面积是3.14平方厘米，正方形的面积是4平方厘米． 点评：量出计算图中面积所需要的长度，然后运用公式计算即可． 例题三．公园中有一个近似于圆形的湖，直径为100米。 （1）这个湖的水面面积是多少平方米？ （2）如果妙妙每分钟步行52米，她绕湖周大约用多长时间？（得数保留整数） 【分析】（1）根据圆的面积公式：S＝πr2，据此代入数值进行计算即可； （2）根据圆的周长公式：C＝πd，据此求出湖的一周的长度，再根据路程÷速度＝时间，据此解答即可。 【详解】（1）3.14×（100÷2）2 ＝3.14×2500 ＝7850（平方米） 答：这个湖的水面面积是7850平方米。 （2） ＝314÷52 ≈6（分钟） 答：她绕湖周大约用了6分钟。 【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。 专项训练 一、选择题 1．用三段一样长的铁丝，分别围成一个三角形、一个正方形、一个圆形。在围成的图形中，（    ）的面积最大。 A．圆形 B．正方形 C．三角形 D．无法确定 2．晓丽把一个图形沿对称轴连续对折两次后得到一个等腰直角三角形（如图），这个图形不可能是（    ）形。 A．正方形 B．三角形 C．长方形 D．圆形 3．下列说法中，正确的是（　　） A．两端都在圆上的线段叫直径 B．圆周率π=3.14 C．通过圆心的线段叫直径 D．周长相等的圆半径也相等 4．我们在探究圆的面积公式时，经历了怎样的研究过程？（    ） A．寻找关系→转化图形→推导公式 B．转化图形→推导公式→寻找关系 C．转化图形→寻找关系→推导公式 D．寻找关系→推导公式→转化图形 5．如图阴影部分的面积是（    ）cm2。 A．39.25 B．38.35 C．38.58 D．39.48 二、填空题 6．钟面上时针的长1dm,一昼夜时针扫过的面积是( ) ． 7．钟表的时针长6厘米，从早晨8：00到下午8:00，针尖走过的长度是( )厘米． 8．李大爷依墙而建的鸡舍，用篱笆围成了半圆形，其直径为5米，需要( )米的篱笆。鸡舍的占地面积是( )平方米。 9．一个圆，周长扩大4倍，半径扩大( )倍，直径扩大( )倍，面积扩大( )倍． 10．人民广场有一个半径是5米的半圆形花坛，如果要扩建这个花坛，把它的直径增加2米，花坛面积增加( )平方米。 11．将一个圆等分成若干份（如图），拼成一个近似的长方形，圆的面积是( )cm2。 12．一个圆的直径是9cm，它的半径为( )，一个圆的半径为5dm，它的直径为( )． 13．画一个周长为31.4cm的圆，圆规两脚之间的距离是( )cm。 14．把圆规的两脚分开2厘米画一个圆，这个圆的( )就是2厘米，它的周长是( )厘米． 15．圆不论大小，它的周长总是直径的( )倍多一些，这个固定的倍数叫做( )，通常用字母( )表示． 三、判断题 16．圆的直径扩大4倍，面积就扩大8倍。( ) 17．两个直径是的圆的面积之和，与一个直径是的圆面积相等．    ( ) 18．学习分数除法和推导圆的面积计算公式时，都用到了转化的思想方法。( ) 19．一个圆可以剪成4个圆心角都是90°的扇形，所以用4个圆心角都是90°的扇形，一定可以拼成一个圆。( ) 20．小圆的半径是大圆半径的时，小圆的面积和大圆的面积之比是1∶4。( ) 21．圆有无数条对称轴，圆的对称轴是它的直径，所以圆也有无数条直径。 ( ) 四、作图题 22．在下面长方形内画一个最大的半圆。 五、解答题 23．位于广东省潮州市饶平县三饶镇的新韵楼，是我国一座非常大的圆形土楼。只可惜，该楼已经倒塌了一部分，其直径大约为100米。你能算出新韵楼大概占地多少平方米吗？ 24．下图中四个圆的半径都是5厘米,阴影部分的面积是多少平方厘米? 25．在长方形中画一个最大的半圆，并画出整个图形的对称轴．量出半圆的半径（取整厘米数），求出半圆的面积． 26．（1）如图的正方形边长5厘米，请在正方形中画一个最大的圆， （2）剪去最大的圆，剩下部分的面积是多少？ 27．一块圆形草坪的半径是10米,如果每平方米草坪20元,铺这块草坪共需要多少钱? 28．青岛电视塔的塔蝶直径为32米，塔蝶之上的环形露天观光平台的宽度是4.5米。环形露天观光平台的面积是多少？ 29．小迪想知道餐厅巨柱的横截面积，于是用一根绳子，在巨柱上绕了1圈，量得绳长62.8米。巨柱的横截面积是多少平方米？    30．一条小路长50.24米，小芳骑自行车经过，车轮的半径是20厘米，从小路的这端到另一端，车轮要转多少圈？ 