第3章《勾股定理》章节总复习（知识精讲+易错点拨+六大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第3章《勾股定理》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+六考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 1 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：勾股定理 4 考点讲练2：直角三角形的性质 5 考点讲练3：勾股定理的证明 7 考点讲练4：勾股定理的逆定理 8 考点讲练5：勾股数 10 考点讲练6：勾股定理的应用 12 中等题真题汇编练 14 培优题真题汇编练 18 导图指引 新知精讲梳理 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 知识点01：勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于 .（即： ） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求 ； （2）利用勾股定理可以证明 的问题； （3）解决与勾股定理有关的 ； （4）勾股定理在 的应用． 知识点02：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 　如果三角形的三边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 细节剖析： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是 的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设 ； （2）验证：与是否具有 ： 　　 若，则△ABC是以∠C为90°的 ； 　　 若时，△ABC是 　　　若时，△ABC是 2.勾股数 满足不定方程的 称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 细节剖析： 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为 时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为 ； 2.较长的直角边与对应斜边相差 . 3.假设三个数分别为，且，那么存在 成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的 ，而其逆定理是 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者 ，都与 有关. 高频易错知识点拨 易错知识点01：定理理解与应用 定理内容理解不清 勾股定理是指在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。学生容易忽略“直角三角形”这一前提条件，错误地将其应用于非直角三角形中。 易错点：在非直角三角形中尝试使用勾股定理进行计算。 应用时未明确直角边与斜边： 在题目中，若未明确指出哪条边是直角边或斜边，学生容易因定势思维而直接假设某条边为斜边，导致计算错误。 易错点：未分情况讨论直角边与斜边的可能性。 易错知识点02：定理逆定理的混淆 逆定理理解不透彻： 勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。学生容易将两者混淆，认为只要满足a²+b²=c²的三角形就是直角三角形，而忽略了对三角形形状的判断。 易错点：未先判断三角形形状就直接应用逆定理。 逆定理的逆否命题理解不足： 逆否命题是：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a、b、c不满足a²+b²=c²。学生容易忽视这一点，导致在判断三角形形状时出现错误。 易错知识点03：勾股数的误用 勾股数记忆不准确： 常见的勾股数如3、4、5；5、12、13；6、8、10等，学生容易记错或混淆这些数值。 易错点：在解题时误用勾股数导致计算错误。 勾股数的局限性： 勾股数只是满足勾股定理的一组特殊整数解，并非所有直角三角形的三边长都是整数或勾股数。学生容易因此产生误解，认为所有直角三角形都可用勾股数表示。 易错知识点04：实际问题的转化 实际问题抽象化不足： 在解决实际问题时，学生往往难以将问题抽象化为直角三角形模型，导致无法应用勾股定理进行求解。 易错点：未能正确识别并构建直角三角形模型。 计算过程中的粗心大意： 在计算过程中，学生容易因粗心大意而出现计算错误，如平方计算错误、加减乘除运算错误等。 易错点：计算过程中的细节处理不当。 考点讲练1：勾股定理 【精讲题】（2022秋•吴江区校级月考）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2018秋•射阳县期中）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为 　 ． 【举一反三练2】（2021秋•宝应县期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒，当为等腰三角形时，的取值为 　 【举一反三练3】（2021秋•仪征市期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒，当为等腰三角形时，的取值为 　 ． 考点讲练2：直角三角形的性质 【精讲题】（2023秋•灌云县校级月考）如图，中，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，若，则　 　． 【举一反三练1】（2023秋•江宁区期中）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则　 　． 【举一反三练2】（2022秋•海陵区校级期中）如图，在中，，直线是边的垂直平分线，连接．若，则　 　． 【举一反三练3】（2022秋•建邺区校级期中）如图，四边形中，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则点到直线的距离的最小值为 　 　． 考点讲练3：勾股定理的证明 【精讲题】（2020秋•江阴市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是　　 A．45 B．36 C．25 D．18 【举一反三练1】（2022秋•海陵区校级月考）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的边长是，小正方形的边长是，直角三角形的两直角边分别是和，则的值为 　　． 【举一反三练2】（2022秋•鼓楼区校级期中）如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形中，，，，，正方形中，． （1）小明发明了求正方形边长的方法： 由题意可得，． 因为，所以，解得　　． （2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：连接，利用可以得到与、、的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程； （3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（注：根据比例的基本性质，由可得 【举一反三练3】（2022秋•阜宁县期中）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，古今中外已有几百种证明方法．2002年世界数学家大会在中国北京举行，大会的会标选用验证勾股定理的“弦图”，它标志着我国古代数学的成就．“弦图”由4个全等的直角三角形拼成大正方形（如图示）设直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，请你利用“弦图”验证勾股定理． 考点讲练4：勾股定理的逆定理 【精讲题】（2022秋•邗江区期末）如图所示，在中，，，，．求： （1）的长； （2）的面积． 【举一反三练1】（2023秋•锡山区期中）如图在四边形中，，，，且，求的度数． 【举一反三练2】（2022秋•滨海县期中）如图所示的一块土地，测量得，，，，，求这块土地的面积． 【举一反三练3】（2023秋•新沂市期中）如图，每个小方格的边长都为1． （1）求图中格点的面积； （2）判断的形状，并证明你的结论． 考点讲练5：勾股数 【精讲题】（2023秋•射阳县期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为　　 A．47 B．62 C．79 D．98 【举一反三练1】（2023秋•海门区期末）满足的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　 　，8，10 ②5，　　，13 ③8，15，　　． （2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，．请你帮小敏证明这三个数，，是勾股数组． （3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求的值． 【举一反三练2】（2022秋•丹阳市期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”． 勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解，，通常叫做勾股数，如：，4，、，12，． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题： 3 4 5 5 12 13 7 25 （1）　 　； （2）若为奇数，则　　，　　（用含的代数式表示）； 【知识迁移】 （3）、、是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （4）在中，当，时，斜边的值为 　　； 【知识应用】 （5）如图所示，有一张直角三角形的纸片，直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上与重合，则　　． 【举一反三练3】（2023秋•建邺区校级月考）清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果是大于2的偶数，那么和的一半的平方减1，的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　 　（最大数不超过； （2）用含有的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 考点讲练6：勾股定理的应用 【精讲题】（2023秋•姑苏区校级期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】．（2023秋•丰县期中）如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米．为了避免行人穿过草地（走虚线，践踏绿草，管理部门分别在、处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走　　米，踏之何忍”． A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三练2】（2023秋•润州区期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【举一反三练3】（2023秋•连云港期末）小丽在物理实验课上利用如图所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．她用激光笔从量角器左边边缘点处发出光线，经量角器圆心处（此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏上的点处也在量角器的边缘上，为量角器的中心，、、三点共线，，．小丽在实验中还记录下了，．依据记录的数据，求量角器的半径长． 【思路点拨】根据垂直定义可得，然后设 ，则，最后在 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·甘肃张掖·开学考试）下列三角形各边能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．6，7，8 C．6，8，9 D．2，3，5 2．（2024八年级下·全国·专题练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，一根长的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（    ）海里． A．36 B．40 C．48 D．50 5．（23-24八年级下·河南新乡·期中）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）在中，，，，则的面积是 ． 7．（20-21八年级下·江苏泰州·期末）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 8．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是52，每个直角三角形的长直角边与短直角边的比是，则小正方形的面积为 ． 9．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①；②的面积为10；③；④点A到直线的距离是2．其中正确的结论是 ．（填序号） 10．（2024·上海·模拟预测）在四边形中，，，，，则 ． 11．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图，正三角形的边长为2，点E是边上的动点（不与端点A、B重合），在上方作正三角形．当点E由点B向点A运动过程中．求面积的最大值为 ．    12．（23-24八年级下·重庆秀山·期末）第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 13．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 14．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．    (1)求四边形的面积； (2)判断线段和的位置关系，并说明理由． 培优题真题汇编练 15．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，平分交于点P，于点，若，，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 16．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，则（    ）    A． B． C． D． 17．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长IB交AC于点J，则．④若，则．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ． 20．（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为 ． 21．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 22．（16-17八年级上·江苏无锡·期中）如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为 ． 23．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动速度是，点Q运动速度是．当点Q到达C点时，按原路线返回，设运动时间为．    (1)当时，试判断的形状，并说明理由． (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 24．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图， 已知四边形中，点E在上，，，． (1)求证：； (2)若，求的面积； (3)若，求的度数． 25．（2024·河北沧州·三模）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． 26．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．    (1)求的周长； (2)若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第3章《勾股定理》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+六考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 1 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：勾股定理 4 考点讲练2：直角三角形的性质 8 考点讲练3：勾股定理的证明 11 考点讲练4：勾股定理的逆定理 14 考点讲练5：勾股数 17 考点讲练6：勾股定理的应用 21 中等题真题汇编练 25 培优题真题汇编练 36 导图指引 新知精讲梳理 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 知识点01：勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 知识点02：勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 　　 若时，△ABC是锐角三角形； 　　　若时，△ABC是钝角三角形． 2.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释： 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 知识点03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 高频易错知识点拨 易错知识点01：定理理解与应用 定理内容理解不清 勾股定理是指在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。学生容易忽略“直角三角形”这一前提条件，错误地将其应用于非直角三角形中。 易错点：在非直角三角形中尝试使用勾股定理进行计算。 应用时未明确直角边与斜边： 在题目中，若未明确指出哪条边是直角边或斜边，学生容易因定势思维而直接假设某条边为斜边，导致计算错误。 易错点：未分情况讨论直角边与斜边的可能性。 易错知识点02：定理逆定理的混淆 逆定理理解不透彻： 勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。学生容易将两者混淆，认为只要满足a²+b²=c²的三角形就是直角三角形，而忽略了对三角形形状的判断。 易错点：未先判断三角形形状就直接应用逆定理。 逆定理的逆否命题理解不足： 逆否命题是：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a、b、c不满足a²+b²=c²。学生容易忽视这一点，导致在判断三角形形状时出现错误。 易错知识点03：勾股数的误用 勾股数记忆不准确： 常见的勾股数如3、4、5；5、12、13；6、8、10等，学生容易记错或混淆这些数值。 易错点：在解题时误用勾股数导致计算错误。 勾股数的局限性： 勾股数只是满足勾股定理的一组特殊整数解，并非所有直角三角形的三边长都是整数或勾股数。学生容易因此产生误解，认为所有直角三角形都可用勾股数表示。 易错知识点04：实际问题的转化 实际问题抽象化不足： 在解决实际问题时，学生往往难以将问题抽象化为直角三角形模型，导致无法应用勾股定理进行求解。 易错点：未能正确识别并构建直角三角形模型。 计算过程中的粗心大意： 在计算过程中，学生容易因粗心大意而出现计算错误，如平方计算错误、加减乘除运算错误等。 易错点：计算过程中的细节处理不当。 考点讲练1：勾股定理 【精讲题】（2022秋•吴江区校级月考）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【规范解答】解：将此长方形折叠，使点与点重合，． ． ， 根据勾股定理可知． 解得． 的面积为． 故选：． 【考点评析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【举一反三练1】（2018秋•射阳县期中）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为 　225　． 【思路点拨】小正方形的面积为的平方，大正方形的面积为的平方．两正方形面积的和为，对于，由勾股定理得．长度已知，故可以求出两正方形面积的和． 【规范解答】解：正方形的面积为：， 正方形的面积为：； 在中，，， 则． 即正方形和正方形的面积和为225． 故答案为：225． 【考点评析】本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． 【举一反三练2】（2021秋•宝应县期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒，当为等腰三角形时，的取值为 　8或5或　． 【思路点拨】根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出的值． 【规范解答】解：在中，，，， 由勾股定理得：， ①当时，如图1所示： ， ， ， ， ， ②当时，如图2所示： ， ③当时，如图3所示： 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ； 综上所述，的值为8或5或， 故答案为：8或5或． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，正确地分类是解决本题的关键． 【举一反三练3】（2021秋•仪征市期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒，当为等腰三角形时，的取值为 　5或或　． 【思路点拨】当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值． 【规范解答】解：在中，， ； ①当时，如图1，； ②当时，如图2，，； ③当时，如图3，，，， 在中，， 所以， 解得：， 综上所述：当为等腰三角形时，或或． 故答案为：5或或． 【考点评析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 考点讲练2：直角三角形的性质 【精讲题】（2023秋•灌云县校级月考）如图，中，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，若，则　53　． 【思路点拨】由折叠的性质可得，，再根据平角的性质，可得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：中，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为， ，， ， ， ， 故答案为：53． 【考点评析】此题主要考查了折叠的性质，平角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•江宁区期中）如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则　45　． 【思路点拨】由题意易得，然后问题可求解． 【规范解答】解：为等边三角形，为等腰直角三角形， ，， ， ， ； 故答案为：45． 【考点评析】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【举一反三练2】（2022秋•海陵区校级期中）如图，在中，，直线是边的垂直平分线，连接．若，则　20　． 【思路点拨】根据直角三角形两锐角互余得出的度数，然后结合垂直平分线的性质，推出的度数，从而求出结论即可． 【规范解答】解：由直角三角形两锐角互余得：， 直线是边的垂直平分线， ，， ， 故答案为：20． 【考点评析】本题考查直角三角形的性质，垂直平分线的性质等，掌握直角三角形的基本特点，熟练运用线段垂直平分线的性质是解题关键． 【举一反三练3】（2022秋•建邺区校级期中）如图，四边形中，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则点到直线的距离的最小值为 　　． 【思路点拨】取的中点，连接，过点作交的延长线于，过点作于，交于，则．求出，即可解决问题． 【规范解答】解：取的中点，连接，过点作交的延长线于，过点作于，交于，则． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 当，，共线时，的值最小，最小值为． 【考点评析】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 考点讲练3：勾股定理的证明 【精讲题】（2020秋•江阴市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是　　 A．45 B．36 C．25 D．18 【思路点拨】设直角三角形两条直角边长分别为和，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，，再根据完全平方公式求出的值，进而可得一个直角三角形的周长． 【规范解答】解：设直角三角形两条直角边长分别为和， 由题意可知：中间小正方形的边长为：， 根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知： ， 所以， 根据勾股定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 所以一个直角三角形的周长是36． 故选：． 【考点评析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 【举一反三练1】（2022秋•海陵区校级月考）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的边长是，小正方形的边长是，直角三角形的两直角边分别是和，则的值为 　　． 【思路点拨】根据大正方形的面积小正方形的面积四个直角三角形的面积得出等式，求出的值，再根据直角三角形两直角边之差即为小正方形的边长得，即可推出结果． 【规范解答】解：由题意得， ， ，， ， （负值已舍）， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了勾股定理的证明，根据大正方形的面积计算出的值是解题的关键． 【举一反三练2】（2022秋•鼓楼区校级期中）如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形中，，，，，正方形中，． （1）小明发明了求正方形边长的方法： 由题意可得，． 因为，所以，解得　　． （2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：连接，利用可以得到与、、的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程； （3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（注：根据比例的基本性质，由可得 【思路点拨】（1）根据，可以得到的值； （2）根据小亮的发现，可以得到的值； （3）根据（1）和（2）中的结果，可以得到，然后整理化简，即可得到勾股定理成立． 【规范解答】解：（1）， ， 故答案为：； （2）， ， 解得， 即正方形的边长是； （3）由（1）和（2）可得， ， ， ， ， ， ， 勾股定理成立． 【考点评析】本题考查勾股定理的证明、解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【举一反三练3】（2022秋•阜宁县期中）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，古今中外已有几百种证明方法．2002年世界数学家大会在中国北京举行，大会的会标选用验证勾股定理的“弦图”，它标志着我国古代数学的成就．“弦图”由4个全等的直角三角形拼成大正方形（如图示）设直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，请你利用“弦图”验证勾股定理． 【思路点拨】用等面积法，大的正方形面积等于小正方形的面积与4个直角三角形面积之和，列等式化简即可证明． 【规范解答】解：根据题意有， 大正方形面积：， 小正方形面积：， 4个直角三角形面积之和：， 大正方形面积等于小正方形的面积与4个直角三角形面积之和， ， ． 【考点评析】本题考查了勾股定理的证明，用等面积法列出等式，并化简是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 考点讲练4：勾股定理的逆定理 【精讲题】（2022秋•邗江区期末）如图所示，在中，，，，．求： （1）的长； （2）的面积． 【思路点拨】（1）根据勾股定理的逆定理得出，在中再利用勾股定理计算的长； （2）根据计算即可． 【规范解答】解：（1）在中， ，， ， ， ， 在中，； （2）的面积：． 【考点评析】本题考查勾股定理以及逆运算，熟练掌握勾股定理的含义是解题的关键． 【举一反三练1】（2023秋•锡山区期中）如图在四边形中，，，，且，求的度数． 【思路点拨】由于，，利用勾股定理可求，并可求，而，，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求． 【规范解答】解：如图所示，连接， ，， ，， 又，， ，， ， 是直角三角形， ， ． 故的度数为． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接，并证明是直角三角形． 【举一反三练2】（2022秋•滨海县期中）如图所示的一块土地，测量得，，，，，求这块土地的面积． 【思路点拨】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再分别求出和的面积即可． 【规范解答】解：连接， ，， ， ， ，， ， 是直角三角形， 即， 这块土地的面积 ， 答：这块土地的面积是． 【考点评析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能求出是直角三角形是解此题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•新沂市期中）如图，每个小方格的边长都为1． （1）求图中格点的面积； （2）判断的形状，并证明你的结论． 【思路点拨】（1）的面积等于边长为4的正方形面积减去三个直角三角形面积； （2）利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【规范解答】解：（1）． （2）是直角三角形．证明如下： 由图可知，，， ， 是直角三角形． 【考点评析】熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 考点讲练5：勾股数 【精讲题】（2023秋•射阳县期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为　　 A．47 B．62 C．79 D．98 【思路点拨】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 【规范解答】解：由题可得，，，， ，，， 当时，， ，， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． 【举一反三练1】（2023秋•海门区期末）满足的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整： ①　6　，8，10 ②5，　　，13 ③8，15，　　． （2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，．请你帮小敏证明这三个数，，是勾股数组． （3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求的值． 【思路点拨】（1）根据勾股数的定义即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）先化简得：7，24，25，可得，，，依此可求，，再代入计算即可求解． 【规范解答】解：（1）①6，8，10； ②5.12，13；③8，15，17． 故答案为：6，12，17； （2）证明：， ， ， ，，是勾股数； （3）化简得：7，24，25， 偶数，，， ，， ． 【考点评析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 【举一反三练2】（2022秋•丹阳市期末）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”． 勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解，，通常叫做勾股数，如：，4，、，12，． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题： 3 4 5 5 12 13 7 25 （1）　24　； （2）若为奇数，则　　，　　（用含的代数式表示）； 【知识迁移】 （3）、、是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （4）在中，当，时，斜边的值为 　　； 【知识应用】 （5）如图所示，有一张直角三角形的纸片，直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上与重合，则　　． 【思路点拨】（1）依据题意，由，进而可以计算得解； （2）依据题意，由上面的数据找出规律即可判断得解； （3）依据题意，由即可判断得解； （4）依据题意，由勾股数3，4，5进行判断可以得解； （5）依据题意，利用勾股数可得斜边，再由折叠，借助面积法可以得解． 【规范解答】解：（1）由题意得，， ． 故答案为：24． （2）由题意，由上面的数据找出规律可得， ，． 故答案为：，． （3）由题意，、、是正整数）是一组勾股数．利用如下： ， 又， ． （4）依据题意，由勾股数3，4，5可以发现， ，， ． 故答案为：． （5）由题意，利用勾股数可得斜边，再由折叠，且，， ， 即． ． ． 故答案为：3． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【举一反三练3】（2023秋•建邺区校级月考）清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果是大于2的偶数，那么和的一半的平方减1，的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　3，4，5　（最大数不超过； （2）用含有的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 【思路点拨】（1）分别令，，再求出其余的数即可； （2）分别用表示出一组勾股数，再找出其数量关系即可． 【规范解答】解：（1）当时，这一组勾股数是3，4，5． 故答案为：3，4，5； （2）当大于2时，． 证明：左边 ； 右边． 左边右边， 等式成立． 【考点评析】本题考查的是勾股数，熟知满足 的三个正整数，称为勾股数是解答此题的关键． 