第四章　第二节　导数与函数的单调性 学案-2025届高三数学一轮复习

第二节　导数与函数的单调性 【课标解读】 【课程标准】 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、数学运算. 【命题说明】 考向 考法 高考命题常以函数的导数符号与函数的单调性的关系为主,求函数的单调区间,或已知函数的单调性(单调区间)求函数解析式中的参数范围. 预测 2025年高考中仍是重点考点.函数单调性的讨论与应用是高考考查的重点,而含有参数的函数单调性的讨论与应用是高考中的难点. 【必备知识·逐点夯实】 知识梳理·归纳 1.函数的单调性与导数的关系 前提 条件 结论 函数y=f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a,b)上单调递增 f'(x)<0 f(x)在区间(a,b)上单调递减 f'(x)=0 f(x)在区间(a,b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数f'(x)的零点; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 常用结论 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解. 基础诊断·自测 类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 2 4 3 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0.(　　) (2)若函数y=f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0,则y=f(x)在(a,b)上一定单调递增.(　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　) (4)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(　　) 2.(选修二P97T2·变形式)函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是__________.  3.(2022·浙江高考节选)设函数f(x)=+ln x(x>0).则f(x)的单调递减区间为________,单调递增区间为__________.  4.(单调性与充要条件的关系把握不准)若函数f(x)=sin x+kx在(0,π)上单调递增,则实数k的取值范围为____________.  【核心考点·分类突破】 考点一不含参数的函数单调性 [例1](1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x (2)求下列函数的单调区间. ①f(x)=4x2+;　②f(x)=; ③f(x)=;④f(x)=(x-1)ex-x2. 解题技法 单调区间的求法 (1)求函数的单调区间注意先求定义域. (2)使f'(x)>0的区间为f(x)的单调递增区间,使f'(x)<0的区间为f(x)的单调递减区间. (3)函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开. 对点训练 1.函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是(　　) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-1,1) 2.已知函数f(x)=x-ln x-.判断函数f(x)的单调性. 考点二含有参数的函数的单调性 [例2]已知函数g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数g(x)的单调性. 解题技法 利用分类讨论思想解决含参数函数单调性问题 利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点: (1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间. (2)注意观察f'(x)的解析式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点. (3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等. (4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述. 对点训练 已知函数f(x)=x-+a(2-ln x),a>0,讨论f(x)的单调性. 考点三函数单调性的应用 角度1　比较大小 [例3](1)(多选题)(2024·淄博模拟)已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中不正确的是(　　) A.ln 2> B.ln 3< C.ln π> D.< (2)(2023·衡阳模拟)已知函数f(x)=x2-cos x,则f (),f(0),f (-)的大小关系为________(用“<”连接).  角度2　解不等式 [例4](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不等式f(x)>2x3+2x的解集为(　　) A.{x|x>-2} B.{x|x>2} C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2} (2)已知函数f(x)=ex-e-x-2x+1,则不等式f(2x-3)>1的解集为__________.  角度3　根据函数的单调性求参数的范围 [例5](1)金榜原创·易错对对碰 已知g(x)=2x+ln x-. ①若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增,则实数a的取值范围为____________.  ②若函数g(x)在区间[1,2]上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为__________.  (2)(2023·全国乙卷)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是________.  解题技法 1.利用导数比较大小,其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小. 2.与函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数,再利用导数研究新函数的单调性,从而解不等式. 3.根据函数单调性求参数的方法: (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解. (3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). 对点训练 1.(2023·长沙模拟)已知函数f(x)=3x+2cos x.若a=f(3),b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 2.已知定义域为R的函数f(x)的导数为f'(x),且满足f'(x)<2x,f(2)=3,则不等式f(x)>x2-1的解集是(　　) A.(-∞,-1) B.(-1,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,2) 3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二节　导数与函数的单调性 【课标解读】 【课程标准】 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【核心素养】 数学抽象、逻辑推理、数学运算. 【命题说明】 考向 考法 高考命题常以函数的导数符号与函数的单调性的关系为主,求函数的单调区间,或已知函数的单调性(单调区间)求函数解析式中的参数范围. 预测 2025年高考中仍是重点考点.函数单调性的讨论与应用是高考考查的重点,而含有参数的函数单调性的讨论与应用是高考中的难点. 【必备知识·逐点夯实】 知识梳理·归纳 1.函数的单调性与导数的关系 前提 条件 结论 函数y=f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a,b)上单调递增 f'(x)<0 f(x)在区间(a,b)上单调递减 f'(x)=0 f(x)在区间(a,b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数f'(x)的零点; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 常用结论 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解. 基础诊断·自测 类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 2 4 3 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)>0.(　 ×　) (2)若函数y=f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0,则y=f(x)在(a,b)上一定单调递增.(　 ×　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.(　 ×　) (4)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(　 √　) 提示: (1) 有可能f'(x)=0,如f(x)=x3,它在(-∞,+∞)上单调递增,但f'(x)=3x2≥0. × (2) 若y=f(x)为常数函数,则f'(x)=0,满足条件,但不具备单调性. × (3) 反例,f(x)=-,虽然f'(x)=>0,但f(x)=-在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性. × (4) 如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则此函数f(x)在这个区间内为常数函数,则函数f(x)在这个区间内没有单调性. √ 2.(选修二P97T2·变形式)函数f(x)=x3+2x2-4x的单调递增区间是__________.  【解析】由f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)>0,得x<-2或x>,故f(x)的单调递增区间为 (-∞,-2), (,+∞). 答案:(-∞,-2), (,+∞) 3.(2022·浙江高考节选)设函数f(x)=+ln x(x>0).则f(x)的单调递减区间为________,单调递增区间为__________.  【解析】f'(x)=-+=, 当0<x<时,f'(x)<0; 当x>时,f'(x)>0. 故f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞). 答案: (0,)　 (,+∞) 4.(单调性与充要条件的关系把握不准)若函数f(x)=sin x+kx在(0,π)上单调递增,则实数k的取值范围为____________.  【解析】因为f'(x)=cos x+k≥0,所以k≥-cos x,x∈(0,π)恒成立.当x∈(0,π)时,-1<-cos x<1,所以k≥1. 答案:[1,+∞) 【核心考点·分类突破】 考点一不含参数的函数单调性 [例1](1)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x 【解析】选B.对于A,f'(x)=2cos 2x,f'()=-1<0,不符合题意; 对于B,f'(x)=(x+1)ex>0,符合题意; 对于C,f'(x)=3x2-1,f'()=-<0,不符合题意; 对于D,f'(x)=-1+,f'(2)=-<0,不符合题意. (2)求下列函数的单调区间. ①f(x)=4x2+;　②f(x)=; ③f(x)=;④f(x)=(x-1)ex-x2. 【解析】①定义域为{x|x≠0},f'(x)=8x-, 令f'(x)>0,得8x->0,即x3>, 所以x>.令f'(x)<0,得x<且x≠0. 所以f(x)的单调递增区间为(,+∞), 单调递减区间为(-∞,0), (0,). ②定义域为(0,1)∪(1,+∞). f'(x)==. 由f'(x)>0,解得x>e. 由f'(x)<0,解得0<x<e,且x≠1. 所以f(x)的单调递增区间为(e,+∞), f(x)的单调递减区间为(0,1),(1,e). ③f'(x)==. 令f'(x)>0,得cos x>-,即2kπ-<x<2kπ+(k∈Z); 令f'(x)<0,得cos x<-, 即2kπ+<x<2kπ+(k∈Z). 因此f(x)的单调递增区间为(2kπ-,2kπ+)(k∈Z),f(x)的单调递减区间为(2kπ+,2kπ+)(k∈Z). ④由f(x)=(x-1)ex-x2,得f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2), 令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln 2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化如表: x (-∞,0) 0 (0,ln2) ln2 (ln2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知,函数f(x)的单调递减区间为(0,ln 2),单调递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞). 解题技法 单调区间的求法 (1)求函数的单调区间注意先求定义域. (2)使f'(x)>0的区间为f(x)的单调递增区间,使f'(x)<0的区间为f(x)的单调递减区间. (3)函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开. 对点训练 1.函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是(　　) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-1,1) 【解析】选A.因为f'(x)=2x-=(x>0),令f'(x)=0,得x=1, 所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以单调递减区间为(0,1). 2.已知函数f(x)=x-ln x-.判断函数f(x)的单调性. 【解析】因为f(x)=x-ln x-, 所以f'(x)=1-- =(x>0). 令g(x)=x-ex,则g'(x)=1-ex, 可得g(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以g(x)<g(0)=-1<0. 所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 考点二含有参数的函数的单调性 [例2]已知函数g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数g(x)的单调性. 【解析】因为g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x, 所以g'(x)==. 由题意知函数g(x)的定义域为(0,+∞), 若<1,即a>, 由g'(x)>0得x>1或0<x<, 由g'(x)<0得<x<1, 所以函数g(x)在(0,),(1,+∞)上单调递增,在(,1)上单调递减; 若>1,即0<a<, 由g'(x)>0得x>或0<x<1, 由g'(x)<0得1<x<, 所以函数g(x)在(0,1), (,+∞)上单调递增,在(1,)上单调递减; 若=1,即a=,则在(0,+∞)上恒有g'(x)≥0, 所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增. 综上可得,当0<a<时,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增; 当a=时,函数g(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>时,函数g(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 解题技法 利用分类讨论思想解决含参数函数单调性问题 利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点: (1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间. (2)注意观察f'(x)的解析式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点. (3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等. (4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述. 