专题04 轴对称中常见的三大几何模型【挑战压轴题】（解题策略+易错知识点+真题汇编卷）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册培优专题真题讲练

2024-2025学年苏科版数学八年级上册【挑战压轴题】培优专题真题讲练 专题04 轴对称中常见的三大几何模型 模型一：将军饮马问题 解题策略： 理解题意：首先明确题目中的两个定点（如马厩和草地）和一条定直线（如河流），以及动点（将军或马）需要在定直线上移动以找到最短路径。 应用轴对称性质：选择一个定点（通常是马厩），作其关于定直线（河流）的对称点。这一步是关键，因为它允许我们将问题转化为一个更简单的形式，即连接两个异侧点（原定点和对称点）的问题。 连接并找交点：连接对称点和另一个定点（草地），该连线与定直线（河流）的交点即为所求动点（将军或马）的位置。这是因为根据轴对称性质，动点到两个定点的距离之和等于动点到对称点的距离加上动点到另一个定点的距离，而后者在连线与定直线的交点上取得最小值。 计算最短路径：最后，计算动点到两个定点的实际路径长度，这通常涉及简单的线段长度计算或勾股定理的应用。 模型二：海盗埋宝问题 虽然“海盗埋宝问题”不是一个标准的几何模型名称，但我们可以将其理解为一种涉及几何图形（如三角形、四边形等）和隐藏元素（如宝藏）的谜题。在这里，我将假设问题涉及在特定几何图形中寻找宝藏的最佳路径或位置。 解题策略： 分析图形特征：首先明确题目中的几何图形及其特征，如形状、大小、角度、边长等。 应用几何性质：利用等腰三角形、直角三角形、相似三角形等几何图形的性质来辅助解题。例如，如果图形中包含等腰三角形，则可以利用两腰相等和底角相等的性质。 构建辅助线：根据需要构建辅助线，如高线、中线、角平分线等，以揭示图形的隐藏性质或简化问题。 逻辑推理：结合题目中的线索和几何性质进行逻辑推理，确定宝藏的可能位置或最佳路径。 模型三：婆罗摩笈多问题（与轴对称的假设联系） 婆罗摩笈多问题通常与圆的性质、勾股定理或更复杂的几何构造相关。然而，为了与轴对称概念相结合（尽管这种联系可能不直接），我们可以假设一个问题情境，其中涉及到通过轴对称性质来简化或解决与圆或三角形相关的问题。 假设性解题策略： 识别轴对称元素：在问题中识别出可以应用轴对称性质的元素，如圆的直径、等腰三角形的对称轴等。 利用轴对称性质：通过作对称点、对称线或利用对称性质来简化问题或揭示隐藏信息。 结合其他几何性质：将轴对称性质与圆的性质（如切线性质、弦的性质）、勾股定理或其他几何性质相结合来解决问题。 模型一：将军饮马问题 忘记作对称点或错误地作对称点。 在连接对称点和另一个定点时，没有确保连线与定直线相交。 在计算最短路径时，忽略了动点必须在定直线上移动的限制。 模型二：海盗埋宝问题 忽视图形中的关键信息或特征。 错误地应用几何性质或构建错误的辅助线。 在逻辑推理过程中出现错误或遗漏。 模型三：婆罗摩笈多问题（与轴对称的假设联系） 错误地识别或应用轴对称性质。 在结合其他几何性质时出现混淆或错误。 忽视问题中的其他关键信息或限制条件。 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.38（较难） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•下陆区期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2分）（2023秋•金乡县期末）如图，已知点、分别是等边三角形中、边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为　　 A．3 B．6 C．9 D．12 3．（2分）（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，当取得最小值时，　　 A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2分）（2023秋•新乡期末）如图，在等边三角形中，为的平分线，在，上分别取点，，且，，在上有一动点，则的最小值为　　 A．7 B．8 C．10 D．12 5．（2分）（2023秋•渝中区期末）如图，中，，，于点，且，点和分别是，上的动点，则的最小值为　　 A．4 B．5 C． D． 6．（2分）（2023秋•汉阳区期末）如图，的面积为6，，平分．若，分别是，上的动点，则的最小值　　 A． B． C． D．3 7．（2分）（2024春•鲤城区期末）如图，，，点为上一定点，点为上一动点，，为上两动点，当最小时，　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2023秋•同安区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为的中点．若，的面积是30，则的最小值为　　 A．5 B．6 C．12 D．24 9．（2分）（2024春•罗湖区校级期末）如图，在中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2023秋•浦北县期末）如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•绥化模拟）如图，在中，，，，是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 　　． 12．（2分）（2023秋•巴中期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 　　度． 13．（2分）（2023秋•九龙坡区期末）如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为 　　． 14．（2分）（2023春•滑县校级期末）如图，在边长为4的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，则周长的最小值为 　　． 15．