考点讲练6：勾股定理的应用 【精讲题】（2023秋•姑苏区校级期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【规范解答】解：依题意，，， 在中，， ，， 在中，， 故选：． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【举一反三练1】．（2023秋•丰县期中）如图，长方形是一块草地，折线是一条人行道，米，米．为了避免行人穿过草地（走虚线，践踏绿草，管理部门分别在、处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走　　米，踏之何忍”． A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】由矩形的性质得，再由勾股定理得出的长，进而得出答案． 【规范解答】解：四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：（米， （米， 故选：． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用以及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•润州区期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【思路点拨】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论 【规范解答】解：（1）在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米， 答：风筝的高度为21.6米； （2）由题意得，， ， （米， （米， 他应该往回收线8米． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•连云港期末）小丽在物理实验课上利用如图所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．她用激光笔从量角器左边边缘点处发出光线，经量角器圆心处（此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏上的点处也在量角器的边缘上，为量角器的中心，、、三点共线，，．小丽在实验中还记录下了，．依据记录的数据，求量角器的半径长． 【思路点拨】根据垂直定义可得，然后设 ，则，最后在中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算即可解答． 【规范解答】解：， ， 设 ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 量角器的半径长为． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·甘肃张掖·开学考试）下列三角形各边能构成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．6，7，8 C．6，8，9 D．2，3，5 A 【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长，，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．根据勾股定理逆定理，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成三角形，更不可能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（ ） A． B． C． D． C 【思路点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【规范解答】解：为正整数， 为偶数，设其股是，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：C． 3．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，一根长的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． C 【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键． 根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【规范解答】解：牙刷在杯内的长度，最短为竖直放置时长度为水杯高，此时露在杯子外面的长度为，最长； 当牙刷倾斜放置对角线位置时，杯内长度最长为，此时露在杯外的长度最短为． ∴， 故选：C． 4．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，甲乙两艘轮船从某港口同时出发，各自沿一固定方向航行，其中甲航行方向为北偏西，乙航行方向为北偏东，甲每小时航行12海里，乙每小时航行16海里，他们离开港口两小时后分别位于点处，则此时两船相距（    ）海里． A．36 B．40 C．48 D．50 B 【思路点拨】本题考查勾股定理解三角形，理解方位角的定义，准确建立直角三角形，熟练运用勾股定理是解题关键．由题意，首先确定出直角三角形，以及两直角边长，然后结合勾股定理求解即可． 【规范解答】解：由题意，， ∴，即为直角三角形， 两小时后，（海里），（海里）， ∴在中，（海里）， ∴此时两轮船相距40海里． 故选：B． 5．（23-24八年级下·河南新乡·期中）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． A 【思路点拨】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意利用勾股定理可直接进行列式求解． 【规范解答】解：设绳索长x尺，则木柱高为尺， 由题意得：； 故选：A． 6．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）在中，，，，则的面积是 ． 30 【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握该定理是解题的关键．根据该三角形三边关系，确定为直角三角形，并确定两条直角边，从而计算面积 ． 【规范解答】解：在中，，， ， 是直角三角形，且两直角边为， 故答案为：30． 7．（20-21八年级下·江苏泰州·期末）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 14.5 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，列出方程是解题的关键．设绳索的长为x尺，根据题意知，可列出关于 的方程，即可求解． 【规范解答】解：由题意可知： 尺，尺， ∴尺， 设绳索尺， 根据题意得 ， 解得． 答：绳索的长为14.5尺． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是52，每个直角三角形的长直角边与短直角边的比是，则小正方形的面积为 ． 【思路点拨】本题考查勾股定理，设直角三角形的长直角边与短直角边的长为，，根据勾股定理得到，解方程求出x的值，然后计算小正方形的面积即可． 【规范解答】解：设直角三角形的长直角边与短直角边的长为，， 则， 解得：或（舍去） ∴小正方形的面积为， 故答案为：． 9．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①；②的面积为10；③；④点A到直线的距离是2．其中正确的结论是 ．（填序号） ①③④ 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，点到直线的距离，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 利用勾股定理求出的长，即可判断①；利用勾股定理分别求出、、的长，然后用勾股定理的逆定理即可判断③；利用③的结论即可求解判断②；设到的距离为，利用面积法即可求出，即可判断④． 【规范解答】解：根据网格可得， ， ， ∴①正确； ， ∴三角形是直角三角形，， ∴③正确； ， ∴②错误； ， ， ∴到的距离为2， ∴④正确， 故答案为：①③④． 10．（2024·上海·模拟预测）在四边形中，，，，，则 ． 【思路点拨】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，延长、交于点，得，则，可知，，进而求得，再结合即可求解，作出图形，根据勾股定理，求得是解决问题的关键． 【规范解答】解：延长、交于点， ∵，，， ∴，则， ∴，，则， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11．（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）如图，正三角形的边长为2，点E是边上的动点（不与端点A、B重合），在上方作正三角形．当点E由点B向点A运动过程中．求面积的最大值为 ．    【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用． 根据，是等边三角形，得，，，根据等量代换，全等三角形的判定，得，得四边形的面积为：，根据的面积等于四边形面积，当最小时，的面积最大，即可． 【规范解答】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， ∴的面积等于四边形面积， 当时，最小，最小，最大， ∵， ∴， 过点E作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：．    12．（23-24八年级下·重庆秀山·期末）第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ (1)8小时 (2)5小时 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出的长度． （1）根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【规范解答】（1）在中，根据勾股定理， 得， ∴（小时）， 则台风中心经过8小时从B移动到D点； （2）如图，设 ∵距台风中心的圆形区域内都会受到台风破坏的危险， ∴人们要在台风中心到达E点之前撤离， ∵， ∴（小时）， 答：游人在5小时内撤离才可脱离危险． 13．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． (1) (2)是直角三角形 (3)这块空地的面积为 【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【规范解答】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． （3）解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 14．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．    (1)求四边形的面积； (2)判断线段和的位置关系，并说明理由． (1)17.5 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据四边形的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积和一个小长方形的面积计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可． 【规范解答】（1）解：四边形的面积为： ； （2）解：， 理由：如图，连接，   ，，， ， 是直角三角形且， 即． 培优题真题汇编练 15．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，平分交于点P，15．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，平分交于点P，于点，若，，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 C 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．由，，，可得到，由平分，可得到，进而得到，则可得，，进而可得，即可得解． 【规范解答】∵中，，，， ， ∵平分，，， ∴，， 又， ， ， ， ． 故选：C． 16．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，则（    ）    A． B． C． D． B 【思路点拨】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理等知识点，掌握运用等面积法求线段长度成为解题的关键， 先根据三角形内角和定理得到,再运用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即，解得：， ∵， ∴． 故选：B． 17．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． D 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等腰直角三角形的性质与判定，先证明，得到，设，则，则，设，由折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，得，解得，则，，据此可得答案． 【规范解答】解：如图，过点作于点G， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设， ∴由折叠的性质可得， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 18．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长IB交AC于点J，则．④若，则．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 【思路点拨】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④． 