第1章《全等三角形》章节总复习（知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第1章《全等三角形》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+六考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 1 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：全等图形 5 考点讲练2：全等图形的性质 6 考点讲练3：全等三角形的判定 7 考点讲练4：直角三角形全等的判定 9 考点讲练5：全等三角形的判定与性质 11 考点讲练6：全等三角形的应用 13 中等题真题汇编练 15 培优题真题汇编练 19 导图指引 新知精讲梳理 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 知识点01：全等三角形的判定与性质 知识点02：全等三角形的证明思路 知识点03：角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理 　 角的平分线上的点 相等. 2.角的平分线的判定定理 　 角的内部到 3.三角形的角平分线 三角形 交于一点，且 相等. 4.与角平分线有关的辅助线 在 ，构造 在 知识点04：全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究 等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明 等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明 (2) 利用 证明 (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用 进行证明. (2) 证明 (3) 利用 进行证明. (4) 同角（等角）的 相等. (5) 相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到 相等，再利用 证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可 ； (2) 法； (3)作 的翻折变换全等三角形； (4)利用 的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 高频易错知识点拨 易错知识点01：全等三角形的定义与性质 对全等三角形定义的理解不清：学生可能只关注三角形的形状是否相同，而忽视了大小也必须完全相同。 解决方法：强调全等三角形是形状和大小都完全相等的两个三角形，与它们在平面上的位置无关。 混淆对应边与对边、对应角与对角：在证明三角形全等时，学生容易将对应边误认为对边，对应角误认为对角。 解决方法：明确对应边是指两个三角形中能够一一对应的边，对应角是指两个三角形中能够一一对应的角。在书写时，应确保对应顶点的字母写在对应的位置上。 易错知识点02：全等三角形的判定定理 忽视隐含条件：在添加条件判定两个三角形全等时，学生容易忽视题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。 解决方法：在解题过程中，要仔细审题，找出题目中的所有条件，包括隐含条件，然后利用这些条件进行推理。 误用判定定理：学生可能在不满足判定定理的条件下错误地判定两个三角形全等。 解决方法：熟练掌握三角形全等的五种判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），并明确每种定理的适用条件和注意事项。在解题时，根据题目条件选择合适的判定定理进行证明。 混淆直角三角形的特殊判定定理（HL）：在判定直角三角形全等时，学生可能忽视HL定理的适用条件，即只适用于直角三角形，并且要求斜边和一条直角边分别对应相等。 解决方法：在判定直角三角形全等时，要特别注意HL定理的适用条件，并与其他判定定理区分开来。 易错知识点03：解题方法与技巧 忽视图形中的隐含条件：在解题过程中，学生可能忽视图形中的隐含条件，导致解题错误。 解决方法：在解题时，要仔细观察图形，找出所有可能的条件，包括隐含条件，并利用这些条件进行推理。 缺乏解题方法与技巧：学生可能缺乏解决全等三角形问题的有效方法和技巧，导致解题困难。 解决方法：加强解题方法与技巧的训练，如利用综合法和分析法结合解题、掌握常见的辅助线添加方法等。同时，要注重培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。 考点讲练1：全等图形 【精讲题】（2022秋•任泽区校级期中）图1，图2均是由大小相等的正方形组成的，现在图2中添加一个同样大小的正方形，若所得图形与图1不全等，则添加的正方形是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【举一反三练1】（2020秋•天宁区校级期中）找出下列各组图中的全等图形　　 A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【举一反三练2】（2022秋•咸丰县校级月考）如图，与所给图案是全等图形的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练3】（2022秋•荆州月考）沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形． 考点讲练2：全等图形的性质 【精讲题】（2023秋•庆阳期末）如图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D．无法确定 【举一反三练1】（2024•凉州区三模）如图，在中，于点，于点，，交于点，，若，，则的面积为 　 　． 【举一反三练2】（2023秋•高安市期末）如图，已知，点在边上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【举一反三练3】（2023秋•新田县期末）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为 ． （1）如图（1），当　或　时，的面积等于面积的一半； （2）如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 考点讲练3：全等三角形的判定 【精讲题】（2024春•坪山区期末）如图，，，则添加下列条件能使的为　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•浦江县期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是　　 已知：，，且，． 求证：． 证明：，， ， 又，， ， ◎． A． B． C． D． 【举一反三练2】（2024春•南岗区校级月考）已知，于点，于点，、交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长、交于点，请直接写出图2中的所有全等三角形． 【举一反三练3】（2023秋•望城区期末）如图，的两条高与交于点，，． （1）求的长； （2）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 考点讲练4：直角三角形全等的判定 【精讲题】（2023秋•太康县期末）如图，，，垂足分别是、，若要用“”得到，则你添加的条件是　　．（写一种即可） 【举一反三练1】（2022春•任城区期末）如图，已知在中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为、． （1）如图①过的直线与斜边不相交时，求证：； （2）如图②过的直线与斜边相交时，其他条件不变，若，，求：长． 【举一反三练2】（2023春•平江县期末）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【举一反三练3】（2022秋•富川县校级期末）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 考点讲练5：全等三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•淮北期末）如图，已知，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练1】（2024春•坪山区期末）如图，，，垂足分别为，，是线段的中点，，若，，则的面积是 　 　． 【举一反三练2】（2024春•砀山县期末）如图，在中，过点作于点，且，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点． （1）的度数为 　　． （2）若为的中点，，则　　． 【举一反三练3】（2024春•萧县期末）如图1，，，，，分别为线段，上任意一点． （1）若为的中点，点与点重合，试说明与全等； （2）如图2，若，，求，，之间的数量关系； （3）如图3，将“，”改为“为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 考点讲练6：全等三角形的应用 【精讲题】（2024春•坪山区期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 其中可行的测量方案是　　 A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行 C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行 【举一反三练1】（2023秋•开封期末）综合实践活动小组为测量池塘两端，的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案： 小华：如图①，先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，量出的长即为，的距离． 小欣：如图②，先过点作的垂线，在上取，两点，使，再过点作的垂线，交的延长线于点，则量出的长即为，的距离． 小彤：如图③，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使．这时只要量出的长即为，的距离． 以上三位同学设计的方案中可行的是　　 A．小华和小欣 B．小欣和小彤 C．小华和小彤 D．三个人的方案都可以 【举一反三练2】（2024春•甘州区期末）如图，，是两棵大树，两棵大树之间有一个废弃的圆形坑塘，为开发利用这个坑塘，需要测量，之间的距离，但坑塘附近地形复杂不容易直接测量．请你利用所学知识，设计一个测量，之间的距离的方案，并说明理由． 【举一反三练3】（2024春•高碑店市月考）如图，操场上有两根旗杆，，它们之间的距离为，小强从点沿走向点，当他到达点时，他测得和的夹角为，且．已知旗杆的高为，小强行走的速度为． （1）请你求出另一旗杆的高． （2）小强从点到达点还需要多长时间？ 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，平分，垂足为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（   ） A． B． C． D． B． 4．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，若将全等的按图1方式放置可以拼成一个五边形，则将全等的按图2方式放置下去，拼出来的图案是（    ）边形． A．18 B．19 C．20 D．21 5．（2024七年级下·上海·专题练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图所示，，，，B，D，E在同一直线上，，，则 ． 7．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件使得，你添加的条件是： ． 8．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ． 9．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，D、E分别是外部的两点，连接，，有，，．连接、交于点F，则的度数为 ． 10．（2024·浙江杭州·一模）如图，，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接．则 度． 11．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，中，，点为线段上一点，连接，过点作于点，在的延长线上存在一点，使若，，则 ． 12．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，中，，垂足分别为． (1)能证明和全等吗？为什么？ (2)若不能证明和全等，在不增加辅助线的情况下，请添加一个适当的条件，使这两个三角形全等，这个条件是______，写出证明过程． 13．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在和中， (1)求证：； (2)若，求的长度． 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：已知线段a，b和 求作：使，， 15．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和． 培优题真题汇编练 16．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，中，是中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 18．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，和的平分线交于点P，点P在上，于点E，若四边形的面积为78，，则的长为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．18 19．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 20．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 21．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ． 