2024年山东省青岛市崂山区中考三模数学试题

试卷第 1页,共 4页 2024年山东省青岛市崂山区中考三模 数 学 试 题 (时间:120分钟 满分:120分) 注意事项: 1.本试题分第 I卷和第 II卷两部分,共 26题.第 I卷为选择题,共 9小题,27分;第 卷为填 空题、作图题、解答题,共 17小题,93分. 2.所有题目均在答题卡上作答,在试题上作答无效. 第 I卷(共 27分) 一、单选题(每小题 3分,共 9小题,27分) 1.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,先后入选国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化 遗产代表作名录.鱼与“余”同音,寓意生活富裕、年年有余,是剪纸艺术中很受喜爱的主题.以下 关于鱼的剪纸中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 2.下图是由三个大小一样的正方体摆放成的几何体,则它的主视图是 A B C D 3.2024中国国家地理协会最新测得:亚洲陆地面积约为 4400万平方千米,将 44000000科学记数法 表示为( ) A.4.4 107 B.4.4 106 C.0.44 107 D.4.4 103 4.下列各组数中,互为相反数的一组是( ) A. 22 与 2( 2) B. 3 8 与 3 8 C. 2a 与 2a D. 3 a与 3 a 5.下列运算正确的是( ) A. 3 3 6a a a B. 3 3a a a C. 2 3 5a a a D. 33 6a a 6.如图,已知 AB∥CD,直线MN分别交 AB、CD于点M 、N ,NG 平分 MND ,若 1 70 ∠ 则 2 的度数为( ) A.10 B.15 C.20 D.35 7.如图,在平面直角坐标系中, ABC 位于第二象限,点 B 的坐标是(﹣5,2),先把 ABC向右平移 4个单位长度得到 A1B1C1,再作与 A1B1C1关于于 x轴对称的 A2B2C2, 则点 B 的对应点 B2的坐标是 A.(﹣3,2) B.(2,﹣3) C.(1,2) D.(﹣1,﹣2) 8.如图,将矩形 ABCD沿对角线 AC折叠,点 B的对应点为点 B , AB与CD相交于点 F , 若 3AB , 1sin 2 CAB ,则DF的长度是 A.1 B.2 C. 3 D.3 9.如图,二次函数 2y ax bx c 的图象经过点 3,0 ,对称轴为直线 1x ,下列结论: ① 0abc ;②9 3 0a b c ;③3 2 0b c ;④若 1 21, , 2,A a y B a y 两点在该二次函 数的图象上,则 1 2 0y y .其中正确的有( ) A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4 个 试卷第 2页,共 4页 第 II卷(共 93分) 二、填空题(每题 3分,共 6小题,18分) 10.计算 1 112-2 tan 60 ( ) 2sin 30 2 = 11.王老师为了响应市政府“绿色出行”的号召,上下班由自驾车改为骑自行车.已知王老师家距学 校 10km,自驾车的速度是自行车速度的 4倍,骑自行车所用时间比自驾车所用时间多 1 3 h.如果设 骑自行车的速度为 xkm/h,则由题意可列方程为 . 12.一元二次方程 2 4 0x x m 有两个相等的实数根,点 1 1,A x y 、 2 2,B x y 是反比例函数 my x 上 的两个点,若 1 2 0x x ,则 1y 2y (填“<”或“>”或“=”). 13.已知关于 x的一元二次方程 2 21 2 1 1 0m x m x 有两个不相等的实数根,则m的取值范 围是 . 14.如图,点 C是以点 O为圆心,AB为直径的半圆上一点,连接 AC,BC,OC.若 AC=4,BC= 3,则 sin∠BOC的值是 . 15.如图,在正方形 ABCD中, 4AB ,E为对角线 AC上与A,C不重合的一个动点,过点E作 EF AB 于点 F, EG BC 于点 G,连接 ,DE FG.下列结论其中正确结论的有 .(填序号) ①DE FG ;②DE FG^ ;③ BFG ADE ;④ FG 的最小值为 3. 三、作图题 用圆规和直尺作图,不写过程,但要保留作图痕迹 16.(4 分)已知 ,线段 a, 求作:等腰 ABC ,使得顶角 A ,底边 BC上的高为 a. 四、解答题 17.(本题满分 8 分) (1)计算: 2 2 a b b a a b a b (2)解不等式组: 3( 1) 5 1 { 1 2 4 2 x x x x . 18.(本题满分 6 分) 学校联欢会上有一个“转盘”游戏,用如图所示的 两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏,游戏规则如 下:A盘被分成面积相等的4个扇形, B盘中小的扇 形区域所占的圆心角是120 .分别任意旋转两个转盘, 将A盘转出的数字,与 B盘转出的数字相乘,如果乘 积是 4的倍数,则小红赢得游戏;如果乘积是6的倍数, 则小明赢得游戏. (1)小明转动一次A盘,求指针指向数字为 2的概率为 ; (2)这个游戏对双方是否公平?请利用画树状图或列表的方法说明理由. 19.(本题满分 6 分) 2024年是我国航天事业辉煌的一年,神舟十六号和神舟十七两个飞行乘组 6位航天员 在太空会师,在神州大地上掀起了航天热潮.某学校为了解本校学生对我国航天事业的了 解情况,在全校范围内开展了航天知识竞赛,学校随机抽取了 50名学生的成绩,整理并制 成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图. 组 号 成绩 频 数 频率 1 40 50x 2 0.04 2 50 60x a 0.1 3 60 70x 18 0.36 4 70 80x 9 0.18 5 80 90x b m 6 90 100x 2 0.04 合计 50 1.000 其中 60 70x 这一组的数据如下: 61,62,62,63,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,66,67,67,69根据以上 提供的信息,解答下列问题: (1)表格中 a _,b _,m _; (2)抽取的第 3组学生竞赛成绩的众数是_; (3)若以组中值(每组正中间数值)为本组数据的平均数,全校共有 1000名学生参与竞 赛,试估计所有学生成绩的平均分. 试卷第 3页,共 4页 20.(本题满分 6 分) 如图, AB是 O 的直径,点C是 AD的中点,过点C作射线 BD的垂线,垂足为 E. (1)求证:CE是 O 的切线; (2)若 4AB , 3BE ,求图中阴影部分的面积(用含有 的式子表示). 21.(本题满分 6 分) 如图 1, 1A BC 、 1ACM 的角平分线 2BA 、 2CA 相交于点 2A , (1)如果 1 64A , 2A = . (2)如图 2, 1 64A ,如果 2A BC 、 2A CM 的角平分线 3BA 、 3CA 相交于点 3A ,则 3A = . (3)如图 2,重复上述过程, 1nA BC 、 1nA CM 的角平分线 nBA 、 nCA 相交于点 nA 得到 nA ,设 1A ,则 nA = .(请用 的代数式表示) 22.(本题满分 8 分) 如图是体育公园步道示意图.从 A处和得点 B在北偏东 45 ,测得点 C在北偏东75 , 在点 C处测得点 B在北偏西 45 , 1800AB 米. (1)求步道 AC的长度(结果保留根号); (2)游客中心 Q在点 A的正东方向,步道 AC与步道 BQ交于点 P,测得 45APQ , 小明和爸爸分别从 B处和 A处同时出发去游客中心,小明跑步的速度是每分钟 20 6米, 请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米,他俩可同时到达游客中心.(结果精确到 0.1) (参考数据: 2 1 .414 , 3 1.732 , 6 2.449 ) 23.(本题满分 8 分) 如图, ABCDY 的两条对角线相交于点O,点 E是BO的中点,过点 B作 AC的平行线 BF , 交CE的延长线于点 F ,连接 AF . (1)求证: FBE COE ≌ ; (2)当 AC BD 时,四边形 AFBO是什么四边形?说明理由. 试卷第 4页,共 4页 24.(本题满分 10分) 某公司准备对甲、乙两款产品进行投资,通过市场调查得到了投资甲产品一年后的利润 1y (万 元),投资乙产品一年后的利润 2y (万元)随投入成本 x(万元)( 0x 且 x为整数)变化的数据如 下表: 投入成本 x(万元) … 1 2 4 8 … 21.(本题满分 6 分) … 0.5 1 2 4 … 乙产品利润 2y (万元) … 2.25 4 6 4 … (1) 1y 与 x, 2y 与 x之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接写出 1y 关于 x的函数 解析式和 2y 关于 x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围); (2)若该公司投资了甲、乙两款产品. ①若一年后乙产品的利润是甲产品的两倍,求乙产品投入的成本是多少? ②要想一年后公司投资的这两款产品的利润和最大,并且两款产品的总利润率为60%,那么该 公司共投入的成本是多少?(利润率 100% 利润 成本 ) 25.(本题满分 10 分) 已知,如图, ABCD中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45 ,点 P从点 A出发,沿 AD方 向匀速运动,速度为 3cm/s;点 Q从点 C出发,沿 CD方向匀速运动,速度为 1cm/s,连接 并延长 QP交 BA的延长线于点 M,过 M作 MN⊥BC,垂足是 N,设运动时间为 t(s)(0 <t<1),解答下列问题: (1)当 t为何值时,四边形 AQDM是平行四边形? (2)设四边形 ANPM的面积为 y(cm2),求 y与 t之间的函数关系式; (3)连接 AC,是否存在某一时刻 t,使 NP与 AC的交点把线段 AC分成 的两部分? 若存在,求出相应的 t值,若不存在,说明理由 2024年山东省青岛市崂山区中考三模 数学试题命题意图与中考风向研究报告 ————青岛市崂山区中考数学教研员 ————青岛市崂山区中考数学阅卷王老师 总体点评 难度中档且合理,贴近中考难度,解答题区分度强,由于只有 1 天的命题时间,原题多,命 题缺乏创新,但是题目位置敢于大胆改变,还是不错的。 细节点评 一、选择第 9题为二次函数压轴题,这种题在 2022年青岛中考第八题、2023青岛中考第 16 题出现过,需要重视 二、填空第 15题在 2022年青岛中考第 14题出现过,需要重视 三、解答题 20题考察圆相关知识,虽然中考没有出现,但是在 2023和 2024 青岛市市南区 的一模卷、2024李沧区的一模卷中出现过,作为有可能考察的新题型,需要重视 四、解答题 21题为简单的规律探索,延续 2022和 2023的中考风格,需要重视 五、解答题 22题作为创新为三角函数题,取代了传统函数与方程应用题或者反比例函数大 题,需要重视 六、24题二次函数利润问题计算量稍大,需要重视 七、25题动点改变 2013青岛中考原题,题眼为通过相似找到线段比例关系,稍有思维含量 答案第 2页,共 17页 2024年山东省青岛市崂山区中考三模 数学试题参考答案与评分标准 说明:由于三模是学生自己批改,为此为学生配备了详细的解析,供学生自主学习反思 1.D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可. 【详解】解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意; B.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意; C.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意; D.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意. 故选:D. 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴, 图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180度后与自身重合. 2.B 【分析】从正面看物体得到的正投影图叫主视图.根据概念即可得到答案. 【详解】解:它的主视图,即从正面看到的图形为: , 故选 B. 【点睛】本题考查三视图,掌握三视图的概念,观察各视图的形状特征是解题的关键,注意 看不到的棱应用虚线表示. 3.A 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式,其中 1≤|a|<10,n为整数.确定 n的值时, 要看把原数变成 a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数 绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 【详解】44000000的小数点向左移动 7位得到 4.4, 所以 44000000用科学记数法表示为 4.4 107, 故选 A. 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a 10n的形式,其中 1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值. 4.D 【分析】先将根式进行化简,再利用两个数互为相反数的定义来判定求解. 【详解】A. 22 2 , 2( 2) 2 , 22 和 2( 2) 不互为相反数,故本选项不符合题意; B. 3 8 2 , 3 8 2 , 3 8 和 3 8 不互为相反数,故本选项不符合题意; C. 2a a , 2a a , 2a 和 2a 不互为相反数,故本选项不符合题意; 答案第 3页,共 17页 D. 3 3 a a ,即 3 a和 3 a 互为相反数,故本选项符合题意; 故选:D. 【点睛】本题主要考查了根式的化简和互为相反数的定义,将根式进行化简是解答关键. 5.C 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、幂的乘方法则逐项判断即可得. 【详解】解:A、 3 3 32a a a ,此项错误,不符题意; B、 3 3 1a a ,此项错误,不符题意; C、 2 3 5a a a ,此项正确,符合题意; D、 33 9a a ,此项错误,不符题意; 故选:C. 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方,熟练掌握各运算法则是解 题关键. 6.D 【详解】已知 AB∥CD,∠1=70 ,根据平行线的性质可得∠MND=∠1=70 ,再由 NG平分 ∠MND,根据角平分线的定义可得∠3= 12 ∠MND=35 ,因 AB∥CD,根据平行线的性质可 得∠2=∠3=35 .故选 D. 7.D 【分析】首先利用平移的性质得到 A1B1C1中点 B的对应点 B1坐标,进而利用关于 x轴对 称点的性质得到 A2B2C2中 B2的坐标,即可得出答案. 【详解】解:把 ABC向右平移 4个单位长度得到 A1B1C1, 此时点 B(-5,2)的对应点 B1坐标为(-1,2), 则与 A1B1C1关于 x轴对称的 A2B2C2中 B2的坐标为(-1,-2), 故选 D. 【点睛】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换,正确掌握变换规律是解题关键. 8.A 【分析】在矩形 ABCD中,在矩形 ABCD中,∠B=90 , 1sin 2 CAB ,得到 CAB =30 , 求得 BC= 3,根据折叠的性质得到 A B =AB=3,∠ B AC=∠BAC,推出 AF=CF,设 DF=m, 则 AF=CF=3−m,,根据勾股定理结论得到结论. 【详解】解:在矩形 ABCD中,∠B=90 , ∵AB=3, 1sin 2 CAB , ∴ CAB =30 , 答案第 4页,共 17页 ∴BC= 3 3 AB= 3, ∵ ABC沿对角线对折,得到 A B C, ∴A B =AB=3,∠ B AC=∠BAC, ∵AB//DC, ∴∠BAC=∠DCA, ∴∠ B AC=∠DCA, ∴AF=CF, 设 DF=m,则 AF=CF=3−m, ∵AD2+DF2=AF2, ∴( 3 )2+m2=(3−m)2, ∴m=1, 故选 A. 【点睛】此题主要考查了翻折变换,矩形的性质和应用,以及解直角三角形的方法,要熟练 掌握. 9.B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系,抛物线与 x轴的交点问题;根据图 象可知函数与 x轴 y轴交点情况及对称轴,判断 , ,a b c的情况,可判断①;由 3x 时, 0y 可判断②;结合对称轴为直线 1 2 bx a ,由对称性可求该函数和 x轴的另一个交点为 ( 1,0) 代入 0y 可判断③;由图象开口向上,得 0a ,即 1 1, 2 2a a ,得到 1 21, , 2,A a y B a y 两点在对称轴右侧的抛物线上,再根据点到对称轴的距离越大,函 数值也越大,可判断④. 【详解】解:根据图象可知:图象开口向上,函数与 y轴交点在负半轴上, 0, 0a c , 对称轴为直线 1x ,即 1 2 b a , 2 0b a , 0abc ,故①正确; 二次函数 2y ax bx c 的图象经过点 3,0 ,对称轴为直线 1x , 该函数和 x轴的另一个交点为 2 3,0 ,即 1,0 , 3x 时, 9 3 0y a b c ,故②错误; 该函数和 x轴的另一个交点为 1,0 , 0a b c , 1 2 bx a , 2a b , 2 0a a c ,即3 0a c , 6 2 0a c , 6 3a b , 答案第 5页,共 17页 3 2 0b c ,故③错误; 0a , 1 1, 2 2a a , 1 21, , 2,A a y B a y 两点在对称轴右侧的抛物线上, 在对称轴右侧的抛物线上,y随 x的增大而增大, 1 2a a , 1 2y y ,即 1 2 0y y ,故④正确. 故选:B. 10.1. 【分析】先化简式子中的二次根式,三角函数以及负指数幂然后再计算; 【详解】原式 2 3 2 3 2 1 1 故答案是:1. 【点睛】本题主要考查实数的计算,熟练掌握实数的计算步骤是解决本题的关键. 11. 10 10 1 4 3x x 【分析】设骑自行车的速度为 xkm/h,则自驾车的速度是 4xkm/h,根据题意列分式方程即可. 【详解】解:设骑自行车的速度为 xkm/h,则自驾车的速度是 4xkm/h,由题意得: 10 10 1 4 3x x , 故答案为: 10 10 1 4 3x x . 【点睛】此题考查了分式方程的应用,列分式方程,理解题意掌握题中的等量关系是解题的 关键. 12.> 【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则 0 求出 m的取值范围,再由反比例 函数函数值的变化规律得出结论. 