【规范解答】∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O，    ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作    ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 同理可证， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论个数是4． 故选：D． 19．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ． 3 【思路点拨】本题考查的是勾股定理及其应用，根据圆的面积公式得到，，根据勾股定理得到，，计算即可． 【规范解答】解：连接，如图， 由题意得，， ， ， ， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 20．（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为 ． 5 【思路点拨】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论． 【规范解答】解： 由作图可知平分， 设则有 ∴ 故答案为：5． 21．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【思路点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质等知识，将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【规范解答】解：如图：将容器侧面展开，作出关于的对称点，过作交的延长线于D，    根据题意可得：四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为18，底面周长为12， ∴，，，即， 在中，（）, 故答案为：． 22．（16-17八年级上·江苏无锡·期中）如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为 ． /0.8 【思路点拨】此题考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理的应用等，根据折叠可得，，，，，然后推导出是等腰直角三角形，进而求得，， ，从而求得，，在中，由勾股定理即可求得的长，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键． 【规范解答】解：根据折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（23-24八年级上·湖南湘西·期中）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动速度是，点Q运动速度是．当点Q到达C点时，按原路线返回，设运动时间为．    (1)当时，试判断的形状，并说明理由． (2)当时，试判断的形状，并说明理由． (1)等边三角形，理由见详解 (2)直角三角形，理由见详解 【思路点拨】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理，直角三角形的性质，动点的问题，同学们要认真作答． （1）当出发后两秒时，，所以，又三角形是等边三角形，，所以是等边三角形． （2）当时，点Q按原路线返回，，，过点作交于点，得出，，勾股定理得出，即可得出，，根据，即可确定是直角三角形． 【规范解答】（1）解：是等边三角形， 理由：当时，， ， 又∵是边长为的等边三角形， ， 是等边三角形．    （2）解：是直角三角形， 理由：当时，点Q按原路线返回，， ， 又∵是边长为的等边三角形， ， 过点作交于点， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形．    24．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）如图， 已知四边形中，点E在上，，，． (1)求证：； (2)若，求的面积； (3)若，求的度数． (1)见解析 (2)4 (3) 【思路点拨】（1）根据同角的余角相等可得到，结合条件，再加上，可证得结论； （2）首先证明出是等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出，进而求解即可； （3）根据，得到，根据等腰三角形的性质得到，由平角的定义得到． 【规范解答】（1）证明：如图所示，      在和中， ， ； （2）∵ ∴， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴，即 ∴ ∴ ∴的面积； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点评析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25．（2024·河北沧州·三模）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，，则图阴影部分的面积是 ； （2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ． ； ． 【思路点拨】（）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （）由题意得：，图中是梯形，求出面积，根据，得出，从而有，再根据阴影部分面积为即可求解； 本题考查了整式运算的实际应用，完全平方公式的应用和勾股定理，正确理解完全平方公式的应用是解题的关键． 【规范解答】（）阴影部分的面积是， 故答案为：； （）由题意得：，图中是梯形， ∵，，高为， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 两式相加得：， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可知：阴影部分面积为， 故答案为：． 26．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．    (1)求的周长； (2)若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________． (1) (2)2 【思路点拨】此题考查了勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识，准确掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出各边的长，求和即可得到的周长； （2）过作，证明是直角三角形，为斜边，利用等积法即可求出答案． 【规范解答】（1）解：，，， 的周长； （2）过作，    ∵， ∴是直角三角形，为斜边， 的面积， 即， 解得， 即线段的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$