22．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值为 ． 23．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测量凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ． 24．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，点F是四边形对角线上一点，是的中线，已知，且，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的是 ． 25．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是 （填序号）． 26．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．    27．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，． (1)如图1，试说明： ①； ②； (2) 当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 28．（23-24七年级下·河南郑州·期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一．设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，连接，测出的长即可．乙：如图2，先确定直线，过点B作，在点D处用测角仪确定，射线交直线于点C，最后测量的长即可得线段的长． (1)请用所学知识论证甲、乙两种方案的合理性； (2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由． 29．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点F，直线交于点，连接． (1)如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，求证：； (3) 如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 30．（2024七年级下·全国·专题练习）已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练 第1章《全等三角形》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+六考点讲练+难度分层真题练） 导图指引 1 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 4 考点讲练1：全等图形 5 考点讲练2：全等图形的性质 7 考点讲练3：全等三角形的判定 11 考点讲练4：直角三角形全等的判定 15 考点讲练5：全等三角形的判定与性质 18 考点讲练6：全等三角形的应用 23 中等题真题汇编练 28 培优题真题汇编练 41 导图指引 新知精讲梳理 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 知识点01：全等三角形的判定与性质 知识点02：全等三角形的证明思路 知识点03：角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理 　 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.角的平分线的判定定理 　 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等. 4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 知识点04：全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 高频易错知识点拨 易错知识点01：全等三角形的定义与性质 对全等三角形定义的理解不清：学生可能只关注三角形的形状是否相同，而忽视了大小也必须完全相同。 解决方法：强调全等三角形是形状和大小都完全相等的两个三角形，与它们在平面上的位置无关。 混淆对应边与对边、对应角与对角：在证明三角形全等时，学生容易将对应边误认为对边，对应角误认为对角。 解决方法：明确对应边是指两个三角形中能够一一对应的边，对应角是指两个三角形中能够一一对应的角。在书写时，应确保对应顶点的字母写在对应的位置上。 易错知识点02：全等三角形的判定定理 忽视隐含条件：在添加条件判定两个三角形全等时，学生容易忽视题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。 解决方法：在解题过程中，要仔细审题，找出题目中的所有条件，包括隐含条件，然后利用这些条件进行推理。 误用判定定理：学生可能在不满足判定定理的条件下错误地判定两个三角形全等。 解决方法：熟练掌握三角形全等的五种判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），并明确每种定理的适用条件和注意事项。在解题时，根据题目条件选择合适的判定定理进行证明。 混淆直角三角形的特殊判定定理（HL）：在判定直角三角形全等时，学生可能忽视HL定理的适用条件，即只适用于直角三角形，并且要求斜边和一条直角边分别对应相等。 解决方法：在判定直角三角形全等时，要特别注意HL定理的适用条件，并与其他判定定理区分开来。 易错知识点03：解题方法与技巧 忽视图形中的隐含条件：在解题过程中，学生可能忽视图形中的隐含条件，导致解题错误。 解决方法：在解题时，要仔细观察图形，找出所有可能的条件，包括隐含条件，并利用这些条件进行推理。 缺乏解题方法与技巧：学生可能缺乏解决全等三角形问题的有效方法和技巧，导致解题困难。 解决方法：加强解题方法与技巧的训练，如利用综合法和分析法结合解题、掌握常见的辅助线添加方法等。同时，要注重培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。 考点讲练1：全等图形 【精讲题】（2022秋•任泽区校级期中）图1，图2均是由大小相等的正方形组成的，现在图2中添加一个同样大小的正方形，若所得图形与图1不全等，则添加的正方形是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【思路点拨】根据图示，通过变换比较即可求解． 【规范解答】解：选项，添加①，水平翻转与图1全等，不符合题意； 选项，添加②，垂直翻转与图1全等，不符合题意； 选项，添加③，水平翻转，再垂直翻转与图1全等，不符合题意； 选项，添加④，与图1不全等，符合题意． 故选：． 【考点评析】考查的是图形的变换，掌握图形变换，从不同角度分析图形是解题的关键． 【举一反三练1】（2020秋•天宁区校级期中）找出下列各组图中的全等图形　　 A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【思路点拨】直接根据全等图形的定义判断即可． 