第1章 集合（举一反三讲义·基础篇）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学集合单元复习讲义通过题型分类系统梳理知识体系，以“概念理解-关系判断-运算应用”为逻辑主线，将集合概念、元素与集合关系、子集真子集等七大基础题型串联，形成层次分明的知识框架，突出集合确定性等核心要点及各知识点间的内在联系。 讲义亮点在于“基础巩固-能力提升”的分层练习设计，如题型1通过辨析“成绩好的同学”等模糊对象培养抽象能力，题型7结合Venn图强化几何直观，助力学生用数学思维推理集合关系、用数学语言表达运算过程。每题型涵盖选择、填空、解答题，基础生可掌握方法，优秀生能深化理解，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

第1章 集合全章七大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 对集合概念的理解 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【解题思路】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【解答过程】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【解题思路】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【解答过程】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 3．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【解题思路】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【解答过程】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C. 4．（25-26高一上·上海·课前预习）下列所给对象不能组成集合的是__________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 【答案】（1）（3） 【解题思路】结合集合中元素的“确定性”、“互异性”逐一分析即可. 【解答过程】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合； 某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合； “大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合； 某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合； 故答案为：（1）（3）. 5．（25-26高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)能组成集合，为无限集 (3)能组成集合，为 (4)不能组成集合，理由见解析 【解题思路】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型. 【解答过程】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集. （2）所给对象确定，能组成集合，为无限集. （3）所给对象确定，能组成集合，为空集. （4）所给对象不确定，不能组成集合. 题型2 判断元素与集合的关系 1．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【解答过程】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】解方程求得集合，由此确定正确答案. 【解答过程】由得，解得或， 故，故，，. 故选：C. 3．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【解答过程】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 4．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为__________. 【答案】2 【解题思路】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可. 【解答过程】依题意，，，，，，， 因此①④正确，②③⑤⑥错误， 所以正确命题的个数是2. 故答案为：2. 5．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 【答案】(1)和； (2)证明见解析． 【解题思路】（1）根据集合的定义验证； （2）由，证明且即可． 【解答过程】（1）由已知,,0,均是集合中元素， 又 ，，无意义， ， 所以和属于； （2）因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 题型3 有限集合子集、真子集的确定 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解题思路】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【解答过程】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 2．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出集合的真子集，即可判断. 【解答过程】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C. 3．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】结合集合子集的个数和方程根的情况可得. 【解答过程】方程的判别式， 因为集合仅有一个子集，所以集合为空集， 故. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·阶段检测）集合的非空真子集个数为_________． 【答案】14 【解题思路】解不等式并应用列举法确定集合中元素的个数，进而求非空真子集个数. 【解答过程】由，得， 由得，其元素个数为4， 故非空真子集个数为. 故答案为：14. 5．（25-26高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【解题思路】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 题型4 集合相等问题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合相等的定义分两种情况解方程组，再结合元素具有互异性判断可得结果. 【解答过程】因为，且，， ①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意； ②当时，解得（舍去）或.即，符合题意. 所以. 故选：D. 2．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）若集合，集合，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据集合相等，对应元素相等，即可求解. 【解答过程】由于，且不能为0，故， 此时，因此，故， 此时， 故， 故选：B. 3．（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据集合相等的定义，以及集合中元素的互异性，求得的值，代入计算，即可求解. 【解答过程】由集合，可得，即，所以， 若，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或（舍去）， 综上可得，，， 所以 故选：C. 4．（25-26高一上·广东广州·期中）设，若，则=__________. 【答案】 【解题思路】根据集合相等，直接计算参数即可. 【解答过程】， 根据集合相等条件可得，. . 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 【答案】(1)且 (2) 【解题思路】（1）利用集合中元素的互异性解方程即可得出结果； （2）由集合相等构造方程组即可求得. 【解答过程】（1）由并根据集合中元素的互异性可知， 即，解得且； 所以实数的取值范围为且； （2）当时，可得或； 当时，解得，当时，无解； 所以. 题型5 集合间关系的判断 1．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【解题思路】根据集合的子集的定义即可求解. 【解答过程】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 2．（25-26高二下·全国·期末）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【解题思路】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【解答过程】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且，即， 故选：B． 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把限制条件进行通分，比较式子的含义可得答案. 【解答过程】，， ， 因为，所以表示被6除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 所以, 被3除余1的整数，当其为奇数时，被6除余1；当其为偶数时，被6除余4. 集合中元素的分子均为被6除余1的数，而集合、中元素的分子为所有被3除余1的数， 所以是的真子集，所以， 故选：B 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）给出下列关系式，其中正确的是__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【解题思路】利用空集的性质判断①，⑤，利用元素和集合的关系判断②，利用集合和集合的关系判断④，利用子集的性质判断③即可. 【解答过程】因为空集是任何集合的子集，所以①，⑤正确， 由元素和集合的关系得，故②错误， 一个集合是自身的子集，故③正确， 由集合和集合的关系得，故④错误. 故答案为：①③⑤. 5．（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论． 【解答过程】（1）中唯一元素， 又， 所以； （2）， 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， 所以； （3）是等腰三角形}，是等边三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； 所以. 题型6 交集、并集、补集运算 1．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出集合，再由交集的概念求即可. 【解答过程】依题意，，而，所以． 故选：B. 2．（25-26高一上·云南文山·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用集合并集运算求解即可. 【解答过程】集合. 是由所有属于或属于的元素组成的集合， 故. 故选：B. 3．（25-26高一上·宁夏银川·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据补集的定义即可得结果. 【解答过程】. 故选：C. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【解答过程】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，求得集合，结合集合并集的定义与运算，即可求解； （2）由，得到，分类讨论，列出方程组，即可求解. 【解答过程】（1）解：当时，集合， 因为，所以. （2）解：由集合，， 因为，可得， 当时，解得；当时，此时方程组无解， 综上可得，实数的值为. 题型7 Venn图表达集合的关系和运算 1．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得全集，利用补集与交集的意义求得即可. 【解答过程】，，， 由图可知阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 2．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，求得和，结合补集的运算，即可求得阴影部分表示的集合. 【解答过程】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据交集、并集、补集的概念求出. 【解答过程】，则， 又，则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D. 4．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为____________．    【答案】 【解题思路】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解． 【解答过程】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 5．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【解题思路】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【解答过程】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合全章七大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 对集合概念的理解 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 3．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 4．（25-26高一上·上海·课前预习）下列所给对象不能组成集合的是__________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 5．（25-26高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 题型2 判断元素与集合的关系 1．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为__________. 5．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 题型3 有限集合子集、真子集的确定 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 2．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 4．（25-26高一上·全国·阶段检测）集合的非空真子集个数为_________． 5．（25-26高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 题型4 集合相等问题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 2．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）若集合，集合，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．（25-26高一上·广东广州·期中）设，若，则=__________. 5．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 题型5 集合间关系的判断 1．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 2．（25-26高二下·全国·期末）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）给出下列关系式，其中正确的是__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 5．（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 题型6 交集、并集、补集运算 1．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·云南文山·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·宁夏银川·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是___________． 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的值． 题型7 Venn图表达集合的关系和运算 1．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为____________．    5．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $