第6讲 任意角、弧度制与任意角的三角函数-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

第一部分一轮单元复习第三单元 第三单元 三角函数与解三角形 第6讲任意角、弧度制与任意角的三角函数 自主预习●酒 知识梳理 夯实基础 1.任意角 3.任意角三角函数 (1)角度的定义：角可以看成平面内一条射线 三角函数 正弦 余弦 正切 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形 设：是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 成的图形 P(xy),那么 定义 (2)角的分类 y叫做a的正 x叫做a的余 义叫做：的正 正角：按逆时针方向旋转形成的角 弦，记作sina 弦，记作osa 按旋转方向 切，记作tana 负角：按时针方向旋转形成的角 不同分类 + 零角：射线没有旋转 角的分类 各象限Ⅱ + 象限角：角的终边在第几象限， 按终边位置 符号 W + 这个角就是第几象限角 不同分类 N + 轴线角：角的终边落在坐标轴上 (3)终边相同的角 三角 所有与角a终边相同的角，连同角α在内，可 函数线 构成一个集合：S={33=a十k·360°，k∈Z 有向线段MP 有向线段(OM 有向线段AT 为正弦线 或{33=a十2kπ，k∈Z. 为余弦线 为正切线 2.弧度与角度的互化 4.同角三角函数的基本关系 (1)弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所 (1)平方关系：sin2a十cos2a=1(a∈R). 对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)弧度制下的有关公式 ②)商数关系：ma一(e≠k十子，keZ 5.三角函数的六组诱导公式 角a的弧度数公式 1-上（孤长用1表示） 组数 三 四 五 六 2kr十a 角度与弧度的换算 ①r=高rdh②1ad(g) 角 π十a a (k∈Z) 登+a 正弦 sin a -sin a -sin a sin a cos a COs a 弧长公式 弧长1=ar 余弦 cos a cos a -cos a sin a sin a 正切 tan a tan a tan a tana 扇形面积公式 5=2=ar ·27· 典例剖析●：：用 典例变式 :调 变式训练 题型一 象限角与三角函数的符号判断 题型二三角函数的定义 【例1】(1)若角a是第二象限角，则号是( 考法一 利用三角函数的定义求值 A第一象限角 【例2-1】(1)已知点P在角的终边上，且 B.第二象限角 OP=4,则点P的坐标为 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 A.(-2,-2V3) (2)若sina·tana<0,且cosa<0,则角a tan a C.(-25,-2) n(--》 是 ( (2)(多选)如图，在平面直角坐标系中，以原 A.第一象限角 B.第二象限角 点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A C.第三象限角 D.第四象限角 (1,0).已知点B(x1,y)在圆O上，点T的 【解析】(1)，α是第二象限角， 坐标是(xo,sin zo),则下列说法中正确的是 ∴受+2kx<a<+2 hz.kEZs ∴T+kx<号<经+，k∈Z B(xy T(xo.sin xo) 当k为偶数时，号是第一象限角： 当k为奇数时，号是第三象限角。 A.若∠AOB=a,则ACB=C (2)由sina·tana<0可知sina,tana异 B.若y=sin zo,则x=x 号，从而a为第二或第三象限角，由Cosg< tan a C.若y=sin,则ACB=x 0,可知cosa,tana异号，从而a为第三或第 D.若ACB=xo,则y=sinx 四象限角.综上，Q为第三象限角。 【解析】(1)设P(x,y),由三角函数的定义 【答案】(1)C(2)C 知，sm经=s即y=4n- 【规律方法】确定如，(k∈N)的终边位置的 方法 -23,x=4cos智=一2，即点P的坐标为 先用终边相同角的形式表示出角。的范丽，再写到 (一2，一23)，故选A 方法→出ka或是的范围，然后根据k的可能取值讨论确 (2)由于单位圆的半径为1，根据孤长公式 定ka或：的终边所在位置 有ACB=1·a=a,所以A正确.由于B是 变式训练一 ∠AOB的一边与单位圆的交点，y”是对应 L.已知点P(tana,cosa)在第三象限，则角a的 ∠AOB的正弦值，即yM=sin.to,所以x1是 终边在 ( 对应∠AOB的余弦值，即x1=cos10,所以 A.第一象限 B.第二象限 B错误.当y=sin To时，∠AOB=x和十 C.第三象限 D.第四象限 2kπ，k∈Z,所以C错误.反过来，当∠AOB 2.sin2·cos3·tan4的值 ( =xo,即ACB=x时，yM=sinx0一定成立， A.小于0 B.大于0 所以D正确.故选AD. C.等于0 D.不存在 【答案】(1)A(2)AD ·28· 第一部分一轮单元复习 第三单元 考法二三角函数值的符号判定 题型三扇形弧长、面积公式的应用 【例2-2】 设日是第三象限角，且 c02 【例3】已知一扇形的圆心角为a(a>0),所在 圆的半径为R. 一c052 则号是 ( (1)若a=60°，R=10cm,求扇形的弧长及 该弧所在的弓形的面积。 A.第一象限角 B.第二象限角 (2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当a C.第三象限角 D.第四象限角 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 【解析】由于0是第三象限角，∴.2kπ十π<0 【解析】(1)设孤长为1，弓形面积为S,则 <2x+∈Z,k+受<号<km+欣 a=60°-3R=10.1=5×10=19(cm. 3 ∈Z):号为第二或第四象限角，又 5,-5-5a-2×19×10-2×10× =-cos 7..'.cos 号<0.号是第 sin505050 (cme). 3 二象限角.故选B. 2 32 【答案B (2)扇形周长C=2R+l=2R十aR, 【规律方法】利用三角函数的定义求三角函数值 R= 2Sa=2a·R=2a C 1 的方法 首先，确定角终边上一点的坐标。如果已知 角a终边上一，点的坐标，可以通过计算该，点到 ·2+a C 原点的距离r,然后利用三角函数的定义进行 2a4+4a+22 .1 C 求解。具体来说，正弦、余弦和正切等基本三角 4+a+416 函数可以通过该点到原，点的距离与三角形边长 综上所述，当且仅当a=4,即a=2rad时， 的比值来计算。例如，正弦(si)可以通过对边 扇形面积有最大值. 长度除以斜边长度计算，余弦(COs)通过邻边长 【规律方法】弧度制下有关弧长、扇形面积问题 度除以斜边长度计算，而正切(tan)则通过对边 的解题策略 长度除以邻边长度计算。 (1)明确孤度制下孤长公式=|αr,扇形的面 其次，如果已知角a的终边所在的直线方程，可 以先设出终边上一点的坐标，然后计算出该点 积公式是S=之-r户（其中1是扇形的孤 到原点的距离”。同样利用三角函数的定义进 长，a是扇形的圆心角) 行求解。这种方法在几何和物理应用中特别有 (2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半 用，尤其是在需要计算三角形中未知边长或角 径、孤长三个量中的任意两个量 度的情况下。 【注意】运用孤度制下有关孤长、扇形面积公式 变式训练二 的前提是角的度量单位为孤度制， 1.已知角a的终边过点P(-8m,一6sin30°)， 变式训练三 且cosa=- 则m的值为 ( 已知扇形的周长为4cm,当它的半径为 cm和圆心角为 弧度时， A-司 n号 扇形面积最大，这个最大面积是 2 cm2. 2.若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非 题型四 同角三角函数基本关系式及应用 负半轴上，终边在直线y=一3x上，则角a 【例4】 的取值集合是 (1)(2023·全国乙卷)若0e(0,2 3.已知角a的始边与x轴的非负半轴重合，顶 点与坐标原点重合，终边过点P(3,4),则 tan0=7,则sin0-cos0= sina+2cosa_ (2)已知tan0=2,则sin20十sin0cos0 ( sina-cosa 2cos2 0= ( A.10 C.5 n号 A-青 c. ·29· 艺考一本通数学 (3)(2021·全国甲卷)若a∈(0，)tan2a 【规律方法】同角三角函数关系式及变形公式的 应用 cosa,则tana= -2-sin a (1)利用sina十cos2a=1可以实现角a的正弦、 余弦的互化，利用加a=tana可以实现角a的 A语 D.15 cos a 3 弦切互化. 【解析】(1)【解法-一】：0∈(0，受)，则sin0 (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于si a十cosa,sin acos a,sina-cosa这三个式子， >0,cos0>0,又：an0-8-2期cos 利用(sina士cosa)2=1士2 sin acos a,可以知一 求二」 0=2sin 0,cos20++sin20=4 sin20+sin20= 变式训练四 5如0=1，解得n0=停浅m0=- 5 1.已知x∈（一登，O,cosx-等，则1amr的值为 (舍去)，.sin0-cos0=sin0-2sin0= () sin 0=5 5 A是 B一 c D-专 【解法二】由1am9-C》1.9-=}得 c0s20 cos20 2.已知tan0+ g3,则o(0+)月 os0-青.0c0,2引os0-25sm0 =1-os0-9∴sn0-ms0-5 A &号 c 5 3.已知sin0、cos0是关于x的方程x2-a.x+a 【解法三1由0e(0,受)且1am0=2<1得0 =0(a∈R)的两个根， (1)求实数a的值， <sin (cos0,sin 0-cos0 2求)P的值 1-tan20 sin'0-2sin Ocos 0cos 0 sin'0+cos20 am0-2an0+1_- tan20-1 5 (2)由于tan0=2,则sin0+sin0cos0 2cos0 sin20+sin Ocos 0-2cos20 sin20cos2 0 题型五 利用诱导公式化简三角函数 tan20+tan0-2_2+2-2 【例5】(1)sin(-1200)cos1290°+ tan20-1 22+1 青故选D cos(-1020)·sin(-1050)= 9osa∴tan2a=sin2a (3)'tan 2a=2-sin a (2)设f(a)= cos 2a 2sin (nta)cos (x-a)-cos (xta)(1+ 2sin acos a cos a 1-2sin2a 2-sin a 1+-sina十cos(经+a)-sinr(受+a】 2sin a :a∈(0，引.cosa≠0,1-2sin-a 2sia≠0)，则f-2gr） 2n公解得na= 1 1 【解析】(1)原式=-sin1200°cos1290°- 4 cos1020°·sin1050° sin a =-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+ cos a 210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360 故选A -15 +330°) =-sin120cos210°-cos300°sin330 【答案】1)-写 =sin(180°-60°)cos(180°+30) (2)D(3)A cos(360°-60)·sin(360°-30°) ·30· 第一部分一轮单元复习第三单元 =sin60°c0s30°+cs60sn30°=5x13+ ①常见的互余的角：背-a与吾十a:号十a与 合×21 -a:置十a与开-a等：②常见的互补的角：爱 灭 (2)f(a)-(2 sing)(-cos a)+cosa 1+sin2a+sin a-cos a +0与7-0：+0与语-0降。 2sin acos a+cos acos a(1+2sin a) (3)三角函数式化简的方向 2sina+sin a sin a(1+2sin a) ①切化弦，统一名；②用诱导公式，统一角；③用 1 因式分解将式子变形，化为最简. tan a' 变式训练五 g到 1.tan390°= ( tan /_23π 6 A.一3 B.3 3 D 3 1 =3. 2.在平面直角坐标系xOy中，角a的终边经过 tan() 点P(3,4),则sina 2017π 【答案】(1)1(2)W3 2 ) 【规律方法】 A.-3 c D (1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角：②角中含有加减的整数倍 时，用公式去掉5的整数倍。 sim(a-) (2)常见的互余和互补的角 随堂检测● 基础训练 证： 温故知新 1.若sin atana<0,且oa<0,则角a是( tana A-号 B c-8 D.号 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 7已知c(经小血x+=-停，则m0 2.已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形 的面积为 ( 8.tana,tan3是一元二次方程x2十3√3.x十4=0 A.30 B C晋 D. 的两根，a3E(-受，0小，则cos(a+)等于 3.角a的终边过点（一2,4），则cosa= ( () 5 B.- 5 C-2⑤ D.5 A c D.Z 4.若a∈（受，x),且cosa-sina=是，则tana= 9.若tana osa2则sim(2a+受）=（） 3-sin a 5.已知os(-)=子，则cos(2x-）)十 A号 B号 D.o sin(3-x的值为 1.若cos(悟-a)=号则cos(+2a) ( A司 B-司 c号 n- 6.已知amn0=-3,则82cos9的值为( 9 cos 0+sin 0 ·31·参考答案·数学 3.D【解析】a·(a-b)=8,所以a·a-a·b=8,即a- PB+P心=0，所以3PA-BA+AC=0.又AC-BC-Bi, ab1cosa,b=8,所以4+2b×号=8，解得b=4 即3i-2耐+C=0,所以Pi=号耐-号C故 4.C【解析】充分性：因为向量a,b均为单位向量，且 选D. “|a+3b=|3a-b”,所以a+3b|2=|3a-b2,即a+ 14,C【解析】因为AF·DF=0,所以AF⊥AB,如图，建立平 6a·b+9b=9a-6a·b+,即10+6a·b=10-6a·b. 面直角坐标系，F(0,2),C(1,2),B(2,0),所以AC 所以12a·b=0,所以a⊥b.即充分性满足：必要性：因为a (1,2),BF=(-2,2),所以F·AC=-2+4=2,故 b,所以a·b=0.而a十3b￥=a+6a·b+9b=10. 选C. |3a-b2=9a2-6a·b+序=10，所以|a+3b2= |3a-b2,所以|a十3b|=|3a-b.即必要性满足.故 选C 。1 .D【解析】a=b=1.a·b=之a+2b2=(a +2b)2=a+4a·b+4b=|a2+4a·b+4|b|2=1+4× 是+4=7.a+2b=元.故选D 15.BC【解析】当a与b不共线，a,b可以表示平面内任一向量， 所以一3X1一k(2一k)≠0，解得k≠3且k≠一1.A错误： 6 【解析】因为|a+2b=a-2b,所以|a+2b|2= 若|a-b=a+b.则a⊥b.所以1·(2-k)十(-3)·k |a-2b12,所以(a十2b)2=(a-2b)2,所以a2+4a·b+ =0,得=B正确：若(a)>(b,有1+>2-十 4b=a3一4a·b十4b,所以a·b=0,所以(2，一3)· 9,解得k>3,C正确：当k=一1时，a与b平行，夹角不是锐 4,m)=8-3m=0,解得m=号，故答案为号 角，D错误.故速BC 7.BD【解析】如图，周为AB=2D府= 16.AC【解析】若a/h.则2-m=3m,解得m=之故选项A -2MD,故A错误：AM=AD+D 正确：若aLb,则m(2一)十3=0，解得n=一1或m=3, BC+DM=D府-CB,故B正确：M 故选项B错误：由题得2a十b=(4一m,7),故2a十b= Md+DA=-DM-AD=M-AD.故 √+(4一m)≥7，当且仅当m=4时取得最小值，故选 C错误：AM.BC=(A+D府·BC 项C正确：当m=0时，a·b>0,a与b的夹角不为钝角，数 AD·C+DM·BC,由BC⊥DM,得 选项D错误.故选AC D府.BC=0.所以Ai.BC=AD·BC+0=BC2=1.故 D正确.故选BD 第三单元三角函数与解三角形 8.B【解析】Oi=(2.2).心-(1，一2)，则Oi=O方+O元 (3,0),又AC=(-1.-4),所以0B.AC=3×(-1)+0× 第6讲任意角、弧度制与任意角的三角函数 (一4)=一3.故选B 【典例变式】 9.B【解析】如图，过点F作BC的平 变式训练一 行线交DE于G,则G是DE的中 1L.B【解析】因为，点P(tana,cosa)在第三象限，所以tana<0, 点，且G=武=C.∴G亦 coa<0,所以a为第二象限角，故选B 2.A【解析】：sin2>0,cos3<0,tan4>0, }AD.由△AHDn△FHG.从两=}AA.…A=青 ,.sin2·cos3·tan4<0. 变式训练二 .=A市+亦=b+aAi=青b+2a)=号a+ 1,B【解析】由题意得，点P到原，点的距离r=√64十9， '.c0a= -专m>0g-高年 -8m 10.D【解析】图为a=2,b=1.且a-2b=√/10，因为a m=受故选B -2b2=a2-4a·b+4b=10,所以4-4a·b+4=10,a· b=-立，所以b在a方向上的投影向量为bc0s<a,b> 2aa=2吾或a=2ka+至，kcZ或ala=ka-号，kc7 日=b8治·日-。=80，故选n 【解析】因为直线y=一5x的领斜角是，所以终边落在 11.D【解析】依题意，2a十b=2(-5,1)十(1,3)=（一9,21十3）. 直线y=一3x上的角的取值集合为aa=2km一弩或a 又(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=(-9,2+3)·(1,3)= 2kx+2,k∈Z或aa=km-晋，k∈Z. -9十3(21+3)=0， 解得1=0.故选D. 3.A【解析】根据角a的终边过P(3,4),利用三角函数的定 12.B【解析】由题意，得2a=(2,4),2a一b=(2,6),又 (2a-b)∥c,c=(-1,),则2x十6=0，解得1=-3.故 义：得m一青：所以有士2a-音十2盟 1 选B sina-cosa tana1 13.D【解析】由题意，Pi-Bi=P站.Pi+C-P心，而PA+ =10.故选A 7 艺考一本通数学 变式训练三 选B 121【解析】设扇形圆心角为a,半径为r,则2十a 3.B【解析】角a的终边过点(-2,4)，r=√20=25，所以 =4a=-2Sw=2ar=2r-=-(r osa==-2-- r25 5 1)2+1.∴.当r=1时，(Sw)x=1,此时a=2. 变式训练四 4 3 【解析】因为cosa一sn&=子，所以4(1一sima) 1,B【解析】国为x∈（一吾，0)，所以sinr=一V-cos立 4sima一1=0即4sina十4sim。-3=0,所以解得sina=之 ，所以tanr=sinr=_ 3 cosT 故选B 2.D【解析】由an0+,L 。-3可得0号+8-3，中 或si血a=-是（含去.e∈（受x小.a=语，因此ama cos sin sin'0+cos20 =m要=一故答案为一 cos dsin 6 =3,所以1 1 2 sin 20 3,可得血2明=景所以 5C【解析】“cos(x-晋)=分ms(2:受）=s os(叶年）= +os(20+交） -上201-」 [(2-)-]-ms[x-2()]=-s2(x-5） 2 2 2 合，故选D 1-2s(x号）=1-2×（号）广=号i㎡（号-x）=1 3.【解析】(1)sin0、cos0是关于x的方程.x”一ax十a=0 cos2(5-x)=1-cos2(x-吾）=1-(}）=8∴o (a∈R)的两个根，4=a一4a≥0，解得a≥4或a≤0，期sin 0+cos 0=a,sin dcos 0=a,sin0+cos0=(sin 0+cos 0):- (2:-要)+m(停-)=号+晋- 2 sin Ocos0=a2-2a=1,解得a=1一√2或a=1十√2（舍），故 a=1-2. D【解折】m=-302-骨号产号 (2) 1-c0s0 sin0 5 sin a-cos ，+sin0+cos0 1-tan0 sin 0-cos (sin 0+cos 0)cos0 sin0 c0s20 sin0-cos sin 0-cos 0 sin 0-cos 0 号 【解折1由m(+0)=-号释如0=停由C (sin 0-cos sin 0+cos0)-sin 0+cos 0-a=1-/. sin 0-cos 0 (侵)万得0-面0=故m0-地号 变式训练五 1.C【解析】tam390°=an(360°+30)=an30°= 号比答案为一号 3“ 8.B【解析】由题意，得tana十tanB=一33，tana× 2.B【解析】角a的终边经过点P(3,4),根据三角函数的定 义释到sim=合oe=号，所以sin(。20） ana+tan足=一-33=3.又a月 amg4,m(at》=巴an atan了- -sin(a20)7r+2018m）=-sin(a+5）=-coa ∈(-受0)，则a+c(-x,0)a+Be(-,-受)，取a 2 2 +B终边上一点P(-1.一√3)，则OP=2,cos(a十3)= 1 品.-2牛5【解析】os(倍+a)-sm(。-吾） D【解析】国为ma-3品。所以&-3品。即 cos[-(吞-a)]-sim(g-a）=-os(晋-a) 3sina-sina=cos2a,所以3sina=sina十cosa=1,即sina sin2(吾-a）=cos2（吾-a）-cos(吾-a）-1 =号所以sin(2a+受）=os2a=1-2sima=子故选D 2+图 10.B 【解析】因为cos(号-2a）=cos2(吾-a】 3 【基础训练】 =2ms(悟-a）-1=器-1=一云所以ms(警+2a)】 L.C【解析】由sin atan a<0可知sina,tana异号，从而可判 斯角a为第二或第三象限角.由o<0可知cos a,tan a异 =oms[2x-(停-2a]=cms(肾-2a)=一云，故选B tana 号，从而可判断角：为第三或第四象限角.综上可知，角a为 第7讲 三角函数的图象与性质 第三象限角.故选C 【典例变式】 2.B【解析】已知扇形国心角为30，即0-否，扇形半径为1， 变式训练 所以扇形的面积S=号=是0m=号×吾×1=吾故 山，{x≠十受且x≠k红十号，∈Z) 8