第2讲 复数-【艺考一本通】2025年高考数学一轮+二轮（通用版）

艺考一本通 数学 第2讲 复数 知识梳理 自主预习 到们们们们们们到们到到畔 夯实基础 1.复数的有关概念 2.复数的几何意义 意义 备注 内容 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是 形如a+bi(aER,b 若6-0.则a十bi为实 一一对应的,复数集C与复平面内所有以原 复数的 R)的数叫复数,其中实 数:若a-0且0,则 概念 点O为起点的向量组成的集合也是一一对 部为,虚部为 a十i为纯虚数 应的,即 a+bi-c十di一a-c且 复数相等 →复平面内的点 b-d(a.b.c.dER) Z(a,b)(a,bER). a十bi与c十di共辄一 共辄复数a-c目b--d(a,b,c, 量O乙. dER 3.复数的运算 实轴上的点都表示实 建立平面直角坐标系 数;除了原点外,虚轴 设=a+bi,z=c十di(a,b,c,dER),则 来表示复数的平面叫 复平面 上的点都表示纯虚数 (1)加法:z十z=(a十bi)十(c十di)=(a十 做复平面,:轴叫实轴, 各象限内的点都表示 y轴叫虚轴 c)十(b十d)i; 虚数 (2)减法;z-z=(a十bi)-(c十di)=(a- 设O对应的复数为: c)十(-dDi: l2 |=1a+bi1 -a十i,则向量Oz的 (3)乘法:z·=(a十bi)·(c十di)-(ac- 复数的模 长度叫做复数。-a十 =十 bd)十(ad+bc)i; i的模 (4)除法:a+bi(a+bi)(c-di) 2c十di(c十di)(c-di) _ac+bd十(bc-ad)i(c十dizo). c2d 典例剖析 到到到到到到到到到到耳耳 典例变式 _耳耳 变式训练 题型一 复数的概念 实部与虚部相等,其中a为实数,则a . 【例1】(1)(2022·全国乙卷)已知~=1-2i, ) C.2 A.-3 B-2 且z十az十b-0,其中a,b为实数,则 D.3 【解析】(1)=1+2i,+ax+b-1-2i+ A.a-1,b--2 B.=-1,6-2 a(1+2ì)+b-(1+a+b)+(2a-2)i C.a-1,6-2 D.--1,b--2 [1+a十b-0. 由x十ax十b=0,得 即 (2)(2016·全国I卷)设(1十2i)(a十i)的 2a-2-0. .6. 第一部分 一轮单元复习 第一单元 [a-1, 题型二 复数的运算 b--2. 故选A. 【例2】(1)(2024·天津卷)已知i是虚数单 (2)(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i. 位,复数(v5十i)·(5-2i)- ..a-2-2a+1,解得a=-3,故选A. (2)(2024·新课标II卷)已知一-1-i,则 【答案】(1)A(2)A 12一 ( A.0 ) 【规律方法】解决复数概念问题的方法及注意 B.1 事项 C./2 D.2 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转 (3)(2022·新课标II卷)(2十2i)(1-2i)一 化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题, ( ) 只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满 A.-2+4i B.-2-4i 足的方程(不等式)组即可, C.6+2i D.6-2i (2)解题时一定要先看复数是否为a十bi(a,b 【解析】(1)(5+i)·(5-2i)-5+5i- R)的形式,以确定实部和虚部 变式训练一 2、5i+2-7-51.故答案为7-/ (2)若=-1-i,则 l2|= 1.设mER,复数 =n{}-1+(m+1)i表示纯 ) 虚数,则的值为 ( (-1)十(-1)-/②.故选C. B.-1 C.士1 A.1 D.0 (3)(2+2i)(1-2i)-2+4-4i+2i-6-2i .-3i-2,则下列 故选D. 【答案】(1)7-v5i(2)C(3)D 说法正确的是 ( ) 【规律方法】复数代数形式运算问题的常见类型 A.:的实部为3 B.:的虚部为2 及解题策略 C.--3十2i D. z-v13 (1)复数的乘法,复数的乘法类似于多项式的四 则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类 项,不含i的看作另一类同类项,分别合并 ( __ 即可: A.i B-ì C.2i D.-2i (2)复数的除法,除法的关键是分子分母同乘以 分母的共辄复数,解题时要注意把1的寡写成 为 ( 最简形式. A.-5 B.C. D.-5# (3)复数的运算与复数概念的综合题,先利用复 数的运算法则化简,一般化为a十bi(a,b一R)的 5.已知复数:满足~(2十i)一3一4i(其中i为 形式,再结合相关定义解答 虚数单位),则复数。的虚部为 ( ) (4)复数的运算与复数几何意义的综合题,先利 C.1 A-1 B.-i D.i 用复数的运算法则化简,一般化为a十bi(a,b R)的形式,再结合复数的几何意义解答, (5)复数的综合运算,分别运用复数的乘法、除 _ _~ #.-10# 11 法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘 1_ 除,后算加减,有括号要先算括号里面的 C一 D. .7. 艺考一本通 数学 变式训练二 A.(-co,1) B(-c,-1) 5(1+) C.(1,+oo) 1.(2023·全国甲卷) D.(-1,+co) (2+i)(2-1) ( ) (2)(2023·新课标II卷)在复平面内; A.-1 B.1 C (1士3i)(3一i)对应的点位干 ) C.1-1 D.1十i A.第一象限 B.第二象限 2.已知复数:满足(1-i)-2i,i为虚数单 C.第三象限 D.第四象限 位,则:一 ( _~_ 【解析】(1)复数(1-i)(a十i)=a十1十(1一 A.1-i B.1十i a)i,其在复平面内对应的点(a十1,1一a)在 #C.1#1# a十1<0. 第二象限,故 解得a<-1,故选B 11-a>0, 3.若-2十i,则||= (2)(1+3i)(3-i)-3-i+9i+3-6+8i,复 数对应的点位于复平面内第一象限,故 4.(2024·新课标I卷)若=1十i,则= 选A. 【答案】(1)B(2)A ( 【规律方法】复数的几何意义及应用 A.-1-1 B.-1十i (1)复数2、复平面上的点乙及向量OZ相互联系, C.1-i D.1十i 即z=a+bi(a,béR)-Z(a,b)-Oz 一1,01一 5.已知复数一 _ ) (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的 A.2 关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一 B.2 C.1 D.③ 起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解 _ ) 决更加直观. B.2 C.③ 变式训练三 A.1 D.2 1.在复平面内,复数i(i十2)对应的点的坐标为 7.复数-2(其中i为虚数单位),则。·= 5 . ) 7_ A.(1,2)B.(-1,2)C.(2,1) ( D.(2.-1) A.1 B.3 C.5 D.6 8.设i为虚数单位,若zi=-2十i,则z= ( 复平面内对应的点位干 ( __ A.第一象限 B.第二象限 A.③ B.2 C.5 D.3 C.第三象限 D.第四象限 3.已知;在复平面内对应的点的坐标为 ( (1,-1),则·(z十1)- 2-4il= _ ) A.1-3i A.5 B.5 B.1+3i C.2 D.v2 C-1-1 D.1十i 题型三 复数的几何意义 【例3】(1)若复数(1-i)(a十i)在复平面内对 应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 ( ) .8. 第一部分 一轮单元复习 第一单元 随堂检测 基础训练 耳畔 温故知新 1.已知复数z=m+2i,z=3-4i,若z·z是 10.(多选)复数;满足zi一2一i.则下列结论正 ~ 确的是 . 实数,则实数n一 ( ) A. -v5 B.2-1+2i 2.已知x-3(其中为虚数单位),则c的虚 C.~在复平面内对应的点位于第四象限 部为 ) ( D.+2+5-0 A.2 B.1 C.2i D.i 11.已知i是虚数单位,(2十i)-3+2i=5+i. __ ( 则复数。的共复数等于 3.复数满足xi}十zi+2-0,则z=( ) A.3十2i B.③ A.1 C.2 D.2 B.3-2i C.-3+2i D.-3-2i 12.复数(1+2i){} ( -,则的虚部是 ) _. 单位,则x-y- ~ A.1 B. 2 D.4 A.1 C.3 B.i. C.-2 D.-1 13.若复数:满足;(1一i)一2i,则下列说法正 1. _~ 确的是 - D.-2 C.2 A-1 A.z的虚部为2 B.1 B.z为实数 C.-2 6.已知复数满足z(1十i)=-1+/③i,则复 D.z+-2i 14.若复数( ( 数。的共栀复数为 m_ì.(mR),且c一v2,则m= A.-1+i B-1-i C.1+i D.1-i ,-。 ) ( _~ A.士1 B.士③ A.1-i B-1十i C.士/2 D.士2 C73 D.-17# 15.若1+/2i是关于x的实系数方程x十bx十 ( c一0的一个复数根,则 8.已知复数;满足(-i)·(1十i)=2一i.则 ) A.b-2,c-3 ”.二 B.b-2,c--1 C.b--2.c--1 D.6--2,c-3 .9.艺考一本通数学 {x-2<x<3},所以MUN={x一4<x<3},故选A. x2-y2,则e-<e-y,令f(x)=e-2,则f(x) 3.D【解析】：A={xx≥4或x≤0，B={xx>4或x =er-2x,f(.x)=er-2,故在(-o∞，ln2)上f(x)<0, -2},AUB={xx≥4或≤0.A∩B={xx>4或x≤ 在(n2,十o)上(x)>0.所以f(x)在(-oo,n2)上递 一2，由题意可知阴影部分对应的集合为[Cu(A∩B)门门 减，在(n2,十o)上单调递增，则f(x)>f(ln2)=2 (AUB),:Ce(A∩B)=(x|-2<x≤4)，∴.[Cu(A∩B)] ln22>0,所以f(x)在定义域上递增，故x<y,反之x<y ∩(AUB)={x一2<0或x=4.故选D. 也有e一e”x一y2成立，D满足要求，故选ACD 4.D【解析】“x>2-3”是“-1<x<”的必要不充分条 14.8【解析】，a∈P,b∈Q,∴对a,b分别取P,Q中的元素， 件，∴.（一1,4）至(2m2一3，十0∞)，因此2m2一3≤一1，解之得 一一列出集合P十Q中的元素，于是，依次分别取a=0,2, -1≤m≤1. 5,b=1,2,6,并分别求和，注意到集合中元素的互异性，则 5.B【解析】要使“对任意x∈[1,2)，x2一a≤0”为真命题，只 P+Q={1,2.6,3,4,8.7,11},故共有8个元素. 需要≥4，所以(>4是命题为真的充分不必要条件， 15.(-1,+o∞）【解析】A={xlog(x十2)<0)={xx> 6.ABD【解析】当c=0时，a2=2,当ac2<c2成立时，可得 -1},B={x(x-a)(x-b)<0}=(-3,b)或(b,-3),由 a<b,所以A正确：因为A∩B=A等价于ACB,所以B正 “A∩B≠”，得b>一1，故b的取值范国为（一1，十o∞）. 确：C项显然错误，命题的否定只否定结论，条件不否定：把 第2讲复数 数据按照从小到大的顺序排列为：68,70,80,88,89,90,96 98,因为8×15%=1.2，所以这些同学数学成绩的15%百分 【典例变式】 位数为70，D正确.故选ABD 变式训练一 7.AB【解析】若a十6>2，则a+=(a十b)(a2-ab+∥)= 上A【得制】南是老释 解得m=1,故选A a+b[a+)2-3ab]>(a+b)…[(a+b)_3a+b》7 4 2成立：若a+b>2,则a+后>a士>2成主：h< 2团【解折1由于器·一3新=2可得2士+D 2-3i 2 2 =2-0法器-2+30=-3+所以：的实 13i ,无法荆断出山>1：“空 2 部为-3，虚部为2，所以=一3-2i,x=(-3)+2四= √13.故选BD. (合+名)a+)>4,周为a+6>2,所以不能得出}+日 3Λ【解桥】南岸i得1一=i计i 与2的大小关系，故选AB. 8.B【解析】因为集合A={一2，-1,0,1，B={xx>一1}， 即1+0=1一则=岸一i国此=，故选A 所以A∩B={0,1}.故远B. 9.B【解析】：A={xx>1}=〈xx<-1或x>1}, 书【解折】周为-得昌-号十所以宾饰 ∴.CRA=(x|-1≤x≤1}=[-1.1].故选B 为号，虚部为日·实部与虚部之积为票故选B 10,D【解折】解不等式2x-7一4<0得-之<r<4,则 5A【解析】由已知得：(2+iD=5,故=2=2-i所以复 A=(-之4)：解不等式n(r-1)≥0得r≥2，则B 数x的虚部为一1，故选A =[2,十∞). 6.D 【解析】由复数的运算法则，可得：=出 所以AnB=(-4)n[2,+∞)=[2,4).救选D 11.B【解析】由x2-4>0,得x<-2或x>2,所以M 1)4田=是+》，所以=是一积故选D 17 《xr<-2或x>2},所以CgM={.x|-2≤x≤2)，因为 变式训练二 N={x0<x<4},所以(CRM)∩V={x0<x≤2)， 1.C【解折1之-5=1-i故选c 5 故选B 12.C【解析】因为集合A={x∈Z一3≤x≤1》= 2B【解折】由1-0：=2，可得=名=20=1+i. 2 {一3，一2，一1,0,1}，集合B={x0x2},所以A∩B 故选B ={0,1},所以A∩B的真子集个数为2-1=3，故选C. 13.ACD【解析】由1-1=>0且，y>0,则x<y成 &后站 【解析】因为=2十i,所以=、2+1严= x yy 立，反之x<y也有}>成立，A满足要求：由工一y> 5=2+2-=名-65 2i x y sinx-siny,则r-sinx>y-siny,令f(x)=x-sinx,则 二结10-洁故答案为5，片5 26 13 f(x)=1一cosx≥0，即f(x)在定义域上单调递增，故 4C【解折周为：与-中-1计片=1中i除以 >y,不满足充分性，排除B:由x一y<cosx一cosy则 x一cosr<y-cosy,令f(x)=x-cosx,则f(x)=1十 +}=1-i故选C sinx≥0，即f(x)在定义拔上单调递增，故x<y,反之r<y 也有x一<cos r一cosy成立，C满足要求：由e一e< 5.C 【解折=1--()广-1故选C 2 参考答案·数学 6B【解折1做题洛示-帚侣+没》-5-1- 对应的点（一1，一2）位于第三象限，故C错误；2+2：+5= 5 一4十4i一2-4i十5=0，故D正确.故选AD. 则2=1一i=2故选B 11,A【解析】由条件等式知：=5+计3-25i=8 2+i 2+i 5 5(2+i) 7.C【解析】由一2六2(2+=2+i.所以x· (8-iD(2-D=3-2i.所以=3+21故选A 5 (2+i)(2-i)=5.故选C. 8C【解析】由i=一2+i,得：=二2尘=-i(-2+i)= 12.A【解析1=+2)-（一3+4D(2+包=-10+5i -+2 (2-i)(2+i) 5 i 一2十i,其虚部为1，故选A. 1+2i,故z=1+2i=1+2=5.故选C 2i(1+i) 5i5i(2+i)-5i(2+iD=i(2+iD 9.B【解析J:=2户-2-D(2+D 1.心【解折1：0-》=2=名= 5 =-1+2i,则-4i=-1+2i-4i=-1-2i.∴.|g-4il 一2十2i=一1十i,:的虚部为1，选项A错：是虚数，选项 2 、(-1)+(-2)7=5.故选B. B错：=√(-1)十1下=2，选项C正确：十=（一1十 变式训练三 i)十（一1一i)=一2，选项D错.故选C. 1B【解析】复数i(i+2)=产+2i=一1+21对应的点为 14.D 【得析1由一骨-a己)一受+罗得1 (一1,2)，故选B 2A【解折】周为=1+i,所以是+=异十1+ √受产+（受产=号m=m=士2故选n +1+2+F=20+么=1+所以孩复数 15.D【解析】根据实系数方程的根的特点知1一√②i也是该方 2 程的另一个根，∴，1十√2i十1一2i=2=一b,即b=一2 在复平而内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象很，故 (1-2i)(1+i)=3=c,故选D 选A. 3.A【解析】由题意知x=1一i,所以x·(g十1)=(1一i)· 第3讲不等式 (2一i)=1-3i.故选A 【典例变式】 【基础训练】 变式训练一 1B【解析】.=m+2i,=3-4i,∴.·=(m+2i)(3- 4i)=3m十8十(6-4m)i,:刘·为实数，∴.6-4m=0,则m 1.(1)x-2≤x≤3】 【解析】(1)原不等式可化为3x+ =是故选B 2x-8≤0，即(3x-4)(x+2)≤0.解得-2≤r≤号，所以原 2B【解折】由题意得：=昌 3-D1+=4+2 (1-i)(1+iD 2 不等式的解集为{-2长x≤号} 2十i,所以文的虚部为1.故选B (2){x一2x<-1或2<≤3)【解析】(2)原不等式等价 3.C【解折1：+i计2=0-计i计2=0，即=名 |x-x-2>0. 12-x-2>0. 于 x2-x-2≤4， x-x-60, 1十i,.e|=2.故选C 4A【解析】由题意南=红一)=1一，解得=2. 1 1《一2十1)>0，>2或-1·倍助于数轴，如图 (x-3)(x十2)0 1-2x≤3. 所示， y=1.故x-y=1. 6A【解折]尚随意得=品-2告产-1-中 2 2101 .原不等式组的解集为{x一2≤x一1或2x≤3}. 所以的虚部为一1，故选A 1+1=一2 6.C【解析】由(1+i)=|-1+3i1=√(-1)2+(3) 32 2.(-2,3) 【解析】依题意知， 2得=品a”D=1-i=1中i故选C 2(1-i0 1 1 7.A 【锅折1中-8中品品-千票-1-i 所以解得a=一12，c=2,所以不等式-cr2+2x-a>0, 即为-2x+2x+12>0,即2-x-6<0,解得-2<x<3 【锦】常+i侣名得昌+号-多+ 所以不等式的解集为（一2,3）. 变式训练二 是-之则·==（分）广+(-)广= 1)>3政≤-1业【解标】D不等式≥0可以 .5V2【解析】由产2i+3,得=(2i+3)1-i)=5-i, 转化为(x十1)(x-3)≥0且x≠3.所以解集为{xx>3或 x-1}. 则z+4i=5+5i,故+4il=5v2. 10,AD【解析】由i=2-i可得=2号=2=一1-2 (②x-1长<1)【解折】2)不等式<3可以化为 -1 1=5,故A正确：=一1+2i,故B错误：x在复平面内 5出1-3<0，即2二D<0,故原不等式的解集 x+1 x+1 3