专题3.1 勾股定理的探究（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题3.1 勾股定理的探究 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理 1 知识点梳理02：勾股定理的验证 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：用勾股定理解三角形 3 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 4 考点3：利用勾股定理证明线段平方关系 5 考点4：勾股定理的证明方法 7 考点5：以弦图为背景的计算题 9 考点6：用勾股定理构造图形解决问题 10 考点7：勾股定理与无理数 13 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 17 知识点梳理01：勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 知识点梳理02：勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 考点1：用勾股定理解三角形 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 【变式训练1】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，如果点D，E分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【变式训练2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，中，， 以的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 ， 且,则 ． 【变式训练1】（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为 ． 【变式训练2】（24-25八年级上·山东烟台·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后，变成了如图②．如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了10次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（   ） A．11 B．55 C．66 D． 考点3：利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（21-22八年级上·江西九江·期中）【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知中，，，，如图（a）所示，当点M、N在上时，试判断线段，，的数量关系． 小颖的解题思路：如图（b）所示，将沿直线对折，得，连， (1)你认为的度数为_____． (2)按照小颖的思路，判断图（b）线段，，的数量关系，并完整证明． (3)【解决问题】当M在的延长线上，点N在线段上，其他条件不变，如图（C）所示， 第（2）问中的结论是否成立．如果成立，请证明．如果不成立，请说明理由． 【变式训练1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 【变式训练2】（24-25九年级上·江西抚州·期中）【特例感知】 （1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：____________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：_____________； ③在矩形中，设，，则对角线，和，的数量关系有：____________； 【规律探究】（2）如图1，在中，设，，猜想对角线，和，的数量关系有：_____________并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，，，，点为的中点，求的长． 考点4：勾股定理的证明方法 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·假期作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理． (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 【变式训练1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【变式训练2】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 考点5：以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，求的值． 【变式训练1】（24-25八年级下·河南商丘·期末）将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 【变式训练2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想    ②数形结合思想    ③分类讨论思想 考点6：用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是____________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 【变式训练1】（24-25八年级下·新疆巴音郭楞·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【变式训练2】（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 考点7：勾股定理与无理数 【典例精讲】（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，，，，数轴上点表示的数是 ． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是 ． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级下·全国·期中）如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 2．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．    3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（23-24八年级上·广东河源·期中）在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，分别以边、、向外作正方形，图形中数字或字母表示该正方形的面积，则字母S所代表的正方形的面积是（   ） A．18 B．39 C．194 D．144 3．（24-25八年级上·山西·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作中（   ） A．B． C． D． 4．（23-24八年级上·贵州六盘水·期中）在中，斜边，则的值为（    ） A．15 B．25 C．50 D．无法计算 5．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，以原点为圆心，以为半径画弧，则点A表示的实数是 ． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ． 7．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图在中，，，以原点O为圆心，长为半径画弧， 交数轴于点A， 则点A表示的实数是 ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 9．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在修一条东西走向的公路时遇到一座小山，于是要修一条隧道．已知、、三点在同一条直线上．为了在小山的两侧、同时施工，过点作一条南北走向的直线l（即直线l，在直线l上取一点，使得米，经测量米．若施工队每天共挖米，求施工队几天能挖完？ 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则 ； (2)若中，，，求的值； (3)若中，，边上的高为15，求的值． 培优拔高 11．（24-25八年级下·广东广州·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·福建厦门·二模）如图，已知是等边三角形，，是边上的高，E是的中点，P是上一动点．则的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 13．（24-25八年级上·河南郑州·期中）《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田的面积有多少？设该长方形的对角线为步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，，点、分别是边和上的动点，连接、，则的最小值为 ． 