3.2 勾股定理的逆定理（知识精讲+易错点拨+六大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第3章《勾股定理》】 3.2 勾股定理的逆定理 （知识精讲+易错点拨+六大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：判断三边能否构成直角三角形 2 考点讲练2：图形上与已知两点构成直角三角形的点 4 考点讲练3：在网格中判断直角三角形 5 考点讲练4：利用勾股定理的逆定理求解 7 考点讲练5：勾股定理逆定理的实际应用 8 考点讲练6：勾股定理逆定理的拓展问题 10 中等题真题汇编练 13 培优题真题汇编练 17 新知精讲梳理 知识点01：勾股定理的逆定理定义 定义：如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²（其中c为最长边），那么这个三角形是直角三角形。这个定理就是勾股定理的逆定理。 知识点02：勾股定理逆定理的理解与应用 理解： 勾股定理的逆定理是勾股定理的逆命题，即如果三角形的三边满足某种数量关系（a² + b² = c²），则这个三角形具有某种性质（是直角三角形）。 逆定理的验证过程通常涉及计算三角形的三边平方和，并与最长边的平方进行比较。 应用： 勾股定理的逆定理是判断三角形形状的重要工具，特别是在只知道三角形三边长度而不知道其角度时。 在实际应用中，如测量、建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理的逆定理来判断直角三角形的存在性。 高频易错知识点拨 易错知识点01：定理理解不透彻 错误表现：学生可能只是机械地记住了勾股定理的逆定理的公式，而没有真正理解其背后的数学逻辑和几何意义。因此，在应用时容易出现混淆或错误。 纠正建议：教师应通过图形演示、实例分析等方式，帮助学生深入理解勾股定理的逆定理，明确其应用条件和判断方法。 易错知识点02：计算失误 错误表现：在计算三角形的三边平方和时，学生可能因粗心大意或计算能力不足而导致错误。例如，在计算过程中漏乘、加错或减错等。 纠正建议：加强学生的计算能力训练，提高计算的准确性和速度。同时，引导学生养成检查计算过程的习惯，减少因计算失误导致的错误。 易错知识点03：应用条件判断错误 错误表现：学生可能在没有明确三角形三边长度的情况下就盲目应用勾股定理的逆定理进行判断，或者将非直角三角形的三边误判为满足定理条件。 纠正建议：强调应用勾股定理的逆定理时必须具备的前提条件，即已知三角形的三边长度且最长边的平方等于另外两边的平方和。同时，通过实例分析帮助学生掌握判断三角形形状的正确方法。 易错知识点04：忽视特殊情况 错误表现：学生可能忽视了一些特殊情况下的判断，如等腰直角三角形等。在等腰直角三角形中，两条直角边相等，且都满足勾股定理的逆定理条件。 纠正建议：在讲解勾股定理的逆定理时，教师应适当引入特殊情况下的判断方法，帮助学生全面理解和掌握该知识点。 考点讲练1：判断三边能否构成直角三角形 【精讲题】（23-24八年级下·福建龙岩·期末）已知、、是 的三边，下列条件不能判定 为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【举一反三练2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，是直线外一点，、、三点在直线上，且于点，，若，，，，则点到直线的距离是 ． 【举一反三练3】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，内部有一点D，且．    (1)判断的形状； (2)求四边形的面积． 考点讲练2：图形上与已知两点构成直角三角形的点 【精讲题】（20-21八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【举一反三练1】（2021·浙江绍兴·一模）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有 个． 【举一反三练2】（20-21八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【举一反三练3】．（19-20八年级下·湖北武汉·期末）在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示； （1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到点B，在图1中网格中标出点B，并写出线段AB的长度___________； （2）在（1）中的条件下，在直线l上确定一点P，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出线段的最小值：_____________； （3）点C为直线l上格点，是以AB为斜边的直角三角形，在图2网格中标出C，写出线段AC=_______； 考点讲练3：在网格中判断直角三角形 【精讲题】．（17-18八年级下·山西·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段、的长度； (2)在图中画线段，使得的长为 ，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 【举一反三练1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，于点D，则的长为 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 【举一反三练3】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在格点上． (1)请在图中作出关于轴对称的； (2)写出点，点的坐标，以，，为顶点的三角是 三角形； (3)点在图中格点上，若是等腰三角形，则点的个数是 ． 考点讲练4：利用勾股定理的逆定理求解 【精讲题】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 【举一反三练1】（2024八年级下·安徽·专题练习）已知如图一块钢板，，，，，，求这块钢板的面积． 【举一反三练2】（17-18八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【举一反三练3】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，中，为钝角． (1)尺规作图：作边，的垂直平分线分别交于点，； (2)若，求的度数． 考点讲练5：勾股定理逆定理的实际应用 【精讲题】（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【举一反三练1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 【举一反三练2】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 【举一反三练3】（18-19八年级下·全国·单元测试）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 考点讲练6：勾股定理逆定理的拓展问题 【精讲题】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【举一反三练2】（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【举一反三练3】（20-21八年级上·山东济南·期末）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接． ① __度；（答案直接填写在横线上） ②_ __﹔（答案直接填写在横线上） ③求的度数． （2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）下列数据中能作为直角三角形三边长的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、9、 2．（20-21八年级上·陕西西安·期中）已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（    ） A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，交于点，，，，则点到的距离为（   ） A．3 B．2.4 C．4 D．5 4．（2024八年级上·全国·专题练习）已知的三边分别长为，，，且满足，则是（   ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 5．（23-24八年级下·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 6．（23-24八年级下·广东韶关·期中）如图，，，，，，该图形的面积等于 ． 7．（13-14八年级上·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长都为，、、是小正方形的顶点，则 8． （23-24八年级上·上海宝山·期中）已知直角坐标平面内的三个顶点、、的坐标分别为、、，则的形状是 ． 9．（23-24八年级上·广东湛江·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)请判断是否为从村庄C到河边的最近路，并说明理由； (2)求原来的路线的长． 10．（22-23八年级上·北京平谷·期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 11．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远望”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远望”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口小时后分别位于点处，且相距．在的中点处恰好有一座小岛，另一艘游轮从港口出发沿方向以每小时的速度去往小岛，求游轮到小岛所需的时间． 12．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，A村和B村相距1500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1200米，C处与A村相距900米．    (1)判断爆破点C与A、B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路l的距离； (2)已知爆破点C周围750米之外为安全范围，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 培优题真题汇编练 13．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）已知是的三边，且满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 14．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（    ） A．48 B．54 C．24 D．60 15．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知中，所对的边的长分别是，根据下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，分别是四边形的边上的点，，连接交于点，交于点，以下结论正确的有（    ） ①的周长为4；②；③；④    A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 17．（21-22八年级下·江苏盐城·开学考试）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有（　　） ①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 18．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，为的中线，，，，的周长是 ．    19．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的两个端点均在格点（正方形的顶点）上．    （1）线段的长为 ； （2）若是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有 个． 20．（16-17八年级上·山东青岛·课后作业）三角形的三边长为a，b，c满足等式，那么此三角形是 21．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在直角三角形，． (1)求的长． (2)试判断的形状． (3)求出四边形的面积． 22．（21-22八年级上·江西上饶·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则 ．    23．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1， (1)求网格上的的周长． (2)请判断是不是直角三角形，并说明理由． (3)点P是边上的一个动点，则线段的最小值为 ． 24．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，点是正方形内一点；点到点A，B和的距离分别为和．是等腰直角三角形，连接，延长与相交于点． (1)求证：． (2)求的大小． (3)求正方形的边长． 25．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点M，N分别是边长为的等边边上的动点，点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1秒，连接交于点D. (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明； (3)如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第3章《勾股定理》】 3.2 勾股定理的逆定理 （知识精讲+易错点拨+六大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：判断三边能否构成直角三角形 2 考点讲练2：图形上与已知两点构成直角三角形的点 6 考点讲练3：在网格中判断直角三角形 12 考点讲练4：利用勾股定理的逆定理求解 16 考点讲练5：勾股定理逆定理的实际应用 20 考点讲练6：勾股定理逆定理的拓展问题 24 中等题真题汇编练 32 培优题真题汇编练 41 新知精讲梳理 知识点01：勾股定理的逆定理定义 定义：如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²（其中c为最长边），那么这个三角形是直角三角形。这个定理就是勾股定理的逆定理。 知识点02：勾股定理逆定理的理解与应用 理解： 勾股定理的逆定理是勾股定理的逆命题，即如果三角形的三边满足某种数量关系（a² + b² = c²），则这个三角形具有某种性质（是直角三角形）。 逆定理的验证过程通常涉及计算三角形的三边平方和，并与最长边的平方进行比较。 应用： 勾股定理的逆定理是判断三角形形状的重要工具，特别是在只知道三角形三边长度而不知道其角度时。 在实际应用中，如测量、建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理的逆定理来判断直角三角形的存在性。 高频易错知识点拨 易错知识点01：定理理解不透彻 错误表现：学生可能只是机械地记住了勾股定理的逆定理的公式，而没有真正理解其背后的数学逻辑和几何意义。因此，在应用时容易出现混淆或错误。 纠正建议：教师应通过图形演示、实例分析等方式，帮助学生深入理解勾股定理的逆定理，明确其应用条件和判断方法。 易错知识点02：计算失误 错误表现：在计算三角形的三边平方和时，学生可能因粗心大意或计算能力不足而导致错误。例如，在计算过程中漏乘、加错或减错等。 纠正建议：加强学生的计算能力训练，提高计算的准确性和速度。同时，引导学生养成检查计算过程的习惯，减少因计算失误导致的错误。 易错知识点03：应用条件判断错误 错误表现：学生可能在没有明确三角形三边长度的情况下就盲目应用勾股定理的逆定理进行判断，或者将非直角三角形的三边误判为满足定理条件。 纠正建议：强调应用勾股定理的逆定理时必须具备的前提条件，即已知三角形的三边长度且最长边的平方等于另外两边的平方和。同时，通过实例分析帮助学生掌握判断三角形形状的正确方法。 易错知识点04：忽视特殊情况 错误表现：学生可能忽视了一些特殊情况下的判断，如等腰直角三角形等。在等腰直角三角形中，两条直角边相等，且都满足勾股定理的逆定理条件。 纠正建议：在讲解勾股定理的逆定理时，教师应适当引入特殊情况下的判断方法，帮助学生全面理解和掌握该知识点。 考点讲练1：判断三边能否构成直角三角形 【精讲题】（23-24八年级下·福建龙岩·期末）已知、、是 的三边，下列条件不能判定 为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据“有一个角是直角的三角形是直角三角形”，“三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形”，进行逐一验证即可． 本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键． 【规范解答】解：A.∵ ， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B. ∵， ∴设，，， ， ， ， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，且， ， ， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵， ∴设，，， 则， 解得， ，，， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【思路点拨】此题考查勾股定理及其逆定理，证明直角三角形，即可得到答案. 【规范解答】解：连接， ， ∴， ∴直角三角形， ∴点符合题意， 用同样的方法证明其它点不符合要求， 故选：D 【举一反三练2】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，是直线外一点，、、三点在直线上，且于点，，若，，，，则点到直线的距离是 ． 【答案】4 【思路点拨】此题主要考查了点到直线的距离，勾股定理的逆定理，理解点到直线距离的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得，然后再根据点到直线距离的定义可得出答案． 【规范解答】解：，，， ， 为直角三角形，即， ， 点到直线的距离是是线段的长， 即点到直线的距离是是4． 故答案为：4． 【举一反三练3】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，内部有一点D，且．    (1)判断的形状； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)直角三角形 (2)24 【思路点拨】此题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理的计算是解题的关键： （1）根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证得； （2）根据求面积． 【规范解答】（1）∵. 在中，根据勾股定理得： 则， ∵ ∴ 则是直角三角形； （2） 则四边形面积为24． 考点讲练2：图形上与已知两点构成直角三角形的点 【精讲题】（20-21八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3cm (2)t=1或 (3)t=或2或 【思路点拨】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可； （2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可； （3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可． 【规范解答】（1）解：∵在△ABC中，，，， ∴BC=； （2）解：由题意可知，分两种情况：①；②， 设BP=3tcm，∠B≠90°： ①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC，即3t=3， ∴； ②当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（3t－3）cm， ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=， 综上所述：当为直角三角形时，t=1或； （3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③， ①当时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线， ， ； ③当时，如图所示： 设，则， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得， ， ， 综上所述：t=或2或． 【考点评析】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键． 【举一反三练1】（2021·浙江绍兴·一模）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有 个． 【答案】8 【思路点拨】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或； 【规范解答】（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图： （2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图； 符合要求的C点有8个； 故答案是8． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键． 【举一反三练2】（20-21八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【思路点拨】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【规范解答】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 【举一反三练3】．（19-20八年级下·湖北武汉·期末）在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示； （1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到点B，在图1中网格中标出点B，并写出线段AB的长度___________； （2）在（1）中的条件下，在直线l上确定一点P，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出线段的最小值：_____________； （3）点C为直线l上格点，是以AB为斜边的直角三角形，在图2网格中标出C，写出线段AC=_______； 【答案】（1）点B见解析；；（2）作图见解析；；（3）点C见解析，或． 【思路点拨】（1）根据题目平移获得点B，然后根据勾股定理求解即可； （2）做点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线l于点P，点P即为所求； （3）在直线l上选择点C，然后根据勾股定理判断是否为直角三角形即可，然后根据勾股定理求解AC． 【规范解答】（1）标出B点， 故； （2）做点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线l于点P， ∵两点之间直线最短 ∴此时A’B最短，点P即为所求 ∴， 故； （3）两个C点，AC=或； 【考点评析】本题考查了应用对称轴求最短距离，勾股定理，会用勾股定理判定三角形是直角三角形是本题的关键． 考点讲练3：在网格中判断直角三角形 【精讲题】．（17-18八年级下·山西·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段、的长度； (2)在图中画线段，使得的长为 ，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析；可以组成直角三角形，理由见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，利用网格的性质解题是关键． （1）结合网格的特点，利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理画出，再利用勾股定理得逆定理，即可判断三角形 【规范解答】（1）解：由网格可知，，； （2）解：如图，，即即为所求作； 以、、三条线段能构成直角三角形，理由如下： ，，，且， ， 以、、三条线段能构成直角三角形． 【举一反三练1】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，于点D，则的长为 【答案】2 【思路点拨】本题考查勾股定理、勾股定理得逆定理和直角三角形斜边高的求法，掌握勾股定理及其逆定理是本题关键．根据勾股定理计算的长，再利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】由勾股定理得：，，， ，，，， 是直角三角形，， ， ， ， 故答案为：2． 【举一反三练2】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)是直角三角形，证明见解析 【思路点拨】本题考查了求格点三角形的面积，勾股定理及其逆定理： （1）的面积等于边长为4的正方形面积减去三个直角三角形面积； （2）利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【规范解答】（1）解：． （2）解：是直角三角形．证明如下： 由图可知，，， ， 是直角三角形． 【举一反三练3】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在格点上． (1)请在图中作出关于轴对称的； (2)写出点，点的坐标，以，，为顶点的三角是 三角形； (3)点在图中格点上，若是等腰三角形，则点的个数是 ． 【答案】(1)见解析 (2)，，等腰直角 (3)个 【思路点拨】本题考查作图﹣轴对称变换、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可得点，点的坐标；结合勾股定理以及勾股定理的逆定理可得结论； （3）结合等腰三角形的性质，分别讨论以为腰和以为底的情况，即可得出答案． 【规范解答】（1）如图，即为所求． （2）由图可得，，． 由勾股定理得，，，， ， ， 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角； （3）如图，点均满足题意， 点的个数是个． 故答案为：个． 考点讲练4：利用勾股定理的逆定理求解 【精讲题】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 【答案】/150度 【思路点拨】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．由等边三角形的性质得，根据全等三角形的性质得，，，，证明是等边三角形，得，证明，得，可得结论．掌握等边三角形的判定和性质及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，，，， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【举一反三练1】（2024八年级下·安徽·专题练习）已知如图一块钢板，，，，，，求这块钢板的面积． 【答案】24平方厘米 【思路点拨】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．连接．利用勾股定理可求出的长，根据的三边关系可得是直角三角形，根据三角形的面积公式可求出与的面积，进而求出四边形的面积． 【规范解答】解：如图，连接， 由勾股定理得， ，，，即， 故是直角三角形，， 故四边形的面积 【举一反三练2】（17-18八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）连接，在中，利用勾股定理求出的长，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答； （2）根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：连接， ，， ， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 的度数为； （2）解：由题意得：四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为． 【举一反三练3】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，中，为钝角． (1)尺规作图：作边，的垂直平分线分别交于点，； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理； （1）根据线段垂直平分线的作图方法分别作图即可． （2）连接，．由线段垂直平分线的性质可得， ，则， ．结合勾股定理的逆定理可得，根据三角形内角和定理可得，即可根据求解． 【规范解答】（1）作两条垂直平分线即可 （2）连接，， 边，的垂直平分线分别交于点，， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ． 考点讲练5：勾股定理逆定理的实际应用 【精讲题】（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【答案】A 【思路点拨】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 【规范解答】解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 【举一反三练1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 【答案】11400元 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【规范解答】解：解：如图，连接， 在中，， 在中，，， 而， 即， 为直角三角形， ， ， 所以需费用 (元)． 【举一反三练2】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形，进而得解； （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【规范解答】（1）解：证明：∵，，，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 答：修建的公路的长是． 【举一反三练3】（18-19八年级下·全国·单元测试）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)千米． 【思路点拨】（）根据勾股定理的逆定理和垂线段最短解答即可； （）根据勾股定理解答即可； 本题考查了勾股定理及逆定理及垂线段最短在实际生活中的运用，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理的应用. 【规范解答】（1）是，理由， 在中，，， ∴， ∴ ∴， 根据垂线段最短，则是从村庄到河边的最近路； （2）设， 在中，由已知得，，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：原来的路线的长为千米． 考点讲练6：勾股定理逆定理的拓展问题 【精讲题】（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【思路点拨】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【规范解答】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【思路点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【规范解答】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 【举一反三练2】（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析 【思路点拨】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x2的值； （3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案． 【规范解答】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x2=169， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x2=119， 故x2的值为169或119； （3）∵a=2，b=4， ∴， ∴， 若△ABC是钝角三角形， 则或， 则或， ∴或； 若△ABC是直角三角形， 则或， 则或； 若△ABC是锐角三角形， 则或， 则或， ∴． 【考点评析】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键． 【举一反三练3】（20-21八年级上·山东济南·期末）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接． ① __度；（答案直接填写在横线上） ②_ __﹔（答案直接填写在横线上） ③求的度数． （2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明． 【答案】（1）①；②；③；（2），证明见解析． 【思路点拨】（1）①由得到，继而证明即可解题； ②由得到，结合①结论，可证明是等边三角形，即可解题； ③根据得到，在中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明为直角三角形，继而得到，再结合是等边三角形即可解得据此解题即可； （2）由可得，可证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可． 【规范解答】解:（1）① 即 故答案为：； ② ， 由①得 是等边三角形， 故答案为：； ③ 为直角三角形 为等边三角形 ； （2）当时，． 理由如下: ， 为等腰直角三角形， ， 当时，为直角三角形， ， 当满足时，． 【考点评析】本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）下列数据中能作为直角三角形三边长的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、9、 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．先求出两小边的平方和，再求出长边的平方，看看是否相等即可． 【规范解答】解：A、，以、、为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； B、，以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，以、9、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（20-21八年级上·陕西西安·期中）已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（    ） A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴三角形的形状是直角三角形， 故选：． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，交于点，，，，则点到的距离为（   ） A．3 B．2.4 C．4 D．5 【答案】A 【思路点拨】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出，则，因为平分，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点到的距离， 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵平分， ∴点到的距离， 故选：A． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）已知的三边分别长为，，，且满足，则是（   ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【答案】B 【思路点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值，偶次方的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据绝对值，偶次方的非负性，可得，，，从而求出，，的值，然后利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【规范解答】解：， ， ，，， ，，， ，， ， 是以为斜边的直角三角形， 故选：B． 5．（23-24八年级下·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 【答案】 【思路点拨】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【规范解答】解：根据题意，画出示意图如下：   丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 6．（23-24八年级下·广东韶关·期中）如图，，，，，，该图形的面积等于 ． 【答案】96 【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（13-14八年级上·江苏苏州·期中）如图，每个小正方形的边长都为，、、是小正方形的顶点，则 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角，且，则． 【规范解答】解：如图所示，连接， 由网格的特点和勾股定理得，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·上海宝山·期中）已知直角坐标平面内的三个顶点、、的坐标分别为、、，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理求得的长，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【规范解答】解：解：∵、、的坐标分别为、、， ∴，，， ∵，， ∴ ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 9．（23-24八年级上·广东湛江·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)请判断是否为从村庄C到河边的最近路，并说明理由； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)千米． 【思路点拨】（）根据勾股定理的逆定理和垂线段最短解答即可； （）根据勾股定理解答即可； 本题考查了勾股定理及逆定理及垂线段最短在实际生活中的运用，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理的应用. 【规范解答】（1）解：是，理由如下， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短，则是从村庄到河边的最近路； （2）解：设， 在中，由已知得，，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：原来的路线的长为千米． 10．（22-23八年级上·北京平谷·期末）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【思路点拨】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解． （1）根据勾股定理逆定理即可证明； （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴设，则， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴． 11．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远望”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远望”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口小时后分别位于点处，且相距．在的中点处恰好有一座小岛，另一艘游轮从港口出发沿方向以每小时的速度去往小岛，求游轮到小岛所需的时间． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理逆定理,直角三角形斜边中线等于斜边的一半，由题意先证明得到是直角三角形，再根据点是的中点算出时间即可． 【规范解答】解：， 又 ， ， 是直角三角形，且， 点是的中点， ， ， 答：游轮到小岛需要． 12．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，A村和B村相距1500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1200米，C处与A村相距900米．    (1)判断爆破点C与A、B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路l的距离； (2)已知爆破点C周围750米之外为安全范围，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】(1)爆破点C与A、B两村围成的三角形是直角三角形，爆破点处到公路的距离为720米； (2)公路有危险而需要封锁，420米． 【思路点拨】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，利用三角形的面积公式即可求得米； （2）根据720米米可以判断有危险，根据勾股定理求出，进而求出． 【规范解答】（1）解： 在中，米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 如图，过C作于D． ∵， ∴ （米）． 答：爆破点C与A、B两村围成的三角形是直角三角形；爆破点处到公路的距离为720米； （2）解：公路有危险而需要封锁． 理由如下：如图，以点C为圆心，750米为半径画弧，交于点E，F，连接，，    由于720米米，故有危险， 因此段公路需要封锁． ∴米， ∴ （米）， 故米， 则需要封锁的路段长度为420米． 培优题真题汇编练 13．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）已知是的三边，且满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及勾股定理的逆定理等知识是解题的关键． 根据非负数的性质可得关于的等式，继而可得，根据均大于零，且，继而可得，综合两种情况，可判断出的形状． 【规范解答】解：∵均大于零， ∴且， 又∵，即 故第一种情况，即， ∴是等腰三角形， 第二种情况， ∴是直角三角形 ∴等腰三角形或直角三角形 故选：． 14．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（    ） A．48 B．54 C．24 D．60 【答案】C 【思路点拨】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理、三角形面积公式，连接，由勾股定理得，由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据这个图形的面积，计算即可． 【规范解答】解：如图，连接， ，，，， ， ，，， ， 为直角三角形， 这个图形的面积， 故选：C． 15．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知中，所对的边的长分别是，根据下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了三角形内角和定理以及勾股定理逆定理等知识，根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理分析判断即可求出答案． 【规范解答】解：A.由题意，， ∴是锐角三角形，本选项符合题意． B.∵，， ∴， ∴是直角三角形，本选项不符合题意． C.∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，本选项不符合题意． D.∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，本选项不符合题意． 故选：A． 16．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，分别是四边形的边上的点，，连接交于点，交于点，以下结论正确的有（    ） ①的周长为4；②；③；④    A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【思路点拨】先说明四边形是正方形，再将绕点C逆时针旋转得到，在上取一点F，使，根据旋转的性质及证明≌，然后根据全等三角形的性质判断①②；再证明≌，可得，，，然后说明≌，得出，，可知是直角三角形，进而说明③；最后根据全等三角形的面积相等判断④即可． 【规范解答】∵，， ∴四边形是正方形， ∴，． 将绕点C逆时针旋转得到，在上取一点F，使．    根据旋转的性质可知，，． ∵，， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴≌， ∴， ∴的周长． 所以①②正确； ∵，，， ∴≌， ∴． ∵，，， ∴≌， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即． 所以③正确； ∵≌，≌， ∴， ∴． 所以④不正确． 正确的有①②③． 故选：C．    【考点评析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 17．（21-22八年级下·江苏盐城·开学考试）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有（　　） ①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【思路点拨】①根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断①；②根据勾股定理的逆定理即可判断得出②；③根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断；④求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断④． 【规范解答】解：①∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA， ∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， ∴△BPQ是等边三角形， 所以①正确； ∴PQ=PB=4， ∵PQ2+QC2=42+32=25， PC2=52=25， ∴PQ2+QC2=PC2， ∴∠PQC=90°， ∴△PCQ是直角三角形， 所以②正确； ∵△BPQ是等边三角形， ∴∠PQB=∠BPQ=60°， ∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°， 所以③正确； ∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC， ∵∠PQC=90°，PC≠2QC， ∴∠QPC≠30°， ∴∠APC≠120°． 