3.4 勾股定理中常见的七大几何模型（知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第3章《勾股定理》】 3.4 勾股定理中常见的七大几何模型 （知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 考点讲练1：直角三角形中锐角平分线模型 4 考点讲练2：勾股定理之图形折叠模型 5 考点讲练3：勾股定理之赵爽弦图模型 6 考点讲练4：勾股定理之大树折断模型 7 考点讲练5：勾股定理之风吹荷花模型法 8 考点讲练6：勾股定理之蚂蚁行程问题 10 考点讲练7：勾股定理之垂美四边形模型 11 中等题真题汇编练 13 培优题真题汇编练 18 新知精讲梳理 题型一：折叠模型 图形折叠一定要注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行求解. 翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 题型二：赵爽弦图模型 “赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间的关系，那么做此类题时一定非常高效. 题型三：风吹树折模型 风吹树折类题就数学知识本身其实很简单，考查的就是勾股定理，最多设个未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点在于语言文字如何转化成数学模型. 题型四：出水芙蓉模型 出水芙蓉类题和风吹树折类题一样，数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，正确设出未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点也是语言文字如何转化成数学模型。 题型五：等边三角形中的378和578模型 当我们遇到两个三角形的三边长分别为3,7,8和5,7,8的时候,通常不会对它们进行处理,实际是因为我们对于这两组数字不敏感,但如果将这两个三角形拼在一起,你将惊喜地发现这是一个边长为8的等边三角形. 【模型】如图所示，当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，求这两个三角形的面积. 题型六：蚂蚁行程模型 蚂蚁爬行的最值问题是非常经典的一类最值问题，我们如果能够记住最值的特点，那么解题将会更高效. 题型七：垂美四边形模型 勾股定理是计算的工具，识别环境对同学们来说至关重要如果能够了解模型背后的结论，做题可以节省大量的时间。等腰直角三角形的手拉手全等模型容易出现垂美四边形。 考点讲练1：直角三角形中锐角平分线模型 【精讲题】（2021秋•赣榆区校级月考）如图，在中，，于，交于点，若，，，，则的周长是　　． 【举一反三练1】（2023秋•沭阳县期中）如图所示的网格是正方形网格，则　　（点，，是网格交点）． A．30 B．45 C．60 D．75 【举一反三练2】（2018秋•响水县校级月考）如图，在三角形纸片中，，，，现将边沿过点的直线折叠，使它落在边上．若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【举一反三练3】（2019秋•邳州市期末）如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则　 　． 考点讲练2：勾股定理之图形折叠模型 【精讲题】（2023秋•姑苏区校级月考）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则点到的距离为 　　． 【举一反三练1】（2022秋•淮阴区校级期末）如图，在中，，的垂直平分线交、于点、，若，，则的长度是 　　． 【举一反三练2】（2023秋•江阴市期中）如图，中，，，．点是射线上的动点，连接．与关于成轴对称，连接． （1）当时，求线段的长； （2）点从点开始在射线上以每秒1个单位的速度运动，当是以为直角边的直角三角形时，求的值． 【举一反三练3】（2023秋•新吴区期中）已知王大爷有个矩形池塘，米，米．王大爷依据地势修了块草莓园（如图阴影部分），并测得米，米．求王大爷的草莓园的占地面积有多大？ 考点讲练3：勾股定理之赵爽弦图模型 【精讲题】（2023秋•泉山区校级期中）公元3世纪初，中国古代书学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，勾，弦，则小正方形的面积为　　 A．1 B．3 C．4 D．9 【举一反三练1】（2022秋•锡山区期中）如图，在中，，，．以为一边在的同侧作正方形，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【举一反三练2】（2023秋•苏州期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为，那么的值为 　 ． 【举一反三练3】（2016秋•苏州期中）如图是“赵爽弦图”， 、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么等于　　 A．2 B．4 C．6 D．8 考点讲练4：勾股定理之大树折断模型 【精讲题】（2014秋•兴化市校级月考）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 　 　米． 【举一反三练1】（2022秋•泗阳县期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为 　 　． 【举一反三练2】（2021秋•靖江市校级期中）《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为 　 　尺． 【举一反三练3】（2022秋•埇桥区校级月考）如图，某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为．若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为．请完成下列问题： （1）梯子的长是 　； （2）这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为 　　． 考点讲练5：勾股定理之风吹荷花模型法 【精讲题】（2024春•滑县校级期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【举一反三练1】（2023秋•青羊区校级期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是 　 　 尺． 【举一反三练2】（2021秋•宽城区期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭jiā生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面处．问水的深度是多少？则水深为 　 　尺． 【举一反三练3】（2020春•广丰区期末）有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？ 考点讲练6：勾股定理之蚂蚁行程问题 【精讲题】（2023秋•青羊区校级期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 　 　米． 【举一反三练1】（2023秋•锦江区校级期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为 　　．取 【举一反三练2】（2023秋•肃州区期中）一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为取，则蚂蚁所走过的最短路径的长是 　　． 【举一反三练3】（2023秋•锦江区校级期中）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为，，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 　 　； （2）如图2，小明家住20楼，一天他与爸爸去买了一根长的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是，，，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？ 考点讲练7：勾股定理之垂美四边形模型 【精讲题】九（2023秋•碑林区校级期中）如图所示，，为垂足，设，，则，的大小关系为　　 A． B． C． D．不确定 【举一反三练1】（2022春•建平县期末）定义有一组对角是直角的四边形是垂美四边形． 理解如图①，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形，每个三角尺三个内角的度数都是、和．四边形是 　 　四边形，　　度； 探究如图②，四边形是垂美四边形．．，是边延长线上一点，求和的度数． 应用如图③，四边形是垂美四边形，，和分别是和的平分线，交、于点、．试说明． 【举一反三练2】（2018秋•义乌市校级期中）连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图1，四边形中线段、线段就是四边形的对角线．把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形两组对边，的平方和与，的平方和之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 　，的平方和等于，的平方和　． 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）． （3） 问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 【举一反三练3】．（2022秋•禅城区校级期中）四边形如图所示，已知，，，，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 中等题真题汇编练 1．（2024春•禹城市期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是　　 A．72 B．52 C．80 D．76 2．（2023秋•盐湖区校级期中）如图，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，若该圆柱体的底面周长是8厘米，高是3厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为　　 A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．5厘米 3．（2023秋•工业园区期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为　　 A．56 B．60 C．65 D．75 4．（2023春•开江县校级期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•南关区校级期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 　　． 6．（2024春•伊犁州期末）如图，受台风影响，马路边一棵大树在离地面处断裂，大树顶端落在离底部处，则大树折断之前高为 　　． 7．（2022•鼓楼区校级二模）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是　　 A．56 B．24 C．64 D．32 8．（2023秋•开福区校级期末）如图，在纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的长为 　　． 9．（2022秋•海口期末）如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，于点，若，，则的长为 　　． 10．（2023秋•农安县期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，，则中间小正方形的面积是 　　． 11．（2024•碑林区校级自主招生）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少？ 12．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在等边中，点，分别是，上的点，将沿所在直线对折，点落在边上的点处，且． （1）求的度数． （2）若，求线段和的值． 13．（2021秋•七里河区校级期末）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，请利用侧面展开图计算所用细线最短为多少． 14．（2020秋•江北区校级期末）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为．较短的直角边为，斜边长为，可以验证勾股定理； （2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则　　． 培优题真题汇编练 15．（2023秋•鹤壁期末）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为，直角三角形①中较长的直角边长，则直角三角形①的面积是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•岱岳区期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为　　 A． B． C． D． 17．（2022秋•温州期末）如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点为小正方形的顶点，延长交于点，连结交小正方形的一边于点，若为等腰三角形，，则小正方形的面积为　　 A．15 B．16 C．20 D．25 18．（2022•东莞市校级一模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，则的长为　　． A． B． C．3 D． 19．（2023秋•盐田区期末）如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿翻折至，延长交于点，交的延长线于点，且，则的长为 　　． 20．（2023秋•锦江区校级期中）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，那么它爬行的最短路程是 　　． 21．（2023秋•郑州期末）如图，中，，，，点为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点．若为直角三角形，则的长是 　　． 22．（2022秋•翠屏区期末）如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，，是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是 　　米． 23．（2023秋•青羊区校级期中）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与相对且距离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 　　． 24．（2023秋•嵊州市期中）如图， 直角三角形纸片的两直角边，． 