专题01 双中点模型-2025年初中数学几何模型全合集（不分教材通用版）

模型1：双中点模型 类型 双中点和型 双中点差型 图示 特点 点C是线段AB上任意一点，点P1，P2分别是线段AC，BC的中点 点C是线段AB延长线上任意一点，点P1，P2分别是线段AC，BC的中点 结论 P1P2= AB 1．找模型 共线的三个点组成的三条线段中，已知两条线段的中点时，考虑用“双中点模型” 2．用模型 中点将线段平分，利用线段的2倍关系转换，是解决问题的关键 巧学巧记 简记：“一半，一半又一半”. 双中点和型结论： 证明:∵点P₁,P₂分别是线段AC,BC的中点, 中点的性质)， 双中点差型结论： 证明：∵点 分别是线段AC，BC的中点， 拓展方向：将两条线段的中点，拓展为三条线段的中点 图示 特点 点 C 是线段AB 上任意一点,点 P₁,P₂,P₃分别是线段AC,BC,AB的中点 结论 P₁P₂₂AB=AP₃=P₃B,P₂P₃₂AC=AP₁=CP 例1 如图，A，B，C三点在同一直线上，点P₁，P₂分别为线段AB，双中点BC的中点,且AB=6,BC=4,则线段 P₁P₂的长为 ( ) 中点组成的线段 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 思路点拨：已知双中点 P₁,P₂,且点 B 在线段AC上，则用双中点和型即可求解. 例2 如图，已知点C是线段AB上一点，AC<BC，点M和N分别是AB和BC的中点,MN=4, BC=10,则线段AB的长为( ) A. 18 B. 10 C. 8 D. 5 思路点拨:已知双中点 M，N，且点 B 在线段AC 的延长线上，则用双中点差型即可求解. 例3 已知线段AB=4，在线段AB所在直线上作线段BC，使得BC=先作图2，若点 D 是线段AB的中点，点E 是线段BC的中点，则线段双中点DE 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 1或3 D. 1或2 思路点拨：点C位置不确定，需分两种情况讨论:①点 C 在线段 AB 内;②点 C 在线段 AB 外 针对训练 1. 如图,已知线段AB=20,点 M 是线段 AB 的中点,点 C 是线段BM 上一点,且点 N 是 BC的中点,若BN=3,则CM的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图,点 C 是线段AB 上一点,点 D 是 AC 的中点，点E 是 BC 的中点，若 则DE的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图,点 C 是AB的中点,点 P 是AB 上任意一点,点 M 是 AP 的中点,点 N 是 BP 的中点，则下列结论错误的是 ( ) A. MN=BC 4. 如图，点C是线段AB 上一点，且 点M,N 分别是AB,BC的中点,则 的值为 . 5. (模型迁移如图，点C 是AB的中点，在数轴上A，C表示的有理数分别为-6， -2，点P是射线AB上的一个动点(不与点A，B重合)，点M 是线段AP 的中点，点N 是线段BP 的中点. (1)若点 P 表示的有理数是0，求MN的长； (2)若点 P 表示的有理数是6，求MN的长 课后练习 一、单选题 1．如果三点在同一直线上，且线段，，若分别为的中点，那么两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 2．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 二、填空题 3．如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点，若，，则线段的长为 ． 4．如图，线段，点分别是线段和线段的中点，则线段的长为 ． 5．如图，线段，E、F分别是、的中点，且，则线段的长为 ． 三、解答题 6．如图，C为线段的中点，D在线段上，且．求： (1)画出线段（尺规作图） (2)求线段、的长． 7．如图，，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)若， ①求的长； ②求的长； (2) 若，求 的值． 8．如图，点A、B、C、D为直线l上四点且满足，M、N分别为线段和的中点，，求、、． 9．如图，直线上有，，，四个点，且，． (1)填空： ， ； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，求． 10．如图，已知线段，点M是线段的中点，点C是延长线上一点，．点D是线段延长线上一点，． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 11．如图，点C在线段上，点M、N分别是，的中点，，，求线段的长． 12．线段，点在线段上，点、分别是和的中点．若，求的长． 13．如图，线段，是线段的中点，是线段上的一点，，是线段的中点．求线段的长． 14．在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，． (1)求的长； (2)若点是的中点，用含的代数式表示的长； (3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值． 15．如图，已知线段和的公共部分，线段、的中点E、F之间距离是，求，的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型1：双中点模型 类型 双中点和型 双中点差型 图示 特点 点C是线段AB上任意一点，点P1，P2分别是线段AC，BC的中点 点C是线段AB延长线上任意一点，点P1，P2分别是线段AC，BC的中点 结论 P1P2= AB 1．找模型 共线的三个点组成的三条线段中，已知两条线段的中点时，考虑用“双中点模型” 2．用模型 中点将线段平分，利用线段的2倍关系转换，是解决问题的关键 巧学巧记 简记：“一半，一半又一半”. 双中点和型结论： 证明:∵点P₁,P₂分别是线段AC,BC的中点, 中点的性质)， 双中点差型结论： 证明：∵点 分别是线段AC，BC的中点， 拓展方向：将两条线段的中点，拓展为三条线段的中点 图示 特点 点 C 是线段AB 上任意一点,点 P₁,P₂,P₃分别是线段AC,BC,AB的中点 结论 P₁P₂₂AB=AP₃=P₃B,P₂P₃₂AC=AP₁=CP 例1 如图，A，B，C三点在同一直线上，点P₁，P₂分别为线段AB，双中点BC的中点,且AB=6,BC=4,则线段 P₁P₂的长为 ( ) 中点组成的线段 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 思路点拨：已知双中点 P₁,P₂,且点 B 在线段AC上，则用双中点和型即可求解. 例2 如图，已知点C是线段AB上一点，AC<BC，点M和N分别是AB和BC的中点,MN=4, BC=10,则线段AB的长为( ) A. 18 B. 10 C. 8 D. 5 思路点拨:已知双中点 M，N，且点 B 在线段AC 的延长线上，则用双中点差型即可求解. 例3 已知线段AB=4，在线段AB所在直线上作线段BC，使得BC=先作图2，若点 D 是线段AB的中点，点E 是线段BC的中点，则线段双中点DE 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 1或3 D. 1或2 思路点拨：点C位置不确定，需分两种情况讨论:①点 C 在线段 AB 内;②点 C 在线段 AB 外 针对训练 1. 如图,已知线段AB=20,点 M 是线段 AB 的中点,点 C 是线段BM 上一点,且点 N 是 BC的中点,若BN=3,则CM的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 1. C 【解析】∵ 点 M 是线段AB 的中点,点 N是 BC 的中点[双中点模型],∴ BC=2BN= MN-CN=MN-BN=7-3=4. 2. 如图,点 C 是线段AB 上一点,点 D 是 AC 的中点，点E 是 BC 的中点，若 则DE的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. C 【解析】∵ ∵点D 是 AC 的中点,点 E 是 BC 的中点[双中点模型],. 3. 如图,点 C 是AB的中点,点 P 是AB 上任意一点,点 M 是 AP 的中点,点 N 是 BP 的中点，则下列结论错误的是 ( ) 3. D 【解析】∵点C 是AB的中点,点 M 是AP的中点，点 N 是 BP 的中点[双中点模型]， 故 A 选项正确,D选项错误； 故 B 选项正确;CN=BC-NB= 故 C 选项正确. A. MN=BC 4. 如图，点C是线段AB 上一点，且 点M,N 分别是AB,BC的中点,则 的值为 . 4. 【解析】∵ 点 M,N 分别是AB,BC的中点, (双中点差型结论), 5. (模型迁移如图，点C 是AB的中点，在数轴上A，C表示的有理数分别为-6， -2，点P是射线AB上的一个动点(不与点A，B重合)，点M 是线段AP 的中点，点N 是线段BP 的中点. (1)若点 P 表示的有理数是0，求MN的长； (2)若点 P 表示的有理数是6，求MN的长 5. 解:(1)∵点C 是AB的中点,∴BC=AC=4, ∴点B 表示的有理数是2， ∵点 P 表示的有理数是0,如解图①,∴AP=6,BP=2, ∵点 M 是线段 AP 的中点,点 N 是线段 BP的中点， (2)∵点P 表示的有理数是6，如解图②，∴AP=12,BP=4, ∵点 M 是线段 AP 的中点,点 N 是线段 BP的中点， 课后练习 一、单选题 1．如果三点在同一直线上，且线段，，若分别为的中点，那么两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 1．C 【分析】本题考查了线段的和差、线段中点的定义，分两种情况：点在点间和点在点间，然后画出图形，根据线段的和差、线段中点的定义分别解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，点在点间， ∵分别为的中点， ∴，， ∴； 如图，点在点间， ∵分别为的中点， ∴，， ∴； 综上，为或， 故选：． 2．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 2．D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 二、填空题 3．如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点，若，，则线段的长为 ． 3．5.4 【分析】本题主要考查线段中点的性质以及解一元一次方程．设，则，由中点的定义可得，再由，可得到关于x的方程，求出x的值，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵点D为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，即， ∵，C为中点， ∴， ∴． 故答案为：5.4 4．如图，线段，点分别是线段和线段的中点，则线段的长为 ． 4． 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设，，可得，，然后根据，求得，故求出，，再根据中点的定义计算即可． 【详解】解：设，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 又∵点分别是线段和线段的中点， ∴，， ∴， 故答案为． 5．如图，线段，E、F分别是、的中点，且，则线段的长为 ． 5． 【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，先设，，然后根据中点得到，，然后根据列方程求出a的值，然后根据计算即可． 【详解】解：设，， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 6．如图，C为线段的中点，D在线段上，且．求： (1)画出线段（尺规作图） (2)求线段、的长． 6．(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查尺规作图——作线段等于已知线段，线段的中点，线段的和差． （1）作射线，以点M为圆心，的长为半径画弧，与交于点E，则，同理作，则，以点F为圆心，的长为半径，交线段于点G，则，则，为所求． （2）根据线段的和差与线段的中点即可解答． 【详解】（1）解：如图，，，则线段，为所求图形． （2）解：∵ ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴． 7．如图，，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)若， ①求的长； ②求的长； 若，求 的值． 7．(1)①，② (2)的值为或2 【分析】题目主要考查线段中点的计算，绝对值的非负性，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出；①利用中点结合图形求解即可；②利用中点结合①中结果求解即可； （2）分两种情况分析：当时，当时，设，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∴； ①∵D为的中点，E为的中点， ∴， ∴， ②∵F为的中点， ∴， ∴； （2）分两种情况： 当时，如图： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 当时，如图所示： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 综上所述，的值为或2． 8．如图，点A、B、C、D为直线l上四点且满足，M、N分别为线段和的中点，，求、、． 8．，， 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的性质，熟练的利用线段的和差倍分关系建立方程解题是关键． 设，，，根据中点概念得到，，然后利用列方程求出，进而代数求解即可． 【详解】∵点A、B、C、D为直线l上四点且满足， ∴设，， ∵M、N分别为线段和的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴，，． 9．如图，直线上有，，，四个点，且，． (1)填空： ， ； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，求． 9．(1)、； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查线段长度的计算，熟练掌握图形中线段的和差是解题的关键． （1）根据线段的和差求解即可； （2）根据线段的和差求解即可； （3）由（2）得，根据，得，进而即可得解． 【详解】（1）解：由图可得， 故答案为：、； （2）解：，理由如下， ∵，． ∴， ∴， （3）解：由（）得， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 10．如图，已知线段，点M是线段的中点，点C是延长线上一点，．点D是线段延长线上一点，． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 10．(1) (2) 【分析】本题主要考查线段的和差倍分计算．熟练掌握已知线段和未知线段的数量关系，是解题的关键． (1)由，，即可求出的长； (2)由，，求出的长，进而求出的长． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 11．如图，点C在线段上，点M、N分别是，的中点，，，求线段的长． 11． 【分析】此题主要考查的是线段的和差及线段中点的定义，根据线段中点的性质，可得，的长，利用线段的和差可得答案． 【详解】解：由点M、N分别是，的中点，得 ，， 由线段的和差，得． 12．线段，点在线段上，点、分别是和的中点．若，求的长． 12． 【分析】此题考查了线段中点的相关计算，根据的长度可得出的长度，由点、分别是和的中点，可得出的长度，将其代入中即可求出的长； 【详解】∵，， ∴， 又∵点、分别是和的中点， ∴， ∴ 13．如图，线段，是线段的中点，是线段上的一点，，是线段的中点．求线段的长． 13． 【分析】本题考查两点间的距离．根据线段中点的定义，结合图形中线段之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：，是线段的中点， ， 又， ， 是线段的中点． ， ． 14．在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，． (1)求的长； (2)若点是的中点，用含的代数式表示的长； (3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值． 14．(1)8 (2)当时，；当时，． (3)是定值，理由见解析 【分析】本题考查列代数式及数轴，熟知数轴上两点之间距离的计算公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间距离的计算公式即可解决问题． （2）对点与点的位置进行分类讨论即可解决问题． （3）设运动时间为，用含有的代数式分别表示出及的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为点，所表示的数分别是，6， 所以． （2）解：因为点是的中点， 所以， 则点表示的数是2． 当时， ． 当时， ． （3）解：设运动的时间为， 则点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为， 因为的中点为， 所以点所表示的数为． 因为中点为， 所以点所表示的数为， 所以，，， 所以． 解得：． 15．如图，已知线段和的公共部分，线段、的中点E、F之间距离是，求，的长． 15．， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、线段的中点的意义、线段的和差，设，则，，则． 根据线段中点的定义可得出，．再根据，即可得出关于x的一元一次方程，求解即可得出的值，进一步即可得出答案． 【详解】解：设，则，，则． ∵点E、点F分别为、的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， 解得：． ∴，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$