精品解析：陕西省榆林市神木市第四中学2023-2024学年高一下学期第三次检测考试数学试题

神木四中2023~2024学年度第二学期高一第三次检测考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章､第七章. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ） A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 平面内顺次连接所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 5. 欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量，的夹角为 11. 若是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对 C. 均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，使，则 12. 在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 若为边的中点，则的最大值为3 D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________． 14. 已知向量，则与向量平行的单位向量为__________. 15. 在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则的外接圆的面积为__________. 16. 在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 17. 已知复数满足：是实数，的模为的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限. （1）求； （2）若，求的值. 18. 已知向量，且. （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值. 19. 在中，内角的对边分别为，向量且. （1）求角； （2）若，求内切圆的半径. 20. 如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），. （1）若是边的中点，求的值； （2）当时，请确定点的位置. 21. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 22. 在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 神木四中2023~2024学年度第二学期高一第三次检测考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章､第七章. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ） A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解 【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， 到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量. 故选：B 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】借助复数的运算法则及共轭复数的概念计算即可得. 【详解】，. 故选：A． 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值． 【详解】∵， ∴由余弦定理， 则得， ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选：B. 4. 平面内顺次连接所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，然后通过判断它们间的关系进行判断即可. 【详解】因为， 所以，， 所以，，∥， 所以四边形为直角梯形. 故选：. 5. 欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据欧拉公式得到复数的代数形式，结合诱导公式计算即可得答案. 【详解】， 则虚部为． 故选：C． 6. 已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设夹角为，根据向量数量积的运算律即可求解． 【详解】因为，所以，即， 设夹角为，则，， 又因为，所以， 故选：D． 7. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解. 【详解】由题意知. 故选：C. 8. 如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得出，，再在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由题， 所以， 故在中，由余弦定理得， 所以即， （舍去）或，故铁塔的高度是70米. 故选：A. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义可判断A，根据模长的计算公式可判断B，根据复数的加法以及乘法运算即可判断CD. 【详解】对于A,故A错误， 对于B，则，故，故B正确， 对于C，为虚数，故C错误， 对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确， 故选：BD 10. 已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量，的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量模的坐标运算判断A，根据向量垂直的坐标表示判断B，根据向量共线的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D. 【详解】因为，，所以， 所以，即，故A正确； ，故B错误； 因为，，所以，所以，故C正确； ，所以，即向量，的夹角为，故D错误. 故选：AC 11. 若是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对 C. 均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，使，则 【答案】BC 【解析】 【分析】运用平面向量基本定理可判断A项、B项、D项，通过举反例可判断C项. 【详解】由题意可知：可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A项、D项正确，B项不正确； 对于C项，当时，则， 此时任意实数均有，故C项不正确. 故选：BC. 12. 在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 若为边的中点，则的最大值为3 D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,用余弦定理可解；对于B，用面积公式，结合基本不等式可解；对于C，用两次余弦定理，互补角余弦值互为相反数来构造方程可解；对于D，周长问题，边化角，用三角函数解题． 【详解】对于A,由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确； 对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误； 对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确； 对于D，利用正弦定理，，则，于是的周长， 由于是锐角三角形，因此即解出， 则则，则，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念，列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，解得. 故答案为：1. 14. 已知向量，则与向量平行的单位向量为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用与向量平行的单位向量为，求解即可 【详解】因为，所以，所以与向量平行的单位向量为或. 故答案为：或 15. 在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则的外接圆的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角形面积公式平方关系公式、正弦定理计算可得答案. 【详解】因为的面积为，所以， 根据余弦定理得即，即， 又，所以， 设的外接圆的半径为，所以，解得， 所以的外接圆的面积为. 故答案为：. 16. 在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】将向量进行转化得，从而得解. 【详解】记，又，所以，所以， 解得. 故答案为：3 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 17. 已知复数满足：是实数，的模为的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设，根据是实数求出，接着根据复数模长公式结合已知条件可求出m，进而得解. （2）由（1）求出即可根据复数相等定义求解. 【小问1详解】 设复数， 则是实数，得，故， 所以，即， 又因为在第四象限， 所以，故， 所以. 【小问2详解】 由（1）得：， 所以，故， 又因为， 所以即. 18. 已知向量，且. （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用平面向量垂直的坐标公式计算即可. （2）运用平面向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，解得. 故的值为3. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 所以. 故与的夹角的余弦值为. 19. 在中，内角的对边分别为，向量且. （1）求角； （2）若，求内切圆的半径. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理边角互化，求得，即可求得； （2）利用余弦定理求得，利用等面积法，结合三角形面积公式，即可求得内切圆半径. 【小问1详解】 因为向量与平行，所以， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，所以，解得或（舍）， 所以的面积， 设内切圆的半径为， 所以，解得. 20. 如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），. （1）若是边的中点，求的值； （2）当时，请确定点的位置. 【答案】（1） （2）是线段靠近处的四等分点 【解析】 【分析】（1）用、作为基底分别表示、，结合数量积运算即可. （2）设，则，结合数量积运算即可. 【小问1详解】 由题意知， 由于是边的中点，因此， 因此. 【小问2详解】 不妨设，因此， 又， 所以 解得，即， 故是线段靠近处的四等分点. 21. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理边化角，即可求出角； （2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，再结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 因为，所以． 因为D是线段AC的中点，所以， 所以， 由正弦定理得，所以，， 所以 , 又为锐角三角形，所以，解得，所以， 即，则，所以， 即，则BD的长的取值范围是． 22. 在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中用余弦定理求出，再由角度之间的关系，在中用正弦定理可求出； （2）将四边形，分成，，的面积为定值，的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即. 因为，，所以， 又，所以. 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，所以； 【小问2详解】 设，所以. 在中，由余弦定理得. 所以的面积 ， 所以，此时， 又的面积， 所以四边形的面积的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $