第4讲 平面向量的线性运算及基本定理与投影向量-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

第一部分 一轮单元复习第二单元 第二单元 平面向量 第4讲 平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 自主预习● 知识梳理 : 夯实基础 1.平面向量的有关概念 (壮a)=( a=lal. 4》a: 名称 定义 备注 求实数入与 当a>0时，a与a的 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向 (A十4)a= 数乘向量a的积 方向相同：当A<0时 向量 叫做向量：向量的大小叫 量，平面向量可自由 加十a: 的运算 a与a的方向相反：当 (a+b)= 做向量的长度（或称模） 平移 a=0时，7a=0 长度为0的向量：其方向 零向量 记作0 是任意的 3.平面向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只 单位 长度等于1个单位的 非零向量a的单位向 向量 向量 量为士司 有一个实数入，使得b=a. 4.平面向量基本定理 平行 方向相同或相反的非零 0与任一向量平行或 向量 向量，又叫做共线向量 共线 如果e1,2是同一平面内的两个不共线向量， 相等 长度相等且方向相同的 两向量只有相等或不 那么对于这一平面内的任意向量a,有且只 向量 向量 等，不能比较大小 有一对实数1,2，使a=λe1十入2e2. 相反 长度相等且方向相反的 0的相反向量为0 其中，不共线的向量e,e2叫做表示这一平面 向量 向量 内所有向量的一组基底。 2.向量的线性运算 5.向量的夹角 向量 定义 法则（或儿何意义） 运算律 (1)定义：已知两个非零向量a和b,作OA 运箕 交换律： e,OB=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角. a+b-b (2)范围：设0是向量a与b的夹角，则0°≤0 +a: 求两个向量利 ≤180° 加法 结合律： 的运算 角形达则 平行四边形达则 (a+b)+c (3)共线与垂直：若0=0°，则a与b同向：若0 =a+(b+ =180°，则a与b反向：若0=90°，则a与b垂 c) 直 求a与b的相 b=a十 减法反向量一b的 b) 和的运算 三角形法则 ·17· 艺考一本通数学 典例剖析 用 典例变式 变式训练 题型一 向量的线性运算 【规律方法】平面向量线性运算问题的常见类型 【例1】 已知D为△ABC所在平面内一，点，且 及解题策略 满足C市-D,则 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减 法均适合三角形法则. AA-多A店-号A0 (2)求已知向量的和.一般共起，点的向量求和用 平行四边形法则：求差用三角形法则；求首尾相 BAD-号AB+3AC 连向量的和用三角形法则 C.AB=4AD-3AC (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通 D.AB=3AD-4AC 过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参 数的值 (2)(2022·新课标I卷)在△ABC中，点D 【注意】应用初中平面几何的知识如平行线分线 在边AB上，BD=2DA.记CA=m,CD=n, 段成比例定理、相似三角形的性质等，可以简化 则C第 ( 运算。 A.3m-2n B.-2m+3n 变式训练 C.3m+2n D.2m+3n 1.设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD. 【解析】(1)知图，因为C市=号D成，所以D 则 是线段BC的四等分点，且BD=3DC,所以 A.AD--3AB+4AC A市=A$+BD=A店+子BC=AB+4 RAD-号A$-专AC (C-AB)=AB+AC,故A,B错误： C.AD-号AB+号AC 油A市=}A+C,可得A弦=4A市-3 D.AD=A丽-}AC AC,故C正确，D错误，故选C. 2.已知△ABC的边BC的中点为D,点E在 △ABC所在平面内，且CD=3C2-2CA,若 AC=xAB+yBE,则x十y= () A.5 B.7 C.9 D.11 3.点G为△ABC的重心（三角形三边中线的 (2)点D在边AB上，BD=2DA,.BD 交点)，设B心=a,G式=b,则AB=() 2DA,即CD-C第=2(CA-CD), A-2b Ba+b ∴.C第=3CD-2CA=3n-2m=-2m+ C.2a-b D.b-2a 3n.故选B. 题型二向量基本定理 【答案】(1)C(2)B 【例2】(1)（多选）在△ABC中，D为BC的中 ·18· 第一部分一轮单元复习第二单元 点，且A充=2ED,则 a+号b.M- 2 2a-6b, A.CE-Ci+6C第 【规律方法】平面向量基本定理应用的实质和一 B.CE-CA+3CB 般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是 C.CE∥(CA+C) 利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 D.CEL(CA-CB) 加、减或数乘运算. (2)如图，以向量O才=a,O庐=b为邻边作 (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先 口0ADB.Bi=专BC,CN=3CD用a,b 选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表 表示OM,ON,MN 示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 【注意】在基底未给出的情况下，合理地选取基 底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几 何的一些性质定理 【解析】(1)：A它=2ED,则A,E,D三点共 变式训练二 线，且A=2ED1, 1.如图，已知A=号成，用0i,03表示O巾，则 又AD为中线，点E op= () 为△ABC的重心， 连接CE并延长交AB 于F,则F为AB的 中点， A.OA-4OB BOi+O死 -C-号×2C+)-}+ C.-0A+40B D.-0-40B C市，∴.C它∥C+C.故选C 2.已知A、B、P是直线1上三个相异的点，平面 (2).BA=0A-0B=a-b, 内的点OE1,若正实数x、y满足4OP=2 Bi=所=名a-名b.Om=Oi+B丽 O+y0,则+的最小值为 3.(多选)下列有关四边形ABCD的形状，判断 =名a+b 正确的有 () OD-a+b.:.O-+CD-0D+ A.若A方=BC,则四边形ABCD为平行四 边形 00=号o0=号a+号b. B.若AD=C,则四边形ABCD为梯形 MN-0N-0m-号a+号6-a-8b C.若AB+AD1=A-AD,则四边形 ABCD为菱形 za-cb D.若AB=DC,且AC⊥Bd.则四边形ABCD 为正方形 【答案】1)BC(2)OMi=名a+8b,0N- ·19· 艺考一本通数学 随堂检测 基础训练 温故知新 1.在平面四边形ABCD中，满足AB+CD=0,(AB +Pi,则SAABP:S△c= () -AD)·AC=0,则四边形ABCD是( A.1:4 B.1:3 C.2:3 D.2:1 A.矩形 B.正方形C.菱形D.梯形 6.在△ABC中，D为AB边上一点，AD= 2.如下图，在平行四边形ABCD中，E为DC边 号Di,C心=号+xC馆.则x= () 的中点，且A第=a,AD=b,则B2=（) A.√3-1 B号 C.23-1 D.2 7,△ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC A.b20 B.b+1 边的中点，BF交CE于点G,若AG=xAE+ C.a+p yAF,则x十y= () D.a-2b 3.在△ABC中，配=号C,A萨=号A花，则B A昌 B C.1 n号 8.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA+ O+C)=0,则△ABC的内角A等于 A.-A+名ACBB㎡=4Ai-AC A.30 B.60° C.-名AB+号AC D.B成=A店-号AC C.90 D.120° 4.