（2分）（2023秋•如皋市期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 　　． 16．（2分）（2023秋•清原县期末）如图，等腰的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为 　　． 17．（2分）（2023秋•花都区期末）如图，，，分别为射线，上的动点，为内一点，连接，，．当周长取得最小值时，则的度数为 　　． 18．（2分）（2023秋•老河口市期中）如图，在中，，，将折叠，使点落在上的点处，折痕为，点为折痕上一动点，若，，则的最小值为 　　． 19．（2分）（2023秋•海淀区校级期中）如图，在等腰中，，平分，平分，、分别为射线、上的动点，若，则的最小值为 　　． 20．（2分）（2023秋•沈丘县期中）如图所示，在等边中，于点，，点，分别为，上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2022秋•昭化区期末）如图1，在中，，点在线段上，连接并延长到，使得，过点作分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长度； （3）如图2，过点作于，是直线上的一个动点，连接，，，若，，在（2）条件下，求周长的最小值． 22．（6分）（2023秋•金华期中）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图． （1）在图1中的格点上确定一点，画一个以为腰的等腰． （2）在图2中的格点上确定一点，画一个以为底的等腰． （3）在图3中的格线上确定一点，使与的长度之和最小． 要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法． 23．（8分）（2023秋•昌吉州期末）已知点在内．如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、． （1）若，求的度数； （2）如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 24．（8分）（2023秋•铜梁区期末）在中，点是边上一点，连接． （1）如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； （2）如图2，若，点在上，满足，过点作于点，交的延长线于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，点，分别是线段，上的动点，连接，，当的最小值是时，直接写出线段的长．（用含，的代数式表示） 25．（8分）（2023秋•鱼台县期中）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图①，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、． 证明：①；②． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图③，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 26．（8分）（2021秋•连云港期末）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽 的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试说明你的结论； 【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在中，点、、分别在边、、上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理； 【拓展应用】如图3，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接． ①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值． 27．（8分）（2023秋•息县期末）如图，，与相交于点，． （1）求证：垂直平分； （2）过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 28．（8分）（2023秋•雁塔区校级期末）【问题发现】 （1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营出发，先到河边1饮马，再去河岸同侧的军营开会，应该怎么走才能使得路程最短？ 小明略加思索就给出了解决方法：如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于，点就是所求位置． 直线是点，的对称轴， ． ． 根据“　　”可得的最小值是． 【问题探究】 （2）如图3，在等边中，，，是边上的一点，且，是上的一个动点，求周长的最小值． 【问题解决】（3）如图4，在四边形中，，，，，点是线段上的任一点，连接，以为直角边在下方作等腰直角三角形，为斜边．边上存在一个点，且点到的距离等于20，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级上册【挑战压轴题】培优专题真题讲练 专题04 轴对称中常见的三大几何模型 模型一：将军饮马问题 解题策略： 理解题意：首先明确题目中的两个定点（如马厩和草地）和一条定直线（如河流），以及动点（将军或马）需要在定直线上移动以找到最短路径。 应用轴对称性质：选择一个定点（通常是马厩），作其关于定直线（河流）的对称点。这一步是关键，因为它允许我们将问题转化为一个更简单的形式，即连接两个异侧点（原定点和对称点）的问题。 连接并找交点：连接对称点和另一个定点（草地），该连线与定直线（河流）的交点即为所求动点（将军或马）的位置。这是因为根据轴对称性质，动点到两个定点的距离之和等于动点到对称点的距离加上动点到另一个定点的距离，而后者在连线与定直线的交点上取得最小值。 计算最短路径：最后，计算动点到两个定点的实际路径长度，这通常涉及简单的线段长度计算或勾股定理的应用。 模型二：海盗埋宝问题 虽然“海盗埋宝问题”不是一个标准的几何模型名称，但我们可以将其理解为一种涉及几何图形（如三角形、四边形等）和隐藏元素（如宝藏）的谜题。在这里，我将假设问题涉及在特定几何图形中寻找宝藏的最佳路径或位置。 解题策略： 分析图形特征：首先明确题目中的几何图形及其特征，如形状、大小、角度、边长等。 应用几何性质：利用等腰三角形、直角三角形、相似三角形等几何图形的性质来辅助解题。例如，如果图形中包含等腰三角形，则可以利用两腰相等和底角相等的性质。 构建辅助线：根据需要构建辅助线，如高线、中线、角平分线等，以揭示图形的隐藏性质或简化问题。 逻辑推理：结合题目中的线索和几何性质进行逻辑推理，确定宝藏的可能位置或最佳路径。 模型三：婆罗摩笈多问题（与轴对称的假设联系） 婆罗摩笈多问题通常与圆的性质、勾股定理或更复杂的几何构造相关。然而，为了与轴对称概念相结合（尽管这种联系可能不直接），我们可以假设一个问题情境，其中涉及到通过轴对称性质来简化或解决与圆或三角形相关的问题。 假设性解题策略： 识别轴对称元素：在问题中识别出可以应用轴对称性质的元素，如圆的直径、等腰三角形的对称轴等。 利用轴对称性质：通过作对称点、对称线或利用对称性质来简化问题或揭示隐藏信息。 结合其他几何性质：将轴对称性质与圆的性质（如切线性质、弦的性质）、勾股定理或其他几何性质相结合来解决问题。 模型一：将军饮马问题 忘记作对称点或错误地作对称点。 在连接对称点和另一个定点时，没有确保连线与定直线相交。 在计算最短路径时，忽略了动点必须在定直线上移动的限制。 模型二：海盗埋宝问题 忽视图形中的关键信息或特征。 错误地应用几何性质或构建错误的辅助线。 在逻辑推理过程中出现错误或遗漏。 模型三：婆罗摩笈多问题（与轴对称的假设联系） 错误地识别或应用轴对称性质。 在结合其他几何性质时出现混淆或错误。 忽视问题中的其他关键信息或限制条件。 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.38（较难） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•下陆区期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 解：作点关于的对称点，过作交于点，交于点，连接， ， ， 此时的值最小， 是正三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 2．（2分）（2023秋•金乡县期末）如图，已知点、分别是等边三角形中、边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为　　 A．3 B．6 C．9 D．12 解：连接交于点，连接， 是等边三角形， ， ， 此时的值最小，最小值为， 、分别是中、边的中点， ， ， ， 的最小值为6， 故选：． 3．（2分）（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，当取得最小值时，　　 A．2 B．4 C．6 D．8 解：作点关于的对称点，过点作交于点，交于于点，连结， ，平分， 点在上， ，此时的值最小， 由对称性可知，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 4．（2分）（2023秋•新乡期末）如图，在等边三角形中，为的平分线，在，上分别取点，，且，，在上有一动点，则的最小值为　　 A．7 B．8 C．10 D．12 解：，， ． 等边三角形中，为的平分线， 为等边三角形的中线．所在的直线为的对称轴． ． ． 作点关于的对称点，则点在线段上． ． ， ． 是等边三角形， ，． ． 连接交于点， ． ， ． 是等边三角形． ． 的最小值为8． 故选：． 5．（2分）（2023秋•渝中区期末）如图，中，，，于点，且，点和分别是，上的动点，则的最小值为　　 A．4 B．5 C． D． 解：连接，过点作于点， ，， 垂直平分， ， ， 即的最小值为的长， ，，，， ． 故选：． 6．（2分）（2023秋•汉阳区期末）如图，的面积为6，，平分．若，分别是，上的动点，则的最小值　　 A． B． C． D．3 解：过作，交于点，交于点，作关于的对称点，连接， ， 是关于的对称点， ， 平分， ， ， ， ， 的最小值的最小值，即中边上的高， 的面积为6，， ， ，即的最小值为， 故选：． 7．（2分）（2024春•鲤城区期末）如图，，，点为上一定点，点为上一动点，，为上两动点，当最小时，　　 A． B． C． D． 解：作点关于的对称点，过点作射线，则，连接，，则，，作点关于的对称点，过点作射线，则，连接，则， ， 要使最小，需点，，，在一条直线上，且， ， ， 可以过点作， 此时， ， 当最小时，， 故选：． 8．（2分）（2023秋•同安区期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为的中点．若，的面积是30，则的最小值为　　 A．5 B．6 C．12 D．24 解：连接，，如图所示： ，点为中点， ， 的面积是30， ， ， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长为的最小值， 的最小值为12． 故选：． 9．（2分）（2024春•罗湖区校级期末）如图，在中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是　　 A． B． C． D． 解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接分别交，于点，，连接，，，， 则，， 四边形的周长， 长固定， 点与重合，点与点重合时，四边形的周长最小，此时， 由对称性和三角形外角性质可知：，， ， 设与交于点， ，， ， ， ， 即当四边形的周长最小时，的大小是， 故选：． 10．（2分）（2023秋•浦北县期末）如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是　　 A． B． C． D． 解：如图，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， 点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交 于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值， 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•绥化模拟）如图，在中，，，，是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 　　． 解：在上取一点，使，过点作于点， 是的平分线， ， 又， ， ， ， 的最小值为的长， 在中， ，，， 由勾股定理，得， ， ． 故答案为：． 12．（2分）（2023秋•巴中期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 　17　度． 解：点和点在直线的同旁， 作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小． ，， ， ． ， ． ． 13．（2分）（2023秋•九龙坡区期末）如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为 　4　． 解：在上取一点，使，过点作于点， 平分， ， 又， ， ， ， 的最小值为， 在中，，， ， 平分， ， ， ， 在中， 由勾股定理，得， 在中， ， 由勾股定理，得， 在中， ． 故答案为：4． 14．（2分）（2023春•滑县校级期末）如图，在边长为4的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，则周长的最小值为 　6　． 解：过点作于点，延长交于点，连接交于点，连接， 四边形为正方形， ， ， ， 即点与点关于对称， ， 当点与点重合时，的周长取得最小值， 最小值为的长． 正方形的边长为4，， ，，， ， ． 故答案为：6． 15．（2分）（2023秋•如皋市期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 　　． 解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，作交的延长线于， 当时，的周长最小， ， ， 即， ， ， ， ， 由对称性，知，， 在△中， ， 由勾股定理，得， 在△中， ， 由勾股定理，得． 故答案为：． 16．（2分）（2023秋•清原县期末）如图，等腰的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为 　8　． 解：连接，如图， 等腰的底边长为4，面积是16，点为边的中点， ，，， ， 点与点关于对称， ， ， 的最小值为的长， 的最小值为8， 故答案为：8． 17．（2分）（2023秋•花都区期末）如图，，，分别为射线，上的动点，为内一点，连接，，．当周长取得最小值时，则的度数为 　　． 解：作点关于的对称点，连接，，， ，， 作点关于的对称点，连接，，， ，， ， 当、、、共线时，的周长最小， 由对称可知，，， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（2分）（2023秋•老河口市期中）如图，在中，，，将折叠，使点落在上的点处，折痕为，点为折痕上一动点，若，，则的最小值为 　3　． 解：连接， 由折叠性质，知，， ， 的最小值为的长， ，， ， ， ，， ， 的最小值为3． 19．（2分）（2023秋•海淀区校级期中）如图，在等腰中，，平分，平分，、分别为射线、上的动点，若，则的最小值为 　5　． 解：过点作，交的延长线于点，可得的最小值为， 延长，两线交于点， ， ， 在和中， ， ， ； 在和中， ， ， ； ， ， 的最小值为5， 故答案为：5． 20．（2分）（2023秋•沈丘县期中）如图所示，在等边中，于点，，点，分别为，上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 　32　． 解：是等边三角形， ，， ，，， ， 如图，作点关于的对称点，连接交于，连接， 此时的值最小．最小值， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为32． 故答案为：32． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2022秋•昭化区期末）如图1，在中，，点在线段上，连接并延长到，使得，过点作分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长度； （3）如图2，过点作于，是直线上的一个动点，连接，，，若，，在（2）条件下，求周长的最小值． （1）证明：， ． 在和中， ． （2）解：， ． ， ， ． ． ， ． ， ． （3）解：， ， ． ， ， 即． ，， ， ， ， ， ． ， ， 点与点关于直线对称， 当点与重合时，的周长最小，最小值的周长． 22．（6分）（2023秋•金华期中）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图． （1）在图1中的格点上确定一点，画一个以为腰的等腰． （2）在图2中的格点上确定一点，画一个以为底的等腰． （3）在图3中的格线上确定一点，使与的长度之和最小． 要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法． 解：（1）如图1，点即为所求（答案不唯一）． （2）如图2，点即为所求（答案不唯一）． （3）如图3，点即为所求． 23．（8分）（2023秋•昌吉州期末）已知点在内．如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、． （1）若，求的度数； （2）如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 解：（1）点关于射线的对称点是， ． 点关于射线的对称点是， ． ， ； （2）作点关于、的对称点和，连接、、、． ，，，，，． 的周长最小值为6，， ． △为等边三角形． ． ， ． 24．（8分）（2023秋•铜梁区期末）在中，点是边上一点，连接． （1）如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； （2）如图2，若，点在上，满足，过点作于点，交的延长线于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，已知，点，分别是线段，上的动点，连接，，当的最小值是时，直接写出线段的长．（用含，的代数式表示） （1）解：如图1，过点作于，作于， 平分， ， ，， ，即， ， ， ， ， ； （2）证明：延长交于，过点作交于， 又于点， ， ， ，，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，过点作，过点作于，交于，作点关于的对称点，连接，则点在射线上， ， 当、、在同一条直线上，且时，即点与点重合时，为最小值， 过点作于，则是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 即线段的长为． 25．（8分）（2023秋•鱼台县期中）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图①，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、． 证明：①；②． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图③，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 解：（1）①如图1，直线，直线， ， ， ， 在和中，， ， ②， ，， ； （2）． 如图2，证明如下： ， ， ， 在和中． ． ， ，， ； （3）如图3， 过作于，的延长线于． 由（1）和（2）的结论可知 在和中，， ， ， 是的中点． 26．（8分）（2021秋•连云港期末）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽 的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试说明你的结论； 【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在中，点、、分别在边、、上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理； 【拓展应用】如图3，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接． ①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值． 解：【问题情境】，理由如下： ， ， ， ， ， ， ； 【变式探究】，； ， ， ，； 【拓展应用】①， ， ， ， ； ②在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 点在射线上运动， 点与的关于对称， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为， ，， ， ， 由对称性可知，， ， 点是的中点，， ， ， 在中，， 的最小值为． 27．（8分）（2023秋•息县期末）如图，，与相交于点，． （1）求证：垂直平分； （2）过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． （1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 28．（8分）（2023秋•雁塔区校级期末）【问题发现】 （1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营出发，先到河边1饮马，再去河岸同侧的军营开会，应该怎么走才能使得路程最短？ 小明略加思索就给出了解决方法：如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于，点就是所求位置． 直线是点，的对称轴， ． ． 根据“　两点之间线段最短　”可得的最小值是． 【问题探究】 （2）如图3，在等边中，，，是边上的一点，且，是上的一个动点，求周长的最小值． 【问题解决】（3）如图4，在四边形中，，，，，点是线段上的任一点，连接，以为直角边在下方作等腰直角三角形，为斜边．边上存在一个点，且点到的距离等于20，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由． 解：（1）直线是点，的对称轴， ， ， 根据“两点之间，线段最短”可得的最小值是； 故答案为：两点之间，线段最短． （2）如图，过作于，连接， 等边，，，， ，，，，， 是的垂直平分线， ， ； 当，，三点共线时，， 此时的周长最短， ； 的周长的最小值为：； （3）存在，的周长最小值为． 如图，过作于，过作于， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ，， ， 过作于，交于， ， ， ，， ， ，在直线上运动， ， 是的垂直平分线， ， 当，，三点共线时，，此时线段和最小， 的周长最小， 此时， ， ， ， 的周长的最小值为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$