对点训练 已知函数f(x)=x-+a(2-ln x),a>0,讨论f(x)的单调性. 【解析】由题知,f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=1+-=.设g(x)=x2-ax+2,则二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8. ①当Δ<0,即0<a<2时,对一切x>0都有f'(x)>0.此时f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当Δ=0,即a=2时,仅对x=有f'(x)=0,对其余的x>0都有f'(x)>0.此时f(x)也在(0,+∞)上单调递增. ③当Δ>0,即a>2时,方程g(x)=0有两个不同的实根x1=,x2=,且0<x1<x2.则x,f(x),f'(x)的变化情况如表: x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时f(x)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增. 考点三函数单调性的应用 角度1　比较大小 [例3](1)(多选题)(2024·淄博模拟)已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中不正确的是(　　) A.ln 2> B.ln 3< C.ln π> D.< 【解析】选ACD.令g(x)=,则g'(x)=,当0<x<e时,g'(x)>0,当x>e时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.因为2<e,所以g(2)<g(e),即<=, 所以ln 2<,故A错误. 因为e<3<π,所以g(e)>g(3)>g(π), 即=>>, 所以ln 3<,ln π<,>,故B正确,C,D错误. (2)(2023·衡阳模拟)已知函数f(x)=x2-cos x,则f (),f(0),f (-)的大小关系为________(用“<”连接).  【解析】因为f(x)的定义域为R, 且函数f(-x)=(-x)2-cos (-x)=x2-cos x=f(x), 所以f(x)为偶函数, 所以f()=f(-),f'(x)=2x+sin x, 当0<x<时,f'(x)=2x+sin x>0, 所以函数在(0,)上单调递增, 所以f(0)<f ()<f (), 即f(0)<f (-)<f (). 答案:f(0)<f (-)<f () 角度2　解不等式 [例4](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不等式f(x)>2x3+2x的解集为(　　) A.{x|x>-2} B.{x|x>2} C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2} 【解析】选B.令g(x)=f(x)-2x3-2x, 则g'(x)=f' (x)-6x2-2>0, 所以g(x)在R上单调递增. 因为g(2)=f(2)-2×23-2×2=0, 故原不等式等价于g(x)>g(2), 所以x>2,所以不等式f(x)>2x3+2x的解集为{x|x>2}. (2)已知函数f(x)=ex-e-x-2x+1,则不等式f(2x-3)>1的解集为__________.  【解析】f(x)=ex-e-x-2x+1,定义域为R, f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0, 当且仅当x=0时取“=”, 所以f(x)在R上单调递增, 又f(0)=1, 所以原不等式可化为f(2x-3)>f(0), 即2x-3>0,解得x>, 所以原不等式的解集为(,+∞). 答案: (,+∞) 角度3　根据函数的单调性求参数的范围 [例5](1)金榜原创·易错对对碰 已知g(x)=2x+ln x-. ①若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增,则实数a的取值范围为____________.  ②若函数g(x)在区间[1,2]上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为__________.  【解析】①g'(x)=2++(x>0). 所以g'(x)≥0在[1,2]上恒成立, 即2++≥0在[1,2]上恒成立, 所以a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立, 所以a≥(-2x2-x)max,x∈[1,2],(-2x2-x)max=-3,所以a≥-3. 所以实数a的取值范围是[-3,+∞). 答案:[-3,+∞) ②g(x)在[1,2]上存在单调递增区间, 则g'(x)>0在[1,2]上有解, 即a>-2x2-x在[1,2]上有解, 所以a>(-2x2-x)min, 又(-2x2-x)min=-10,所以a>-10, 所以实数a的取值范围是(-10,+∞). 答案:(-10,+∞) (2)(2023·全国乙卷)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是________.  【解析】由函数的解析式可得f'(x)=axln a+(1+a)xln (1+a)≥0在区间(0,+∞)上恒成立, 则(1+a)xln (1+a)≥-axln a,即≥-在区间(0,+∞)上恒成立, 故=1≥-,而a+1∈(1,2),故ln (1+a)>0, 故,即,故≤a<1,结合题意可得实数a的取值范围是[,1). 答案: [,1) 解题技法 1.利用导数比较大小,其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小. 2.与函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数,再利用导数研究新函数的单调性,从而解不等式. 3.根据函数单调性求参数的方法: (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解. (3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). 对点训练 1.(2023·长沙模拟)已知函数f(x)=3x+2cos x.若a=f(3),b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 【解析】选D.由题意,得f'(x)=3-2sin x. 因为-1≤sin x≤1,所以f'(x)>0恒成立, 所以函数f(x)是增函数. 因为>1,所以3>3. 又log24<log27<log28,即2<log27<3, 所以2<log27<3, 所以f(2)<f(log27)<f(3),即b<c<a. 2.已知定义域为R的函数f(x)的导数为f'(x),且满足f'(x)<2x,f(2)=3,则不等式f(x)>x2-1的解集是(　　) A.(-∞,-1) B.(-1,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,2) 【解析】选D.令g(x)=f(x)-x2,则g'(x)=f'(x)-2x<0, 即函数g(x)在R上单调递减. 又不等式f(x)>x2-1可化为f(x)-x2>-1, 而g(2)=f(2)-22=3-4=-1, 所以该不等式可化为g(x)>g(2), 故该不等式的解集为(-∞,2). 3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 【解析】选C.因为函数f(x)=aex-ln x, 所以f'(x)=aex-,因为函数f(x)=aex-ln x在(1,2)上单调递增,所以f'(x)≥0在(1,2)上恒成立,即aex-≥0在(1,2)上恒成立,易知a>0,则0<≤xex在(1,2)上恒成立,设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex,当x∈(1,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以在(1,2)上,g(x)>g(1)=e,所以≤e,即a≥=e-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$