专题03 线段的双（多）中点模型（几何模型讲义）数学沪科版2024七年级上册

专题03 线段的双（多）中点模型 关于线段的计算，这类题型对于刚上初中的学生来说，是第一个要面对的几何难题。我们在解决这一类问题时，首先要有一个明确的思路，知道解题的方向，其次是如何根据思路列出相关的数量关系，最后就是正确计算问题。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ 1．（2025·广西桂林·二模）如图，线段，C是线段的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了两点间距离，根据题目的已知并结合图形分析是解题的关键．根据线段中点的性质先求出，再根据已知，求出即可． 【详解】解：∵，C是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 2．（2025·河南濮阳·一模）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算及根据题意找出问题的规律进行求解是解决本题的关键．根据题意可得，根据线段的差可得，，的长度表示，根据规律进行推理即可得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ∵， ∴， ∵线段   和 的中点 ， ∴， 同理：， ∴， …… 依次类推， ， ∴， 故答案为：4． 3．（2025·安徽芜湖·模拟检测）如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题、一元一次方程的应用，学会根据两点间的距离列出方程是解题的关键．设运动时间为，分别表示出和的长，再结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：线段，O是线段上的中点， ， 设运动时间为，则， ， ， 点P沿以的速度运动， 分两种情况讨论： ①当点P沿运动时，点P到达点需要时间， 当时，， ， ， ， 或， 解得：或， ②当点P沿运动时，此时，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 综上所述，当时，运动时间为、、或． 故选：C． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线上有、、三点，其中，，、分别是、的中点，则线段的长为 ． 【答案】8或2 【分析】本题考查了两点间的距离，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键．分类讨论：当点C在线段的延长线上时，当点C在线段之间时，利用线段的中点公式及两点的距离公式即可求解． 【详解】解：当点C在线段的延长线上时，如图： ，且M、N分别是的中点， ， ， 当点C在线段之间时，如图： ，且M、N分别是的中点， ， 综上所述，的长是8或2， 故答案为：8或2． 例2（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长； (2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由计算即可得解； （2）由题意可得，，，结合计算即可得解． 【详解】（1）解：如图： ， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点C恰好是的中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴， ∴． 例3（24-25七年级上·吉林白城·期末）如图，点把线段分成两部分，其比为，点是的中点，cm，求的长． 【答案】16cm 【分析】本题涉及线段的比例、中点性质以及方程思想的应用，通过设未知数将线段长度用含未知数的式子表示，再根据线段和差关系建立方程求解．根据线段的比例关系设未知数，再利用线段中点的性质表示出相关线段，最后通过线段的和差关系列方程求解． 【详解】∵， ∴设（），（）， ∴（）， ∵点是的中点， ∴， ∵，且， ∴， 解得：， ∴（）． 故答案为：． 例4（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，在直线上，点P在A、B两点之间，点M为线段的中点，点N为线段的中点，若，且使关于x的方程无解． (1)求线段的长； (2)线段的长与点P在线段上的位置有关吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)无关，理由见解析 【分析】本题主要考查的是中点的有关计算，由一元一次方程解的情况求参数，掌握线段中点的定义是解题的关键． （1）由关于的方程无解，可得，从而可求得n的值； （2）根据线段中点的定义可知，，从而得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵关于的方程无解． ∴， 解得：． ∴； （2）线段的长与点在线段上的位置无关，理由如下： ∵M为线段的中点，点N为线段的中点， ∴，． ∴， ∴线段的长与点P在线段上的位置无关． 例5（24-25七年级上·贵州·期末） A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 例2（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知点在线段上，，．点，点在直线上，满足，且点在点的左侧． (1)当为中点时，求的长； (2)点F（异于A，B，C三点）在线段上，，，求的长； (3)若点D从点处出发，以3个单位长度/秒的速度沿线段向右运动，点随之向右运动，设运动时间为秒，求出当点或点三等分线段时的值． 【答案】(1)7 (2)的长为3或5 (3)当或或时，点或点三等分线段 【分析】本题主要考查线段中点的性质及和差关系，熟练掌握线段中点的性质及和差关系是解题的关键． （1）首先根据得到，，然后由线段中点的概念得到，然后利用线段的和差关系求解即可； （2）根据题意分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论，然后分别根据线段的和差关系求解即可； （3）根据题意分点E为线段靠近点B的三等分点，点为线段靠近点的三等分点和点运动到线段靠近点的三等分点，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图， 因为，， 所以，． 因为为中点， 所以． 因为， 所以， 所以； （2）解：①当点在点的左侧时，如图， 因为，， 所以点是的中点， 所以， 所以． 因为， 所以； ②当点在点的右侧时，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以． 其他情况不存在，舍去． 综上所述，的长为3或5． （3）解：当点E为线段靠近点B的三等分点时， 此时，， 所以， 所以点D向右运动了秒，即； 当点为线段AB靠近点的三等分点时，， 所以点向右运动了（秒），即； 当点运动到线段靠近点的三等分点时，， 所以点向右运动了（秒），即． 综上所述，当或或时，点或点三等分线段． 例3（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】 数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】 若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3  （2）或11；（3）①；②存在，，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，数轴上线段的中点对应的数的表示，数轴上动点的问题，绝对值得非负性的应用，一元一次方程的应用，熟练利用一元一次方程解决数轴上动点问题是解题关键． （1）利用绝对值，乘方的非负性求出a，b值的大小再利用题中给出的方法求出结果即可； （2）由题意可知，D点可能在A点左侧，也可能在B点右侧，根据列出方程求解即可； （3）①设C点为m，则为，为，根据点C为线段的左三等分点，列式结算即可；②由题意得， ， ，，，，得出，，，根据的值为定值，进行求解即可． 【详解】解：， 且， ，， A、B两点的中点表示的数为， 故答案为：； （2）设点D表示的数为x， ∵ 当点D在点A左边时，， 解得：， 当点D在点B右边时，， 解得：， 点为或11； （3）①设C点为m，则为，为， 点C为线段的左三等分点， ， ∴， 解得， 点C表示的数为； ②存在．理由如下： 由题意得，，，，，， ，，， ， 随着t的变化，上式的值为定值，   解得． 例4（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 例5（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴， …… 发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图，C是的中点，D是的中点，下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间的距离、线段中点的定义等知识点，熟练掌握线段中点的定义是本题的关键．根据两点之间的距离、线段中点的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：∵C是的中点，D是的中点， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，、是线段上的两点，已知，、分别为、的中点，且，则线段长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，一元一次方程的应用，解题的关键是根据求出，，，． 根据，可设三条线段的长分别是x、、，表示出，，的长，再根据线段中点的概念，表示出线段，的长，进而计算出线段的长． 【详解】解：设，，的长分别为x、、， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∵、分别为、 的中点， ∴，， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，那么把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点C是折线的“折中点”．若折线的长度为9，点D为的中点，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的和差，设，由点D为的中点可知，再由点C是折线的“折中点”可知，由折线的长度为9得出x的值即可． 【详解】解：设， ∵点D为的中点， ∴， ∵点C是折线的“折中点”， ∴， ∵折线的长度为9， ∴，即， 解得， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）直线上有三点、、，其中，，、分别是、的中点，则的长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，分类讨论：当点C在线段的延长线上时，当点C在线段之间时，利用线段的中点公式及两点的距离公式即可求解． 【详解】解：分两种情况， 当点C在线段的延长线上时，如图： ，，、分别是、的中点， ，， ； 当点C在线段之间时，如图： 同理可得，， ， 的长是或， 故选C． 5．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）如图，点在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点，线段和差，一元一次方程的应用，由，设，，，再由线段中点可得，，从而有，所以，然后通过解方程求出的值即可，掌握线段中点，线段和差是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·江西九江·期末）如图，数轴上点、所表示的数分别为、、、两点分别从、两点出发同时以1个单位长度／秒的速度在数轴上运动，、分别是与的中点，当运动时间为3秒时，、两点之间的距离是 ． 【答案】3或6或9 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，线段的中点，根据题意利用分类讨论思想解题是关键． 分①点P，Q同时向右，同时向左，点P向左点Q向右，点P向右点Q向左四种情况，结合数轴上两点间的距离和线段中点的定义计算求解． 【详解】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为1，点Q表示的数为7，此时， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴、两点之间的距离是； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为1，此时， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴、两点之间的距离是； ③当P向左，点Q向右运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为7，此时， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴、两点之间的距离是； ④当P向右，点Q向左运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为1，点Q表示的数为1，此时， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴、两点之间的距离是； 综上，、两点之间的距离是3或6或9， 故答案为：3或6或9. 7．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，点C是线段延长线上一点，点M为线段的中点，在线段上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键． 根据，M为线段的中点，找准线段之间的数量关系，化简即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故． 故答案为：2． 8．（24-25七年级上·江苏南通·期末）延长线段到C，使．反向延长线段到D，使，点E为的中点，点F为的中点、若．则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了线段的和与差，中点的定义，解一元一次方程，利用线段的和差得出的长是解题关键； 令，则，根据线段和和差得，然后线段中点的性质，可得，的长，然后再利用线段的和差即可解答． 【详解】解：因为， 令，则， 所以． 则． 如图所示， 因为， 所以， 解得， 所以． 因为点为的中点，点为的中点， 所以，， 所以， 所以． 故答案为：2． 9．（24-25七年级上·重庆万州·期末）已知线段，点是直线上一点，且，若分别是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，分点在点右侧和左侧两种情况，分别画出图形计算即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵分别是线段的中点， ∴，， 如图，当点在点右侧时， ∴； 如图，当点在点左侧时， ； 综上，线段的长为或， 故答案为：或． 10．（湖南省长沙市雅礼教育集团2025-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点：依此类推……，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算、求两点之间的距离、数字类规律探究，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 先分别求出、、的值，根据求出的结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：因为线段，是的中点， 所以； 因为是的中点， 所以； 因为是的中点， 所以； ， 所以， 所以， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，、两点把线段分成了三部分，且，为的中点，若，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，解题关键是根据求出各线段的长，再利用中点求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，分别为线段上的点， (1)如图，当时，试说明； (2)当时，分别为中点，且，，求的长． 【答案】(1)说明见解析 (2)或 【分析】（）由线段中点的定义可得，再根据线段的和差关系可得，，两式相加即可求证； （）设，则，，分点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别画出图形，利用线段中点定义解答即可求解； 本题考查了线段的中点 ，线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 即； （2）解：设，则，， 当点在点右侧时，如图， 则， ∴， ∵分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当点在点左侧时，如图， 则， ∴， ∵分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 13．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长． ②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差求解线段的长是解题的关键． （1）①由设，，根据可求解值，即可得，的长，结合中点的定义可求解；②根据题意画出图形，由设，，则，利用线段的和差，结合中点的定义可求解，由，进而可求解的长． （2）根据中点定义得到，即可求出． 【详解】（1）解：①由设，， ∵，， ， 解得， ，， 为线段的中点， ， ． ②解：如图所示． 由设，， ∴， 为线段的中点， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 解得， ． （2）∵点M为线段中点，点N为线段中点， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 14．（24-25七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了次取线段中点实验：如图，该线段．第次，取的中点；第次，取的中点；第次，取的中点，第次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数 线段的长 第次 第次 第次 第次 第次 ________ ________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：________，________，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是________． 【答案】(1)， (2) (3)，， 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，找出规律是解答本题的关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：因为， 所以， 两式相加，得， 所以； （3）解：，，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是， 故答案为：，，． 15．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知线段a，b． (1)按以下步骤进行尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作线段，使； ②在线段上作点，使； (2)在（1）的作图中，取线段的中点，若，， ①求线段的长； ②取线段的中点，取线段的中点，取线段的中点，取线段的中点，……，按此规律依次取中点，不画图，直接比较线段与的大小． 【答案】(1)①图见解析②图见解析； (2)①3.5；② 【分析】本题考查尺规作图—作线段，与线段中点有关的计算： （1）①作射线，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，即为所求； ②以为圆心，以的长为半径画弧，交线段于点即可； （2）①根据中点平分线段，得到，即可得出结果； ②根据题意，探究规律，比较大小即可． 