【详解】解:∵一元二次方程 2 4 0x x m 有两个相等的实数根, ∴ 2( 4) 4 0m , ∴ 4m , ∴点 1 1,A x y 、 2 2,B x y 是反比例函数 4y x 上的两个点, 又∵ 1 2 0x x , ∴ 1 2y y , 故填:>. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式,解题的关键是根据一 元二次方程有两个相等的实数根求出 m值,再由反比例函数的性质求解. 13.C 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m−1≠0且 =(2m−1)2−4(m−1) 2>0,然后求出两不等式的公共部分即可. 【详解】解:根据题意得 m−1≠0且 =(2m−1)2−4(m−1)2>0, 答案第 6页,共 17页 解得 3 4 m 且 m≠1. 故选:C. 【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与 =b2−4ac 有如下关系:当 >0时,方程有两个不相等的实数根;当 =0时,方程有两个相等的实 数根;当 <0时,方程无实数根. 14.B 【分析】如图,过点 C作 CH⊥AB于 H.利用勾股定理求出 AB,再利用面积法求出 CH, 可得结论. 【详解】解:如图,过点 C作 CH⊥AB于 H. ∵AB是直径, ∴∠ACB=90 , ∵AC=4,BC=3, ∴AB= 2 2 2 24 3 5AC BC , ∴OC= 12 AB= 5 2 , ∵ ABCS = 1 2 •AB•CH= 1 2 •AC•BC, ∴CH= 3 4 12 5 5 , ∴sin∠BOC= CH OC = 12 245 5 25 2 , 故选:B. 【点睛】本题考查圆周角定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会利用面积法求出 CH的长,属于中考常考题型. 15.C 【分析】延长DE,交 FG于点 N,交 AB于点M ,连接 BE,交 FG于点O,先根据正方形 的性质、三角形全等的判定定理与性质得出DE BE ,再根据矩形的判定与性质可得 BE FG ,由此可判断①;先根据三角形全等的性质可得 ABE ADE ,再根据矩形的性 质可得OB OF ,然后根据等腰三角形的性质可得 BFG ABE ,由此可判断③;根据直 角三角形的性质可得 90ADE AMD ,从而可得 90BFG AMD ,由此可判断②; 先根据垂线段最短可得当DE AC 时,DE取得最小值,再解直角三角形可得DE的最小值, 从而可得 FG的最小值,由此可判断④. 【详解】解:如图,延长DE,交 FG于点 N,交 AB于点M ,连接 BE,交 FG于点O, 答案第 7页,共 17页 四边形 ABCD是正方形, 4AB , 4, 90 , 45AD AB ABC BAD BAE DAE , 在 ABE 和 ADEV 中, AB AD BAE DAE AE AE , ( )ABE ADE SAS , ,BE DE ABE ADE , 90 , ,ABC EF AB EG BC , 四边形 BFEG是矩形, ,BE FG OB OF , DE FG ,即结论①正确; OB OF , BFG ABE , BFG ADE ,即结论③正确; 90BAD Q , 90ADE AMD , 90BFG AMD , 90FNM ,即DE FG^ ,结论②正确; 由垂线段最短可知,当DE AC 时,DE取得最小值, 此时在Rt ADE 中, 2sin 4 2 2 2 DE AD DAE , 又 DE FG , FG 的最小值与DE的最小值相等,即为2 2,结论④错误; 综上,正确的结论为①②③,共有 3个, 故选:C. 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点, 通过作辅助线,构造全等三角形和直角三角形是解题关键. 16.见详解 【分析】本题考查了尺规作图:作一个角等于已知角,作角的平分线,作线段的垂直平分线, 等腰三角形的判定及性质;先尺规作图作 MAN ,再作出 MAN 的平分线 AE,在 AE 上截取 AD a ,过 D作 AD的垂线交 AM 于C,交 AN于 B,即可求解;能根据等腰三角形 的判定及性质找出作法是解题的关键. 【详解】解:如图, 答案第 8页,共 17页 ABC 为所求作. 17.(1) 1 a b ;(2)-2≤x≤ 7 3 . 【详解】试题分析:(1)原式利用除法法则变形,约分即可得到结果; (2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分即可. 试题解析:(1)原式= ( )( ) a a b a b a b a = 1 a b ; (2) 3( 1) 5 1 { 1 2 4 2 x x x x ① ② , 由①得:x≥-2, 由②得:x≤ 7 3 , 则不等式组的解集为-2≤x≤ 7 3 . 考点:1.分式的乘除法;2.解一元一次不等式组. 18.(1) 1 4 (2)公平,理由见解析 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、利用列表或树状图求概率、游戏的公平性,熟 练掌握画树状图或列表求概率是解题的关键. (1)直接利用概率公式计算概率即可; (2)先根据题意列出表格,再根据表中数据分别算出两人赢的概率,再比较概率得出答案 即可. 【详解】(1)解:∵A盘被分成面积相等的 4个扇形, ∴小明转动一次A盘,求指针指向数字为 2的概率 1 4 , 故答案为: 1 4 ; (2)解:公平,理由如下: ∵ B盘中小的扇形区域所占的圆心角是120 , ∴ B盘中大的扇形区域所占的圆心角 360 120 240 , ∴可以理解为 B盘中有两块圆心角是120 的数字5的扇形区域, ∴列表如图所示: 答案第 9页,共 17页 A盘 B盘 1 2 3 4 5 5 10 15 20 5 5 10 15 20 6 6 12 18 24 由表得:共有12种等可能事件,其中小红赢得游戏的结果有 4种,小明赢得游戏的结果有 4 种, ∴小红赢得游戏的概率为: 1 4 1 12 3 P , 小明赢得游戏的概率为: 2 4 1 12 3 P , ∵ 1 2P P , ∴这个游戏对双方公平. 19.(1)5; 14; 0.28 (2)64 (3)71.8 【分析】(1)用接受调查的总人数乘以 50 60x 这一组别的频数即可求出 a,进而求出 b, 再用 b除以接受调查的总人数即可得到答案; (2)根据众数的定义进行求解即可; (3)根据加权平均数的定义求出样本中的加权平均成绩进而估计总体的平均成绩即可. 【详解】(1)解:由题意得, 50 0.1 5a , ∴ 50 2 5 18 9 2 14b , ∴ 14 0.28 50 m , 故答案为:5,14,0.28; (2)解:∵成绩为 64出现了 10次,出现的次数最多, ∴抽取的第三组学生竞赛成绩的众数是 64, 故答案为:64; (3)解: 45 2 55 5 65 18 75 9 85 14 95 2 71.8 50 , ∴估计所有学生成绩的平均分为71.8. 【点睛】本题主要考查了频数与频率分布表,求众数和加权平均数,用样本估计总体,灵活 应用所学知识是解题的关键. 20.(1)见解析; (2) 2 3 . 【分析】(1)连接OC,证明OC BE∥ ,即可得到结论; ( 2)连接 AC,OD,CD,证明 ACB CEB ∽ ,从而可得 AB BC BC BE ,代入求出 2 3BC , 答案第 10页,共 17页 由 3 3cos 22 3 BECBE BC ,则 30CBE ,证明 COD 是等边三角形,根据等边三 角形的性质得到 60DCO ,即可证明CD AB∥ ,从而可得 COD CBDS S ,求出扇形COD 的面积即可得到阴影部分的面积. 【详解】(1)证明:如图,连接OC, ∵点C是 AD的中点, ∴ AC DC , ∴ ABC EBC , ∵OB OC , ∴ ABC OCB , ∴ EBC OCB , ∴OC BE∥ , ∵BE CE , ∴半径OC CE , ∴CE是 O 的切线; (2)如图,连接 AC,OD,CD, ∵ AB为 O 的直径, ∴ 90ACB , ∴ 90ACB CEB , ∵ ABC EBC , ∴ ACB CEB∽ , ∴ AB BC BC BE , 答案第 11页,共 17页 ∴ 4 3 BC BC , ∴ 2 3BC , ∵在Rt BCE 中, 2 3BC , 3BE , ∴ 3 3cos 22 3 BECBE BC , ∴ 30CBE , ∴ 60COD AOC , ∵OC OD , ∴ COD 是等边三角形, ∴ 60DCO , ∴ DCO AOC , ∴CD AB∥ , ∴ COB CBDS S , ∴ 260 2 2 360 3OCD S S 阴影 扇形 . 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定,等边三角形的判定与性质,平行线的判 定与性质,切线的判定,解直角三角形以及扇形面积的求法,熟练掌握知识点的应用是解题 的关键. 21.(1)32;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;过程见解析 (2)16 (3) 1( )2n 【分析】(1)根据角平分线的定义可知, 1 11 2 ABC , 1 12 2 ACM = ,根据三角形外角 的性质可知 1 1 1ACM ABM A - = , 22 1 A - = ,可得 2 1 1 1 1 1 12 1 ( ) 64 32 2 2 2 A ACM ABM A� � � � � � 窗 = ; (2)根据(1)的方法求解即可; (3)由(1)(2)的规律可知, 1 11 1( )2 1 1 2 2n n n n A A A q - - = = = . 