31．①如图是一个长方形（单位：厘米），这个长方形的周长为24厘米，长和宽的比是2：1，那么长为多少厘米，宽为多少厘米． ②、请你以D点为圆心，以CD为半径画一个圆，这个圆与长方形组合成新的图形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据题意可设铁丝的长为12.56米，那么根据正方形、圆形、三角形可分别计算出他们的边长，然后再利用它们的面积公式进行计算后再比较即可得到答案。 【详解】设铁丝的长为12.56米， 正方形的边长是：12.56÷4＝3.14（米） 正方形的面积是：3.14×3.14＝9.8596（平方米） 假设是正三角形，其边长是：12.56÷3≈4.2（米） 三角形的高小于斜边，所以三角形的面积就小于4.2×4.2÷2 ＝17.64÷2 ＝8.82（平方米） 圆的半径是：12.56÷2÷3.14 ＝6.28÷3.14 ＝2（米） 圆的面积是：2×2×3.14 4×3.14 ＝12.56（平方米） 8.82＜9.8595＜12.56 所以围成的圆的面积最大。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查的是：在周长相等的所有图形中，围成的圆的面积最大。 2．D 【分析】根据题意，每一个选项进行逐项分析，找出折叠后不是三角形的即可。 【详解】A．正方形沿对称轴连续折叠两次后可以得到一个等腰直角三角形； B．三角形沿对称轴连续折叠两次后可以得到一个等腰直角三角形； C．长方形沿对称轴连续折叠两次后可以得到一个等腰直角三角形； D．圆形沿对称轴连续折叠两次后可得到一个扇形。 故答案为：D 【点睛】根据正方形、三角形、长方形和圆的特点进行解答，理解圆形不管沿对称轴连续折叠几次得到的都是扇形。 3．D 【详解】试题分析：根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论． 解：A、根据直径的含义可知：两端都在圆上的线段叫直径，说法错误； B、圆周率π≈3.14，所以B选项错误； C、根据直径的含义可知：通过圆心的线段叫直径，说法错误； D、因为C÷π=r，所以周长相等的圆半径也相等，说法正确； 故选D． 点评：此题涉及的知识点较多，但都比较简单，属于基础题，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累． 4．C 【分析】将圆分成若干等份，剪拼成一个近似的长方形，然后寻找长方形的长、宽与圆的周长、半径之间的关系，长方形的面积等于圆的面积，由长方形的面积公式推导出圆的面积公式。 【详解】如图： 转化图形：把圆分成若干等份，剪开后再拼成一个近似的长方形； 寻找关系：拼成的长方形的长等于圆周长的一半，即πr；长方形的宽等于圆的半径r，长方形的面积等于圆的面积； 推导公式：根据长方形的面积＝长×宽，可推导出圆的面积公式S＝πr×r＝πr2。 所以，在探究圆的面积公式时，经历了转化图形→寻找关系→推导公式。 故答案为：C 【点睛】本题考查圆的面积公式推导过程及运用。 5．A 【分析】阴影部分的面积是半径10厘米的圆面积除以4，减去直径10厘米的半圆面积，由此计算即可。 【详解】3.14×10²÷4－3.14×（10÷2）²÷2 ＝78.5－39.25 ＝39.25（平方厘米） 故答案为：A 【点睛】本题考查了组合图形的面积，一般用加一加或减一减的方法。 6．6.28平方分米 7．37.68 8． 7.85 9.8125 【分析】篱笆的长度就是直径为5米的圆周长的一半，根据圆的周长＝πd，代入数据求出圆的周长，再除以2即可解答；鸡舍的占地面积是圆面积的一半，根据圆的面积＝πr2即可解答。 【详解】3.14×5÷2＝7.85（米） 3.14×（5÷2）2÷2 ＝3.14×2.52÷2 ＝3.14×6.25÷2 ＝9.8125（平方米） 需要7.85米的篱笆；鸡舍的占地面积是9.8125平方米。 9． 4 4 16 10．17.27 【分析】圆面积＝，代数分别求出圆半径是5米和直径增加2米的圆的面积，再除以2，分别求出大半圆和小半圆的面积，两个相减即可解答。 【详解】3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方米） （5×2＋2）÷2 ＝12÷2 ＝6（米） 3.14×62÷2 ＝3.14×36÷2 ＝113.04÷2 ＝56.52（平方米） 56.52－39.25＝17.27（平方米） 花坛面积增加17.27平方米。 