第6章 幂函数、指数函数和对数函数章末总结提升课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 章末总结提升 网络构建·知识导图 2 3 要点归纳·典例提升 4 要点一 幂函数、指数函数、对数函数的图象 1.图象的应用是考查的重点，也是我们解决函数问题的基本功.图象应用主要体现在两个方面：一是识图，通过图象识别函数的相关性质;二是用图，借助图象解决函数问题、方程问题以及不等式问题. 2.掌握函数的图象，重点提升直观想象和逻辑推理的核心素养. 5 【典例1】（1） 已知 是函数 的反函数，则 的图象是 ( ) C A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& [解析] 函数 的反函数为 ，故 ，于是 ，此函数在 上为减函数，其图象过点 ，所以C中的 图象符合要求.故选C. 6 （2）在同一坐标系中，函数 与 且 的图象可能是 ( ) C A.&5& B.&6& C.&7& D.&8& [解析] 当 时，直线 的斜率大于1，函数 且 在 上单调递增，选项C满足条件. 当 时，直线 的斜率大于0且小于1，函数 且 在 上单调递减，没有选项满足条件. 故选C. 7 规律方法 函数图象的画法 画法 应用范围 画法技巧 基本函数法 基本初等函数 利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、 对数函数的有关知识，画出特殊点（线），直接根据 函数的图象特征作出图象 变换法 与基本初等函数 有关联的函数 弄清所给函数与基本初等函数的关系，恰当选择平 移、对称等变换方法，由基本初等函数图象变换得到 函数图象 描点法 未知函数或较复 杂的函数 列表、描点、连线 8 跟踪训练1（1）（多选题）已知幂函数 ， ， ， 在第一象限的图象如图所示，则( ) AB A. B. C. D. 9 （2）已知 ， ，且 ， ，则函数 与函数 在同一坐标系中的图象可能是( ) B A.&9& B.&10& C.&11& D.&12& [解析] 由题得， 因为 ， ，且 ， ， 所以 ， 所以 与 单调性相同.故选B. 10 要点二 幂函数性质的综合应用 幂函数的问题多借助图象解决，多考查两个方面：一是幂函数图象的识别;二是借助图象解决单调性问题，渗透直观想象和逻辑推理的核心素养. 【典例2】 已知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则 最小的正整数 ___. 3 [解析] 因为 在 上单调递减，所以 ， 所以 . 因为 在 上单调递增，且在 上单调递减，所以 为偶函数， 所以最小的正整数 . 11 规律方法 幂函数 的图象与性质由于 值的不同而比较复杂，一般从两个方面 考查： 的正负： 时，图象过原点和 ，在第一象限的图象上升; 时， 图象不过原点，在第一象限的图象下降.反之也成立. （2）比较大小的基本题型，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同， 则考虑幂函数;若指数不同底数相同，则考虑指数函数;若底数不同，指数也不同，则需 引入中间量.可以利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图 象进行判断. 12 跟踪训练2 已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在区间 上单调递增. （1）求 的值; 解 由于 的图象关于 轴对称，则 是偶函数， 即 是偶数. 由于 在 上单调递增，所以 ， 解得 . 又 ，故 可取1，2，3， 分别代入 得3，4，3， 故 . 13 （2）求满足不等式 的实数 的取值范围. 解 因为 是偶函数，且在区间 上单调递增，由 ，可得 ，即 ，解得 ， 故实数 的取值范围是 . 14 要点三 指数型函数性质的综合应用 1.指数型函数多结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式的求解等. 2.掌握指数函数的图象和性质，重点提升数学运算和逻辑推理的核心素养. 15 【典例3】 若函数 为奇函数. （1）求 的值; （2）求函数 的定义域; （3）求函数 的值域; （4）讨论函数 的单调性. 16 （2） 由（1）得 ，所以 ，即 ， 所以函数 的定义域为 . （3） 因为 .又 ，所以 或 ， 所以 或 ， 即函数 的值域为 ， . 解 先将函数 化简为 . （1） 由奇函数的定义，得 ， 即 ，所以 ，所以 . 17 （4）当 时，设 ， 则 . 因为 ， 所以 ， 所以 ， ， ， 所以 ，即 . 因此 在 上单调递增. 由于 是奇函数，从而 在 上单调递增. 综上， 在 上单调递增，在 上单调递增. 18 规律方法 对于形如 或 的复合函数，要注意转化思想的应用，将问题转化为我们熟悉的指数函数、一次函数、二次函数等问题去求解.通常研究函数的单调性、奇偶性、定义域、值域等性质. 19 跟踪训练3 已知函数 是指数函数. （1）求 的解析式; 解 由题意得 ，解得 或 （舍去）， 所以 . （2）判断函数 的奇偶性，并证明; 证明 为奇函数，证明如下： ，定义域为 ，关于原点对称， 又 ，所以 是奇函数. （3）解不等式 . 解 不等式 ， 即 ，所以 ， 故不等式的解集为 . 20 要点四 对数型函数性质的综合应用 1.对数型函数多结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式的求解等，在解决对数型函数的相关问题时，不要忘记对数的真数大于0. 2.掌握对数函数的图象和性质，重点提升数学运算和逻辑推理的核心素养. 21 【典例4】 已知函数 . （1）求函数 的解析式; 解 令 ，则 ， 由题意知 ，即 ，则 ， 所以 ， 故 . 22 （2）判断 的奇偶性; 解 由（1）知， ，定义域关于原点对称， ， 所以 为奇函数. （3）解关于 的不等式 . 解 原不等式可化为 ， 即 ， ， 解得 或 ， 故原不等式的解集为 . 23 规律方法 以对数函数 的图象与性质为依托，以及利用对数函数的性质进行定义域、值域、单调性、奇偶性等问题的研究时，不要忘记对数中真数应大于0的限制条件，以免扩大范围. 24 跟踪训练4 已知 ，且 . （1）求函数 的定义域、值域; 解 由 得 ， 所以函数的定义域为 . ， 设 ， 因为 ，所以 . 令 ， . 当 时， ，值域为 . 当 时， ， 值域为 . 25 （2）若函数 的最小值为 ，求 的值. 解 由（1）知，当 时，函数有最小值， 所以 ， 解得 . 26 $$