【详解】（1）解：①如图，线段即为所求； ②如图，线段即为所求； （2）①∵，，， ∴， ∵取线段的中点， ∴； ②由题意，得：， ， ， ， ， ， ， ∴． 16．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，数轴上点、两点相距个单位长度，点在点的右边，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是多少？ (2)当点、点相距个单位长度时，求的值； (3)设为线段的中点，为线段的中点，用的代数式表示线段的长度，并求当点与点重合时的值． 【答案】(1)70 (2)40或60 (3)；100 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、列代数式、线段中点的定义、一元一次方程的应用，理解题意正确表示出数轴上的动点表示的数是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）用分别表示出点、点表示的数，得出的长度，结合点、点相距个单位长度列出方程，求解方程即可得出的值； （3）利用线段中点的定义表示出点、点表示的数，得出线段的长度，再根据点与点重合即可求出对应的值． 【详解】（1）解：， 点表示的数是70． （2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， ， 点、点相距个单位长度， ， ， 解得：或， 的值为40或60． （3）解：由（2）得，点表示的数为，点表示的数为， 为线段的中点，为线段的中点， 点表示的数为，点表示的数为， ， 当点与点重合时，，即， 解得：， 线段的长度为，当点与点重合时的值为100． 17．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段，点，在线段上，，点是的中点，点是的中点． (1)若，，当，求线段的长度； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)线段的长度不发生变化，长度为 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的有关计算，掌握线段间的数量关系是解题的关键． （1）先求出线段，然后再利用线段中点的性质求出，，进而求解即可； （2）利用线段中点的性质证明的长度不会发生改变． 【详解】（1）解：，，， ， 点是的中点，点是的中点． ，， ； （2）线段的长度不发生变化． 理由如下： 点是的中点，点是的中点， ，， ， 线段的长度不发生变化，长度为． 18．（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，点在线段上，点，分别是，的中点． (1)若，求线段的长； (2)在其他条件不变前提下，若点为线段上任意一点（不与点重合），且满足，猜想线段的长．请直接写出结论，不必说明理由． (3)若点在线段的延长线上（不与点重合），且满足，点，分别是，的中点，猜想线段的长．请画出图形，写出你猜想的结论，并说明理由． 【答案】(1)13 (2) (3)，图及理由见解析 【分析】本题考查了线段中点的有关计算； （1）由线段的中点得，，由线段的和差得，即可求解； （2）由线段的中点得，，由线段的和差得，即可求解； （3）由线段的中点得，，由线段的和差得，即可求解； 能熟练利用线段的中点及线段的和差进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：点，分别是，的中点， ， ， ； （2）解：； 理由如下： 点，分别是，的中点， ， ， ； （3）解：如图， ； 理由如下： 点，分别是，的中点， ， ， ． 19．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，．点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)①若点P为线段的中点，则此时点P对应的数______； ②若点P到点A、点B的距离之和为8，则此时点P对应的数______； (2)若点P在移动的过程中，满足，求此时点P对应的数的值； (3)记线段的中点为点M，线段的中点为点N，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动． ①在运动过程中，点M到点N的距离是否不变？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． ②设运动t秒后，点P到点M和点N的距离恰好满足2倍关系，请求出t值． 【答案】(1)①；②或 (2)或 (3)①3；②或或． 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，绝对值的应用； （1）①利用非负数的性质先求解，；结合数轴上线段中点对应的数的规律列式计算即可；②由题意可得，再分情况解方程即可； （2）由点P在移动的过程中，满足，可得，再解方程即可； （3）①设运动时间为，可得对应的数为，对应的数为，对应的数为，再计算距离即可．②由①得：对应的数为，对应的数为，，，当时，当时，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， 解得：，； ∴点A和点B在数轴上对应的数分别为和； 点P为线段的中点，则此时点P对应的数； ②∵点P到点A、点B的距离之和为8， ∴， 当时，， 解得：，即此时点P对应的数， 当时，， 当时，， 解得：，此时点P对应的数， 综上：或； （2）解：∵点P在移动的过程中，满足， ∴， 当时，， 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，不符合题意，舍去， 当时，， 解得：， 综上：此时点P对应的数为或． （3）解：①点M到点N的距离不变为，理由如下： ∵点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，设运动时间为， ∴对应的数为， 记线段的中点为点M，线段的中点为点N， ∴对应的数为，对应的数为， ∴ 点M到点N的距离为． ②由①得：对应的数为，对应的数为， ∴，， 当时， ∴，即， ∴或， 解得：舍去；或； 当时， ∴，即， ∴或， 解得：或； 综上：或或． 20．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】(1)， (2)2.25或2.75秒 (3)9或11秒 (4)图见解析，线段MN的长度不发生变化，其值为10 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点间距离，一元一次方程的应用，线段的和差关系等，注意分情况讨论是解题的关键． （1）根据点B在点A的左侧，且，可得点B表示的数；根据点P的初始位置及运动速度、方向，可得点P表示的数； （2）分点P、Q相遇之前，相遇之后两种情况，分别列一元一次方程，即可求解； （3）设点P运动秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：点P、Q相遇之前，相遇之后，分别列方程，即可求解； （4）分两种情况：点P在点A、B两点之间运动，点P运动到点B的左侧，画出图形，根据线段之间的和差关系求解． 【详解】（1）解：数轴上点B表示的数：， 点P表示的数：， 故答案为：，； （2）解：若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 由题意得，解得； ②点P、Q相遇之后， 由题意得，解得． 答：若点P、Q同时出发，2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2； （3）解：设点P运动秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况： ①点P、Q相遇之前， 则， 解得：， ②点P、Q相遇之后， 则， 解得：， 答：若点P、Q同时出发，9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2； （4）解：线段的长度不发生变化，都等于10；理由如下： ①当点P在点A、B两点之间运动时： ， ②当点P运动到点B的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为10． 21．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    22．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且关于x的多项式不含项和x的一次项，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为1个单位长度每秒，N的速度为3个单位长度每秒，设运动的时间为t秒（）． (1)直接写出_______；_______； (2)①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为_______；点N表示的数为_______． ②当t为何值时，恰好有？ (3)若点P为线段的中点，Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度会随着t的改变而改变，请直接写出当t满足什么条件时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)8，； (2)①，；②或； (3)当时，值最小，最小值是； 【分析】（1）先根据关于x的多项式不含项和x的一次项得到二次项系数和及一次项系数和为0求出a、b即可得到答案； （2）根据路程等于速度乘以时间结合数轴上两点距离关系表示出数字即可得到答案； （3）利用先根据中点表示出点Q,，P代表的数字，再表示，结合式子判断大小即可得到答案； 【详解】（1）解：， ∵关于x的多项式不含项和x的一次项得， ∴，， 解得：，， ∴，， 故答案为：8，； （2）解：①∵点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为1个单位长度每秒，N的速度为3个单位长度每秒， ∴点M表示的数为：，点N表示的数为：， 故答案为：，； ②由（1）得， ， ， ∵， ∴， 即， 解得：或； （3）解：∵点P为线段的中点，Q为线段的中点， ∴点P代表的数字为：，Q代表的数字为：， ∴，， ∴， 当时，， ∴当时，值最小， ． 【点睛】此题考查了数轴上点的表示方法和两点间的距离，一元一次方程，解题的关键是熟练掌握数轴上点的表示方法和两点间的距离，根据题意列出方程求解． 23．（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 24．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为．    【问题倩境】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【基础应用】 （1）完成填空： ①两点间的距离______； ②点是数轴上的一点，它表示的数为，若，则______； 【综合运用】 （2）求当为何值时，； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．    【答案】（1）①16；②5或；（2）或；（3）线段的长度不变，且为8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． （1）①根据题目所给的两点距离公式求解即可；②根据绝对值的意义分类讨论求解； （2）秒后，点表示的数，点表示的数为，而，由建立方程，求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点表示的数，点表示的数，即可得出线段的长度． 【详解】（1）解：①由题意得：， ②∵， ∴， 解得：或 故答案为：①；②5或； （2）解：秒后，点表示的数，点表示的数为， ， 又， ∴， 解得：或； （3）解：线段的长度不变，理由如下： ∵点为的中点，点为的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ． ∴线段的长度不变，且长度为8． 25．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知线段，线段，且、满足多项式是关于的二次三项式．已知线段，在数轴上运动，为原点，点在点的左侧，点在点的左侧，运动过程中线段两端点重合记该线段长为． (1)如图1，点与原点重合时，且点为线段的三等分点(点靠近点)，则在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为_________． (2)在(1)的条件下，在数轴正半轴上是否存在点，使得？若存在，求出点表示的数，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点与原点不重合时，线段以每秒个单位的速度沿数轴向正方向运动，同时线段以每秒个单位的速度沿数轴向正方向运动，点始终是线段的中点，点始终是线段的中点，请判断线段的长是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)点P表示的数为 (3)线段的长是定值，理由见解析 【分析】（1）由二次三项式的定义求出，，求出，，，则可得出答案； （2）分四种情况讨论，得出点在线段上时设点表示的数为，列出方程可得出答案； （3）由题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，得出，表示的数，则可得出答案． 【详解】（1）解：，满足多项式是关于的二次三项式， ，， ，， ，， 点为线段的三等分点， ， ， ， 数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，，； （2）解：①经判断，点不在点的右侧，因为； ②经判断，点不在线段上，因为； ③经判断，点不在线段上，因为； ④当点在线段上时设点表示的数为， ， ， 解得： 点P表示的数为 （3）解：线段的长是定值， 理由：在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点始终是线段的中点，点始终是线段的中点， 在数轴上表示的数：， 在数轴上表示的数：， ， 即线段的长是定值． 【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段的和差，整式的加减，列代数式、数轴、一元一次方程的应用，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 线段的双（多）中点模型 关于线段的计算，这类题型对于刚上初中的学生来说，是第一个要面对的几何难题。我们在解决这一类问题时，首先要有一个明确的思路，知道解题的方向，其次是如何根据思路列出相关的数量关系，最后就是正确计算问题。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ 1．（2025·广西桂林·二模）如图，线段，C是线段的中点，点D在线段上，且，则的长为 ． 2．（2025·河南濮阳·一模）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ． 3．（2025·安徽芜湖·模拟检测）如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线上有、、三点，其中，，、分别是、的中点，则线段的长为 ． 例2（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长； (2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 例3（24-25七年级上·吉林白城·期末）如图，点把线段分成两部分，其比为，点是的中点，cm，求的长． 例4（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，在直线上，点P在A、B两点之间，点M为线段的中点，点N为线段的中点，若，且使关于x的方程无解． (1)求线段的长； (2)线段的长与点P在线段上的位置有关吗？请说明理由． 例5（24-25七年级上·贵州·期末） A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 例2（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知点在线段上，，．点，点在直线上，满足，且点在点的左侧． (1)当为中点时，求的长； (2)点F（异于A，B，C三点）在线段上，，，求的长； (3)若点D从点处出发，以3个单位长度/秒的速度沿线段向右运动，点随之向右运动，设运动时间为秒，求出当点或点三等分线段时的值． 例3（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】 数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】 若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 例4（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 例5（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 1．（24-25七年级上·河北张家口·期末）如图，C是的中点，D是的中点，下列等式不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，、是线段上的两点，已知，、分别为、的中点，且，则线段长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，那么把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点C是折线的“折中点”．若折线的长度为9，点D为的中点，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4.5 D．5 4．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）直线上有三点、、，其中，，、分别是、的中点，则的长是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25七年级上·重庆秀山·期末）如图，点在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为 ． 6．（24-25七年级上·江西九江·期末）如图，数轴上点、所表示的数分别为、、、两点分别从、两点出发同时以1个单位长度／秒的速度在数轴上运动，、分别是与的中点，当运动时间为3秒时，、两点之间的距离是 ． 7．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，点C是线段延长线上一点，点M为线段的中点，在线段上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得则的值为 ． 8．（24-25七年级上·江苏南通·期末）延长线段到C，使．反向延长线段到D，使，点E为的中点，点F为的中点、若．则线段的长为 ． 9．（24-25七年级上·重庆万州·期末）已知线段，点是直线上一点，且，若分别是线段的中点，则线段的长为 ． 10．（湖南省长沙市雅礼教育集团2025-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点：依此类推……，线段的长为 ． 11．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，、两点把线段分成了三部分，且，为的中点，若，则长为 ． 12．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，分别为线段上的点， (1)如图，当时，试说明； (2)当时，分别为中点，且，，求的长． 13．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长． ②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 14．（24-25七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了次取线段中点实验：如图，该线段．第次，取的中点；第次，取的中点；第次，取的中点，第次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数 线段的长 第次 第次 第次 第次 第次 ________ ________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：________，________，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是________． 15．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如图，已知线段a，b． (1)按以下步骤进行尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作线段，使； ②在线段上作点，使； (2)在（1）的作图中，取线段的中点，若，， ①求线段的长； ②取线段的中点，取线段的中点，取线段的中点，取线段的中点，……，按此规律依次取中点，不画图，直接比较线段与的大小． 16．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，数轴上点、两点相距个单位长度，点在点的右边，点表示的数是．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度也沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是多少？ (2)当点、点相距个单位长度时，求的值； (3)设为线段的中点，为线段的中点，用的代数式表示线段的长度，并求当点与点重合时的值． 17．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知线段，点，在线段上，，点是的中点，点是的中点． (1)若，，当，求线段的长度； (2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由． 18．（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，点在线段上，点，分别是，的中点． (1)若，求线段的长； (2)在其他条件不变前提下，若点为线段上任意一点（不与点重合），且满足，猜想线段的长．请直接写出结论，不必说明理由． (3)若点在线段的延长线上（不与点重合），且满足，点，分别是，的中点，猜想线段的长．请画出图形，写出你猜想的结论，并说明理由． 19．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，．点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)①若点P为线段的中点，则此时点P对应的数______； ②若点P到点A、点B的距离之和为8，则此时点P对应的数______； (2)若点P在移动的过程中，满足，求此时点P对应的数的值； (3)记线段的中点为点M，线段的中点为点N，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动． ①在运动过程中，点M到点N的距离是否不变？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． ②设运动t秒后，点P到点M和点N的距离恰好满足2倍关系，请求出t值． 20．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示） (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好又等于2？ (4)若M为的中点，N为的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 21．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 22．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且关于x的多项式不含项和x的一次项，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为1个单位长度每秒，N的速度为3个单位长度每秒，设运动的时间为t秒（）． (1)直接写出_______；_______； (2)①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为_______；点N表示的数为_______． ②当t为何值时，恰好有？ (3)若点P为线段的中点，Q为线段的中点，M、N在运动的过程中，的长度会随着t的改变而改变，请直接写出当t满足什么条件时，有最小值，最小值是多少？ 23．（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 24．（24-25七年级上·广东东莞·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为．    【问题倩境】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为12，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【基础应用】 （1）完成填空： ①两点间的距离______； ②点是数轴上的一点，它表示的数为，若，则______； 【综合运用】 （2）求当为何值时，； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．    25．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知线段，线段，且、满足多项式是关于的二次三项式．已知线段，在数轴上运动，为原点，点在点的左侧，点在点的左侧，运动过程中线段两端点重合记该线段长为． (1)如图1，点与原点重合时，且点为线段的三等分点(点靠近点)，则在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为_________． (2)在(1)的条件下，在数轴正半轴上是否存在点，使得？若存在，求出点表示的数，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点与原点不重合时，线段以每秒个单位的速度沿数轴向正方向运动，同时线段以每秒个单位的速度沿数轴向正方向运动，点始终是线段的中点，点始终是线段的中点，请判断线段的长是否为定值，并说明理由． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $