精品解析：湖南省永州市冷水滩区李达中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

2022-2023学年湖南省永州市冷水滩区李达中学九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 0，， B. 1，，2021 C. 1，， D. 0，，2021 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 函数与函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 点在反比例函数上，下列说法错误的是（ ） A. B. 函数的图象位于第二、四象限 C. 函数值y随自变量x的增大而增大 D. 反比例函数有两条对称轴 5. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 7. 下列说法正确的是（ ） A. 相似图形一定是位似图形 B. 一条线段的黄金分割点只有一个 C. 两个边数相同的正多边形是相似图形 D. 相似三角形对应角的平分线的比等于对应边上高的比的平方 8. 如图，以点O为位似中心，作的位似图形得到，若位似比为，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 是的中位线 D. 9. 如图，点D是的边BC上一点，，，若的面积为30，则的面积为（ ） A. B. 10 C. 12 D. 24 10. 如图，正方形位于第一象限，边长为3，点A在直线上，点A的横坐标为2，正方形的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线与正方形有两个公共点，则k的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 已知关于x的反比例函数，则m的值为______． 12. 如图，直线，直线和被直线，，所截，如果截得线段，，，那么线段的长为______． 13. 如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件： ①；②；③；④中的一个，不能得出和相似的是：__________（填序号）． 14. 已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为__________． 15. 用配方法解方程时，则方程需变形为______． 16. 学校兴趣小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全，他们沿着前进的路线铺了若干木板构筑临时道路，若木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象和数据如图所示，则当木板面积为时，木板对地面的压强为______． 17. 我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形的边表示井的直径，在的延长线上，尺，尺，交于尺，根据以上条件，可求得井深为______尺． 18. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有______（填序号）． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若时，则方程是倍根方程． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，．以点A为位似中心，位似比为，在y轴的左侧画出放大后的图形，并直接写出的坐标． 22. 关于x的方程x2+(2a﹣3)x+a2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2＝x1•x2，求a的值． 23. 如图，中，是边上的高，，．作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在，上，与的交点为，且矩形长是宽的倍． （1）求证：； （2）试求矩形的周长． 24. 如图，已知直线l：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线交于D、E两点．若点D的坐标为，点E的坐标为 （1）求直线l与双曲线的表达式； （2）当时，请直接写出x的取值范围； （3）若将直线l向下平移个单位得到新直线，当m为何值时，新直线与双曲线在第一象限内有且只有一个交点C，此时求点C，原来的点A和坐标原点所构成的的面积． 25. 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． （1）若平分时，求t的值； （2）求的长（用含t的代数式表示）； （3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年湖南省永州市冷水滩区李达中学九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 0，， B. 1，，2021 C. 1，， D. 0，，2021 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为（其中a，b，c为常数，且）．根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可． 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，，， 故选：C． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，代入进行求解即可．熟练掌握外项积等于内项积，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3. 函数与函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．根据正比例函数与反比例函数图象的性质解答即可． 【详解】解：正比例函数中，， 故其图象过一、三象限， 反比例函数中，， 故其图象在一、三象限， 选项A符合； 故选：A. 4. 点在反比例函数上，下列说法错误的是（ ） A. B. 函数的图象位于第二、四象限 C. 函数值y随自变量x的增大而增大 D. 反比例函数有两条对称轴 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据反比例函数的性质对B、C、D进行判断． 【详解】解：A、∵在反比例函数上， ∴，所以A选项的说法正确，不合题意； B、∵， 反比例函数的图象位于第二、四象限，所以B选项的说法正确，不合题意； C、∵， 反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以C选项说法错误，符合题意； D、反比例函数有两条对称轴为直线和直线，所以D选项的说法正确，不合题意； 故选：C 5. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，的面积为4，则k的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的系数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数系数的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即，再根据图象所在象限求出的值即可． 