所以④错误． 所以正确的有①②③． 故选：A． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识． 18．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，为的中线，，，，的周长是 ．    【答案】64 【思路点拨】根据中线的性质得出，由勾股定理逆定理得出，再由勾股定理得出的长，从而可得结论． 【规范解答】解：在中，，，， 且，， ， 故是直角三角形，且， ∵是中线， ， ∴， ∴在中，，， ∴的周长为． 故答案为64． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，熟练掌握勾股定理以及逆定理是解答本题的关键． 19．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的两个端点均在格点（正方形的顶点）上．    （1）线段的长为 ； （2）若是直角三角形，则网格中满足条件的格点C共有 个． 【答案】 6/六 【思路点拨】（1）构造直角三角形，利用勾股定理求解即可； （2）根据直角三角形的概念，画出图形即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图，     由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：如图所示，共有6个，      故答案为：6． 【考点评析】此题考查了作图-应用与设计，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 20．（16-17八年级上·山东青岛·课后作业）三角形的三边长为a，b，c满足等式，那么此三角形是 【答案】直角三角形 【思路点拨】先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定． 【规范解答】解：， ， ， 三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【考点评析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了完全平方公式． 21．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在直角三角形，． (1)求的长． (2)试判断的形状． (3)求出四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)是直角三角形 (3)36 【思路点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长， （2）然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （3）利用（2）的结论，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【规范解答】（1），，， ， （2）是直角三角形， ，， ，， ， 是直角三角形； （3），，，，，， 四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为36． 22．（21-22八年级上·江西上饶·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则 ．    【答案】 【思路点拨】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【规范解答】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 23．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1， (1)求网格上的的周长． (2)请判断是不是直角三角形，并说明理由． (3)点P是边上的一个动点，则线段的最小值为 ． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析； (3)4 【思路点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，以及垂线段最短．先根据勾股定理求出的三条边长，再根据勾股定理的逆定理判定即可，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的三边长，即可求出周长； （2）利用勾股定理逆定理判定即可； （3）根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解； 【规范解答】（1）利用勾股定理可得， ，，， 的周长为． （2） , 是直角三角形． （3）过点作于点， 则此时线段取得最小值， ， ． 24．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，点是正方形内一点；点到点A，B和的距离分别为和．是等腰直角三角形，连接，延长与相交于点． (1)求证：． (2)求的大小． (3)求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）证明，即可； （2）根据全等三角形的性质可知，再根据等腰直角三角形的性质得到，，然后利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即可求出的大小； （3）作，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得到，进而得到，再利用勾股定理即可求出正方形的边长． 【规范解答】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴， 四边形是正方形， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：由题意，得：，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ； （3）解：作交于点E， ，， ，， ， ， ， 正方形的边长为． 【考点评析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握相关性质和判断，灵活运用勾股定理的逆定理是解题关键． 25．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图，点M，N分别是边长为的等边边上的动点，点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1秒，连接交于点D. (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明； (3)如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 (3)或，理由见详解 【思路点拨】（1）根据可证明； （2）在上截取，证明，得出，证出，则可得出结论； （3）分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案． 【规范解答】（1）解：证明：∵点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：， 理由如下：在上截取， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：存在．或， 理由如下， 由题意可得， ∴ ∵以点为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∵， ∴， ∴ 即 解得：， 当， ∵， ∴， ∴ 即： 解得：， 综上所述，或，时，以点为顶点的三角形是直角三角形． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$