【规范解答】解：图形②和图形⑥不能够完全重合， 故选项不符合题意； 图形②和图形⑦不能够完全重合， 故选项不符合题意； 图形③和图形④能够完全重合， 故选项符合题意； 图形⑥和图形⑦不能够完全重合， 故选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了全等图形的定义，解题关键是理解并掌握“能够完全重合的两个图形叫全等图形”． 【举一反三练2】（2022秋•咸丰县校级月考）如图，与所给图案是全等图形的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据全等图形的定义即可得． 【规范解答】解：由全等图形的定义可知，与所给图案是全等图形的是选项， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等图形，解题的关键是熟记全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【举一反三练3】（2022秋•荆州月考）沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形． 【思路点拨】根据全等图形的定义画出图形即可． 【规范解答】解：如图所示： 【考点评析】本题考查全等图形的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点讲练2：全等图形的性质 【精讲题】（2023秋•庆阳期末）如图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D．无法确定 【思路点拨】根据全等三角形对应角相等可知是、边的夹角，然后写出即可． 【规范解答】解：两个三角形全等， 的度数． 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键． 【举一反三练1】（2024•凉州区三模）如图，在中，于点，于点，，交于点，，若，，则的面积为 　12　． 【思路点拨】根据全等三角形的性质得出，求出，再根据三角形的面积公式求出面积即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，能根据全等三角形的性质求出是解此题的关键． 【举一反三练2】（2023秋•高安市期末）如图，已知，点在边上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【思路点拨】（1）由全等三角形的对应边相等得到，，而，即可求出的长； （2）由全等三角形的对应角相等得到，，由三角形外角的性质得到． 【规范解答】解：（1）， ，， ， ； （2）， ，， ，， ． 【考点评析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边、对应角相等． 【举一反三练3】（2023秋•新田县期末）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为 ． （1）如图（1），当　或　时，的面积等于面积的一半； （2）如图（2），在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【思路点拨】（1）分两种情况进行解答，①当点在上时，②当点在上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点移动的距离，从而求出时间即可； （2）由，可得对应顶点为与，与，与；于是分两种情况进行解答，①当点在上，，，②当点在上，，，分别求出移动的距离和时间，进而求出的移动速度． 【规范解答】解：（1）①当点在上时，如图①， 若的面积等于面积的一半；则， 此时，点移动的距离为， 移动的时间为：秒， ②当点在上时，如图① 若的面积等于面积的一半；则，即点为中点， 此时，点移动的距离为， 移动的时间为：秒， 故答案为：或； （2），即，对应顶点为与，与，与； ①当点在上，如图②所示： 此时，，， 点移动的速度为， ②当点在上，如图②所示： 此时，，， 即，点移动的距离为，点移动的距离为， 点移动的速度为， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好， 点的运动速度为或． 【考点评析】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键． 考点讲练3：全等三角形的判定 【精讲题】（2024春•坪山区期末）如图，，，则添加下列条件能使的为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】判定三角形全等的方法主要有、、、、，根据所添加的条件判断能否得出即可． 【规范解答】解：， ， ．当时，，即， 根据可以判定； 故符合题意； ．当时，不能判定；故不符合题意； ．当时，不能判定；故不符合题意； ．当时，不能判定；故不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法：、、、、．解题时注意：判定两个三角形全等时，必须有边相等的条 件，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【举一反三练1】（2023秋•浦江县期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是　　 已知：，，且，． 求证：． 证明：，， ， 又，， ， ◎． A． B． C． D． 【思路点拨】根据已知条件即可判断三角形全等的依据是． 【规范解答】证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， 故选：． 【考点评析】此题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 【举一反三练2】（2024春•南岗区校级月考）已知，于点，于点，、交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长、交于点，请直接写出图2中的所有全等三角形． 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：于点，于点， ， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， 在与中， ， ， 在与中， ， ， 故图中的所有全等三角形有，，． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【举一反三练3】（2023秋•望城区期末）如图，的两条高与交于点，，． （1）求的长； （2）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 【思路点拨】（1）由证明，根据对应边相等求得的长； （2）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值． 【规范解答】解：（1），， ， ． 又，， ， ． （2）①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或2． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用． 考点讲练4：直角三角形全等的判定 【精讲题】（2023秋•太康县期末）如图，，，垂足分别是、，若要用“”得到，则你添加的条件是　　．