拓展1-2 集合的五个易错点分析-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

拓展1-2集合的五个易错点分析 一、对描述法理解不准确 四、忽略对空集情况的讨论 二、忽视集合中的互异性 五、忽略对端点值的取舍 三、忽视最高项系数为0 一、对描述法理解不准确 易错分析：①看清楚竖线左侧的类型，弄清代表元素是数还是点 例1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2．设集合，，则集合的元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1-3．已知集合，则的元素个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 二、忽视集合中的互异性 易错分析：当集合含字母时，要记得检验，否则可能导致集合中出现相同元素 例2．若，则x的可能值为（    ） A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2 变式2-1．若集合,集合,且,则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和，若A，B相等，则实数x的值为 ，y的值为 ． 变式2-3．若集合与满足，则实数 ． 三、忽视最高项系数为0 易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论 例3．已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 变式3-1．已知集合，若的子集个数为2个，则的值为 . 变式3-2．若，，且，则实数组成的集合是 ． 变式3-3．已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 四、忽略对空集情况的讨论 易错分析：若小集合含参，则需考虑可能是空集的特殊性 例4．若集合，，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-1．已知集合，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（多选）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 变式4-3．已知集合，且，求实数的取值范围. 五、忽略对端点值的取舍 易错分析：对于与不等式有关集合问题，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圆圈表示，利用集合之间的关系求解参数的取值范围的时候，要注意端点值的取舍问题. 例5．已知集合，，且，求实数a的取值范围． 变式5-1．已知集合，. (1)求，； (2)若，求a的取值范围. 变式5-2．已知全集为，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 变式5-3．已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 一、单选题 1．已知集合，若，则实数＝（ ） A．1 B．-1 C．0 D．±1 2．已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，若，则的所有可能取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．设为全体质数的集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．设集合，若，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．已知，，则 ． 7．已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 8．已知集合，若，则实数 . 四、解答题 9．集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 10．（1）已知集合，，求及； （2）设集合，，求． 11．设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 12．已知集合，，且，求由实数所组成的集合． 13．已知集合，或. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展1-2集合的五个易错点分析 一、对描述法理解不准确 四、忽略对空集情况的讨论 二、忽视集合中的互异性 五、忽略对端点值的取舍 三、忽视最高项系数为0 一、对描述法理解不准确 易错分析：①看清楚竖线左侧的类型，弄清代表元素是数还是点 例1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对集合M，当时，， 当时，， 所以， 所以. 故选：A 变式1-1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合， 所以， 所以． 故选：B． 变式1-2．设集合，，则集合的元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，解得或， 所以集合的元素的个数为个. 故选：. 变式1-3．已知集合，则的元素个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】C 【详解】联立整理得. 由，得原方程组有两组解，即中有2个元素， 故选：C. 二、忽视集合中的互异性 易错分析：当集合含字母时，要记得检验，否则可能导致集合中出现相同元素 例2．若，则x的可能值为（    ） A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2 【答案】C 【详解】因为， 当时，，不满足元素的互异性， 当时，，满足互异性， 当时，即或（舍）时，，满足互异性， 所以或2. 故选：C. 变式2-1．若集合,集合,且,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为,根据题意,故, 所以, 则,即, 当时,与集合的互异性矛盾,故舍去; 当,时,,符合题意, 所以. 故选：B. 变式2-2．集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和，若A，B相等，则实数x的值为 ，y的值为 ． 【答案】 1 0 【详解】因为集合A，B相等，所以或． ①当时，，此时集合B中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去； ②当时，，解得或，由①知应舍去，经检验，符合题意， 综上可知，，． 故答案为：；. 变式2-3．若集合与满足，则实数 ． 【答案】或或 【详解】由可得， 当时，，若，集合A不成立；若，，成立； 当时，，若，； 若，，均成立； 当时，或，若，成立； 若，集合A不成立； 故答案为：或或. 三、忽视最高项系数为0 易错分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，故要分类讨论 例3．已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多为1，故或为单元素集，分情况讨论： ①当时，且，解得； ②当为单元素集时，中只有一个元素， 若，则，符合题意， 若，则，解得． 综上，的取值范围是或， 故答案为：或 变式3-1．已知集合，若的子集个数为2个，则的值为 . 【答案】2或6/6或2 【详解】因为的子集个数为2个，所以中只有1个元素. 当时，，符合题意； 当时，，解得，此时，符合题意. 综上，的值为2或6， 故答案为：2或6 变式3-2．若，，且，则实数组成的集合是 ． 【答案】 【详解】由， 因为，所以， 当时，， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上所述，实数组成的集合为. 故答案为：. 变式3-3．已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1)． (2)或 (3)或． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，a的取值范围是或 （3）因为A中至多只有一个元素， 所以A为空集或A只有一个元素， 由（1）、（2）可知或， 所以a的取值范围是：或． 四、忽略对空集情况的讨论 易错分析：若小集合含参，则需考虑可能是空集的特殊性 例4．若集合，，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，，且， 当时，则，解得； 当时，则，或，解得； 综上所述，的取值范围是. 故选：D. 变式4-1．已知集合，，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又，，且， 所以，解得. 故选：D 变式4-2．（多选）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 变式4-3．已知集合，且，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】由，得，令， 当时，，解得， 当，即或时，，则， 解得，因此， 所以实数的取值范围是. 五、忽略对端点值的取舍 易错分析：对于与不等式有关集合问题，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圆圈表示，利用集合之间的关系求解参数的取值范围的时候，要注意端点值的取舍问题. 例5．已知集合，，且，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】因为，所以， 即，又因为，结合数轴分析可得， ，所以. 所以a的取值范围是. 变式5-1．已知集合，. (1)求，； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，因， 则. （2）由（1）求得，，因， 所以，解得. 故a的取值范围为. 变式5-2．已知全集为，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，，， 所以； （2），因为， 又因为，所以且，解得，． 变式5-3．已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 一、单选题 1．已知集合，若，则实数＝（ ） A．1 B．-1 C．0 D．±1 【答案】A 【详解】由，可得或，解得：或， 当时，集合，符合题意； 当时，集合不满足集合的互异性； 综上，. 故选：A. 2．已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，集合，且， 所以， 所以若，不满足元素互异性， 则或，满足互异性， 所以. 故选：C． 3．已知集合，，若，则的所有可能取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若时，，符合题意； 当时，，因为，所以或，解得或． 故的所有可能取值组成的集合为． 故选：C 二、多选题 4．设为全体质数的集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，因为，，所以，A正确． 对于B，由，得，所以，所以，B错误． 对于C，由，得，所以，所以，C错误． 对于D，因为32为合数，所以，由，得，所以， 所以，D正确． 故选：AD 5．设集合，若，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，得， 又， 当时，即，成立； 当时，，，或，， 故选：ABD. 三、填空题 6．已知，，则 ． 【答案】 【详解】由集合，， 联立方程组，解得，所以. 故答案为：. 7．已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 . 【答案】 【详解】由题意可知：且， 当，则；当，则；当，则； 若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去； 若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去； 若且，则，故，解得或（舍去）； 综上所述：. 故答案为：. 8．已知集合，若，则实数 . 【答案】 【详解】由，可得或， 当时，集合不满足集合的互异性； 当时，或1（舍去），集合，符合题意. 综上，. 故答案为：. 四、解答题 9．集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 10．（1）已知集合，，求及； （2）设集合，，求． 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）∵，， ∴，． （2）由解得或 ∴． 11．设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以， 解得，， 综上所述，实数的取值范围为. （2）由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以，解得， 或无解； 综上所述，实数的取值范围为． 12．已知集合，，且，求由实数所组成的集合． 【答案】 【详解】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或， 所以或， 故． 13．已知集合，或. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1), (2),,. 【详解】（1）由集合，或.， ，解得. 的取值范围是,；    （2），， 或，即或.    的取值范围是,,. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$