15．（20-21八年级下·河南郑州·期中）如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动 秒时，三角形是直角三角形． 16．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千路板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 ． 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，P为斜边上一动点，过点P分别作交于点E，作交于点F．则的最小值为 ． 18．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，， (1)用尺规作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，．求的周长． 19．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 20．（23-24八年级上·广东佛山·期中）阅读下面材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5cm，BC是底面直径，高AB为5cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．    解决方案： 路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示： 这路线一的长度为；则； 路线2：高底面直径BC，如图（1）所示： 设路线2的长度为：则； 为比较和的大小，我们采用“作差法”： ∵， ∴． ∴． 小明认为应选择路线2较短． (1)问题类比： 小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”请你用上述方法帮小亮比较出与的大小； (2)问题拓展： 请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为时，高为，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由． (3)问题解决： 如图（3）为两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5cm，当蚂蚁从点A出发，沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 勾股定理的探究 （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理 1 知识点梳理02：勾股定理的验证 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：用勾股定理解三角形 3 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 6 考点3：利用勾股定理证明线段平方关系 8 考点4：勾股定理的证明方法 14 考点5：以弦图为背景的计算题 19 考点6：用勾股定理构造图形解决问题 21 考点7：勾股定理与无理数 25 中考真题 实战演练 27 难度分层 拔尖冲刺 30 基础夯实 30 培优拔高 36 知识点梳理01：勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 知识点梳理02：勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 考点1：用勾股定理解三角形 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，根据勾股定理进行计算即可； （2）在中根据勾股定理进行计算即可． 【规范解答】（1）解：在中，于点D， 故在中， ； （2）在中，于点D， 故在中， ． 【变式训练1】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，如果点D，E分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，作点A关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可得，由勾股定理可得，根据，可得当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接， 由轴对称的性质可得， ∵在中，， ∴； ∵， ∴当H、D、E三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】过点作于点，如图所示，由基本尺规作图-作角平分线得到平分，再由三角形全等的判定得到，设，表示出中三边长度，再由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【规范解答】解：过点作于点，如图所示： 依题意，平分，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， 在中，由勾股定理可得，则， 解得，即， 故选：B． 【考点剖析】本题考查求线段长，涉及基本尺规作图-作角平分线、角平分线定义、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解方程求线段长等知识，熟练掌握基本尺规作图-作角平分线、三角形全等的判定与性质是解题的关键． 考点2：以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，中，， 以的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 ， 且,则 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据正方形的面积公式可得，再根据勾股定理可求得的值，从而得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 在中，， 由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：2． 【变式训练1】（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定；根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积． 【规范解答】解：三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， （如上图），根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级上·山东烟台·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后，变成了如图②．如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了10次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（   ） A．11 B．55 C．66 D． 【答案】A 【思路引导】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【规范解答】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得， “生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了10次后形成的图形中所有的正方形的面积和为11， 故选：A． 考点3：利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（21-22八年级上·江西九江·期中）【背景材料】小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知中，，，，如图（a）所示，当点M、N在上时，试判断线段，，的数量关系． 小颖的解题思路：如图（b）所示，将沿直线对折，得，连， (1)你认为的度数为_____． (2)按照小颖的思路，判断图（b）线段，，的数量关系，并完整证明． (3)【解决问题】当M在的延长线上，点N在线段上，其他条件不变，如图（C）所示， 第（2）问中的结论是否成立．如果成立，请证明．如果不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)成立，理由见解析 【思路引导】本题考查折叠的性质及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键； （1）根据等边对等角得出，根据折叠的性质可得，进而即可求解； （2）根据折叠的性质得出，，再由各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，结合图形由勾股定理即可得出结果； （3）将延折叠，得到，连接，根据（2）中证明方法证明即可． 【规范解答】（1）解：∵中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ 依题知： （折叠的性质） ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ （3）结论成立，理由如下： 将延折叠，得到，连接， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 在与中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式训练1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理. 由勾股定理得到，设，求出，计算即可. 【规范解答】∵ ∴,， ∴ 设，则， ∴ 整理得 解得 即 ∴. 【变式训练2】（24-25九年级上·江西抚州·期中）【特例感知】 （1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：____________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：_____________； ③在矩形中，设，，则对角线，和，的数量关系有：____________； 【规律探究】（2）如图1，在中，设，，猜想对角线，和，的数量关系有：_____________并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，，，，点为的中点，求的长． 【答案】（1）；； （2），见解析 （3） 【思路引导】（1）①由四边形是正方形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果；②由四边形是菱形，得，，，在中，由，得到，即可得到结果；③由四边形是矩形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； （2）分别过点，作，，垂足分别为，．证明，运用勾股定理求出，，即可解答； （3）连接，延长至点，使，连接，，证明四边形是平行四边形，由（1）得，运用勾股定理求出，，即可解答． 【规范解答】解：（1）①如图1.1， 四边形是正方形， ，，， ，， ； 故答案为：； ②如图1.2， ∵四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ； 故答案为：； ③如图1.3， 四边形是矩形， ，，，， ，， ； 故答案为：； （2）； 证明：如图1，分别过点，作，，垂足分别为，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， 设，，则，， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， ； （3）如图2，连接，延长至点，使，连接，， ∵点为的中点， ∴， 四边形是平行四边形， ∴由（2）结论可得， ，，， ， ∵，， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理证明平方关系． 考点4：勾股定理的证明方法 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·假期作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为和，斜边长为；图②是以为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形． (2)用这个图形验证勾股定理． (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）． 【答案】(1)图形见解析，直角梯形 (2)验证见解析 (3)能，拼图见解析 【思路引导】本题考查勾股定理的验证，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）如图所示，得到所拼图形的示意图，它是一个直角梯形； （2）由（1）中图形，结合两种方式表示图形面积，结合整式混合运算法则恒等变形即可得证； （3）将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：示意图如图①所示， 则它是一个直角梯形； （2）解：如图所示： ， ， 即， 则； （3）解：假设图①中的直角三角形有若干个，能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形，将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示： ． 【变式训练1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【答案】证法再现：， ，证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米 【思路引导】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出． 知识运用：（1）作点C关于的对称点F，连接交于点P，连接，点P即为所求． （2）运用勾股定理求出，就是代数式的最小值， 【规范解答】证法再现：由题意，，，． 满足关系式：． 整理得：； 故答案为：， ，． 知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图． ∴ 又, 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短． （2）作交的延长线于E． 在中，∵米，米， ∴（米）． 故答案为：200． 【变式训练2】（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）13；（3） 【思路引导】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案； （3）设的长为，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【规范解答】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 【考点剖析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 考点5：以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，求的值． 【答案】29 【思路引导】本题主要考查勾股定理，完全平方公式的变形运用，理解图示，掌握勾股定理，完全平方公式的变形计算是关键，根据题，，，运用完全平方公式的变形即可求解． 【规范解答】解：大正方形的面积是15，小正方形的面积是1， 四个直角三角形面积和为，即， ，， ． 【变式训练1】（24-25八年级下·河南商丘·期末）将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 【答案】C 【思路引导】本题考查了求阴影部分的面积，如图可知，正方形的面积减去四个直角三角形的面积等于阴影部分的面积． 【规范解答】解：， 故选：C． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想    ②数形结合思想    ③分类讨论思想 【答案】(1)见解析 (2) (3)①② 【思路引导】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的推导以及勾股定理得结构特征． （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【规范解答】（1）证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； （2）解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； （3）解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 考点6：用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是____________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 【答案】(1)①，；②5 (2) 【思路引导】本题考查了轴对称最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法． （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值． 【规范解答】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1， ∵，， 则四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，则四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级下·新疆巴音郭楞·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【答案】云梯的长度足够 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，连接，利用勾股定理求出，通过比较可知，可知云梯的长度不够． 【规范解答】解：如下图所示，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 云梯的长度足够． 【变式训练2】（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 【答案】(1)①5；②； (2)1． 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用． （1）①由题意可知，，根据计算即可； ②由题意得到，，可知，求出，再根据求出，即可求出直角三角形的周长； （2）先证明、是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可． 【规范解答】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12， ∴，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）； ②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴该直角三角形的周长； （2）解：∵， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 考点7：勾股定理与无理数 【典例精讲】（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，，，，数轴上点表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴．根据勾股定理求得的长，根据数轴即可求点A表示的数． 【规范解答】解：∵，，，， ∴， 数轴上点表示的数是， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，数轴上点O、A所表示的数分别是0，3，过点A作数轴，个单位长度，以O为圆心，长为半径画弧交数轴上A点的左侧一点C，则点C表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数与数轴，勾股定理．利用勾股定理可得，进而即可求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵数轴， ∴， ∵数轴上点O、A所表示的数分别是0，3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级下·全国·期中）如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后利用画法可得到，于是可确定点对应的数． 【规范解答】解：为等腰三角形，， ， 在中，， 以为圆心，长为半径画弧交数轴于点， ， 点对应的数为． 故选：D． 1．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 【规范解答】解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 2．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则 ．    【答案】/ 【思路引导】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求． 【规范解答】解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ∵， 在同一线上， ， 故答案为：．    3．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【规范解答】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 基础夯实 1．（23-24八年级上·广东河源·期中）在中，，、、所对边的长分别为a、b、c，若，，那么的值是（   ） A．2 B．6 C．20 D．36 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理直接计算斜边的平方即可． 【规范解答】解：根据题意，为直角三角形，，因此边c为斜边，a、b为直角边， 由勾股定理得：， 代入已知条件，， 得：， 因此，的值为6， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，中，，分别以边、、向外作正方形，图形中数字或字母表示该正方形的面积，则字母S所代表的正方形的面积是（   ） A．18 B．39 C．194 D．144 【答案】D 【思路引导】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 直接利用勾股定理即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴，，, ∴ ∴S所代表的正方形的面积是144， 故选：D． 3．（24-25八年级上·山西·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作中（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理的历史渊源，加强教材的阅读，熟记相关知识的来源于出处． 【规范解答】解：早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作《周脾算经》中． 故选：A． 4．（23-24八年级上·贵州六盘水·期中）在中，斜边，则的值为（    ） A．15 B．25 C．50 D．无法计算 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理，先由勾股定理求得，即可求得的值． 【规范解答】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，以原点为圆心，以为半径画弧，则点A表示的实数是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了实数与数轴，先根据两点间的距离公式求出，然后根据勾股定理求出，从而求出，设点A表示的实数是，再次利用两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程即可． 【规范解答】解：如图所示： 由题意得：，，，， ∴， ∵点O表示的数是0， 设点A表示的实数是， ∴， ， 或（不合题意，舍去）， ∴点A表示的实数是：， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 ． 【答案】289或161 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论． 分两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：①当第三边为斜边时， 由勾股定理得，； ②当第三边为直角边时， 由勾股定理得，； 综上，的值为289或161， 故答案为：289或161． 7．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图在中，，，以原点O为圆心，长为半径画弧， 交数轴于点A， 则点A表示的实数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先根据勾股定理得出，因为以原点O为圆心，长为半径画弧， 交数轴于点A，所以，即可作答． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴ 依题意， ∵点A在负半轴， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，根据勾股定理进行计算即可； （2）在中根据勾股定理进行计算即可． 【规范解答】（1）解：在中，于点D， 故在中， ； （2）在中，于点D， 故在中， ． 9．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在修一条东西走向的公路时遇到一座小山，于是要修一条隧道．已知、、三点在同一条直线上．为了在小山的两侧、同时施工，过点作一条南北走向的直线l（即直线l，在直线l上取一点，使得米，经测量米．若施工队每天共挖米，求施工队几天能挖完？ 【答案】施工队天能挖完 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，根据题意可得，再利用勾股定理得出，继而即可求解． 【规范解答】解：由题意知，，   米，米， 米， 故（天）， 答：施工队天能挖完． 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则 ； (2)若中，，，求的值； (3)若中，，边上的高为15，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)13或 【思路引导】本题主要考查了新定义下的三角形边高的数量关系，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理． （1）根据条件判定等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出底边，然后根据新定义即可得出结果； （2）画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可； （3）分两种情况画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一， ∴，， ∴为底边上的高， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，是边上的高， 由勾股定理得， 利用等面积法可得， ∴； （3）解：①如图所示，是边上的高， 由勾股定理得，， ， ∴， ∴； ②如图所示，是边上的高， 同①可得，此时， ∴． 综上，的值为13或． 培优拔高 11．（24-25八年级下·广东广州·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查勾股定理求线段长，根据题意得，先在中，由勾股定理求出的长，后在中，由勾股定理即可求出的长即可得到答案．熟练运用勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【规范解答】解：由题意得：， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：A． 12．（2025·福建厦门·二模）如图，已知是等边三角形，，是边上的高，E是的中点，P是上一动点．则的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，然后根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， 是等边三角形， ， ，E是的中点， ， ， ， 故选：C． 13．（24-25八年级上·河南郑州·期中）《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田的面积有多少？设该长方形的对角线为步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设该长方形的对角线为步，则该长方形的宽为步，再根据勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】解：设该长方形的对角线为步，则该长方形的宽为步， 由勾股定理得， 故选：B． 14．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，，点、分别是边和上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查轴对称-最短问题、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称和垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 在上取一点，使得，由，推出，推出，推出当，且、、共线时，的值最小，利用面积法求出即可． 【规范解答】解：在上取一点，使得， ， ， ， ， ∴当，且、、共线时，的值最小， ∵平分， ， ， ， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 15．（20-21八年级下·河南郑州·期中）如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动 秒时，三角形是直角三角形． 【答案】或4 【思路引导】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 先利用等腰三角形“三线合一”求出、以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【规范解答】解：如图，作， ∵， ∴， 当点P运动到与点D重合，即为直角时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为(秒)； 当时，设 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 所以运动时间为(秒)； 综上可得：当P运动4秒或秒时，是直角三角形； 故答案为：或4． 16．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千路板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案． 【规范解答】解：在中， ， 设秋千的绳索长为， 则， 故， 解得：， 即绳索AD的长度是． 故答案为：． 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，P为斜边上一动点，过点P分别作交于点E，作交于点F．则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．连接，当时，最小，则最小，利用三角形面积解答即可． 【规范解答】解：连接， ， ∴ ， 四边形是矩形， ， 当最小时，也最小， 即当时，最小， ∵，， ， 的最小值为：． 线段长的最小值为； 故答案为：． 18．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，， (1)用尺规作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，．求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【思路引导】本题考查了作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图出即可； （2）在中，由勾股定理可得，再由是垂直平分线，得到，可推导出，即可解答． 【规范解答】（1）解：作图如图 （2）连接，如图 在中，，，， ∴， ∵是垂直平分线， ∴， ∴． 答：的周长为18． 19．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 【答案】[方法储备]，；[思考探究] ；[拓展延伸]①见解析；② 【思路引导】[方法储备] 由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， [思考探究] 延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， [拓展延伸] ①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． 【规范解答】[方法储备]解： 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， [思考探究]解： 延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：， [拓展延伸]解： ①延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，， 设， ， ，， ，，， 分别过，作，，，为垂足， ， 设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 20．（23-24八年级上·广东佛山·期中）阅读下面材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5cm，BC是底面直径，高AB为5cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．    解决方案： 路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示： 这路线一的长度为；则； 路线2：高底面直径BC，如图（1）所示： 设路线2的长度为：则； 为比较和的大小，我们采用“作差法”： ∵， ∴． ∴． 小明认为应选择路线2较短． (1)问题类比： 小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”请你用上述方法帮小亮比较出与的大小； (2)问题拓展： 请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为时，高为，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由． (3)问题解决： 如图（3）为两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5cm，当蚂蚁从点A出发，沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式） 【答案】(1) (2)当时，，即选择路线2最短． (3)当圆柱的底面半径r为厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等． 【思路引导】（1）由阅读材料，可知路线1：；路线2：；将数据代入即可求出的值，再运用差比法即可得出即可； （2）先根据阅读材料用含h、r的代数式分别表示，再由列出关于h、r的不等式，然后解不等式即可求解； （3）先根据阅读材料将代入，用含r的代数式分别表示，再由列出关于r的方程求解即可． 【规范解答】（1）解：如图2：∵圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm， 路线1：； 路线2： ； ∵， ∴． ∴． （2）解：如图2：∵圆柱的底面半径为时，高为， 路线1：； 路线2： ； ∵， ∵； ∴， ∴当时，，即选择路线2最短． （3）解：如图（3），圆柱的高为5厘米．，， 由题意，得，解得， 所以当圆柱的底面半径r为厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等． 【考点剖析】本题主要考查了平面展开-最短路径问、比较整式的大小、阅读能力等知识点，掌握数形集合思想和作差法是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$