第2章《轴对称图形》章节总复习（知识精讲+易错点拨+十四大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第2章《轴对称图形》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十四考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 2 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：生活中的轴对称现象 5 考点讲练2：轴对称的性质 6 考点讲练3：轴对称图形 7 考点讲练4：镜面对称 8 考点讲练5：作图-轴对称变换 8 考点讲练6：利用轴对称设计图案 10 考点讲练7：剪纸问题 10 考点讲练8：翻折变换（折叠问题） 11 考点讲练9：角平分线的性质 12 考点讲练10：线段垂直平分线的性质 13 考点讲练11：等腰三角形的判定与性质 14 考点讲练12：等边三角形的判定与性质 15 考点讲练13：含30度角的直角三角形 17 考点讲练14：直角三角形斜边上的中线 18 中等题真题汇编练 19 培优题真题汇编练 23 导图指引 新知精讲梳理 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 知识点01：轴对称 1.轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做 ，这条直线就是它的 .轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是 的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线 ，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小 ，是 ； ②如果两个图形关于 ，则对称轴是任何一对对应点所连线段的 ； ③两个图形关于 ，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在 上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及 ，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形 ；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个 2.线段的垂直平分线 一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的 ． 3.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由 组成的图形，只要作出图形中的一些 的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的 4.用坐标表示轴对称 点（,）关于轴对称的点的坐标为 ；点（,）关于轴对称的点的坐标为 ；点（,）关于原点对称的点的坐标为 知识点02：线段、角的轴对称性 1.线段的轴对称性 （1）线段是 形，线段的垂直平分线是它的 . （2）线段垂直平分线的性质定理 ； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 2.角的轴对称性 （1）角是 图形， 是它的对称轴. （2）角平分线上的 相等. （3）角的内部到 . 知识点03：等腰三角形 1.等腰三角形 　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做 . （2）等腰三角形性质 　①等腰三角形的两个底角相等，即“ ”； ②等腰三角形 线互相重合（简称“ ”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 . （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“ ”）. 2.等边三角形 　　（1）定义： 的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角 ，并且每个角都等 .　　 （3）等边三角形的判定： ① 是等边三角形； ② 是等边三角形； ③ 是等边三角形. 3.直角三角形的性质定理： 高频易错知识点拨 易错知识点01：对轴对称的概念理解不透 易错点：学生可能错误地认为全等的两个图形一定成轴对称，或者成轴对称的两个图形一定具有某种特定的位置关系。 解析：全等的两个图形不一定成轴对称，它们可能通过平移、旋转等方式重合，但不一定满足轴对称的定义。同样，成轴对称的两个图形虽然全等，但它们的对应点并不一定位于对称轴的同一侧，而是关于对称轴对称。 易错知识点02：判断轴对称图形对称轴的条数出错 易错点：学生可能无法准确判断一个轴对称图形具有多少条对称轴。 解析：不同的轴对称图形具有不同数量的对称轴。例如，等腰三角形有一条对称轴（顶角平分线），等边三角形有三条对称轴（分别是三条边的中垂线），正方形有四条对称轴（两条对角线和两条对边中点连线），圆有无数条对称轴（任意经过圆心的直线）。 易错知识点03：没有正确利用轴对称的性质画出对称图形 易错点：学生在作图时可能无法准确找到对称点或对称线段，导致画出的图形不符合轴对称的要求。 解析：利用轴对称的性质作图时，需要先确定图形的关键点（如顶点、交点等），然后作出这些关键点关于对称轴的对称点，最后按原图形的顺序连接相应的对称点即可得到轴对称图形。 易错知识点04：解题时考虑不全面，导致漏解 易错点：在解决与轴对称相关的问题时，学生可能只考虑了一种情况而忽略了其他可能的情况。 解析：在解题时，需要全面考虑所有可能的情况，并逐一进行验证。例如，在求解线段关于某直线的对称线段时，需要分别考虑线段与直线相交、平行或垂直等不同情况。 易错知识点05：未能正确理解“三线合一”中的“三线” 易错点：在等腰三角形中，“三线合一”指的是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合，但学生可能对此理解不够深入。 解析：“三线合一”是等腰三角形的一个重要性质，它有助于我们更好地理解和解决与等腰三角形相关的问题。在解题时，需要灵活运用这一性质进行推理和计算。 易错知识点06：应用轴对称知识解决实际问题时出错 易错点：在将轴对称知识应用于实际问题时，学生可能无法准确建立数学模型或进行正确的计算。 解析：解决实际问题时，首先需要理解问题的背景和要求，然后运用轴对称的性质和相关知识建立数学模型。在建立模型后，需要进行正确的计算和推理以得出答案。同时，还需要注意单位的统一和结果的合理性。 考点讲练1：生活中的轴对称现象 【精讲题】（2021秋•常州期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【举一反三练1】（2023秋•海门市月考）如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请补全字母，这个单词所指的物品是 　 　． 【举一反三练2】（2015秋•邗江区校级月考）如图，台球桌相邻两边互相垂直，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么打白球时，必须保证的度数为　 　． 考点讲练2：轴对称的性质 【精讲题】（2022秋•靖江市校级期中）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为12，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时， ，△的面积最小值为 　　． 【举一反三练1】（2023秋•苏州期中）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为 　 　． 【举一反三练2】（2021秋•鼓楼区校级月考）如图，已知点是内一点，点关于直线的对称点是点，点关于直线的对称点是点，连接线段分别交、于点、，连接线段、．如果的周长是，那么线段的长度是 　． 考点讲练3：轴对称图形 【精讲题】（2022秋•东台市月考）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形，在格纸范围内，与成轴对称的格点三角形的个数为　　个． A．8 B．9 C．10 D．11 【举一反三练1】（2023秋•广陵区校级月考）如图，是轴对称图形，且直线是的对称轴，点，是线段上的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是 　 　． 举一反三练2】（2020秋•泰州月考）如图的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有　 　种． 考点讲练4：镜面对称 【精讲题】（2021秋•泰州月考）从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是 　　． 【举一反三练1】（2018秋•崇川区校级月考）星期天小华去书店买书时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针（粗与分针（细的位置如图所示，此时时钟表示的时间是　　（按12小时制填写）． 【举一反三练2】（2022秋•秦淮区校级月考）学生小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是　　． 考点讲练5：作图-轴对称变换 【精讲题】（2023秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形△； （2）画出△沿轴向下平移4个单位长度后得到的△； （3）若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是 　　． 【举一反三练1】（2023秋•丹徒区期中）如图，在中，，，，将沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕与交于点． （1）试用尺规作图作出折痕，并描出点的位置；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求线段的长度． 【举一反三练2】（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，并且的三个顶点都在格点上．作出关于直线对称的△． 考点讲练6：利用轴对称设计图案 【精讲题】（2022秋•仪征市校级月考）在的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有　 　种． 【举一反三练1】（2021秋•常州期中）在方格图中，有3个小正方形格子被涂成阴影，请在剩下的6个白色格子中选择2个格子，将它们涂上阴影，使得整个图形是一个轴对称图形，要求画出三种不同形状的图形． 【举一反三练2】（2021秋•秦淮区校级月考）在下面三个的方格中，各作出一个与图中三角形成轴对称的图形，且所画图形的顶点与方格中小正方形的顶点重合，并给所画图形涂上阴影（所画的三个图形不能重复）． 考点讲练7：剪纸问题 【精讲题】（2022秋•灌云县月考）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到　　 A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形 【举一反三练1】（2022秋•宜兴市月考）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2020秋•阜宁县期中）任意剪一张直角三角形纸片，如图（1），先后经过两次折叠得到图（2）和（3）的形状，可以发现两次折痕与斜边交于同一点，于是得到直角三角形的重要性质：　直角三角形的斜边的中线是斜边的一半　（填空），试证明这一性质． 考点讲练8：翻折变换（折叠问题） 【精讲题】（2024•常州）如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则　　． 【举一反三练1】（2022秋•玄武区校级期中）如图，在中，，，点是边的中点，点在边上，将沿翻折得，若有一边与平行，则的度数为 　或或或　． 【举一反三练2】（2023秋•东台市月考）如图，在长方形纸片中，边为的中点，将纸片沿、折叠，使点落在点处，点落在点处．若，求的度数． 考点讲练9：角平分线的性质 【精讲题】．（2023秋•江宁区期中）如图，点在的平分线上（不与点重合），于点，，若是边上任意一点，连接，则下列关于线段的说法一定正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•启东市校级月考）如图，中，是的平分线，于点，，，，那么　 　． 【举一反三练2】（2023秋•江阴市期中）如图，是的平分线，点为上一点，且，为上一点，若，则的最小值为 　 　． 考点讲练10：线段垂直平分线的性质 【精讲题】（2023秋•丹阳市校级月考）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的周长． （2）若，求的度数． 【举一反三练1】（2023秋•吴江区月考）如图，在中，是的垂直平分线．若，，求的周长？ 【举一反三练2】（2022秋•玄武区期末）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）延长，与交于点，若， ①求证：是的中点； ②连接，若，则与的数量关系是 　　 ． 考点讲练11：等腰三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•亭湖区校级月考）如图，在中，，分别是，的平分线，过点作，分别交，于点，．若，，则的长为 　10　． 【举一反三练1】（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在中，，是的平分线，，交于点，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）求和的度数． 【举一反三练2】（2023秋•姜堰区校级月考）已知：如图，中，，垂直平分交于点，平分，且于，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 考点讲练12：等边三角形的判定与性质 【精讲题】（2013秋•新浦区校级月考）如图，是等边三角形，点、、分别是边、、上的点，且， 求证：是等边三角形． 【举一反三练1】（2023秋•淮安区期中）如图，为等边的边上一点，且，，试判定的形状，并说明理由． 【举一反三练2】（2019秋•泰兴市期中）在等边中， （1）如图1，，是边上两点，，，求的度数； （2）点，是边上的两个动点（不与，重合），点在点的左侧，且，点关于直线的对称点为，连接，． ①依题意将图2补全； ②求证：． 考点讲练13：含30度角的直角三角形 【精讲题】（2023秋•南通期中）如图，在中，，，点在的延长线上，，，则的长为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【举一反三练1】．（2022秋•江宁区校级月考）如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则　 　． 【举一反三练2】（2023秋•启东市校级月考）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，．求的长． 考点讲练14：直角三角形斜边上的中线 【精讲题】（2023秋•宿迁期末）如图，在和中，，，是的中点． （1）求证：； （2）若，，求． 【举一反三练1】（2017秋•泰兴市校级期中）如图，在中，，是边上一动点（不与，重合），于点，点是线段的中点，连接，． （1）试猜想线段与的大小关系，并加以证明． （2）若，连接，在点运动过程中，探求与的数量关系． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，平分，于点，于点，，则图中全等三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）博物馆是为公众开放的美术，工艺，科学，历史以及考古学藏品的机构，也是一座城市的名片．下列成都市各大博物馆图标中，是轴对称图形的是（　　） A．成都武侯祠博物馆 B．永陵博物馆 C．金沙遗址博物馆 D．四川博物院 4．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（    ） ①作射线； ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 5．（23-24八年级上·云南昆明·期中）若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，直线，直线与直线，分别相交于，两点，点在直线上，并且，若，则的度数为 度． 7．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图中，，点是、角平分线的交点，过作于点，且，则的面积为 ． 8．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为 ． 9．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，已知，D为边上一点，，为线段的中点，以点O为圆心，线段长为半径作弧，交于点E，连接，则的长是 . 10．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，的面积为，，，求的长． 11．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与成轴对称图形，并用虚线标出你设计图形的所有对称轴． 12．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）． 13．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）现有两条高速公路、和C，D两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置． 14．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）已知，在中，，，点D为直线上一动点（点D不与点B、C重合），连接，使，． (1)如图1，当点D在线段上时，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ，、、三条线段的数量关系是 ． (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，求、、三条线段的数量关系． (3)如图3，当D运动到的延长线上，且A、E分别在直线的两侧，，，求的长． 15．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，为等边三角形，，则 ． 培优题真题汇编练 16．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）已知边、的垂直平分线、相交于，、在边上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，等腰直角中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．②③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 19．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，和均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD，CE交于点M，N．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2024·安徽六安·三模）如图，在等边中，以为直角顶点作等腰直角， 分别交 、于 点 、， 为线段上一动点，为线段上一动点，且， 以下个结论：①；②；③；④当的值最小时， ． 正确的个数为(      ) A．4个 B．3   个 C．2 个 D．1   个 21．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，，，，，，则 ． 22．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为 度． 23．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，正六边形的边长为，是对角线，则是 ．    24．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，上述结论中始终正确的有 ． 25．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 26．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，是的角平分线，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的面积． 27．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图，点D在的边上，且． (1)作的平分线，交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，但不必写出作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 28．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 29．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）在中，．    (1)如图1，D、E分别在，的延长线上，；求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点F在上，，求证：； (3)如图3，若，过点C作，连，在上取点G，使，连交于H，连结，试探究线段、、之间满足的数量关系式，并给出证明． 30．（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第2章《轴对称图形》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十四考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 2 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：生活中的轴对称现象 5 考点讲练2：轴对称的性质 7 考点讲练3：轴对称图形 9 考点讲练4：镜面对称 11 考点讲练5：作图-轴对称变换 11 考点讲练6：利用轴对称设计图案 14 考点讲练7：剪纸问题 15 考点讲练8：翻折变换（折叠问题） 16 考点讲练9：角平分线的性质 19 考点讲练10：线段垂直平分线的性质 21 考点讲练11：等腰三角形的判定与性质 24 考点讲练12：等边三角形的判定与性质 26 考点讲练13：含30度角的直角三角形 29 考点讲练14：直角三角形斜边上的中线 31 中等题真题汇编练 33 培优题真题汇编练 44 导图指引 新知精讲梳理 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 知识点01：轴对称 1.轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 3.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 4.用坐标表示轴对称 点（,）关于轴对称的点的坐标为（,－）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（－,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（－,－）. 知识点02：线段、角的轴对称性 1.线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线 2.角的轴对称性 （1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. （2）角平分线上的点到角两边的距离相等. （3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 知识点03：等腰三角形 1.等腰三角形 　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 2.等边三角形 　　（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 高频易错知识点拨 易错知识点01：对轴对称的概念理解不透 易错点：学生可能错误地认为全等的两个图形一定成轴对称，或者成轴对称的两个图形一定具有某种特定的位置关系。 解析：全等的两个图形不一定成轴对称，它们可能通过平移、旋转等方式重合，但不一定满足轴对称的定义。同样，成轴对称的两个图形虽然全等，但它们的对应点并不一定位于对称轴的同一侧，而是关于对称轴对称。 易错知识点02：判断轴对称图形对称轴的条数出错 易错点：学生可能无法准确判断一个轴对称图形具有多少条对称轴。 解析：不同的轴对称图形具有不同数量的对称轴。例如，等腰三角形有一条对称轴（顶角平分线），等边三角形有三条对称轴（分别是三条边的中垂线），正方形有四条对称轴（两条对角线和两条对边中点连线），圆有无数条对称轴（任意经过圆心的直线）。 易错知识点03：没有正确利用轴对称的性质画出对称图形 易错点：学生在作图时可能无法准确找到对称点或对称线段，导致画出的图形不符合轴对称的要求。 解析：利用轴对称的性质作图时，需要先确定图形的关键点（如顶点、交点等），然后作出这些关键点关于对称轴的对称点，最后按原图形的顺序连接相应的对称点即可得到轴对称图形。 易错知识点04：解题时考虑不全面，导致漏解 易错点：在解决与轴对称相关的问题时，学生可能只考虑了一种情况而忽略了其他可能的情况。 解析：在解题时，需要全面考虑所有可能的情况，并逐一进行验证。例如，在求解线段关于某直线的对称线段时，需要分别考虑线段与直线相交、平行或垂直等不同情况。 易错知识点05：未能正确理解“三线合一”中的“三线” 易错点：在等腰三角形中，“三线合一”指的是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合，但学生可能对此理解不够深入。 解析：“三线合一”是等腰三角形的一个重要性质，它有助于我们更好地理解和解决与等腰三角形相关的问题。在解题时，需要灵活运用这一性质进行推理和计算。 易错知识点06：应用轴对称知识解决实际问题时出错 易错点：在将轴对称知识应用于实际问题时，学生可能无法准确建立数学模型或进行正确的计算。 解析：解决实际问题时，首先需要理解问题的背景和要求，然后运用轴对称的性质和相关知识建立数学模型。在建立模型后，需要进行正确的计算和推理以得出答案。同时，还需要注意单位的统一和结果的合理性。 考点讲练1：生活中的轴对称现象 【精讲题】（2021秋•常州期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的　　 A．点 B．点 C．点 D．点 解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点， ， 当点第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹， 第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点， 故选：． 【举一反三练1】（2023秋•海门市月考）如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请补全字母，这个单词所指的物品是 　书　． 解：如图， 这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 【举一反三练2】（2015秋•邗江区校级月考）如图，台球桌相邻两边互相垂直，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么打白球时，必须保证的度数为　60　． 解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中， ， ， ， ． 故答案为：60． 考点讲练2：轴对称的性质 【精讲题】（2022秋•靖江市校级期中）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为12，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，　90　，△的面积最小值为 　　． 解：连接，过点作交的延长线于． ，， ， 点关于的对称点为，点关于的对称点为， ，， ， ， △是等腰直角三角形， 最小时，△的面积最小， 根据垂线段最短可知，的最小值为4， △的面积的最小值． 故答案为：90；8． 【举一反三练1】（2023秋•苏州期中）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为 　14　． 解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、， ， ， ， ， ， △为等边三角形 ， 的最大值为14， 故答案为：14． 【举一反三练2】（2021秋•鼓楼区校级月考）如图，已知点是内一点，点关于直线的对称点是点，点关于直线的对称点是点，连接线段分别交、于点、，连接线段、．如果的周长是，那么线段的长度是　10　． 解：点关于、的对称点分别为、， ，， 的周长， 的周长是， ． 故答案为：10． 考点讲练3：轴对称图形 【精讲题】（2022秋•东台市月考）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形，在格纸范围内，与成轴对称的格点三角形的个数为　　个． A．8 B．9 C．10 D．11 解：如图，当对称轴在竖直方向时，满足条件的三角形有1个， 当对称轴在水平方向时，满足条件的三角形有5个， 当对称轴与水平方向成方向时，满足条件的三角形有4个， 共（个， 故选：． 【举一反三练1】（2023秋•广陵区校级月考）如图，是轴对称图形，且直线是的对称轴，点，是线段上的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是 　9　． 解：是轴对称图形，且直线是对称轴， ，， 阴影部分的面积等于面积的一半， ． 故答案为：9． 举一反三练2】（2020秋•泰州月考）如图的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有　4　种． 解：根据轴对称图形的概念可知，一共有四种涂法，如图所示： ． 故答案为：4． 考点讲练4：镜面对称 【精讲题】（2021秋•泰州月考）从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是 　　． 解：方法一：将显示的像数字依次左右互换并将每一个数字左右反转，得到时间为； 方法二：将显示的像后面正常读数为就是此时的时间． 故答案为： 【举一反三练1】（2018秋•崇川区校级月考）星期天小华去书店买书时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时针（粗与分针（细的位置如图所示，此时时钟表示的时间是　　（按12小时制填写）． 解：从镜子中看到的是，那么正常时间应该是． 故答案为： 【举一反三练2】（2022秋•秦淮区校级月考）学生小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是　　． 解：镜面所成的像为反像， 此时电子表的实际读数是． 故答案为：． 考点讲练5：作图-轴对称变换 【精讲题】（2023秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形△； （2）画出△沿轴向下平移4个单位长度后得到的△； （3）若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是 　　． 解：（1）△如图所示； （2）△如图所示； （3）点经过第一次变换后坐标为，经过第二次变换后的坐标为． 故答案为：． 【举一反三练1】（2023秋•丹徒区期中）如图，在中，，，，将沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕与交于点． （1）试用尺规作图作出折痕，并描出点的位置；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求线段的长度． 解：（1）如图，，点即为所求； （2）如图，在中，，， 根据勾股定理得：． 沿折叠，点落在点处， ，，， ，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得，． 【举一反三练2】（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，并且的三个顶点都在格点上．作出关于直线对称的△． 如图，△即为所求． 考点讲练6：利用轴对称设计图案 【精讲题】（2022秋•仪征市校级月考）在的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有　3　种． 解：如图所示，新图形是一个轴对称图形． 故答案为：3． 【举一反三练1】（2021秋•常州期中）在方格图中，有3个小正方形格子被涂成阴影，请在剩下的6个白色格子中选择2个格子，将它们涂上阴影，使得整个图形是一个轴对称图形，要求画出三种不同形状的图形． 解：如图所示． 【举一反三练2】（2021秋•秦淮区校级月考）在下面三个的方格中，各作出一个与图中三角形成轴对称的图形，且所画图形的顶点与方格中小正方形的顶点重合，并给所画图形涂上阴影（所画的三个图形不能重复）． 解：如图，三角形即为所求作． 考点讲练7：剪纸问题 【精讲题】（2022秋•灌云县月考）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到　　 A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形 解：将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到：正方形． 故选：． 【举一反三练1】（2022秋•宜兴市月考）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是　　 A． B． C． D． 解：易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间． 故选：． 【举一反三练2】（2020秋•阜宁县期中）任意剪一张直角三角形纸片，如图（1），先后经过两次折叠得到图（2）和（3）的形状，可以发现两次折痕与斜边交于同一点，于是得到直角三角形的重要性质：　直角三角形的斜边的中线是斜边的一半　（填空），试证明这一性质． 解：如图所示： 由折叠可得：，， ， 直角三角形的性质是直角三角形的斜边的中线是斜边的一半； 故答案为：直角三角形的斜边的中线是斜边的一半． 考点讲练8：翻折变换（折叠问题） 【精讲题】（2024•常州）如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则　　． 解：，，，是边的中点， ， ， 将沿翻折，点落在上的点处， ，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ， 故答案为：． 【举一反三练1】（2022秋•玄武区校级期中）如图，在中，，，点是边的中点，点在边上，将沿翻折得，若有一边与平行，则的度数为 　或或或　． 解：如图1，，且点在直线的左侧， ，， ， ， ， ， 由翻折得， ， ； 如图2，，则， ， ； 如图3，，则； 如图4，，且点在直线的右侧，则， ， 综上所述，的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【举一反三练2】（2023秋•东台市月考）如图，在长方形纸片中，边为的中点，将纸片沿、折叠，使点落在点处，点落在点处．若，求的度数． 解：由折叠的性质得到：，， ， ， ， ， ． 考点讲练9：角平分线的性质 【精讲题】．（2023秋•江宁区期中）如图，点在的平分线上（不与点重合），于点，，若是边上任意一点，连接，则下列关于线段的说法一定正确的是　　 A． B． C． D． 解：点在的平分线上，，， 点到边的距离等于3， 点到的距离为3， 点是边上的任意一点， 的最小值为3，即． 故选：． 【举一反三练1】（2023秋•启东市校级月考）如图，中，是的平分线，于点，，，，那么　2.5　． 解：过作于， 是的平分线，于点， ， 的面积的面积的面积， ， ，， ， ． 故答案为：2.5． 【举一反三练2】（2023秋•江阴市期中）如图，是的平分线，点为上一点，且，为上一点，若，则的最小值为 　2　． 解：根据垂线的性质可知，当时，的值最小， 如图所示：过点作， 是的平分线，，， ， ， ， 故答案为：2． 考点讲练10：线段垂直平分线的性质 【精讲题】（2023秋•丹阳市校级月考）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的周长． （2）若，求的度数． 解：（1）是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长； （2）， ， ，， ，， ， ． 【举一反三练1】（2023秋•吴江区月考）如图，在中，是的垂直平分线．若，，求的周长？ 解：是的垂直平分线， ， ， 的周长． 故答案为：13． 【举一反三练2】（2022秋•玄武区期末）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． （1）求证：； （2）延长，与交于点，若， ①求证：是的中点； ②连接，若，则与的数量关系是 　　． （1）证明：是的垂直平分线， ， ， ， ； （2）①证明：延长，与交于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的中点； ②解：，理由如下： 如图，连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是的中点， ． 故答案为：． 考点讲练11：等腰三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•亭湖区校级月考）如图，在中，，分别是，的平分线，过点作，分别交，于点，．若，，则的长为 　10　． 解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：10． 【举一反三练1】（2023秋•梁溪区校级期中）如图，在中，，是的平分线，，交于点，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）求和的度数． （1）证明：因为是的平分线， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 【举一反三练2】（2023秋•姜堰区校级月考）已知：如图，中，，垂直平分交于点，平分，且于，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 证明：（1）垂直平分，且， ，且， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）由（1）得， 平分，且， 在和中， ， ， ． ． 考点讲练12：等边三角形的判定与性质 【精讲题】（2013秋•新浦区校级月考）如图，是等边三角形，点、、分别是边、、上的点，且， 求证：是等边三角形． 证明：是等边三角形， ，， ， ， 在和中 ， ， 同理， ， 是等边三角形． 【举一反三练1】（2023秋•淮安区期中）如图，为等边的边上一点，且，，试判定的形状，并说明理由． 解：为等边的边上一点， ，， 在和中， ， ， ，， 是等边三角形． 【举一反三练2】（2019秋•泰兴市期中）在等边中， （1）如图1，，是边上两点，，，求的度数； （2）点，是边上的两个动点（不与，重合），点在点的左侧，且，点关于直线的对称点为，连接，． ①依题意将图2补全； ②求证：． 解：（1）为等边三角形 ， （2）①补全图形如图所示， ②证明：过点作于点，如图． 由为等边三角形， ， ， ， ， 即， 点，关于直线对称， ， ， ， 为等边三角形 ． 考点讲练13：含30度角的直角三角形 【精讲题】（2023秋•南通期中）如图，在中，，，点在的延长线上，，，则的长为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 解：过作于， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【举一反三练1】．（2022秋•江宁区校级月考）如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则　4　． 解：作于，如图， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为4． 【举一反三练2】（2023秋•启东市校级月考）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，．求的长． 解：如图，连接， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ． 在中，， ． 考点讲练14：直角三角形斜边上的中线 【精讲题】（2023秋•宿迁期末）如图，在和中，，，是的中点． （1）求证：； （2）若，，求． （1）证明：在和中，，，是的中点， ，， ； （2）解：在和中，，，，， ，， 在和中，，，是的中点， ，， ，， ，， ． 【举一反三练1】（2017秋•泰兴市校级期中）如图，在中，，是边上一动点（不与，重合），于点，点是线段的中点，连接，． （1）试猜想线段与的大小关系，并加以证明． （2）若，连接，在点运动过程中，探求与的数量关系． 解：（1）， 在和中， 点是线段的中点， ，， ． （2）由（1）可知， ，， ，， ， 又， 为等边三角形， ． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查轴对称，线段和差的计算，掌握轴对称的性质，线段和差的计算方法是解题的关键． 利用轴对称图形的性质得出，，结合图形即可求解． 【规范解答】解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，， ，， ∵， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，平分，于点，于点，，则图中全等三角形有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方程是解题的关键． 根据全等三角形的判定分别证明，，，即可得到答案． 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵平分， ∴， ∵于点，于点， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴． ∴图中全等三角形有3对 故选C． 3．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）博物馆是为公众开放的美术，工艺，科学，历史以及考古学藏品的机构，也是一座城市的名片．下列成都市各大博物馆图标中，是轴对称图形的是（　　） A．成都武侯祠博物馆 B．永陵博物馆 C．金沙遗址博物馆 D．四川博物院 【答案】D 【思路点拨】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义即可求解，熟记：“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键． 【规范解答】A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级下·河北张家口·期末）已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（    ） ①作射线； ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】C 【思路点拨】本题考查基本作图—角平分线．根据角平分线的作图方法，进行排序判断即可． 【规范解答】解：作法的合理顺序是： ②在射线和上分别截取，使； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C． ①作射线； 故选：C． 5．（23-24八年级上·云南昆明·期中）若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和性质，分的角为顶角和底角，两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：当的角为顶角时，顶角度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为：； 故选C． 6．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，直线，直线与直线，分别相交于，两点，点在直线上，并且，若，则的度数为 度． 【答案】74 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质．先利用等腰三角形的性质可得，然后再利用平行线的性质可得． 【规范解答】解：，， ， ∵， ， 故答案为：74． 7．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图中，，点是、角平分线的交点，过作于点，且，则的面积为 ． 【答案】48 【思路点拨】本题考查角平分线的性质定理，过点作，易得：，连接，分割法求出的面积即可． 【规范解答】解：过点作，连接， ∵点是、角平分线的交点，过作于点，， ∴， ∴的面积为：． 故答案为：48． 8．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为 ． 【答案】3 【思路点拨】过点作于，先根据含的直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的三线合一性质求出，即可得出．本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：过点作于；如图所示： 则， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ； 故答案为：3． 9．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，已知，D为边上一点，，为线段的中点，以点O为圆心，线段长为半径作弧，交于点E，连接，则的长是 . 【答案】4 【思路点拨】本题考查等边三角形的判定与性质．根据作图得到，从而得到为等边三角形即可得到答案． 【规范解答】解：∵，为线段的中点， ∴， ∵以点O为圆心，线段长为半径作弧，交于点E， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：4． 10．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，的面积为，，，求的长． 【答案】 【思路点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据，列方程计算即可得解． 【规范解答】解：为的平分线，， ， ， 即， 解得：， ． 11．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与成轴对称图形，并用虚线标出你设计图形的所有对称轴． 【答案】见解析 【思路点拨】此题考查的是利用轴对称设计图案．基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，所以可以称找出不同的对称轴，再思考如何画对称图形． 【规范解答】解：画图如下： ． 12．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了作图轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．根据轴对称的性质画图． 【规范解答】解：如图， 13．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）现有两条高速公路、和C，D两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置． 【答案】见详解 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 到两条公路的距离相等，则要画两条公路的夹角的角平分线，到C，D两点的距离相等又要画线段的垂直平分线，两线的交点就是点M的位置． 【规范解答】解：如图：（1）做出的角平分线； （2）连接，作的垂直平分线； （3）的垂直平分线和的交点，即为所求点M． 14．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）已知，在中，，，点D为直线上一动点（点D不与点B、C重合），连接，使，． (1)如图1，当点D在线段上时，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ，、、三条线段的数量关系是 ． (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，求、、三条线段的数量关系． (3)如图3，当D运动到的延长线上，且A、E分别在直线的两侧，，，求的长． 【答案】(1)；； (2) (3)2 【思路点拨】本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由等腰直角三角形的性质可得，可得结论； （2）由“”可证，可得，由线段的关系可得结论； （3）由“”可证，可得，由线段的关系可得结论． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ， ， ， 在和中， ， ． ，， ． ，， ， ， ， 即； 故答案为：；；． （2），理由如下： ， ， ， 在和中， ， ． ， ； （3）， ， 即， 在和中， ， ． ， ， ， ． 15．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，为等边三角形，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查等边对等角，等边三角形的性质，三角形的内角和定理．等边三角形的性质结合角的和差关系，求出的度数，等边对等角，求出的度数，三角形的三边关系求出的度数即可． 【规范解答】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 培优题真题汇编练 16．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）已知，如图，是内部的一条射线，P是射线上任意点，，下列条件中：①，②，③，④，能判定是的角平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】本题考查了角平分线的判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可判断①的正误；由角平分线的判定定理可判断②的正误；证明可判断③的正误；证明，可判断④的正误． 【规范解答】解：∵， ∴是的角平分线，故①符合要求； ∵，， ∴是的角平分线，故②符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故③符合要求； ∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故④符合要求； 故选：D． 17．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）已知边、的垂直平分线、相交于，、在边上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得，，利用三角形的内角和定理即可求得，即可求解． 【规范解答】解：∵、分别垂直平分、， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 18．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，等腰直角中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．②③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质、角平分线定义计算得出，，结合等腰三角形的性质可判断①②③；利用证明，判断④；利用证明，判断⑤；从而得到结论． 【规范解答】解：∵，是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确，③错误； ∵M为的中点， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确． 综上所述，①②④⑤正确，共4个． 故选D 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质的应用，主要考查学生的推理能力，能灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，和均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD，CE交于点M，N．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明，． 根据证明即可判断①正确；根据平行线的性质证明即可判断②正确；证明，得出，即可判断④正确；根据，，得出，根据，得出，即可判断③错误；根据，，求出为等边三角形，得出，即可判断⑤错误． 【规范解答】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵A、C、B三点共线，， ∴，故②正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故④正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴为等边三角形， ∴，故⑤错误； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：C． 20．（2024·安徽六安·三模）如图，在等边中，以为直角顶点作等腰直角， 分别交 、于 点 、， 为线段上一动点，为线段上一动点，且， 以下个结论：①；②；③；④当的值最小时， ． 正确的个数为(      ) A．4个 B．3   个 C．2 个 D．1   个 【答案】A 【思路点拨】本题考查等边三角形的性质，等要直角三角形的性质，全等三角形的判定，线段的最值问题，根据等边与等腰直角中，可得，，则，得①正确；在中证明，得到②正确；在上取，连接证明进而得是等边三角形，从而证明③正确；过作，使，连接，证明可得，求最小就是求最小，此时根据证明是等腰三角形，结合已知及作图可得，即可证明，则④正确． 【规范解答】解：在等边与等腰直角中， ，，，， ，，， ， ， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 如图：在上取，连接， 又，， ， ， 在中，， 是等边三角形， ， ，故③正确； 过作，使，连接， 在与中， ， ， ， ， 当最小时即最小， 延长至使，则与关于对称，连接交于， 连接则点为最小值的位置， 此时最小， 即最小， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，故④正确， ①②③④都正确， 故选：A． 21．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，，，，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角，等边对等角，先证明，得到，三角形的外角求出，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 22．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为 度． 【答案】108 【思路点拨】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，证明 ，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【规范解答】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， 点在的垂直平分线上， ， ， 将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合， ， ， 在中，， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 23．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，正六边形的边长为，是对角线，则是 ．    【答案】10 【思路点拨】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质，连接，由题意得出，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出，，最后再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【规范解答】解：如图，连接，    ∵六边形是正六边形，边长为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 24．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，上述结论中始终正确的有 ． 【答案】①②④ 【思路点拨】本题以旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定及性质，根据题意得出是解答此题的关键环节． 利用证明，根据全等三角形对应边相等可得，，根据全等三角形的面积相等，推出，即可求解． 【规范解答】解：解：、都是的余角， ， ，且P是的中点， ， 在和中， ， ，故结论①正确； ， ， 又， 是等腰直角三角形，故结论②正确； 随着点E的变化而变化， ，故结论③错误； ， ， ， 故结论④正确； 则正确的选项有：①②④， 故答案为：①②④ 25．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 【答案】 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，三角形的内角和等知识，综合性强．作点B关于的对称点H，连接．可以得到，，即可得到当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时，进而得到．求出，根据和关于对称，求出，进而求出，，根据即可求出． 【规范解答】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则，， 此时， ∴当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时， ∵当的最大值是时， ∴． ∵，， ∴， 由题意得和关于对称， ∴，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90 26．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，是的角平分线，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1)的度数为 (2)的面积为27 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的特征，角的平分线的性质定理，熟练掌握直角三角形的特征和性质定理是解题的关键． （1）先利用内角和定理计算，再利用角的平分线计算．最后利用直角三角形的特征计算即可． （2）过点D作于点F，利用角的平分线的性质定理，结合面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． （2）解：过点D作于点F，如图，    ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴的面积为． 27．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图，点D在的边上，且． (1)作的平分线，交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，但不必写出作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，三角形外角性质，基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． （1）利用基本作图：作已知角的平分线作法，作的平分线即可； （2）先根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角性质得，利用，则，然后根据平行线的判定方法可判定． 【规范解答】（1）解：如图，DE为所作； （2）解：平分， ， 而， 即， ， ， ． 28．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，等边对等角，以及三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和． （1）根据推出，即可得出，根据全等三角形的性质，即可求证； （2）根据三角形的外角定理得出，根据全等三角形的性质得出，最后根据等边对等角，即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）在中，．    (1)如图1，D、E分别在，的延长线上，；求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点F在上，，求证：； (3)如图3，若，过点C作，连，在上取点G，使，连交于H，连结，试探究线段、、之间满足的数量关系式，并给出证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由等边对等角得到，分别用含的式子表示和，根据，即可得证； （2）如图2，延长到G，使得，连接，证明，得，再证明，即可证明结论成立； （3）在线段上取一点M，使得，证明得，从而证明得，进而证明，即可得结论． 【规范解答】（1）证明：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）证明：如图2，延长到G，使得，连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 在线段上取一点M，使得，    ∵，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 30．（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【思路点拨】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【规范解答】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【考点评析】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$