（写一种即可） 【思路点拨】根据“”添加或均可． 【规范解答】解：可添加， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键． 【举一反三练1】（2022春•任城区期末）如图，已知在中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为、． （1）如图①过的直线与斜边不相交时，求证：； （2）如图②过的直线与斜边相交时，其他条件不变，若，，求：长． 【思路点拨】（1）此题根据已知条件容易证明，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论； （2）根据（1）知道仍然成立，再根据对应边相等就可以求出了． 【规范解答】（1）证明：，， ， ，， ， 在和中， ，，， ． ，． ． （2）解：，， ， ，， ， 在和中， ，，， ． ，． ． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题． 【举一反三练2】（2023春•平江县期末）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【思路点拨】由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明． 【规范解答】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中，， ． 【考点评析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到． 【举一反三练3】（2022秋•富川县校级期末）如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【思路点拨】由于与是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明． 【规范解答】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 【考点评析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到． 考点讲练5：全等三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•淮北期末）如图，已知，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】由判定，得到，因此，由判定，得到，，和不一定相等，由得到，而，，即可证明． 【规范解答】解：，，， ， ， ， 故③符合题意； ，，， ， ， 故①符合题意； 由，得到，得不到， 故②不符合题意； ， ， ，， ， 故④符合题意， 正确的有3个． 故选：． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质． 【举一反三练1】（2024春•坪山区期末）如图，，，垂足分别为，，是线段的中点，，若，，则的面积是 　28　． 【思路点拨】由，推出，由，推出，推出，的面积的面积的面积，即可求得． 【规范解答】解：，， ， ，， ， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：28． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【举一反三练2】（2024春•砀山县期末）如图，在中，过点作于点，且，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点． （1）的度数为 　　． （2）若为的中点，，则　　． 【思路点拨】（1）根据，得出三角形为等腰直角三角形，即可得出； （2）证明，得出，过点作于点，，点是的中点，证明，得出，最后根据即可得出． 【规范解答】解：（1），且， ． 故答案为：； （2），， ， ， ， 在和中， ， ． ． 如图，过点作于点，又， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． ， ， ． 故答案为：3． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 【举一反三练3】（2024春•萧县期末）如图1，，，，，分别为线段，上任意一点． （1）若为的中点，点与点重合，试说明与全等； （2）如图2，若，，求，，之间的数量关系； （3）如图3，将“，”改为“为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 【思路点拨】（1）根据题意应用证明即可； （2）根据题意证明，得到，，则问题可证； （3）根据题意证明，得到，，则问题可证． 【规范解答】解：（1）由题意可知． ，， ，， ． 又为的中点， ， ， ； （2）由（1）可知． ， ， ． 又， ， ，， ， 即，，之间的数量关系为； （3）不会改变； 理由：， ， ． 又，， ， ，， ， 即（2）中的数量关系不会改变． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题过程中，运用分类讨论思想和类比思想是解题关键． 考点讲练6：全等三角形的应用 【精讲题】（2024春•坪山区期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 其中可行的测量方案是　　 A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行 C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行 【思路点拨】甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的． 【规范解答】解：由题意得， 在与中， ， ， ， 故甲同学的方案可行． 乙同学方案： 在和中， 只能知道，，不能判定与全等，故方案不可行． 故选：． 【考点评析】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 【举一反三练1】（2023秋•开封期末）综合实践活动小组为测量池塘两端，的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案： 小华：如图①，先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，量出的长即为，的距离． 小欣：如图②，先过点作的垂线，在上取，两点，使，再过点作的垂线，交的延长线于点，则量出的长即为，的距离． 小彤：如图③，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使．这时只要量出的长即为，的距离． 以上三位同学设计的方案中可行的是　　 A．小华和小欣 B．小欣和小彤 C．小华和小彤 D．三个人的方案都可以 【思路点拨】小华同学利用的是“边角边”，小欣和小彤同学的方案利用的是“角边角”． 【规范解答】解：小华同学的方案： 在和中， ， ， ， 小华同学的方案可行； 小欣同学的方案： 在和中， ， ， 小欣同学的方案可行； 小彤同学的方案： 在和中， ， ， 小彤同学的方案可行． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“”和“”定理是解决问题的关键． 【举一反三练2】（2024春•甘州区期末）如图，，是两棵大树，两棵大树之间有一个废弃的圆形坑塘，为开发利用这个坑塘，需要测量，之间的距离，但坑塘附近地形复杂不容易直接测量．请你利用所学知识，设计一个测量，之间的距离的方案，并说明理由． 【思路点拨】本题属于主观性试题，有多种方案，我们可以构造8字形的全等三角形来测得，之间的距离，根据三角形全等的证明得出对应边相等即可得出答案． 【规范解答】解：如图所示； 分别以点、点为端点，作、， 使其相交于点， 使得，，连接， 测得即可得出的长度． 理由：由上面可知：，， 又， 在与中， ， ， ． 【考点评析】此题考查了全等三角形的应用与证明；此题带有一定主观性，学生要根据已知知识对新问题进行探索和对基础知识进行巩固，这种做法较常见，要熟练掌握． 【举一反三练3】．（2024春•高碑店市月考）如图，操场上有两根旗杆，，它们之间的距离为，小强从点沿走向点，当他到达点时，他测得和的夹角为，且．已知旗杆的高为，小强行走的速度为． （1）请你求出另一旗杆的高． （2）小强从点到达点还需要多长时间？ 【思路点拨】（1）首先证明，可得，，然后可求出的长，进而可得长； （2）利用路程除以速度可得时间． 【规范解答】解：（1）如图， 和的夹角为， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）． 答：小强从点到达点还需要18秒． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定，掌握全等三角形的判定定理：、、、、． 中等题真题汇编练 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，平分，垂足为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，先证明，推出的周长的长即可． 【规范解答】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长； 故选D． 2．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，利用全等三角形判定定理对和进行分析，即可作出正确选择． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查添加条件证明三角形全等，根据全等三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即：， 当时，可以证明；故选项A不符合题意； 当时，不能判定；故选项B符合题意； 当时，可以证明；故选项C不符合题意； 当时，可以证明；故选项D不符合题意； 故选B． 4．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，若将全等的按图1方式放置可以拼成一个五边形，则将全等的按图2方式放置下去，拼出来的图案是（    ）边形． A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【思路点拨】该题主要考查了多边形外角和定理，解题的关键是读懂题意． 根据题意算出围绕一周需要的三角形个数即可解答． 【规范解答】解：根据题意可知图2中全部三角形全等， 故拼出来的多边形是正多边形， ∵， ∴， ∵， ∴拼出来的多边形每一个外角为， 根据图2方式放置下去，围绕一周需要三角形个数个， 故拼出来的图案是20边形， 故选：C． 5．（2024七年级下·上海·专题练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 根据尺规作图可得，，，再根据定理即可得． 【规范解答】解：由尺规作图可知，，，， 在和中， ， ∴ 即这两个三角形全等的依据是， 故选：C． 6．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图所示，，，，B，D，E在同一直线上，，，则 ． 【答案】/54度 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，先证明，得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件使得，你添加的条件是： ． 【答案】或或．（选择其一作答即可） 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据题意要证明已有一个公共角和一对相等边，因此可以利用、、证明两三角形全等． 【规范解答】解：， 可以添加，此时满足； 可以添加，此时满足； 可以添加，此时满足； 故答案为：或或．（选择其一作答即可） 8．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ． 【答案】30 【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，根据证明全等，是解题的关键．根据证明与全等，，然后利用代数求解即可． 【规范解答】解：∵是高， ∴， ∵， ∴， 在上截取，如图所示： 在与中 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30． 9．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，D、E分别是外部的两点，连接，，有，，．连接、交于点F，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键；由题意可得，得；由，利用三角形内角和及全等的结论，即可求得其度数为，由互补即可求得结果． 【规范解答】解：， ， 即； ， ， ； ，， ， 则； 故答案为：． 10．（2024·浙江杭州·一模）如图，，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接．则 度． 【答案】64 【思路点拨】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键也考查了平行线的性质；利用基本作图得到，再根据平行线的性质得到即可求解． 【规范解答】 由作法得： ∵ ∴ ∴ 故答案为：64． 11．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，中，，点为线段上一点，连接，过点作于点，在的延长线上存在一点，使若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】过点作于，先证得为等腰直角三角形，则，，再证和全等得，，则，，然后证和全等得，从而得，然后可得出答案． 此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积是解决问题的关键． 【规范解答】解：过点作于，如下图所示： 在中，，， ， ， ， ， ， ， 即， 为等腰直角三角形， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，中，，垂足分别为． (1)能证明和全等吗？为什么？ (2)若不能证明和全等，在不增加辅助线的情况下，请添加一个适当的条件，使这两个三角形全等，这个条件是______，写出证明过程． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)（答案不唯一），证明见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定： （1）根据无法得到三角形全等，进行判断即可； （2）添加条件，利用证明三角形全等即可． 【规范解答】（1）解：不能证明；利用如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵无法得到三角形全等， 故不能证明； （2）添加条件为：， 在和中： ， ∴． 13．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在和中， (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)4cm． 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，对于（1），先证明，可得，即可得出答案； 对于（2），先根据“全等三角形的对应边相等”得，再说明，然后根据全等三角形的性质可得答案. 【规范解答】（1）在和中 ∵ ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴. ∵， ∴， ∴ 14．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：已知线段a，b和 求作：使，， 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查作三角形，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 作，在射线上截取线段，使得，以B为圆心，a为半径作弧，交于点B，，连接，，或即为所求． 【规范解答】解：如图，或即为所求． 15．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【规范解答】（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为8． 培优题真题汇编练 16．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，中，是中线，，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形三边之间的关系．构造全等三角形是解题的关键．延长，过B点作的平行线交的延长线于E点，则，则可得，因此．在中，根据三角形三边之间的关系求出的范围，则可得的范围． 【规范解答】解：如图，延长，过B点作的平行线交的延长线于E点． ∵是的中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ． 故选：A． 17．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【规范解答】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵，， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是个． 故选：C． 18．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，和的平分线交于点P，点P在上，于点E，若四边形的面积为78，，则的长为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，平行线性质，通过证明，，得到，根据求出结果即可． 【规范解答】解：，， ， 于点E， ， 平分，平分， ，， 在与中， ， ， 同理， ， ， ， ， 故选：C． 19．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 【答案】A 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．设点Q的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可． 【规范解答】解：设点Q的运动速度是， ∵， ∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， 则， 解得：； ②，， 则，， 解得：，， 故选A． 20．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【思路点拨】根据已知条件无法判定与相等，进而可对结论进行判断； 先根据角平分线的定义得，进而得，，，据此可对结论进行判断； 先证和全等得，然后根据平角的定义得，据此可对结论进行判断； 根据为的高得：，，根据已知条件无法判定与相等，对此可对结论进行判断． 此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式． 【规范解答】根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确； 是的角平分线， ， 为的高，， ，， 又， ， 结论正确； 由结论正确得：， 平分， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， 即：， 结论正确； 为的高， ，， 根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确． 综上所述：正确的结论是． 故选：B． 21．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为 ． 【答案】5 【思路点拨】先根据证明，则可得，即可求出的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵、是 的高， ， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 又， ， ． 故答案为：5. 22．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值为 ． 【答案】1秒或2秒 【思路点拨】本题考查了四边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用； 分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含t的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可． 【规范解答】解：分情况讨论： ①如图，当点在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， 当时，有． ，， ， 解得； ②如图，当点在线段上时，．    同①得， 又， 当时，有． ，， ， 解得； 综上，当与全等时，t的值为1秒或2秒， 故答案为：1秒或2秒． 23．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测量凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ． 【答案】48 【思路点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【规范解答】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 故答案为：48． 24．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，点F是四边形对角线上一点，是的中线，已知，且，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．根据三角形的外角性质可判断①；在上取点，使得，证明和，推出，可判断②；由结合，可判断③；利用三角形的面积公式结合等高的三角形的性质，可判断④． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 在上取点，使得，如图， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴ ，故④错误． 综上，正确的有①②③； 故答案为：①②③ 25．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【思路点拨】由证明，故①正确；得，，再由三角形的三边关系得，得，故②不正确；然后证，得，由三角形的面积关系，故③正确，最后由全等三角形的性质得，则，故④正确；即可得出答案． 【规范解答】解：，， ， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ，， ，，， ，故②不正确； 在和中， ， ， ， ， ，故③正确， ， ， ，故④正确； 故答案为：①③④． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系以及三角形面积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明和是解题的关键． 26．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图所示，，，分别是，的平分线，点E在上，求证：．    【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及全等二角形的性质的运用，解答时运用截取法正确作辅助线是解决本题关键所在． 在上取点，使，连接，由角平分线的性质可以得出，，从而可以得出，可以得出，进而可以得出，就可以得出，即可得出结论． 【规范解答】解：在上取点F，使，连接，    ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 27．（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）已知，，是过点A的直线，B、E两点在直线上，，． (1)如图1，试说明： ①； ②； (2)当绕点A旋转到图2的位置时，之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，证明见解析 【思路点拨】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）①根据已知条件得到，根据全等三角形的判定即可证明；②根据全等三角形性质得到即可得到结论； （2）根据角的和差得到，根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论． 【规范解答】（1）解：①证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）猜想：， 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴ 28．（23-24七年级下·河南郑州·期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一．设两点分别为茗阳阁底座的两端（其中两点均在地面上）．因为两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，连接，测出的长即可．乙：如图2，先确定直线，过点B作，在点D处用测角仪确定，射线交直线于点C，最后测量的长即可得线段的长． (1)请用所学知识论证甲、乙两种方案的合理性； (2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． （1）甲方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙方案作出的也是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以也是可行的； （2）选甲方案，使用工具操作容易；乙方案使用工具操作相对不容易，A，B间可视性未知． 【规范解答】（1）甲方案： 在与中， ， ∴， ∴， 乙方案 ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）选甲种方案，理由：使用工具简单，只需要测量长度的刻度尺，容易操作；乙种方案使用工具需要测量长度的刻度尺和测量角度的测角仪，不容易操作，A，B间是否具备可视性． 29．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点F，直线交于点，连接． (1)如图1，射线，都在的内部． ①设，则 （用含的式子表示）； ②作点关于直线的对称点，求证：； (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）①根据，可求；②连接，证明，即可得． （2）作点关于直线的对称点，连接，设，证明，即可得． 【规范解答】（1）解：①，， ， ， ； 故答案为：； ②证明：如图，连接， 依题意得，与成轴对称， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． ； （2）； 证明：如图，作点关于直线的对称点，连接， 易得，与成轴对称， ，，， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 30．（2024七年级下·全国·专题练习）已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 【答案】(1)见解析(2)图2成立；图3不成立，见解析 【思路点拨】（1）延长到Q使，连接，先证明，证出得到，；再证，得到，证出，即 （2）在图2仿照（1）的解法证明即可，图3也可以仿照（1）证明，只是结论不成立． 本题考查了三角形全等的判定和性质，半角模型的应用，熟练掌握半角模型，构造半角模型是解题的关键． 【规范解答】（1）如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． （2）图2成立，图3不成立． 证明：如图2，延长到K使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 如图3，如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$