已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上 9.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且 有一点C,满足2AC+CB=0,则OC= a∥b,则2a十3b ( 10.设D是△ABC所在平面内一点，且BC= A.2OA-OB B.-OA+20B 3CD,设AD=xAB+yAC,则x+y= c号oi-}oi D.-0A+30B 5.P是△ABC所在平面内一点，若C第=3P才 ·20·参考答案·数学 b=-1+2 为菱形.判断C错误；选项D:若AB-D心，则AB∥DC,AB 14,A【解析】由题意知 =DC,则四边形ABCD为平行四边形，又由AC⊥BD,可得 2=-1×2, 对角线AC⊥BD,则平行四边形ABCD为菱形.判断D错 误.故选AB -1, 解得/a=一1， 【基础训练】 则不等式2x2十hx十a>0,即 b=1, 1.C【解析】因为AB+CD=0,所以AB=-CD=D心.所以 =-2. 四边形ABCD是平行四边形，又(AB-AD)·AC=Di· 为2x+一ID0,解得>号或r<-1,故选A AC=0,所以.四边形ABCD的对角线DB与AC互相垂直， 所以四边形ABCD是菱形. 第二单元平面向量 2.A【解桥】成-i+市+D成=一a+b+号a=b之a, 第4讲平面向量的线性运算及 3.C【解析】△ABC中，成=号C, 基本定理与投影向量 泸=号走如图所示，成=+ 【典例变式】 亦=一市+号花=一A游+号 B 变式训练一 1.A【解析】因为武-3Cd.所以Cd=号武，所以AD-AC (+成)=-市+号(+武心)=-市+号 +Cd-a+号C=AC+3(AC-AB)=-3AB+等 [a+号(A沁-A迹)]=-子迹+A流.故选C AC.故选A 4.A【解析】心=Oi+BC=Oi+2AC=O市+2（元 2.D【解析】因为C市=3CE-2C才，边BC的中点为D,所以 OA),所以O心-2Oi-OB. 5,A【解析】由题设，3P时=CB+ 号市=3（成-）+2花，周为之C市=3成-3就+2 Bd=CP,故C,P,A共线且CP= AC所以号成=3成十2A花，所以号成=号 3PA,如右图示：所以S△5p: S△Ar=1:4.故选A (AC-AB)=3E+2C.所以5AC-5AB=6E+4 AC,即5AB+6BE-AC,周为AC-xAB+yBE,所以x 6B【解析】由已知得，D=B, 5,y=6.故x+y=11.故选D. 故C市-济+办-济+号市-济+号C市-C)=号 3.D【解析】如图，E市+B-E心， 即号+=号式，故=G 十号成.故=3 2B元=b-2a.故选D. 7.B【解析】：B,G,F三点共线，G=AAB+(1-a)AF 变式训练二 2xAE+(1一A)AF,同理由C,G,E三点共线得AG=:AE 1.C【解析】O-Oi+AD=Oi+AB=Oi+(Oi -p-a+2-2- 0i)=-号0i+4O成 解得 2.是+受【解析】因为AB,P是直线1上三个相并的点且 2 =3 4d-2xOi+yOi,即O=号Oi+义Oi,且xy为正实 故花=号证+号，=y=号十少=青故选B 数，所以受十学=1，所以上十 8.A【解析】由OA+Oi+0=0得Oi+O市=O心，由O为 △ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形 (+号)（受+）-+言+号+2云 0ACB为菱形，且∠CAO=60,故A=30. 9.(一4，一8)【解析】由a∥b,然后根据平面向量共线（平 是+号，当且仅当亡劳即x=4一2区y=4反-4时： 行)的坐标表示建立等式即1×m=2×(一2)，求出m=一4， 然后根据平面向量的坐标运算得2a十3b=2(1,2)十 取等号，所以十号的黄小值为是+要批答案为是+要 y 3(-2,-4)=(-4,-8) 3.AB【解析】选项A:若AD=BC,则AD∥BC,AD=BC,则 10.1【解析】画出图形，如图所示： 四边形ABCD为平行四边形.判断A正确：选项B:若AD 号C,则AD∥BC,AD≠BC,则四边形ABCD为梯形，判断 B正确：选项C:若A苏+AD1=|AB-AD1,则 AB+AD12-|AB-AD=4AB·AD=0,则AB⊥AD, 即∠BAD=90°.仅由，∠BAD=90°不能判定四边形ABCD 5 艺考一本通数学 C-3C市.∴d-武+市=d a-b,所以a+b°=a-b2,即|a2+2a·b+|b2 a2-2a·b+b2,所以a·b=0.因为a,b为非零单位向 “D=恋+D=峦+4C=恋+(C-恋) 量，所以(b-a)2=2,即b-a=2.因为a·(b-a)=a·b -号迹+号花=吉y身叶-l -aa=-1alba1o0,所以02号因 1X2 第5讲平面向量的坐标表示及数量积 为0e[0,π]，所以0-3 【典例变式】 变式训练 1.D【解析】由已知3c=-a+2h=(-5,2)+(-8,-6) a+b (-13,-0.所以e-（-号-青)月 2.B【解析】2a+b=(一1,2m十1)，由题意知-3(2m+1)= 【解法二】（几何法）如上图，a十b与a一b分别表示以a,b 一1解得m=一子，故选B 为邻边（共起点）的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱 3.3-1【解析】因为1心1=2，所以心2=1+2=4，因为 形为正方形，再作出ba知a与b一a的夹角为。 >0,所以c=√3.因为O心=λO月+红O.所以(-1,3)= 【解法三】（坐标法）由a十b=a一b得a⊥b,又a,b为单位 向量，则在平面直角坐标系中取a=(1,0),b=(0,1),则b-a (1,0)+(0,1),所以A=-13,所以1十4=3-1. 变式训练二 =(一1，，由向量夹角的坐标运算知a与b一a的夹角为不。 l.C【解析】由题意可得a·b=|a·|b·cos(a,b》=2× 3.D【解折a·b=3cos0叶sm0=2sin(叶号入，若ab: √3×cos30°=3，故选C 2.AC【解析】对于A,若=7，则G为AB的中点，武-成 则2sin(0叶等)=0，图为9e(0,受)，此时0无解，故A错 +耐+花-成+脉-A正+号A迹=2耐+正-A花 误：若a/b,则5in0-cs0=0,因为0e(0,受)，所以0 +花=一号B-2证，A正璃：对于B,由正六边形 ,故B正确a…b=2sim(0什牙)，因为0e(0,受入，所以0 的性质知向量C市与A店的夹角为，剩向量C市在A范上的投 十号∈（停，君x),则m(叶受）E(合.]，所以a·b 警.市=一专一合B雄 2in(0叶吾)∈(1,2].故C正确：a-b= 彩向量为AB √W3-s)+(1-m=√5-4s(0音)，因为e 误：对于C,以A为坐标原点，A.A正正方向为xy轴，可建 立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0), (0,受)，则0-吾∈（-晋，5，所以os(0-晋) 设P(m,n)(-1≤≤3)，.AP=(mn),AB=(2.0). ∴A市，AB=2m∈[一2,6]，C正确：对于D,由题意知： (号1]则a-b∈[1B),故D正确.故选CD E(0.23).C(3w3).AB=(2,0),设G(1,0)(0≤≤2). 2【解析】由已知可得a·b=1X巨×号-1.周为b-a ∴CE=(-33).Ct=(-3,-3).∴t·CE=-3 与a垂直，所以(b-a)·a=0,得a·b-a2=0,即t一2= 1-3)-3=1,解得1=号∴7=（停0）.=(2.0. 0,故1=2. 5.C【解析】由题意知，a,b为单位向量，∴.a=1,|b=1, ∴花范.即X=言，D错误.故选AC 又由|b-2a=、(b-2a)7=√形-4a·b+4a= √5-4a·b=3,解得a·b=之·故选C 6.B【解析】设向量a与b的夹角为a,因为a=3,|b=2, |a+b2=(√19)，所以9+2×3×2cosa+4=19, 1 所以c0sa=2“a∈0，x],所以a=否，故选B 【基础训练】 1,A【解析】由题意，向量a=(-1,2),b=(m,一2m一1)， 变式训练三 可得a·b=-m+2(-2m-1)=-5m-2,由a·b=8,可 1.C【解析】依题意得a·b=2,a+b1 得一5m一2=8，解得m=一2.故选A. 2.B【解析】，a⊥(a-b),∴.a·(a-b)=a-a·b=1 a+9b+6a·b=√13，故迹C. 2.D【解法一】设a与b-a的夹角为0.因为|a+b Esa.b=0imsa.b-号a,b= 6