【点睛】此题主要考查学生对圆面积公式的理解与实际应用，需要注意是圆直径增加2米，而不是半径。 11．12.56 【分析】根据题意可知，拼成的近似长方形的长等于圆的周长的一半；根据圆的周长公式：π×2×半径，求出半径；再根据圆的面积公式：π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】长方形的宽：6.28×2÷3.14÷2 ＝12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 【点睛】本题考查圆的周长公式和面积公式的应用，关键数明确拼成的近似长方形的长等于圆的周长的一半，进而求出圆的半径。 12．4.5厘米，10分米 【详解】试题分析：根据：圆的直径d=r×2，半径=d÷2，据此解答即可． 解：9÷2=4.5（厘米）； 5×2=10（分米）； 故答案为4.5厘米，10分米． 点评：明确同圆或等圆中半径和直径之间的关系，是解答此题的关键． 13．5 【分析】圆规两脚之间的距离是就是半径，根据圆的周长公式C＝2πr，据此可求出半径的长度。 【详解】31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 则圆规两脚之间的距离是5cm。 【点睛】本题考查圆的周长，熟记公式是解题的关键。 14．半径，12.56 【详解】试题分析：（1）应明确圆规两脚间的距离即是半径的长度； （2）根据“圆的周长=2πr”进行解答即可． 解：（1）圆规两脚间的距离即是半径的长度，圆的半径就是2厘米； （2）2×3.14×2， =6.28×2， =12.56（厘米）； 故答案为半径，12.56． 点评：解答此题的关键是应明确圆规两脚间的距离即是半径的长度，进而根据“圆的周长=2πr”进行解答即可． 15． 3 圆周率 π 【详解】根据圆的周长与直径之间的关系：圆的周长C=πd填写即可． 故答案为3，圆周率，π． 16．× 【分析】根据：在同一个圆中，直径扩大a倍，面积就扩大a2倍，据此解答。 【详解】根据分析，圆的直径扩大4倍，面积就扩大16倍，原题说法错误； 故答案为：× 【点睛】此题考查了圆形的面积，关键能理解直径与面积的关系。 17．× 【详解】3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（平方厘米） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 6.28平方厘米≠12.56平方厘米。 因此，两个直径是2cm的圆的面积之和，与一个直径是4cm的圆面积相等。这种说法是错误的。 故答案为：×。 18．√ 【分析】再计算分数除法的时，将其转化为分数乘法计算；推导圆的面积公式时，将圆转化成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式，据此解答。 【详解】根据分析可知，学习分数除法和推导圆的面积计算公式时，都用到了转化的思想方法。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查利用“转化”思想方法解答问题。 19．× 【分析】在同一个圆中，扇形的半径都相等，一个圆可以剪成4个圆心角都是90°的扇形；但是4个圆心角都是90°的扇形半径不一定相等，据此解答。 【详解】一个圆可以剪成4个圆心角都是90°的扇形，所以用4个圆心角都是90°且半径相等的扇形，一定可以拼成一个圆。 故答案为：× 【点睛】扇形的大小与圆心角有关，也与所在圆的半径有关。 20．√ 【分析】假设出小圆和大圆的半径，计算出小圆的面积和大圆的面积，再化简为最简整数比即可。 【详解】假设小圆的半径为1cm，则大圆半径为2cm。 小圆面积：（） 大圆面积：（） 小圆面积∶大圆面积＝∶＝1∶4 故答案为：√ 【点睛】掌握圆面积的计算方法是解答题目的关键。 21．× 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形完全重合，则这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答。 【详解】圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线，所以圆也有无数条直径。 故答案为：× 【点睛】根据对称轴的意义，圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径。 22．见详解 【分析】将半径取到最大，得到的半圆就是最大的半圆，据此画图即可。 【详解】 【点睛】本题考查了圆的特征，圆的大小由圆的半径长度确定。 23．7850平方米 【分析】根据“s＝πr²”求出圆的面积即可。 【详解】3.14×（100÷2）² ＝3.14×2500 ＝7850（平方米）； 答：新韵楼大概占地7850平方米。 【点睛】熟练掌握圆的面积公式是解答本题的关键。 24．257平方厘米 【分析】仔细观察上图,正方形中的空白部分是4个四分之一圆,利用割补法可以得到右图． 右图中阴影部分的面积与原图中阴影部分的面积相同,即等于一个正方形与4个半圆(即2个圆)的面积之和． 【详解】(2r)2+2πr×2=102+3.14×25×2=257(平方厘米) 答:阴影部分的面积是257平方厘米． 25．如图，半圆的面积为6.28平方厘米 【详解】试题分析：在长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的半径等于长方形的宽，这个半圆有一条对称轴，对称轴垂直于这个半圆的直径且过圆心；利用圆的面积公式计算出半圆面积即可． 解：量得长方形的宽为2厘米， 半圆的面积为：3.14×22÷2=6.28（平方厘米）， 作图如下： 点评：本题考查的知识点有：根据指定长宽画长方形、根据指定直径（或半径）画半圆、画轴对称图形的对称轴等． 26．如图，面积是5.375平方厘米 【详解】试题分析：（1）由题意可知：正方形中最大的圆的直径就等于正方形的边长，因此以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的边长的一半为半径，即可画出符合要求的圆； （2）剩下部分的面积=正方形的面积﹣圆的面积，据此代入数据即可求解． 解：（1）以正方形的对角线的交点O为圆心，以正方形的边长的一半（5÷2=2.5厘米）为半径， 画圆如下： ； （2）5×5﹣3.14×2.52， =25﹣3.14×6.25， =25﹣19.625， =5.375（平方厘米）； 答：剩下部分的面积是5.375平方厘米． 点评：解答此题的关键是明白：正方形中最大的圆的直径就等于正方形的边长，从而问题逐步得解． 27．6280元 【详解】3.14×102×20=6280(元) 28．388.575平方米 【分析】先利用塔蝶直径求出外圆的半径，减去环宽4.5米，就是内圆的半径，再利用圆环的面积公式：即可求出环形露天观光平台的面积。 【详解】32÷2＝16（米） 16－4.5＝11.5（米） ＝ ＝ ＝（平方米） 答：环形露天观光平台的面积是388.575平方米。 【点睛】此题的解题关键是掌握圆环的面积的计算方法。 29．314平方米 【分析】绳长62.8米，即圆的周长为62.8米，根据圆的周长公式：C＝，代入数据求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝，代入数据求出巨柱的横截面积。 【详解】62.8÷2÷3.14＝10（米） 3.14×102 ＝3.14×10×10 ＝314（平方米） 答：巨柱的横截面积是314平方米。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆的周长和圆的面积公式求解。 30．40圈 【详解】20厘米=0.2米 50.24÷（3.14×2×0.2）=40（圈） 31．8、4 如图 【详解】试题分析：①根据长方形的周长公式：c=（a+b）×2，用周长除以2求出长与宽的和，长和宽的比是2：1，长占和的，宽占和的，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答． ②根据圆的画法，D点为圆心，以CD（4厘米）为半径进行作图即可． 解：①24=12×=8（厘米）， 24==4（厘米）， 答：长是8厘米，宽是4厘米． ②作图如下： 故答案为8、4． 点评：此题考查的目的是根据长方形的周长公式、利用按比例分配的方法分别求出长和宽．掌握圆的画法． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$