【详解】(1)解:结论: 2A =32 ;理由如下: ∵ 1A BC 、 1ACM 的角平分线 2BA 、 2CA 相交于点 2A , ∴ 1 11 2 ABC , 1 12 2 ACM = (角平分线的定义) ∵ 1 1 1ACM ABM A - = , 22 1 A - = (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和) ∴ 2 1 1 1 1 1 12 1 ( ) 64 32 2 2 2 A ACM ABM A� � � � � � 窗 = . (2)解:∵ 2A BC 、 2A CM 的角平分线 3BA 、 3CA 相交于点 3A , 答案第 12页,共 17页 ∴ 3 2 1 2 A BC A BC , 3 2 1 2 A CM A CM (角平分线的意义) ∵ 2 2 2A CM A BM A - = , 3 3 3ACM A BM A - = (三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和) ∴ 3 3 3 2 2 2 1 1 1( ) 32 16 2 2 2 A ACM A BM A CM A BM A� � � � � � 窗 = (3) 解:由(1)(2)可知, 2 1 1 2 A A , 3 2 12 1 1 2 2 A A A = = , 4 3 13 1 1 2 2 A A A = = , …, ∴ 1 11 1( )2 1 1 2 2n n n n A A A q - - = = = . 【点睛】本题主要考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质,掌握三角形的一个外 角等于与它不相邻的两个内角的和成为解答本题的关键. 22.(1)1200 3 米 (2)爸爸的速度要达到每分钟 17.9米,他俩可同时到达游客中心. 【分析】(1)由题意可知, 75 45 30BAC , 60ACB , 90ABC ,根据 1800AB 解直角三角形即可; (2)作 BD AQ ,交 AQ延长线于D,由(1)可知, 15CAQ , 45BAD ,由BD AQ 可求得 900 2AD BD ,由 45APQ ,可知 60BQD APQ CAQ ,由此可得 300 6QD , 600 6BQ , 900 2 300 6AQ AD QD ,可计算出小明到达游客中心所需时 间,进而可得爸爸的速度. 【详解】(1)解:如图, 答案第 13页,共 17页 由 A处和得点 B在北偏东 45 ,测得点 C在北偏东75 , 可知 75 45 30BAC , 1 90 75 15CAQ , 由在点 C处测得点 B在北偏西 45 ,可知 2 45 , ∴ 60ACB , ∴ 90ABC , ∵ 1800AB , ∴ 1800 1200 3 cos30 3 2 ABAC (米) (2)作 BD AQ ,交 AQ延长线于D, 由(1)可知, 15CAQ , 45BAD , ∵BD AQ , ∴ 900 2 cos45 ABAD BD , ∵ 45APQ , ∴ 60BQD APQ CAQ , ∴ 900 2 300 6 tan 60 3 BDQD , 900 2 600 6 sin 60 3 2 BDBQ , 则: 900 2 300 6AQ AD QD , 小明到达游客中心所需时间为: 600 6 20 6 30 分钟, 若要同时到达,则爸爸的速度为: 900 2 300 6 30 17.9 米/分 即:爸爸的速度要达到每分钟 17.9米,他俩可同时到达游客中心. 【点睛】本题考查解直角三角形——方向角问题,解题的关键是掌握含30 、 45 角的直角 三角形三边的关系. 23.(1)见解析 (2)四边形 AFBO是菱形,理由见解析 答案第 14页,共 17页 【分析】(1)根据平行线的性质得到∠FBE=∠COE,由 ASA 证得两个三角形全等即可; (2)根据全等三角形的性质可得 BF=OC,进而得到 BF=OA,然后证明四边形 AFBO是 平行四边形,当 AC BD 时,可得平行四边形 ABCD是矩形,则 OA=OC=OB=OD,进而 可得四边形 AFBO是菱形. 【详解】(1)证明:∵点 E是 BO的中点, ∴BE=OE, ∵BF∥AC, ∴∠FBE=∠COE, 在 FBE和 COE中, FBE COE BE OE BEF OEC , ∴ FBE≌ COE(ASA); (2)当 AC=BD时,四边形 AFBO是菱形. 理由:∵ FBE≌ COE, ∴BF=OC, ∵在 ABCDY 中,OA=OC, ∴BF=OA, 又∵BF∥AC, ∴四边形 AFBO是平行四边形, ∵AC=BD, ∴平行四边形 ABCD是矩形, ∴OA=OC=OB=OD, ∴平行四边形 AFBO是菱形. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性 质以及菱形的判定等知识;熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定,证明三角形全等是解 题的关键. 24.(1) 1 1 2 y x , 22 1 5 4 2 y x x (2)①6万元;②40万元 【分析】(1)设 1y kx , 2 2y ax bx c 将表中数据代入计算即可求出答案; (2)①根据题意列出等式即可得到答案; ②设一年后两种产品获得的利润和为 w万元,总共投入成本为 m万元,计算出当 4n 时, w有最大值,最大值为 14 2 m ,即可得到解答. 【详解】(1)设 1y kx ,将 (1,0.5)代入, 解得 1 2 k , 1 1 2 y x , 答案第 15页,共 17页 设 2 2y ax bx c , 将 (1, 2.25)和 (2, 4)和 (4,6)代入, 2.25 4 4 2 6 16 8 a b c a b c a a c ,解得 1 4 5 2 0 a b c , 2 2 1 5 4 2 y x x . (2)①由题意得: 2 12y y , 故 21 5 12 4 2 2 x x x , 解得: 1 0x (舍去), 2 6x . 乙产品投入的成本是 6万元. ②设一年后两种产品获得的利润和为 w万元,总共投入成本为 m万元, 投入乙产品为 n万元,则投入甲产品为 m n 万元, 2 21 1 5 1 1( ) ( 4) 4 2 4 2 4 2 w m n n n n m , 抛物线开口向下, 0n , 当 4n 时,w有最大值,最大值为 14 2 m . 14 2 60% m m , 解得 40m . 答:该公司共投入成本是 40万元. 25.(1)当 1 2 t 时,四边形 AQDM 是平行四边形 (2) y与 t之间的函数关系式为 23 2 3 2 4 4 y t t (0<t<1) 3 2 1 4 或(3)存在, t 3 2 1 7 t 【分析】(1)根据若四边形 AQDM是平行四边形,则 PA=PD,列式即可得解; (2)应用相似三角形和锐角三角函数的知识求出 2 1 2 MN t ,从而应用转换思想,由 NPM MAP NAPS S S 1 1 1 1 2 2 2 2 AP OM AP ON AP OM ON AP MN ,即可求得 y与 t 之间的函数关系式; 答案第 16页,共 17页 (3)假设存在某一时刻 t,使 NP与 AC的交点把线段 AC分成 2:1的两部分, 设 NP与 AC相交于点 E,则分 AE:EC= 2:1和 AE:EC=1: 2两种情况讨论即可. 【详解】(1)解:若四边形 AQDM是平行四边形,则 PA=PD,反之也成立, ∵AD=3,PA=3t, ∴PD=3-3t, ∴3t=3-3t,解得 1 2 t , ∴当 1 2 t 时,四边形 AQDM是平行四边形; (2)∵四边形 ABCD是平行四边形, ∴AB CD, ∴∠MAP=∠QDP, 又∵∠MPA=∠QPD, ∴ MAP∽ QDP, ∴ AM PA DQ PD , ∴ 3 1 3 3 AM t t t ,解得 AM t , ∵AB=CD=1, ∴ 1BM t , ∵MN⊥BC,∠B=45 , ∴ 2sin 45 1 2 MN MN MB t , ∴ 2 1 2 MN t , 又∵四边形 ABCD是平行四边形, ∴AD BC, 又∵MN⊥BC, ∴MN⊥AD, ∴ NPM MAP NAPS S S 1 1 2 2 AP OM AP ON 1 2 AP OM ON 1 2 AP MN 21 2 3 2 3 23 1 2 2 4 4 t t t t , ∴y与 t之间的函数关系式为 23 2 3 2 4 4 y t t (0<t<1); 答案第 17页,共 17页 (3)存在. 假设存在某一时刻 t,使 NP与 AC的交点把线段 AC分成 2:1的两部分, 设 NP与 AC相交于点 E,则 AE:EC= 2:1或 AE:EC=1: 2, 当 AE:EC= 2:1时, ∵四边形 ABCD是平行四边形, ∴AD BC, ∴ APE∽ CNE, ∴ AE PA CE CN , ∴ 1 3 2 2 1 2 t t , 解得 3 2 1 4 t , 当 AE:EC=1: 2时,同理可得: AE PA CE CN ,即 2 3 1 2 1 2 t t , 解得: 3 2 1 7 t , ∴当 3 2 1 4 t 或 3 2 1 7 t 时,NP与 AC的交点把线段 AC分成 2:1的两部分. 【点睛】本题考查四边形综合,涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直 角三角形、勾股定理运用,综合性强,主要训练学生综合运用几何性质进行推理和计算的能 力,学会分类讨论是解决这个问题的关键.