现将直角边沿折叠， 使它落在斜边上， 点与点重合 ． 求的长 ． 25．（2023春•抚顺月考）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． （1）求证： （2）若，，，直接写出线段的长． 26．（2023秋•九原区期中）如图所示，在长方形中，，， （1）如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点’处，求的长； （2）如图②，将沿翻折至△，若交于点，求此时的长； （3）如图③，为边上的一点，将沿翻折至△，、分别交边于、，且，求的长． 27．（2023秋•丹徒区期末）四边形是正方形，点，分别是和上的动点，将四边形沿翻折，点和点的对称点分别是和． （1）如图1，若点在上，求证：； （2）若点恰好是的中点． ①如图2，当正方形的边长为4时，求的长； ②如图3，若交于点，连接，判断，、之间的数量关系，并说明理由． 28．（2019秋•建邺区校级期中）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：； （3）解决问题：如图3，中，，且，且，连接、、．已知，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第3章《勾股定理》】 3.4 勾股定理中常见的七大几何模型 （知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 考点讲练1：直角三角形中锐角平分线模型 4 考点讲练2：勾股定理之图形折叠模型 7 考点讲练3：勾股定理之赵爽弦图模型 13 考点讲练4：勾股定理之大树折断模型 16 考点讲练5：勾股定理之风吹荷花模型法 18 考点讲练6：勾股定理之蚂蚁行程问题 21 考点讲练7：勾股定理之垂美四边形模型 25 中等题真题汇编练 30 培优题真题汇编练 41 新知精讲梳理 题型一：折叠模型 图形折叠一定要注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行求解. 翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 题型二：赵爽弦图模型 “赵爽弦图”的面积关系是中考常考的一种题型，一般出现在选择题、填空题中，如果能够记住面积之间的关系，那么做此类题时一定非常高效. 题型三：风吹树折模型 风吹树折类题就数学知识本身其实很简单，考查的就是勾股定理，最多设个未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点在于语言文字如何转化成数学模型. 题型四：出水芙蓉模型 出水芙蓉类题和风吹树折类题一样，数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，正确设出未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点也是语言文字如何转化成数学模型。 题型五：等边三角形中的378和578模型 当我们遇到两个三角形的三边长分别为3,7,8和5,7,8的时候,通常不会对它们进行处理,实际是因为我们对于这两组数字不敏感,但如果将这两个三角形拼在一起,你将惊喜地发现这是一个边长为8的等边三角形. 【模型】如图所示，当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，求这两个三角形的面积. 题型六：蚂蚁行程模型 蚂蚁爬行的最值问题是非常经典的一类最值问题，我们如果能够记住最值的特点，那么解题将会更高效. 题型七：垂美四边形模型 勾股定理是计算的工具，识别环境对同学们来说至关重要如果能够了解模型背后的结论，做题可以节省大量的时间。等腰直角三角形的手拉手全等模型容易出现垂美四边形。 考点讲练1：直角三角形中锐角平分线模型 【精讲题】（2021秋•赣榆区校级月考）如图，在中，，于，交于点，若，，，，则的周长是　　． 【思路点拨】连接，利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【规范解答】解：连接， ，于， ， 在与中， ， ， ， ，，， 的周长， 故答案为：． 【考点评析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据得出与全等解答． 【举一反三练1】（2023秋•沭阳县期中）如图所示的网格是正方形网格，则　　（点，，是网格交点）． A．30 B．45 C．60 D．75 【思路点拨】延长交格点于，连接，根据勾股定理得到，，求得，于是得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【规范解答】解：延长交格点于，连接， 则，， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【举一反三练2】（2018秋•响水县校级月考）如图，在三角形纸片中，，，，现将边沿过点的直线折叠，使它落在边上．若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【思路点拨】由勾股定理的逆定理可得，由折叠可得，，，再根据勾股定理可求的长． 【规范解答】解：能 ， ． 折叠 ，， 在中，． 【考点评析】本题考查了翻折问题，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练运用勾股定理是本题的关键． 【举一反三练3】（2019秋•邳州市期末）如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则　3　． 【思路点拨】设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用表示出、、，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：设， ，，， ， 由折叠的性质可知，，， 则，， 由勾股定理得，， 解得， ． 故答案为：3． 【考点评析】本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 考点讲练2：勾股定理之图形折叠模型 【精讲题】（2023秋•姑苏区校级月考）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则点到的距离为 　　． 【思路点拨】先求出的面积．根据三角形的面积公式求出，设点到的距离为，根据，求出即可解决问题． 【规范解答】解：， ， ， 由翻折可知，，， ，， ， ， ， ， 设点到的距离为，则有， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查翻折变换的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【举一反三练1】（2022秋•淮阴区校级期末）如图，在中，，的垂直平分线交、于点、，若，，则的长度是 　　． 【思路点拨】连接，根据线段垂直平分线的性质得出，，根据勾股定理求出，设，再根据勾股定理得出方程，求出，即可得到的长． 【规范解答】解：如图所示，连接， 的垂直平分线交、于点、，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了线段垂直平分线性质和勾股定理等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•江阴市期中）如图，中，，，．点是射线上的动点，连接．与关于成轴对称，连接． （1）当时，求线段的长； （2）点从点开始在射线上以每秒1个单位的速度运动，当是以为直角边的直角三角形时，求的值． 【思路点拨】（1）中，，由勾股定理可得，当时，在上，利用面积法可求得，在中根据勾股定理可得，进而得，根据对称可得，结论即可求出； （2）总共分四种情况：当在线段上时，此时含两种情况：①，②当；当在延长线上时，分两种情况： ③，④当，画出相应的图形，利用勾股定理即可解决． 【规范解答】解：（1），，， ， 当时，如图所示：， 与关于轴对称， ， ； （2）当在线段上时， 分两种情况： ①， 与关于成轴对称， 则， 过作， 由（1）知，， ， 则， ； ②当，如图所示： 与关于成轴对称， ，， 作于，于 ， ， ， ， 又，， ， ，， 在中，， ， ，， ， ， 在中，，即， 解得：； 当在延长线上时，分两种情况： ③，如图所示： 此时， 与关于成轴对称， ， 作于， ， ． ； ④当，如图所示： ， 作于，于， 同理可得， 则，， 在中，， ， ， ， ，即， 解得：， 综上所述：当是以为直角边的直角三角形时，或28或或． 【考点评析】本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理的应用属于综合题，读懂并理解题意针对不同的情况画图相应的图形，丰富了学生的空间想象能力． 【举一反三练3】（2023秋•新吴区期中）已知王大爷有个矩形池塘，米，米．王大爷依据地势修了块草莓园（如图阴影部分），并测得米，米．求王大爷的草莓园的占地面积有多大？ 【思路点拨】本题通过构造直角三角形，通过勾股定理，来导出对应边的关系，从而得到对应边的长度，然后得到对应图形的面积． 【规范解答】解： 过点作，叫延长线于点，交延长线于点， 为矩形， ， ， ， 设，则， ， 在和中， ，， ，， ， ， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查勾股定理的应用，通过应用勾股定理，求出不规则图形的面积． 考点讲练3：勾股定理之赵爽弦图模型 【精讲题】（2023秋•泉山区校级期中）公元3世纪初，中国古代书学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，勾，弦，则小正方形的面积为　　 A．1 B．3 C．4 D．9 【思路点拨】根据勾股定理和正方形的面积公式可求解． 【规范解答】解：如图， 勾，弦， 股， 小正方形的边长， 小正方形的面积， 故选：． 【考点评析】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想． 【举一反三练1】（2022秋•锡山区期中）如图，在中，，，．以为一边在的同侧作正方形，则图中阴影部分的面积为 　139　． 【思路点拨】首先利用勾股定理求得边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答． 【规范解答】解：如图，中，，，， 由勾股定理知，． 故． 故答案为：139． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”． 【举一反三练2】（2023秋•苏州期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为，那么的值为 　16　． 【思路点拨】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积． 【规范解答】解：由题意作出如图， 得，，，是直角三角形， 则大正方形面积， 面积， 阴影部分的面积， 故答案为：16． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解． 【举一反三练3】（2016秋•苏州期中）如图是“赵爽弦图”， 、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么等于　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【思路点拨】根据面积的差得出的值，再利用，解得，的值代入即可． 【规范解答】解：，， 大正方形的面积是100，小正方形的面积是4， 四个直角三角形面积和为，设为，为，即， ，， ， ， ， 解得：，， ，， ． 故选：． 【考点评析】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得的值． 考点讲练4：勾股定理之大树折断模型 【精讲题】（2014秋•兴化市校级月考）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 　24　米． 【思路点拨】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是米． 【规范解答】解：因为米，米， 根据勾股定理得米， 于是折断前树的高度是米． 故答案为：24． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单． 【举一反三练1】（2022秋•泗阳县期中）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为 　8　． 【思路点拨】根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可． 【规范解答】解：由勾股定理得，断下的部分为（米，折断前为（米． 【考点评析】此题主要考查学生运用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单． 【举一反三练2】（2021秋•靖江市校级期中）《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为 　4.55　尺． 【思路点拨】设折断处离地面的高度为尺，则折断的长度为尺，根据勾股定理列方程解方程即可． 【规范解答】解：设折断处离地面的高度为尺，则折断的长度为尺， 由勾股定理得， 解得， 折断处离地面的高度为4.55尺， 故答案为：4.55． 【考点评析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【举一反三练3】（2022秋•埇桥区校级月考）如图，某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为．若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为．请完成下列问题： （1）梯子的长是 　2.5　； （2）这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为 　　． 【思路点拨】（1）根据题意可知：，然后根据勾股定理，求出即可； （2）先利用勾股定理求出，再根据，进行计算即可． 【规范解答】解：由题意可知：， 在中，根据勾股定理得：， 梯子的长为， 故答案为：2.5； （2）由题意可知： ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：2.2． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是一定要数形结合，找出所用的已知条件． 考点讲练5：勾股定理之风吹荷花模型法 【精讲题】（2024春•滑县校级期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【思路点拨】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得． 【规范解答】解：在中， ， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：， 答：绳索的长度是． 【考点评析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 【举一反三练1】（2023秋•青羊区校级期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是 　13　尺． 【思路点拨】设水深尺，芦苇尺，结合条件水面是一个边长为10尺的正方形，根据水池正中央有一根芦苇，求出的长，在中，由股定理得列出方程求出的值，进而求出芦苇的长度． 【规范解答】解：如图： 设水深尺，芦苇尺 根据题意可得（尺， 在中，由勾股定理得即， 解得：， 则（尺， 则芦苇的长度是13尺． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意，构造直角三角形是解决问题的关键． 【举一反三练2】（2021秋•宽城区期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭jiā生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面处．问水的深度是多少？则水深为 　12　尺． 【思路点拨】设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理列方程，解出即可． 【规范解答】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理，得， 解得， 水深为12尺， 故答案为：12． 【考点评析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【举一反三练3】（2020春•广丰区期末）有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？ 【思路点拨】关键是水深、荷花径移动的水平距离及荷花径的长度构成一直角三角形，解此直角三角形即可． 【规范解答】解：设水深尺，那么荷花径的长为尺， 由勾股定理得：． 解得：． 答：水池的水深有4尺． 【考点评析】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息画图是解题的关键． 考点讲练6：勾股定理之蚂蚁行程问题 【精讲题】（2023秋•青羊区校级期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 　10　米． 【思路点拨】将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【规范解答】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 最短路径为：（米． 故答案为：10． 【考点评析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力． 【举一反三练1】（2023秋•锦江区校级期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为 　　．取 【思路点拨】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答． 【规范解答】解：如图所示：即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线， 圆柱的底面半径为， ， 又， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是， 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•肃州区期中）一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为取，则蚂蚁所走过的最短路径的长是 　　． 【思路点拨】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短画出图形，然后利用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图，线段即为所求， 由题意得：，， 圆柱的底面半径为， ， ， 即蚂蚁走过的最短路径长为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理求最短路径． 【举一反三练3】（2023秋•锦江区校级期中）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为，，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 　20　； （2）如图2，小明家住20楼，一天他与爸爸去买了一根长的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是，，，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？ 【思路点拨】（1）分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可； （2）利用勾股定理求出电梯的对角线即可． 【规范解答】解：①如图1，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离， 在中，由勾股定理得：． 蚂蚁爬行的最短路程是． 故答案为：20； （2）如图所示： 由勾股定理得：， （米， 钢管能放进电梯． 【考点评析】本题考查了最短路径以及勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 考点讲练7：勾股定理之垂美四边形模型 【精讲题】九（2023秋•碑林区校级期中）如图所示，，为垂足，设，，则，的大小关系为　　 A． B． C． D．不确定 【思路点拨】根据已知可得、、、均为直角三角形，利用勾股定理即可解决． 【规范解答】解：， ， 、、、均为直角三角形， 在中，由勾股定理可得；； 同理： ； ； ； ， ； ， 故答案选：． 【考点评析】本题考查勾股定理的运用，发现、、、均为直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键． 【举一反三练1】（2022春•建平县期末）定义有一组对角是直角的四边形是垂美四边形． 理解如图①，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形，每个三角尺三个内角的度数都是、和．四边形是 　垂美　四边形，　　度； 探究如图②，四边形是垂美四边形．．，是边延长线上一点，求和的度数． 应用如图③，四边形是垂美四边形，，和分别是和的平分线，交、于点、．试说明． 【思路点拨】理解根据垂美四边形的定义即可解决问题； 探究根据垂美四边形的定义，四边形内角和定理即可解决问题； 应用利用等角的余角相等，证明即可解决问题； 【规范解答】解：理解如图①中，， 四边形是垂美四边形， 故答案为垂美，180； 探究如图②中，四边形是垂美四边形， ， ，且， ， ， ， 应用如图③中，由探究可知，， 和分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查四边形综合题、四边形内角和定理、垂美四边形的定义，角平分线的定义，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【举一反三练2】（2018秋•义乌市校级期中）连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图1，四边形中线段、线段就是四边形的对角线．把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形两组对边，的平方和与，的平方和之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 　，的平方和等于，的平方和　． 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）． （3） 问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 【思路点拨】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【规范解答】解：（1）四边形是垂美四边形． ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形； （2），的平方和等于，的平方和，理由： 如图1中， ， ， 由勾股定理得，， ， ． 故答案为，的平方和等于，的平方和； （3）连接、， ， ，即， 在和中， ， ， ，又， ，即， 四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ，， ，，， ， ． 【考点评析】本题为四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【举一反三练3】．（2022秋•禅城区校级期中）四边形如图所示，已知，，，，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【思路点拨】（1）根据勾股定理得出，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答即可； （2）根据三角形的面积公式解答即可． 【规范解答】（1）证明：，，， ， ， 是直角三角形，， ； （2）解：四边形的面积． 【考点评析】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出的长． 中等题真题汇编练 1．（2024春•禹城市期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是　　 A．72 B．52 C．80 D．76 【思路点拨】由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【规范解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则 所以 所以“数学风车”的周长是：． 故选：． 【考点评析】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． 2．（2023秋•盐湖区校级期中）如图，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，若该圆柱体的底面周长是8厘米，高是3厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为　　 A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．5厘米 【思路点拨】将圆柱体的侧面展开，通过勾股定理求出的长即可． 【规范解答】解：圆柱体的侧面展开图如图所示，连接， 圆柱体的底面周长是8厘米，高是3厘米， ，， 蚂蚁爬行的最短距离． 故选：． 【考点评析】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键． 3．（2023秋•工业园区期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为　　 A．56 B．60 C．65 D．75 【思路点拨】如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：如图， 由题意可知，，， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为． 故选：． 【考点评析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键． 4．（2023春•开江县校级期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据勾股定理可将斜边的长求出，根据折叠的性质知，，已知的长，可将的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到的长． 【规范解答】解：，，， ， 由题意得，， ． 设，则， 在中，根据勾股定理得 ， 即， 解得， 即长为． 故选：． 【考点评析】本题考查的是翻折变换，理解翻折变换的性质是解题的关键，翻折后的图形与原图形是全等的． 5．（2022秋•南关区校级期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 　　． 【思路点拨】将容器的侧面展开，建立点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【规范解答】解：将圆柱的侧面展开，为上底面圆周长的一半，作点关于的对称点，连接交于点， 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为， 即， 延长，过作于点， ， ， △中， 由勾股定理可得， 则该圆柱底面周长为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题关键． 6．（2024春•伊犁州期末）如图，受台风影响，马路边一棵大树在离地面处断裂，大树顶端落在离底部处，则大树折断之前高为 　16　． 【思路点拨】大树未折部分，折断部分，和地面正好构成直角三角形，根据勾股定理即可求出的长，再用大树总高度树折断的高度未折断的高度，即可解答． 【规范解答】解：设树的总高度为，由勾股定理得：， ， ，． 【考点评析】本题的关键是运用勾股定理将折断树的距离求出． 7．（2022•鼓楼区校级二模）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是　　 A．56 B．24 C．64 D．32 【思路点拨】由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【规范解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则 所以 所以“数学风车”的周长是：． 故选：． 【考点评析】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． 8．（2023秋•开福区校级期末）如图，在纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的长为 　　． 【思路点拨】利用勾股定理，在直角三角形中求，然后证明在直角三角形中利用勾股定理即可解决． 【规范解答】解：，，， ， 由折叠可得：，，， ， 设， 则， ， 在直角三角形中， 由勾股定理可得：， ， 解得：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了图形的折叠问题以及勾股定理、利用勾股定理是解决问题的关键． 9．（2022秋•海口期末）如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，于点，若，，则的长为 　9　． 【思路点拨】根据角平分线的性质得到，，由平行线的性质得，则，为等腰三角形，因此，再根据勾股定理得，最后由即可求解． 【规范解答】解：平分，，， ，， ， ， ， 为等腰三角形， ， 在中，由勾股定理得， ． 故答案为：9． 【考点评析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是学会利用数形结合的思想，熟练运用所学知识答题． 10．（2023秋•农安县期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若，，则中间小正方形的面积是 　49　． 【思路点拨】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【规范解答】解：，， ， 在中，， 小正方形的边长， 小正方形的面积为． 故答案为：49． 【考点评析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11．（2024•碑林区校级自主招生）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少？ 【思路点拨】由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【规范解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则 所以 所以“数学风车”的周长是：． 【考点评析】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． 12．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在等边中，点，分别是，上的点，将沿所在直线对折，点落在边上的点处，且． （1）求的度数． （2）若，求线段和的值． 【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质得，根据折叠的性质得，，进而求得，由三角形的外角性质得，以此即可求解； （2）根据折叠的性质可得，根据含30度角的直角三角形性质可，则，根据勾股定理列出方程解得，则，由（1）可知，最后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【规范解答】解：（1）为等边三角形， ， 根据折叠可知，，， ， ， ， ， ； （2）根据折叠可知，， ， ， 由（1）可知，，， ， ， 设，则， 在△中，由勾股定理得， 即， 解得：或（舍去）， ，， ， 为等边三角形， ， ， 由（1）知，， ， 在△中，， ． 综上，线段，． 【考点评析】本题主要考查折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理，熟记30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． 13．（2021秋•七里河区校级期末）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，请利用侧面展开图计算所用细线最短为多少． 【思路点拨】把长方体沿边剪开，再根据勾股定理进行解答即可． 【规范解答】解：将长方体展开，连接， 根据两点之间线段最短，； 所用细线最短为． 【考点评析】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 14．（2020秋•江北区校级期末）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为．较短的直角边为，斜边长为，可以验证勾股定理； （2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则　　． 【思路点拨】（1）由图可知，小正方形的面积可直用边长乘边长，为，也可用大正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积，为，以此即可证明； （2）设正方形的面积为，八个全等的直角三角形的面积均为，可得，，，则，根据整体思想即可求出． 【规范解答】（1）证明：， 另一方面， 即， 则； （2）解：设正方形的面积为，八个全等的直角三角形的面积均为， ， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查勾股定理的证明，利用数形结合的思想来答题是解题关键． 培优题真题汇编练 15．（2023秋•鹤壁期末）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为，直角三角形①中较长的直角边长，则直角三角形①的面积是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出． 【规范解答】解：两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方， 直角三角形①中较短的直角边长， 直角三角形①中较长的直角边长， 直角三角形 ①的面积， 故选：． 【考点评析】考查了正方形的面积以及勾股定理的应用．推知“正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方”是解题的难点． 16．（2023秋•岱岳区期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答． 【规范解答】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为， 则． 又因为， 所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的计算，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键． 17．（2022秋•温州期末）如图，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成．点为小正方形的顶点，延长交于点，连结交小正方形的一边于点，若为等腰三角形，，则小正方形的面积为　　 A．15 B．16 C．20 D．25 【思路点拨】由等腰三角形性质可得出，利用可证得，得出，根据余角的性质得出，进而推出，利用面积法求得，再运用勾股定理求得，即可求得答案． 【规范解答】解：设小正方形为，如图， 四边形和四边形是正方形， ，，， 为等腰三角形，且，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形面积等，利用面积法求得是解题的关键． 18．（2022•东莞市校级一模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，则的长为　　． A． B． C．3 D． 【思路点拨】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【规范解答】解：，，， ， 由折叠的性质得：，， ，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． 19．（2023秋•盐田区期末）如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿翻折至，延长交于点，交的延长线于点，且，则的长为 　　． 【思路点拨】由折叠可知，，，易通过证明，得到，，于是，设，则，，进而可得，，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可． 【规范解答】解：四边形为矩形，，， ，，， 由折叠可知，，，， ， 在和中， ， ， ，， ，即， 设，则，， ，， 在中，， ， 解得：， ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，利用全等三角形的性质得出是解题关键． 20．（2023秋•锦江区校级期中）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，那么它爬行的最短路程是 　20　． 【思路点拨】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【规范解答】解：①如图1，展开后连接，则就是在表面上从到的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上从到的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离， 在中，由勾股定理得：． 蚂蚁爬行的最短路程是． 【考点评析】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线． 21．（2023秋•郑州期末）如图，中，，，，点为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点．若为直角三角形，则的长是 　2或5　． 【思路点拨】分两种情况讨论：①如图1所示，当时；②如图2所示，当时，分别利用勾股定理列方程求解，即可得到的长． 【规范解答】解：分两种情况讨论： ①如图1所示，当时，过作，交的延长线于， ， ， 四边形是矩形， 设，则，， 中，，，， ， ， 中，， 即， 解得（不合题意），（符合题意）， 即； ②如图2所示，当时，点与点重合， 则， 设，则，， 中，， 即， 解得， ． 综上所述，的长是2或5， 故答案为：2或5． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理以及翻折变换的运用，解题的方法是：设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 22．（2022秋•翠屏区期末）如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，，是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是 　2.5　米． 【思路点拨】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【规范解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得． 【考点评析】本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 23．（2023秋•青羊区校级期中）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与相对且距离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 　　． 【思路点拨】立体图形中最值问题往往转化为平面图形，利用两点之间线段最短，通过勾股定理解决问题，将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．将圆柱沿所在的高剪开，展平如图所示，则，作关于的对称点，连接，则此时线段即为蚂蚁走的最短路径， 【规范解答】解：将圆柱沿所在的高剪开， 展平如图： 则， 作关于的对称点， 连接， 则此时线段即为蚂蚁走的最短路径， 过作于点， 则，， 在△中，由勾股定理得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键． 24．（2023秋•嵊州市期中）如图， 直角三角形纸片的两直角边，． 现将直角边沿折叠， 使它落在斜边上， 点与点重合 ． 求的长 ． 【思路点拨】由折叠的性质知，． 根据题意在中运用勾股定理求． 【规范解答】解：是直角三角形，，， ， 是翻折而成， ， 设，， ， 在中，， 即， 解得． 故的长为． 【考点评析】本题考查了翻折变换及勾股定理， 解答此类题目时常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其它线段的长度， 选择适当的直角三角形， 运用勾股定理列出方程求出答案 ． 25．（2023春•抚顺月考）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． （1）求证： （2）若，，，直接写出线段的长． 【思路点拨】（1）延长至使，连接，证明△，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【规范解答】证明：（1）延长至使，连接， 为中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 连接， ，， ， 在中， ， 即：； 解：（2）设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质，其中倍长中线是解决问题的关键． 26．（2023秋•九原区期中）如图所示，在长方形中，，， （1）如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点’处，求的长； （2）如图②，将沿翻折至△，若交于点，求此时的长； （3）如图③，为边上的一点，将沿翻折至△，、分别交边于、，且，求的长． 【思路点拨】（1）设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）依据条件可判定△，即可得到；设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）设．在中，利用勾股定理列方程求解即可， 【规范解答】解：（1）将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处， ， 四边形是长方形， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ． （2）四边形是长方形， ，， 将沿翻折至△， ，， ，， 交于点， ， △， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得， ． （3）设． ，，， △， ，， ， ，，， 在中，， 解得， ． 【考点评析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及方程思想的运用，解决问题的关键是利用勾股定理建立方程，求得线段的长． 27．（2023秋•丹徒区期末）四边形是正方形，点，分别是和上的动点，将四边形沿翻折，点和点的对称点分别是和． （1）如图1，若点在上，求证：； （2）若点恰好是的中点． ①如图2，当正方形的边长为4时，求的长； ②如图3，若交于点，连接，判断，、之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）证明，，，即可证明结论； （2）①求出的长度，设，则，在中，运用勾股定理，即可列方程求出结果； ②在和中，得，，进而有，联立式子即可证明结论． 【规范解答】（1）证明：四边形是正方形， ， 四边形沿翻折，点和点的对称点分别是和， ，， ， ， ； （2）①解：点是的中点， ， 四边形沿翻折，点和点的对称点分别是和， ， 设，则， 在中， ，，， ， ， 解得， ； ②证：，理由如下： 点恰好是的中点， ， 在中， ， ， 在中， ， ， ， ， 【考点评析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，本题的关键是灵活运用勾股定理解决问题． 28．（2019秋•建邺区校级期中）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：； （3）解决问题：如图3，中，，且，且，连接、、．已知，，求的长． 【思路点拨】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【规范解答】解：（1）四边形是垂美四边形， 理由如下：连接，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， 四边形是垂美四边形； （2）， ， 由勾股定理得，， ， ； 故答案为：； （3）， ，即， 在和中， ， ， ，又， ，即， 四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ，， ，，， ， ． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$