3.3 勾股定理的简单应用（知识精讲+易错点拨+十二大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第3章《勾股定理》】 3.3 勾股定理的简单应用 （知识精讲+易错点拨+十二大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：求梯子滑落高度 5 考点讲练2：求旗杆高度 7 考点讲练3：求小鸟飞行距离 9 考点讲练4：求大树折断前的高度 10 考点讲练5：解决水杯中筷子长度问题 11 考点讲练6：航海问题中求行程距离问题 13 考点讲练7：求河宽度问题 14 考点讲练8：求台阶上地毯长度问题 16 考点讲练9：判断汽车是否超速 17 考点讲练10：判断是否受台风影响 18 考点讲练11：选址使用两地距离相等 20 考点讲练12：求最短路径问题 21 中等题真题汇编练 22 培优题真题汇编练 26 新知精讲梳理 应用1：求梯子滑落高度 问题描述：一个梯子靠在墙上，当梯子底部沿地面滑出一定距离后，梯子顶部会相应下滑。要求计算梯子顶部下滑的高度。 解决方法：首先，根据梯子未滑动时的状态，设梯子长度为c，墙与地面的垂直距离为a，梯子底部到墙的距离为b。根据勾股定理，有a²+b²=c²。当梯子底部滑动后，新的底部到墙的距离为b，新的墙与地面的垂直距离为a。由于梯子长度不变，所以a²+b²=c²。通过这两个方程，可以解出a，进而求得梯子顶部下滑的高度a 应用2：求旗杆高度 问题描述：在地面某点测得旗杆顶部的仰角，以及从该点到旗杆底部的距离，要求计算旗杆的高度。 解决方法：将这个问题转化为直角三角形问题，其中旗杆高度为直角边，从观测点到旗杆底部的距离为另一条直角边，仰角的对边即为旗杆高度。利用三角函数（或等价地，通过构造直角三角形并应用勾股定理）来求解旗杆高度。 应用3：求大树折断前的高度 问题描述：一棵大树在风暴中断裂，断裂处距离地面一定高度，且断裂部分与地面形成一定角度。要求计算大树折断前的高度。 解决方法：同样将问题转化为直角三角形问题，其中大树折断前的总高度为斜边，断裂处到地面的高度为一条直角边，断裂部分与地面形成的角度的邻边为另一条直角边（或通过对边和角度使用三角函数求解）。利用勾股定理或三角函数求解大树折断前的高度。 应用4：解决水杯中筷子长度问题 问题描述：将一根筷子斜插入盛有水的杯子中，从外部看筷子在水面处似乎被折断了，要求计算筷子的实际长度。 解决方法：这个问题涉及到光的折射，但在数学上，我们可以将其简化为两个直角三角形问题。首先，根据折射后的筷子长度和折射角（或观察到的角度），可以构造一个直角三角形求解筷子在水中的部分长度。然后，结合筷子露出水面的部分长度，得到筷子的实际总长度。 应用5：航海问题中求行程距离 问题描述：在航海中，已知船只的起始位置、目标位置以及航向（或航向角），要求计算船只需要航行的最短距离。 解决方法：这通常涉及到球面三角学或更简单的二维平面几何问题（如果距离较近且地球曲率可忽略）。在二维情况下，可以构造一个直角三角形，其中船只的起始位置和目标位置为直角三角形的两个顶点，航向角为直角边与斜边之间的夹角。利用勾股定理或三角函数求解航行距离。 应用6： 求最短路径问题 问题描述：在网格、城市街道或其他具有障碍物的环境中，求两点之间的最短路径。 解决方法：虽然这类问题通常通过图论中的算法（如Dijkstra算法、A*算法等）来解决，但在某些简化情况下（如直角网格），可以将其转化为一系列直角三角形问题。通过计算每个可能路径上的直角三角形的斜边长度，并找到其中的最小值，来确定最短路径。然而，这种方法在复杂环境中可能不够高效或精确。 在苏科版数学8年级上册第三章勾股定理的第三节“勾股定理的简单应用”中，通过一系列实际问题，展示了勾股定理在日常生活和实际应用中的广泛性和重要性。针对您提到的求河宽度、求台阶上地毯长、判断汽车是否超速、判断是否受台风影响等知识点，我将逐一进行详细阐述。 应用7：求河宽度 问题描述：在河的一边，通过测量某点到对岸的视线角度以及视线与岸边形成的直角三角形的一边长度，来求取河的宽度。 解决方法： 首先，在岸边选择一点A，并确定对岸上的一个可观测点B。 在A点放置测量工具（如经纬仪或测距仪），测量从A到B的视线角度θ（通常为仰角或俯角）。 同时，在A点沿垂直于河岸的方向测量出一段距离AC，该距离是直角三角形的一条直角边。 利用三角函数或构造直角三角形的方法，根据已知的θ和AC，计算出AB（即河的宽度）。如果直接应用勾股定理，可能需要知道另一条直角边的长度，这在实际情况中可能不易直接获取。 应用8：求台阶上地毯长 问题描述：为了覆盖一系列台阶，需要计算所需地毯的总长度。 解决方法： 首先，测量每个台阶的高度和宽度。 然后，将每个台阶的垂直高度和水平宽度相加，得到该台阶沿对角线方向的长度（利用勾股定理a²+b²=c²，其中a和b分别为台阶的高度和宽度，c为对角线长度）。 将所有台阶的对角线长度相加，得到所需地毯的总长度。 注意，如果台阶之间存在平台或间隙，也需要将其长度考虑在内。 应用9：判断汽车是否超速 问题描述：通过测量汽车在一段时间内的行驶距离和所用时间，来判断其是否超过了限速。 解决方法： 这实际上是一个速度计算问题，但可以通过构造直角三角形来辅助理解。 假设汽车在t秒内行驶了d米的距离，则汽车的平均速度为v=d/t（米/秒）。 将这个速度与限速进行比较，如果v大于限速，则汽车超速。 需要注意的是，这个过程并不直接应用勾股定理，但可以通过速度、距离和时间之间的关系来间接体现勾股定理在测量和计算中的应用。 应用10：判断是否受台风影响 问题描述：根据台风中心的位置、强度以及预测的移动路径和速度，来判断某地区是否会受到台风的影响。 解决方法： 这个问题涉及到气象学和地理学的知识，而不是直接应用勾股定理。 然而，在评估台风影响范围时，可能会使用到一些几何和测量的方法，包括构造以台风中心为圆心的圆形区域来表示台风的影响范围（这类似于在地图上绘制一个以某点为圆心、一定半径为长度的圆）。 在这种情况下，虽然不直接应用勾股定理，但勾股定理的几何思想（如距离和半径的计算）对于理解和评估台风影响范围是有帮助的。 高频易错知识点拨 易错知识点01：直角边与斜边未明确 易错点描述： 在题目中，当直角三角形的两边长度给出时，学生可能会默认较短的边为直角边，较长的边为斜边，而没有明确判断这两边在三角形中的具体角色。这种思维定势容易导致解题错误。 解决方法： 在解题时，应明确题目给出的两边哪一条是直角边，哪一条可能是斜边，或者两者都有可能。需要分情况讨论，确保每种可能性都被考虑到。 易错知识点02：未考虑三角形的形状 易错点描述： 在利用勾股定理进行求解时，学生可能会忽略题目中未明确指出的三角形形状（如锐角三角形、钝角三角形或直角三角形），从而导致错误地应用勾股定理。 解决方法： 在解题前，应先判断三角形的形状。如果题目没有明确指出，可以通过计算三边关系（如a²+b²与c²的比较）来确定三角形的类型，并据此选择正确的解题方法。 易错知识点03：勾股数的误用 易错点描述： 学生可能会将题目中给出的两边长度误认为是常见的勾股数组合（如3,4,5），而没有进行实际的计算验证。这种误用勾股数的行为会导致解题错误。 解决方法： 在解题时，不要盲目地认为给出的两边长度就是勾股数组合。应该先进行实际的计算验证，确保满足勾股定理的条件（即两直角边的平方和等于斜边的平方）。 易错知识点04：未考虑实际问题的多种情况 易错点描述： 在解决实际应用问题时（如求河宽度、台阶上地毯长度等），学生可能会忽略问题中的多种可能性，只考虑了一种情况就进行解答。 解决方法： 在解题时，应全面考虑问题中的多种可能性，并分别进行求解。最后根据题目要求选择正确的答案或综合多种情况给出答案。 易错知识点05：单位换算错误 易错点描述： 在解题过程中，学生可能会忽略单位换算的问题，导致计算结果出现错误。 解决方法： 在解题前，应仔细查看题目中给出的单位是否统一。如果不统一，需要进行单位换算后再进行计算。同时，在计算过程中也要注意单位的正确使用和表示。 考点讲练1：求梯子滑落高度 【精讲题】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙． (1)这架云梯的顶端距地面有多高？ (2)如果云梯的顶端下滑了，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？ 【举一反三练1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）2023年8月18日，世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技公司展示了首款人形通用机器人．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人的跑步测试方案如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着方向滑下，同时机器人从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度米，滑梯底部与机器人的出发点之间的距离米．请问，机器人跑步多少米与乐乐相遇？ 【举一反三练2】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作： ①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 考点讲练2：求旗杆高度 【精讲题】（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，一根长为米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端与墙根之间的距离为米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动米至处，则梯子的顶端将沿墙向下移动 ． 【举一反三练1】（14-15八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，在一棵树的高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？    【举一反三练2】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ (3)小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由． 考点讲练3：求小鸟飞行距离 【精讲题】（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【举一反三练1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【举一反三练2】（22-23八年级下·山东聊城·期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：    ①测得的长度为8米；（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的王明身高米； (1)求风筝的垂直高度． (2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 考点讲练4：求大树折断前的高度 【精讲题】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则 尺． 【举一反三练2】（23-24八年级上·福建三明·期中）如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．      (1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． (2)在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 考点讲练5：解决水杯中筷子长度问题 【精讲题】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ． 【举一反三练1】（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【举一反三练2】（23-24八年级下·陕西延安·期中）如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？ 考点讲练6：航海问题中求行程距离问题 【精讲题】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在海面上有两个疑似漂浮目标、，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地.一艘搜救艇以6海里／时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以8海里／时的速度向目标前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标、，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（    ）    A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，南北向为我国领海线，即以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 考点讲练7：求河宽度问题 【精讲题】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【举一反三练1】（22-23八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 【举一反三练2】（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 考点讲练8：求台阶上地毯长度问题 【精讲题】（22-23八年级下·安徽宣城·期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元． 【举一反三练1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 【举一反三练2】．（21-22八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 考点讲练9：判断汽车是否超速 【精讲题】（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【举一反三练1】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行㧒速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方60米处，过了5秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为100米，这辆小汽车超速了吗？    【举一反三练2】（22-23八年级上·陕西榆林·阶段练习）某市规定：小汽车在城市道路上行驶的速度不得超过（约为）．如图，一辆小汽车在该市一条城市道路上由东向西行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，后到达B处（），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为，问这辆小汽车是否超速？请说明理由．          考点讲练10：判断是否受台风影响 【精讲题】．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问： (1)城市是否会受到台风影响？ (2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【举一反三练1】（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围200千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心由西向东，从移动到，已知点是一个海港，且点与两点的距离分别为两点的距离为：． (1)求的度数； (2)海港会受到这次台风的影响吗？请说明理由． 【举一反三练2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C受台风影响吗?为什么? (2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长? 考点讲练11：选址使用两地距离相等 【精讲题】（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，． (1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求图书室E到居民区A的距离． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东淄博·期中）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 考点讲练12：求最短路径问题 【精讲题】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ． 【举一反三练1】（23-24八年级下·广西北海·期中）如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图(1)，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图(2)，经过测量，，计算仅仅少走了 步．(假设米为步) 中等题真题汇编练 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 2．（11-12八年级下·安徽滁州·期中）将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（    ） A．7 B．8 C．9 D．5 4．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）一艘轮船以海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一艘轮船以海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，两船相距（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 5．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，在港有甲、乙两艘淮船，若甲船沿北偏东的方向以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．求岛与岛之间的距离为 海里． 6．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 ． 7．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米．若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（）5米．则旗杆的高度为 ． 8．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐的底面周长是，高是，那么所需彩带最短的长度是 ． 9．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）一架方梯长25米，如图所示，斜靠在一面墙上． (1)若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 10．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图1，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明同学应用勾股定理提出解决这个问题的方案如下： ①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部4米，如图2．请你按小明的方案求出旗杆的高度（米）． 11．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    12．（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． (1)山地C距离公路的垂直距离为多少米? (2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 培优题真题汇编练 13．（23-24八年级上·山东青岛·期末）世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 14．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，有一长方体容器， ，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点 A爬到点的最短爬行路程是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 15．（23-24八年级上·甘肃天水·期末）如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底而A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为（　　）．（取3） A． B． C．4 D．3 16．（2021·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，，，点是内的一点，连接，，，满足，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．13 17．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，有一个圆柱形储油罐，要以A点为起点环绕油罐侧面建梯子，正好到达A点正上方的B点，则梯子最短需要（已知油罐底面周长是12米，高8米） ． 18．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图所示，有一个正方体盒子，其棱长为，一只虫子在顶点A处，一只蜘蛛在顶点B处，蜘蛛沿着盒子表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，它所走的最短路程是 ．（结果保留根号） 19．（23-24八年级上·吉林长春·期末）．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响 秒． 20．（23-24八年级上·河南焦作·期中）如图是一圆杜玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是 ． 21．（23-24八年级上·浙江温州·期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是 ． 22．（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 23．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．    (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：） 24．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离． 25．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 26．（2017·陕西西安·模拟预测）【问题探究】 (1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由； (2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值； 【问题解决】 (3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第3章《勾股定理》】 3.3 勾股定理的简单应用 （知识精讲+易错点拨+十二大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：求梯子滑落高度 5 考点讲练2：求旗杆高度 8 考点讲练3：求小鸟飞行距离 11 考点讲练4：求大树折断前的高度 14 考点讲练5：解决水杯中筷子长度问题 17 考点讲练6：航海问题中求行程距离问题 19 考点讲练7：求河宽度问题 22 考点讲练8：求台阶上地毯长度问题 25 考点讲练9：判断汽车是否超速 27 考点讲练10：判断是否受台风影响 29 考点讲练11：选址使用两地距离相等 33 考点讲练12：求最短路径问题 37 中等题真题汇编练 39 培优题真题汇编练 48 新知精讲梳理 应用1：求梯子滑落高度 问题描述：一个梯子靠在墙上，当梯子底部沿地面滑出一定距离后，梯子顶部会相应下滑。要求计算梯子顶部下滑的高度。 解决方法：首先，根据梯子未滑动时的状态，设梯子长度为c，墙与地面的垂直距离为a，梯子底部到墙的距离为b。根据勾股定理，有a²+b²=c²。当梯子底部滑动后，新的底部到墙的距离为b，新的墙与地面的垂直距离为a。由于梯子长度不变，所以a²+b²=c²。通过这两个方程，可以解出a，进而求得梯子顶部下滑的高度a 应用2：求旗杆高度 问题描述：在地面某点测得旗杆顶部的仰角，以及从该点到旗杆底部的距离，要求计算旗杆的高度。 解决方法：将这个问题转化为直角三角形问题，其中旗杆高度为直角边，从观测点到旗杆底部的距离为另一条直角边，仰角的对边即为旗杆高度。利用三角函数（或等价地，通过构造直角三角形并应用勾股定理）来求解旗杆高度。 应用3：求大树折断前的高度 问题描述：一棵大树在风暴中断裂，断裂处距离地面一定高度，且断裂部分与地面形成一定角度。要求计算大树折断前的高度。 解决方法：同样将问题转化为直角三角形问题，其中大树折断前的总高度为斜边，断裂处到地面的高度为一条直角边，断裂部分与地面形成的角度的邻边为另一条直角边（或通过对边和角度使用三角函数求解）。利用勾股定理或三角函数求解大树折断前的高度。 应用4：解决水杯中筷子长度问题 问题描述：将一根筷子斜插入盛有水的杯子中，从外部看筷子在水面处似乎被折断了，要求计算筷子的实际长度。 解决方法：这个问题涉及到光的折射，但在数学上，我们可以将其简化为两个直角三角形问题。首先，根据折射后的筷子长度和折射角（或观察到的角度），可以构造一个直角三角形求解筷子在水中的部分长度。然后，结合筷子露出水面的部分长度，得到筷子的实际总长度。 应用5：航海问题中求行程距离 问题描述：在航海中，已知船只的起始位置、目标位置以及航向（或航向角），要求计算船只需要航行的最短距离。 解决方法：这通常涉及到球面三角学或更简单的二维平面几何问题（如果距离较近且地球曲率可忽略）。在二维情况下，可以构造一个直角三角形，其中船只的起始位置和目标位置为直角三角形的两个顶点，航向角为直角边与斜边之间的夹角。利用勾股定理或三角函数求解航行距离。 应用6： 求最短路径问题 问题描述：在网格、城市街道或其他具有障碍物的环境中，求两点之间的最短路径。 解决方法：虽然这类问题通常通过图论中的算法（如Dijkstra算法、A*算法等）来解决，但在某些简化情况下（如直角网格），可以将其转化为一系列直角三角形问题。通过计算每个可能路径上的直角三角形的斜边长度，并找到其中的最小值，来确定最短路径。然而，这种方法在复杂环境中可能不够高效或精确。 在苏科版数学8年级上册第三章勾股定理的第三节“勾股定理的简单应用”中，通过一系列实际问题，展示了勾股定理在日常生活和实际应用中的广泛性和重要性。针对您提到的求河宽度、求台阶上地毯长、判断汽车是否超速、判断是否受台风影响等知识点，我将逐一进行详细阐述。 应用7：求河宽度 问题描述：在河的一边，通过测量某点到对岸的视线角度以及视线与岸边形成的直角三角形的一边长度，来求取河的宽度。 解决方法： 首先，在岸边选择一点A，并确定对岸上的一个可观测点B。 在A点放置测量工具（如经纬仪或测距仪），测量从A到B的视线角度θ（通常为仰角或俯角）。 同时，在A点沿垂直于河岸的方向测量出一段距离AC，该距离是直角三角形的一条直角边。 利用三角函数或构造直角三角形的方法，根据已知的θ和AC，计算出AB（即河的宽度）。如果直接应用勾股定理，可能需要知道另一条直角边的长度，这在实际情况中可能不易直接获取。 应用8：求台阶上地毯长 问题描述：为了覆盖一系列台阶，需要计算所需地毯的总长度。 解决方法： 首先，测量每个台阶的高度和宽度。 然后，将每个台阶的垂直高度和水平宽度相加，得到该台阶沿对角线方向的长度（利用勾股定理a²+b²=c²，其中a和b分别为台阶的高度和宽度，c为对角线长度）。 将所有台阶的对角线长度相加，得到所需地毯的总长度。 注意，如果台阶之间存在平台或间隙，也需要将其长度考虑在内。 应用9：判断汽车是否超速 问题描述：通过测量汽车在一段时间内的行驶距离和所用时间，来判断其是否超过了限速。 解决方法： 这实际上是一个速度计算问题，但可以通过构造直角三角形来辅助理解。 假设汽车在t秒内行驶了d米的距离，则汽车的平均速度为v=d/t（米/秒）。 将这个速度与限速进行比较，如果v大于限速，则汽车超速。 需要注意的是，这个过程并不直接应用勾股定理，但可以通过速度、距离和时间之间的关系来间接体现勾股定理在测量和计算中的应用。 应用10：判断是否受台风影响 问题描述：根据台风中心的位置、强度以及预测的移动路径和速度，来判断某地区是否会受到台风的影响。 解决方法： 这个问题涉及到气象学和地理学的知识，而不是直接应用勾股定理。 然而，在评估台风影响范围时，可能会使用到一些几何和测量的方法，包括构造以台风中心为圆心的圆形区域来表示台风的影响范围（这类似于在地图上绘制一个以某点为圆心、一定半径为长度的圆）。 在这种情况下，虽然不直接应用勾股定理，但勾股定理的几何思想（如距离和半径的计算）对于理解和评估台风影响范围是有帮助的。 高频易错知识点拨 易错知识点01：直角边与斜边未明确 易错点描述： 在题目中，当直角三角形的两边长度给出时，学生可能会默认较短的边为直角边，较长的边为斜边，而没有明确判断这两边在三角形中的具体角色。这种思维定势容易导致解题错误。 解决方法： 在解题时，应明确题目给出的两边哪一条是直角边，哪一条可能是斜边，或者两者都有可能。需要分情况讨论，确保每种可能性都被考虑到。 易错知识点02：未考虑三角形的形状 易错点描述： 在利用勾股定理进行求解时，学生可能会忽略题目中未明确指出的三角形形状（如锐角三角形、钝角三角形或直角三角形），从而导致错误地应用勾股定理。 解决方法： 在解题前，应先判断三角形的形状。如果题目没有明确指出，可以通过计算三边关系（如a²+b²与c²的比较）来确定三角形的类型，并据此选择正确的解题方法。 易错知识点03：勾股数的误用 易错点描述： 学生可能会将题目中给出的两边长度误认为是常见的勾股数组合（如3,4,5），而没有进行实际的计算验证。这种误用勾股数的行为会导致解题错误。 解决方法： 在解题时，不要盲目地认为给出的两边长度就是勾股数组合。应该先进行实际的计算验证，确保满足勾股定理的条件（即两直角边的平方和等于斜边的平方）。 易错知识点04：未考虑实际问题的多种情况 易错点描述： 在解决实际应用问题时（如求河宽度、台阶上地毯长度等），学生可能会忽略问题中的多种可能性，只考虑了一种情况就进行解答。 解决方法： 在解题时，应全面考虑问题中的多种可能性，并分别进行求解。最后根据题目要求选择正确的答案或综合多种情况给出答案。 易错知识点05：单位换算错误 易错点描述： 在解题过程中，学生可能会忽略单位换算的问题，导致计算结果出现错误。 解决方法： 在解题前，应仔细查看题目中给出的单位是否统一。如果不统一，需要进行单位换算后再进行计算。同时，在计算过程中也要注意单位的正确使用和表示。 考点讲练1：求梯子滑落高度 【精讲题】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙． (1)这架云梯的顶端距地面有多高？ (2)如果云梯的顶端下滑了，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？ 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到答案； （2）由（1）的结论可求得顶端下滑后距离地面的高度，再利用勾股定理求得此时底部离墙的距离，即可判断． 【规范解答】（1）解：如图， 根据题意，，， 则 答：这架云梯的顶端距地面． （2）解：如（1）图， 根据题意，，， ，， 云梯的底部在水平方向不是滑动了 答：如果云梯的顶端下滑了，它的底部在水平方向不是滑动了． 【举一反三练1】（23-24八年级下·陕西安康·期末）2023年8月18日，世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技公司展示了首款人形通用机器人．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人的跑步测试方案如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着方向滑下，同时机器人从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度米，滑梯底部与机器人的出发点之间的距离米．请问，机器人跑步多少米与乐乐相遇？ 【答案】5米 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，设机器人跑步x米与乐乐相遇，在中，利用勾股定理构建关于x的方程求解即可． 【规范解答】解：设机器人跑步x米与乐乐相遇，则米，米， ∵机器人的跑步速度与乐乐的下滑速度相同， ∴米， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴机器人跑步5米与乐乐相遇． 【举一反三练2】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作： ①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查勾股定理的实际应用（1）利用勾股定理求得的值，再利用求解即可； （2）根据勾股定理求得的值，再利用求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：风筝的垂直高度为； （2）解：由题意得，， ∴， 在中，， ∴， 答：他应该往回收线． 考点讲练2：求旗杆高度 【精讲题】（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，一根长为米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端与墙根之间的距离为米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动米至处，则梯子的顶端将沿墙向下移动 ． 【答案】米 【思路点拨】此题考查了勾股定理的应用，用移动前梯子顶端到地面的距离减去移动后梯子顶端到地面的距离即可得到答案． 【规范解答】解：梯子的顶端沿墙向下移动的距离为（米） 故答案为：米 【举一反三练1】（14-15八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，在一棵树的高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？    【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设高为，则从B点爬到D点再直线沿到A点，走的总路程为，从B点到A点经过路程，根据勾股定理得：，即，求出x的值，再求出树的高度即可． 【规范解答】解：设高为，则从B点爬到D点再直线沿到A点，走的总路程为，从B点到A点经过路程， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这棵树的高度为． 【举一反三练2】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）武汉光谷中央生态大走廊大草坪上，不仅有空轨旅游专线，而且视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校801班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明站在原地想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ (3)小亮想一边收线，一边后退，也使风筝沿方向下降12米，且让收线的长度和后退的距离相等．试问小亮的想法能否实现，如果能实现，请求出收线的长度；如果不能实现，请说明理由． 【答案】(1)21.6米 (2)8米 (3)4.2米 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可得出结果； （2）设他应该往回收线米，根据勾股定理得出方程求解即可； （3）设收线的长度为米，根据勾股定理得出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：在中，由勾股定理得， （米）， （米）； 风筝的垂直高度为21.6米． （2）解：设他应该往回收线米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：他应该往回收线8米． （3）解：设收线的长度为米，如图， 则米，（米，米， 根据勾股定理得，， 解得， 答：收线的长度为4.2米． 考点讲练3：求小鸟飞行距离 【精讲题】（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【规范解答】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 【举一反三练1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米． (1)求出的长度； (2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】(1)15米； (2)米 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【规范解答】（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中， ， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 【举一反三练2】（22-23八年级下·山东聊城·期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：    ①测得的长度为8米；（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的王明身高米； (1)求风筝的垂直高度． (2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米； (2)7米． 【思路点拨】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：连接，由题意得，米，   ， （米）， （米）， 他应该往回收线7米． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形． 考点讲练4：求大树折断前的高度 【精讲题】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理、列一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题关键．利用勾股定理列出方程即可得． 【规范解答】解：如图，由题意可知，尺，尺，尺，， 则在中，，即， 故选：D．    【举一反三练1】（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则 尺． 【答案】12 【思路点拨】本题考查勾股定理与实际问题，熟练掌握勾股定理是解此题的关键，利用竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【规范解答】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 故答案为：12． 【举一反三练2】（23-24八年级上·福建三明·期中）如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．      (1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． (2)在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)风筝距离地面的高度AB为12米 (2)见解析 【思路点拨】本题考查勾股定理、角平分线、尺规作图、一元一次方程等基础知识， （1）设，则，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度． （2）根据尺规作图即可； 【规范解答】（1）解：依题意：在中，，米，． 设米，则米． 在中，根据勾股定理，，    即． 化为，解得． 所以风筝距离地面的高度AB为12米． （2）    如图，点D为所求作的点． 考点讲练5：解决水杯中筷子长度问题 【精讲题】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出收纳盒里面筷子的最大长度是解题的关键．求出筷子露在收纳盒外的最长长度和最短长度，即可得出结论． 【规范解答】解：当筷子放进收纳盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长； 当筷子放进收纳盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长，高为， 由勾股定理得：收纳盒里面筷子长度， 筷子露在收纳盒外的长度最短； 筷子露在盒外的部分的取值范围是， 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【规范解答】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 【举一反三练2】（23-24八年级下·陕西延安·期中）如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？ 【答案】筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，根据筷子露在杯子口外的最短长度以及筷子的长度，求出筷子插入茶杯的最大长度，根据勾股定理求出的长度是解答此题的关键． 【规范解答】解：由题意，得，，， 由勾股定理，得， ∴， ∴筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是． 考点讲练6：航海问题中求行程距离问题 【精讲题】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在海面上有两个疑似漂浮目标、，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地.一艘搜救艇以6海里／时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以8海里／时的速度向目标前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标、，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用方向角问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、方向角是解答本题的关键．根据题意可得海里，海里，海里，即可得，则，进而可得，从而可得出答案． 【规范解答】解：根据题意得，（海里），（海里）， ， 海里， ， ， ． ， ， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西． 故选：B 【举一反三练1】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 【答案】(1)从岛返回港所需的时间为3小时 (2)岛在港的北偏西 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单． （1）中，利用勾股定理求得的长度，则；然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间间路程速度； （2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答． 【规范解答】（1）由题意， 中，，得． ． ． ． （小时）． 答：从岛返回港所需的时间为3小时． （2）， ． ． ． 岛在港的北偏西． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，南北向为我国领海线，即以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 【答案】走私艇C最早在11时6分进入我国领海 【思路点拨】本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形．已知走私船的速度，求出走私船的距离即可得出走私船所用的时间，即可得出走私船何时能进入我国领海．所以现在的问题是得出走私船的距离，根据题意，即为走私船所走的路程，可知，和均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出． 【规范解答】解：设与相交于E，则， ∵， ∴为直角三角形，且． ∵， ∴走私艇C进入我国领海的最短距离是． 由， 即 得海里． 由， 得海里， ∴（小时）=1时36分，9时30分＋1时36分=11时6分． 答：走私艇C最早在11时6分进入我国领海． 考点讲练7：求河宽度问题 【精讲题】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【规范解答】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 【举一反三练1】（22-23八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 【答案】(1)米 (2)航行总时间为67.5秒 【思路点拨】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离． （2）根据时间路程速度，求出行驶的时间即可． 【规范解答】（1）解：设米，则米， 在中，根据勾股定理得： ， 解得：， 答：河宽240米． （2）解：（秒）， （秒）， （秒）， 答：航行总时间为67.5秒． 【考点评析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键． 【举一反三练2】（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)男孩需向右移动的距离为米 【思路点拨】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【规范解答】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， （2）解：连接，则点、、三点共线， 在中，（米， （米， 在中，（米， ， （米， 男孩需向右移动的距离为米． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 考点讲练8：求台阶上地毯长度问题 【精讲题】（22-23八年级下·安徽宣城·期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】2100 【思路点拨】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，然后可得答案． 【规范解答】解：由勾股定理得，水平的直角边， 所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长， 所以需要地毯的总长度为， 所以需要地毯的总面积为， 所以购买这种地毯至少需要元， 故答案为：2100． 【考点评析】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长． 【举一反三练1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 【答案】米 【思路点拨】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键． 【规范解答】解：如图，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， 答：地毯的长度至少需要米． 【举一反三练2】．（21-22八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【答案】25cm 【思路点拨】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【规范解答】解：如图，将台阶展开， 由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，． 所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625， 即AB＝25（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm． 【考点评析】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键． 考点讲练9：判断汽车是否超速 【精讲题】（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【答案】此车超过每小时80千米的限制速度． 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形中，可得到米，，再根据在直角三角形中，可得到米，根据可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论． 【规范解答】解：由题意知：米，， 在中，∵，， ∴米， 在中，∵， ∴， ∴米； 在中，由勾股定理得米， ∴(米)， ∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒， ∴速度为， ∴此车超过的限制速度． 【举一反三练1】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行㧒速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方60米处，过了5秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为100米，这辆小汽车超速了吗？    【答案】这辆小汽车没有超速 【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长，直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案． 【规范解答】解：在中， 米，米，且为斜边， 米， （米/秒） ， ， 这辆小汽车没有超速． 【举一反三练2】（22-23八年级上·陕西榆林·阶段练习）某市规定：小汽车在城市道路上行驶的速度不得超过（约为）．如图，一辆小汽车在该市一条城市道路上由东向西行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，后到达B处（），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为，问这辆小汽车是否超速？请说明理由．          【答案】这辆小汽车没有超速，理由见解析． 【思路点拨】先根据勾股定理求得，再根据题意求得小汽车的速度，然后再与比较即可解答． 【规范解答】解：这辆小汽车没有超速．理由如下： 根据题意，在中，， 根据勾股定理: ， 所以小汽车的速度为． 因为， 所以这辆小汽车没有超速． 【考点评析】本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理求得是解答本题的关键． 考点讲练10：判断是否受台风影响 【精讲题】．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问： (1)城市是否会受到台风影响？ (2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响 (2)7级 (3)16小时 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，等腰三角形三线合一，熟练掌握勾股定理，理解题意，从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． （1）根据提示可得到的长度，再由题意求得受台风影响范围的半径，即可判断； （2）风力最大时，台风中心应该位于点，再由题目给出的条件判断出此时是几级台风即可； （3）由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米，则以为圆心，200千米为半径作交于、，然后利用勾股定理求得，从而得到，最后根据时间路程速度，即可求得答案． 【规范解答】（1）解：城市会受到台风的影响． 理由：在中，，（千米） （千米） 城市受到的风力超过4级，则称受台风影响 受台风影响范围的半径为（千米） 城市会受到台风的影响． （2）解：台风到达时台风中心距离城市最近，（千米） 又 则（级） 答：该城市受到台风影响的最大风力为7级． （3）解：由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米 则以为圆心，200千米为半径作交于、，如图 则（千米） ，（千米） （千米） 则（小时） 答：台风影响该城市的持续时间为16小时． 【举一反三练1】（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围200千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心由西向东，从移动到，已知点是一个海港，且点与两点的距离分别为两点的距离为：． (1)求的度数； (2)海港会受到这次台风的影响吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不受影响，见解析 【思路点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理： （1）利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形； （2）过点作于点，求出长度即可判断． 【规范解答】（1）解：， ． 是直角三角形． ； （2）解：海港C不受台风的影响，理由如下： 如图，过点作于点． ， 即． 解得：， ． 海港C不受台风的影响． 【举一反三练2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C受台风影响吗?为什么? (2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长? 【答案】(1)会受到影响，理由见解析 (2)小时 【思路点拨】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【规范解答】（1）海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图， 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为20千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为10小时． 考点讲练11：选址使用两地距离相等 【精讲题】（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【答案】(1)站应建在离站处 (2)需要2小时 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得； （2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出时间． 【规范解答】（1）解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处； （2）解：， （小时） 答：需要2小时． 【举一反三练1】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，． (1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求图书室E到居民区A的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了作图-垂直平分线，勾股定理的应用： （1）连接，作的垂直平分线交于点E，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等，点E即为所求作； （2）设图书室E到居民区A的距为，利用勾股定理建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，点E即为所求作． （2）解：设图书室E到居民区A的距为，即，， ，， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得： 图书室E到居民区A的距离为． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东淄博·期中）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 【答案】(1)千米 (2)600万元 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出千米，再求出千米即可得出答案； （2）根据面积相等得出，求出即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵，千米，千米， ∴千米， ∵千米， ∴千米； （2）解：∵， ∴， ∴千米 ∴修建公路的费用为（万元）． 考点讲练12：求最短路径问题 【精讲题】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，实心圆柱的底面周长为，高，的中点B处有一块面包．一只蚂蚁沿圆柱侧面从A处到B处觅食，要爬行的最短路程为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了，平面展开最短路径，勾股定理，解题的关键是：通过展开图找到最短路径．展开成平面，连接，则长时蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出的长，根据勾股定理，即可求解， 【规范解答】解：展开成平面，连接， 则长为蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【举一反三练1】（23-24八年级下·广西北海·期中）如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查平面展开—最短路径问题，先根据题意画出圆柱的侧面展开图，然后连接，再利用勾股定理即可得出的长即可得到结论．利用勾股定理求解是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， 在圆柱的侧面展开图中，，，设， ∵点移动的最短距离为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴圆柱的底面周长为：． 故选：C． 【举一反三练2】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图(1)，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图(2)，经过测量，，计算仅仅少走了 步．(假设米为步) 【答案】 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求出路长，即三角形的斜边长，再求两直角边的和与斜边的差即可求解．正确应用勾股定理是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意知：，，， ∴， ∴少走的距离是：， ∵米为步， ∴米为步， ∴仅仅少走了步． 故答案为：． 中等题真题汇编练 一、中等 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【思路点拨】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 2．（11-12八年级下·安徽滁州·期中）将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，此时，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，利用勾股定理求出，即可得出答案． 【规范解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， ∴此时， 所以h的取值范围是：． 故选：D． 3．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（    ） A．7 B．8 C．9 D．5 【答案】A 【思路点拨】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【规范解答】解：在中，（米）， 故可得地毯长度（米）， 故选：A． 4．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）一艘轮船以海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一艘轮船以海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，两船相距（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【思路点拨】本题考查了勾股定理的运用，熟练运用勾股定理是解题的关键；根据两艘轮船出发的方向，可以得到，结合勾股定理求解即可． 【规范解答】根据题意，如图所示， 可知，，，， 在中，， ， 解得：， 故两船相距海里 故选：A 5．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，在港有甲、乙两艘淮船，若甲船沿北偏东的方向以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．求岛与岛之间的距离为 海里． 【答案】20 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，证明为直角三角是解题的关键． 由题意得是直角三角形，求得与的长，然后根据勾股定理即可求得的长即可． 【规范解答】解：由题意知，，（海里），（海里）， ∴是直角三角形， 在中，由勾股定理得：（海里） 答：M岛与N岛之间的距离为20海里． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 ． 【答案】26 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用和方位角，根据题意，可得，利用路程速度时间，分别算出的长度，在直角中，利用勾股定理计算出． 【规范解答】解：由题意可得，， ， 故答案为：26． 7．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米．若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（）5米．则旗杆的高度为 ． 【答案】12米/ 【思路点拨】本题考查勾股定理的实际应用，设旗杆米，则绳长米，利用勾股定理解即可． 【规范解答】解：设旗杆米，则绳长米， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 即旗杆的高度为12米， 故答案为：12米． 8．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐的底面周长是，高是，那么所需彩带最短的长度是 ． 【答案】100 【思路点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理求解即可． 【规范解答】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， 设彩带长为， ∵易拉罐底面周长是，高是， ， 解得：， 所以彩带最短是， 故答案为：100． 9．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）一架方梯长25米，如图所示，斜靠在一面墙上． (1)若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)24米 (2)8米 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用， （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【规范解答】（1）在中，（米），（米）， （米）， 答：梯子的顶端距地面24米； （2）在中，（米）， （米）， （米）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8米． 10．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图1，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明同学应用勾股定理提出解决这个问题的方案如下： ①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部4米，如图2．请你按小明的方案求出旗杆的高度（米）． 【答案】旗杆的高度为7.5米 【思路点拨】本题考查的是勾股定理的应用．由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【规范解答】解：由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得:， 解得:， 故旗杆的高度为7.5米． 11．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    【答案】尺 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得， 解得： 答：折断处离地面的高度是尺． 12．（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． (1)山地C距离公路的垂直距离为多少米? (2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】(1)山地C距离公路的垂直距离为米 (2)需要封锁的公路长为400米 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，过点C作于点D，再由三角形面积求出的长即可； （2）过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，，根据480米米可以判断有危险，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， 如图1，过点C作于点D， （米） 答：山地C距离公路的垂直距离为米． （2）公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则米，， 由（1）可知，米， ∵480米米， ∴有危险需要暂时封锁， 在中，由勾股定理得： （米） ∴（米）， 即需要封锁的公路长为400米． 培优题真题汇编练 13．（23-24八年级上·山东青岛·期末）世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置尺远，由此可知湖水的深度是（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，设湖水的深度尺，根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可，运用勾股定理列出方程是解题的关键． 【规范解答】解：设湖水的深度尺，则荷花的长为尺， 在直角三角形中，根据勾股定理得，， 解得， 故选：． 14．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，有一长方体容器， ，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点 A爬到点的最短爬行路程是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【思路点拨】本题考查勾股定理的应用，画出展开图找到最短路径是解题的关键． 画出展开图，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：在长方体容器，，，， ，，， ①当从正面和右侧面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图， 在中 ， ②当从前面和上面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图 在中 ， ③如图，当从上面和右侧面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，， 在中 ， ， 从点 A爬到点的最短爬行路程是10， 故选：C 15．（23-24八年级上·甘肃天水·期末）如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底而A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为（　　）．（取3） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短，结合勾股定理求出答案． 【规范解答】解：如图，即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线， 圆柱底面半径为， ， 又， ， 即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为． 故选A． 16．（2021·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，，，点是内的一点，连接，，，满足，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．8 D．13 【答案】C 【思路点拨】如图，取中点，连接．则点在以点为圆心，长为直径的圆周上运动，当、、在同一直线上时，最短，此时为最短．所以，即为的最小值． 【规范解答】解：如图，取中点，连接． ， 点在以点为圆心，长为直径的圆周上运动，且， 当、、在同一直线上时，最短，此时为最短． 在中， ，， 则， ， 即的最小值是8． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了两点之间最短距离的问题，解题的关键是正确构造圆和运用勾股定理． 17．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，有一个圆柱形储油罐，要以A点为起点环绕油罐侧面建梯子，正好到达A点正上方的B点，则梯子最短需要（已知油罐底面周长是12米，高8米） ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理； 将圆柱侧面展开，得到长方形，然后利用勾股定理计算即可． 【规范解答】解：把圆柱形储油罐的侧面展开，如图： ∵油罐底面周长是12米，高8米， ∴，， ∴， 即梯子最短需要， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图所示，有一个正方体盒子，其棱长为，一只虫子在顶点A处，一只蜘蛛在顶点B处，蜘蛛沿着盒子表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，它所走的最短路程是 ．（结果保留根号） 【答案】 【思路点拨】由于纸箱为正方体，且A、B两点对称，故将其按任意方式展开，连接A、B即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 此题主要考查了平面展开图最短路径问题,以及勾股定理的应用，得出正确的展开图是解决问题的关键． 【规范解答】如图： 因为，， 所以． 故答案为：． 19．（23-24八年级上·吉林长春·期末）．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响 秒． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度求得到飞行时间即可解决问题． 【规范解答】过点C作，垂足为D， ∵，，，且 ∴， ∵， ∴ 以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴着火点C受到洒水影响时间为． 20．（23-24八年级上·河南焦作·期中）如图是一圆杜玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是 ． 【答案】 【思路点拨】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，作直角三角形，再利用勾股定理即可解答．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示，是直角三角形， ∵底面半径为，高为， ，， 由勾股定理得：， ∴吸管露在杯口外的长度最少为：， 故答案为：5cm． 21．（23-24八年级上·浙江温州·期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是 ． 【答案】140 【思路点拨】本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作于点D，根据等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理得到，进而得到，图乙，根据题意得出，，，在中，利用勾股定理得出x，即，图丙，在中，利用勾股定理得出，进而求得． 【规范解答】解：如图甲， 由题意可知，为等腰直角三角形， ， 过点A作于点D， ， 设， 由勾股定理得：， ， ， 如图乙， 过点作于点， 图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图， ，， ， 梯子长度不变， ， 在中，， ， 解得：， ， 若点A与地面的距离为时，如图丙， 过点A作于点F， ，， 在中，， ， 解得：， ， 此时点与点的距离是． 故答案为：140． 22．（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【思路点拨】将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，根据“两点之间线段最短”可知的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求出的值． 本题考查了求圆柱体表面上两点之间的最短距离．将几何体展开成平面图形，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【规范解答】如图， 将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，则的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 延长，过点作于D点， 则，，， 由题意得，， 由勾股定理得． 故答案为：． 23．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．    (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)观测点C到公路的距离为米 (2)此车没有超速，理由见解析 【思路点拨】此题主要考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【规范解答】（1）过点C作于H， 在中， ， ． 米 米 米 即观测点C到公路的距离为米．    （2）米， 米 米 ∴车速为米/秒 千米/小时米秒， ∴此车没有超速． 24．（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离． 【答案】E到C的距离为千米 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，设千米，则千米，由根据勾股定理可得关于的方程，解方程即得结果． 【规范解答】如图，设千米，则千米， 在中，根据勾股定理，， 在中，根据勾股定理，， ∵， ∴，即， 解得：， 即E到C的距离为千米． 25．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． (1)求点A与点B之间的距离； (2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【答案】(1)点A与点B之间的距离为1000海里 (2)有14个小时可以接收到信号 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 【规范解答】（1）由题意，得：，； ∴； ∵，； ∴（海里）， 即：点A与点B之间的距离为1000海里； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里． ∵； ∴； ∵； ∴； ∵海里； ∴； 行驶时间为（小时）． 答：有14个小时可以接收到信号． 26．（2017·陕西西安·模拟预测）【问题探究】 (1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由； (2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值； 【问题解决】 (3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)    【答案】（1）详见解析；（2）；（3）AM=(480−)km． 【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，得出EF=AE； （2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时AM+MC最小，进而求出即可； （3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求，在Rt△ABD中，求出AD的长，在Rt△MBD中，得出MD的长，即可得出答案． 【规范解答】解：(1)如图①，作EF⊥AB，垂足为点F，点F即为所求。    理由如下：∵点E是正△ABC高AD上的一定点， ∴∠BAD=30∘， ∵EF⊥AB， ∴EF=AE； (2)如图②,作CN⊥AB,垂足为点N,交AD于点M,此时AM+MC最小，最小为CN的长。 ∵△ABC是边长为2的正△ABC， ∴CN=BCsin60∘=2×= ∴MN+CM=12AM+MC= 即AM+MC的最小值为 (3)如图③,作BD⊥AC,垂足为点D,在AC异于点B的一侧作∠CAN=30 作BF⊥AN，垂足为点F，交AC于点M，点M即为所求。 在Rt△ABD中,AD=(km) 在Rt△MBD中,∠MBD=∠MAF=30∘,得MD=BDtan30∘=(km)， 所以AM=(480−)km． 【考点评析】此题主要考查了正三角形的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，利用特殊角的三角函数关系得出是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$