【详解】解：根据反比例函数系数的几何意义可知， ， ∴， ∴ ∵函数图象位于第一、三象限， ∴， ∴ 故选C． 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数，结合根的判别式，可求出，进而可得出原方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：，，， ， 原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 相似图形一定是位似图形 B. 一条线段的黄金分割点只有一个 C. 两个边数相同的正多边形是相似图形 D. 相似三角形对应角的平分线的比等于对应边上高的比的平方 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的概念、黄金分割的概念、相似多边形的判定、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，本选项说法错误，不符合题意； B、一条线段的黄金分割点有两个，本选项说法错误，不符合题意； C、两个边数相同的正多边形是相似图形，本选项说法正确，符合题意； D、相似三角形对应角的平分线的比等于对应边上高的比，本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念、黄金分割的概念、相似多边形的判定、相似三角形的性质，掌握相关的概念和性质是解题的关键． 8. 如图，以点O为位似中心，作的位似图形得到，若位似比为，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 是的中位线 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的性质，熟记位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴，，，， ∴点分别是的中点， ∴是的中位线，故选项A、B、C结论正确，不符合题意，选项D结论错误，符合题意， 故选：D． 9. 如图，点D是的边BC上一点，，，若的面积为30，则的面积为（ ） A. B. 10 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．先说明，利用相似三角形的性质得结论． 【详解】解：，， ∴ 相似比 故选：A 10. 如图，正方形位于第一象限，边长为3，点A在直线上，点A的横坐标为2，正方形的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线与正方形有两个公共点，则k的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出A的坐标是，可得C点的坐标是，再分别求出当双曲线经过点时，；当双曲线经过点时，，即可求解． 【详解】解：把代入， 解得∶， ∴A的坐标是， ∵正方形位于第一象限，边长为3， ∴C点的坐标是， ∴当双曲线经过点时，； 当双曲线经过点时，， ∵双曲线与正方形有两个公共点， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 已知关于x的反比例函数，则m的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如的函数称为反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴，解得 故答案为：11 12. 如图，直线，直线和被直线，，所截，如果截得线段，，，那么线段的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：直线， ， ，，， ， ． 故答案为：2 13. 如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件： ①；②；③；④中的一个，不能得出和相似的是：__________（填序号）． 【答案】③ 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论． 【详解】解：①，时，，故①不符合题意； ②，时，，故②不符合题意； ③，时，不能推出，故③符合题意； ④，时，，故④不符合题意， 故答案为：③ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似． 14. 已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程得到关于m的方程，解关于m的方程，得出m的值，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值即可． 【详解】解：把代入(m+1)x2−3x+m2−1=0得，， 解得：， ∵当时，二次项系数， ∴不符合题意， ∴m的值为1． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15. 用配方法解方程时，则方程需变形为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得出答案．解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 16. 学校兴趣小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全，他们沿着前进的路线铺了若干木板构筑临时道路，若木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象和数据如图所示，则当木板面积为时，木板对地面的压强为______． 【答案】160 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．直接利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而把代入得出答案． 【详解】解：设，根据题已知可得图象经过， 则， 故， 当时，木板对地面的压强为： 故答案为：． 17. 我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作《九章算术》中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形的边表示井的直径，在的延长线上，尺，尺，交于尺，根据以上条件，可求得井深为______尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据题意可知，根据相似三角形的性质可求，进一步得到井深． 【详解】解：依题意有， ∴， 即， 解得， ∴（尺）． 故答案为：． 18. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有______（填序号）． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若时，则方程是倍根方程． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程； ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断； ③当p，q满足，则，求出两个根，进而判断是否为倍根方程； ④用求根公式求出两个根，将变为：，代入进一步化简，得出关系式，利用“倍根方程”定义即可判定． 【详解】解：①解方程得： ，， ， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， 故②错误； ③∵， 方程变为：， 即， ∴， ∴或 ，， ， 关于x的方程是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为： ，， ， ， ，， ， 若时，则方程是倍根方程， 故④正确， 故答案为：③④． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）利用因式分解法求解即可； （）整理成一般式，利用公式法求解即可； 本题考查了一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 ， ， ，，， ∴， ∴， ∴，． 20. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD． 【答案】 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵BE＝BD， ∴∠BED＝∠BDE， ∴∠AEB＝∠ADC， ∴△ABE∽△ACD． 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，根据BE＝BD，由等边对等角可得∠BED＝∠BDE，根据邻补角可得∠AEB＝∠ADC，即可证明△ABE∽△ACD． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，．以点A为位似中心，位似比为，在y轴的左侧画出放大后的图形，并直接写出的坐标． 【答案】如图所示即为所求，见解析；点的坐标为，点的坐标为． 【解析】 【分析】由位似的性质进行作图和求解，即可得到答案． 【详解】解：如图所示即为所求， 点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】本题考查了位似三角形的性质，在直角坐标系中作位似图形，以及考查了坐标与图形，解题的关键是掌握位似的性质进行解题． 22. 关于x的方程x2+(2a﹣3)x+a2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2＝x1•x2，求a的值． 【答案】（1）a＜；（2）a的值是﹣3 【解析】 【分析】（1）根据“有两个不相等的实数根”，结合一元二次方程根的判别式，得到关于a的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系解答． 【详解】解：（1）∵有两个不相等的实数根， ∴△＝（2a﹣3）2﹣4a2＞0， 整理得：9﹣12a＞0， 解得：a， 即a的取值范围为：a； （2）根据题意得： x1+x2＝3﹣2a，x1x2＝a2， 由x1+x2＝x1•x2得到：3﹣2a＝a2， 整理，得（a+3）（a﹣1）＝0． 解得a1＝﹣3，a2＝1（舍去）． 故a的值是﹣3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握一元二次方程根的判别式，（2）正确掌握一元二次方程根与系数的关系． 23. 如图，中，是边上的高，，．作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在，上，与的交点为，且矩形长是宽的倍． （1）求证：； （2）试求矩形的周长． 【答案】（1）见解析； （2）矩形的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由矩形的性质得，则可判断，然后根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）设，，由（1）的结论得到，然后根据比例性质可计算出，再计算这个矩形的周长． 【小问1详解】 证明：四边形为矩形， ∴， ， 而，， ； 【小问2详解】 解：设，， 则，解得， 这个矩形的周长． 24. 如图，已知直线l：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线交于D、E两点．若点D的坐标为，点E的坐标为 （1）求直线l与双曲线的表达式； （2）当时，请直接写出x的取值范围； （3）若将直线l向下平移个单位得到新直线，当m为何值时，新直线与双曲线在第一象限内有且只有一个交点C，此时求点C，原来的点A和坐标原点所构成的的面积． 【答案】（1）直线l：，双曲线 （2）或 （3）m为1时，直线l与双曲线有且只有一个交点， 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据直线l：与双曲线分别交于D、E两点，点D的坐标为，点E的坐标为，可以分别求得直线l与双曲线的解析式； （2）根据函数图象可以得到当时，x的取值范围； （3）根据题意可以列出相应的方程组，然后根据直线l与双曲线有且只有一个交点，可知联立后的方程组中组成的二元一次方程中，注意交点在第一象限，并求得C点坐标，由三角形面积公式求得的面积． 【小问1详解】 解：∵直线l：与双曲线分别交于D、E两点，点D的坐标为，点E的坐标为， ，， 解得，， 即直线l：，双曲线； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当直线直线l：，在双曲线下方时，或， 当时，x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：由题意可得，， 化简，得， 直线l与双曲线有且只有一个交点， ， 解得，或 当时，则， 解得， ∴， ∴，在第一象限符合题意， 当时，直线与双曲的一个交点在第三象限， 解得， ∴， ∴，在第三象限不符合题意，舍去， ∴点C的坐标为 令，得， 解得， ， 25. 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒． （1）若平分时，求t的值； （2）求的长（用含t的代数式表示）； （3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，根据矩形和角平分线的定义，易证是等腰直角三角形，得到，即可求出t的值； （2）由题意可知，，根据矩形的性质，易证，得到，即可表示出的长； （3）由题意可知，，，根据相似三角形的判定定理，分情况讨论，再根据相似三角形的性质列方程求出的值，进而得到点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 四边形是矩形，，， ，，， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：由题意可知，， 四边形是矩形，，， ，，， ， ， ，即， 又， ， ， ， 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 由题意可知，，， 当点P在点O上方时，如图， 若，则， ，， 解得：，，（不合题意舍去）， ， 点的坐标为； 当点P在点O下方时，如图， ①若时，则， ， 解得：，（不合题意舍去）， ， 点的坐标为； ②若，则， ， 整理得：，方程无解 这种情况不成立； 综上所述，在运动的过程中，存在以P、O、E为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握三角形相似的性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $