3.1.1 椭圆及其标准方程-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

解析：(1)城AB中成D为原表遮意平面直年坐 时A-3,0),H(3,0),设C(ry): 国BC-2AC,所以(r3十- 2√《r+3)+y. 化模得，11+5)”+y=16(3≠0) 研以友C的触边是以M(一5,0》为到心，4冷车径 岭国（不合海x种岭受点）， 由周可，(c》-吉×6X412 (2)先根据阿气图性厦，我到海点B(4,O)时点的 里M(=4,0)内的文点A, 由M·M=,B=8r=4,得1=2 所tA(一2,0)，且对于冒M玉龄任意一高C, 年有周-√-√-2从1c® 2引CA1, CB+2ICD-21CA1+2CDI- 2(CAHICD). 山西可加年东C在国M上选动到如国斯帝住工 时，CA十CD取拜我小佳， 且最小值为1AD1=√21)+(0一1丁-5， 所x引CH十2CD川的最小线为10 第三章国锥曲线的方程 31椭圆 5,1.1椭图及其标准方程 【必备知识·植理】 【情境探究】 提示1网偶，笔尖到两个定点的距离的和等于常数 [知阙植理] 程为后+后=1a>6>0 一距肉的和焦距一半 二.E(-e,0,F(c0)F(0,-c,F0,c) 又脑国经过.点0,2)和1,0。 +-. a=4, [科学思维 所以 导+-1. 1 一.1.1D×2)×3)/(40× ZD 求面的准方为十一1 王目由题设才程，州面从点点x轴上且上= (3)方淡1：①当k在x种上时，说销属的标难考 安=原. 框为5+话-1a>>m, :发无坐标为3,0) A方后子-1表华发点在上心上片精眼， +二-1， 2-15 解得 副m之0 长答案莺+-1蜡+后」 就得京侧雨的相准方程为后十苦-1 解析：南用意，城图的然乐是6，可挥2一5，甲 =3, ②当线底在y轴上时，爱侧国的标准方程为三十 又由然国上的点到两个焦点的更需之和等于10： -1a>6-0, 可科2a=10,牌￥5， 期分-g2-2-25-0=16, d-5. 查机周的然杰在于格上时，情眉的考程为若十 解 +y-1 1=15 图为不润是血>6>0，所以无解， 每销园的从太在工轴上时，精因的本框为若十 才法2，夜所求所司的才程为M世2十子一1(m0, 二器示：花.桶覆的焦点在x轴上标准方程中 12w十题=1， 含2项的分母较大：树偶的集点在y轴上白标准方程 中含项的分较大 效所水猫图竹标准才程为后十兰一1 【关轻能力·探究】 限究一求州圆的标准方程 [典例2门解：两文国的到心和丰是分到为2《一3： o>,n-1:Q(3,00,-9. [典例精桥 设动图国过为M《江y),平经为R,而理鸯考 [典例1】解：《1)同为满因的类A在x种上， Q=1+R,IQ1=9-R,.M01+lQ= 济以受它竹移准才程功后+芳-1>6>0以 0>QQ|=6, 周力2如=√5+4)丁十√/（后-4-0，所这a-i. 由辆国的发义可知点M在Q公为发无的精国 上，具￥-5c=3.N■a'-2=5-9=t6, 又=4，所20=--25一16-9 故简水销调的标净方程为后十苦一1， 做动国国：的轨蜂才程动后+若一L 2》四为幅国的焦点在￥轴上，所以量它的标准才 [针时调练】答案：1后+苦-1 a+苏-可 解桥1逢菌国F的格速才程为行+苦-1(@> 0),依题意得-2， 2a=1PF,I+1PR,1=√（停+2+(-）+ √倍-+(-2而， 所我aa/10,雨形=a一=6，故精国F的标津 为程为号+后一1 2调为所套剂霸券侧四系十苦-1的焦水物同： 所以其巢克在x轴上，里2一25一9一16 灵所来精周均桥凉方程为后十苦-1>>0 调为2■16，风2■一价，藏a2-#■16少 又.在所袋盖国上：所+零 1.号+2-1@ 南①②得-36，一刘，除以除求衡面岭补准考 发为茶+品-L 探究二剩图标准方程的应用 [典例精析刷 [典例】C国为才程与本。一1表市从点在 2-0. x铸上的酒国，所必+十20 2一>42， 解得一2D. 故架餐素的取值吃腾是（一2，O),故送G E典例】AD1PF+PB,|=4>|FF,l-2, 所以动点P的秋峰是脑周，A高项正确：PF,十 PF一2一F,F,所以动AP的秋速是找级F,乃， 目连锋蔬：PF,1+PF=1<FF=2,所以对 成P不存在，C远项倍溪，|P下，1十|PF1■3 FF1一2，斯以动点P的桃隆是轴国，D选听五. 域选An [针对练2】D方短√F+y区+ vF+(y十2一3泰本动在K士y到文点P0,1)的 乐离与它到定点Q0,一)的系离之和为3，肿P|十 1Q=|P口引=3，所这点M的轨建是枝PQ,放 选D. [针对测练a]答案：(-4.0)U(0,3) 解指：本植免为号+亡。=1 愧道意足有12一>>0，解得一4<u<0或0 探究三焦点三角形 [典例精析] [典例]解：D由界+H军说√·华 1PR1·PR,1<(PEPFl)-() 100. 当盈预当1PF一PF一10时，琴手履立， 解1PF:+1PF:取到最大佳10@ (2)2-d2-材-10的-64-30e=6, 则F(-6,0),F(6,0) P为m民上任一成。 4PF十PF-2a-0. 在△PFF:中，FF:m2=12 由余孩克理得FFP一|PF,P中PF:P 2到PF,PFem是，12=IPF+P5- PFl·lPF. PF+PF1■(PF,+P听-2P昨I· PF12=《PF+1P5lD-3PF|·|PF:l. ÷12=2-a1PF1·1PF1, 1Pe,·P22-学 n-是PE,·PRm哥-量×学x 夏- 【针对到练们制：西超盒为AB在%赋后+治 1上， 则有AFl+1AF-2a=10,1BFI+F:1= 20-10.AF+BFI-A81. -△AFB传周长=AF1+1BF,1+|AB1 AF+F|+1AF,1+I1=《IA5|+|AF:)+ (BF1十E5l》=2a+a=10+10-0.∴△AFB的 周长为阳 【随堂演练·达标】 (》如晨AB不童直于里触，△A下B的周系分为 【.D核是城昌的定又知，P利另一木焦点怜矩肉 20不克. 为2a-2-2×5-2-8 理由，AFI+IBFI+IAB-IAF,I+|BF,I+ 工B舞国方显可化为2+ 1由慧意 |AF,|+HF:=|AF,|十|A5》=4a,本AB与x 陆是否唐是无美 保究四与椭圆有关的秋速问通 > 解符素■2 典例精析] [典例们若案2+号-可 解析：设Q(x,y),P,),Q是找授OP的 中点知一红为-，又+普-1 点在y上的同国，是>2政0<k.做选Cm 背以”十2-1，昨成Q的桃选才程为±+ 4.普案：mm>,且w1 幅桥：由方程号十高1表示销同，得 「行对误练5]解：或动周P和定国B内初于点M: 动国离心P到两瓷点A(一3,0》和B(3,0)的是离之和 2w一10.解得w>且m≠L 恰母等于完周丰径，脚PA十PB=M十PB= 知≠2w一1， M一8>|AB引，所以豫国周心P的轨速是议A,B 5.解1脚裤属方红，得a=36一2一√. 为左，右黑点的轴国，其中c一3，a一4，一2一一日 PF+PF:==6LPFPF 一-7，地选方短为后+号- 211, 限探突急略洲围焦点位置的时论最铺 .IP,1=4,1PF=2,,PFt|PF"= F.F:P. [典酬】答案：4或3 △PFF3是直角三角形.且∠FPF=90,共 解析：2红一6，c=3 餐解国的焦在位工柏上时，女解国的标准方程 △BPF:的断积为宁1PB·P明-×2×4-L =5b=w,虫4=十，样2当=m+9,点m 3,1,2所圆的黄单几何性质 16,发m0,城丽■4者精国的焦高在y轴上时，安司 第一漾时椭圆的简单几何性质 国的标准方程知=m,的一25南d-十2，得 【必备知识·植理】 -25十0=34，文m0,故w=√3西. [情境探究] 棉上可制，实数精的植为4或√/3可 探突，范围，顶点.对称性，编平程度等 【妇供减理】 易结源因 蚪错心得 沙及情丽的标准方程的问 一+ 一a6a且一6y6-6 圆，如果没有研确地指也衡 16且一uy生标轴原点弘2a马（一， 馬侧之处是认为 置焦点的位置，一校都要会 0》,F(c,0)F0,-r,F(0e)2 魏点在x轴上， 两种可能的情况设行切轮 示 从用西掉一解 二L离心半 不施烟当然认为焦点在士 2.越周 能上或y给上去求解， [科李思推] 一，L.(1×(2/{3N4)×5) 工D情圆方程可化为十兰-1，时天物的墙友 坐标为《0，士，6)，故选1 支且一16，所以6一4，所想轴长为2地-成 太A曲一√一号根装这孩中的格属的方红 可得名竹位瑞龙定品<品<品品瑞为特围竹鼻心 率越大，然国的形状越岛，等以这写个格国中，精国号十 苦一1帖再心最大，武本形软亚扁 希有后+- 解析：由已知a一4一2，铺因的焦我在x轴上， 二提示：不是，离心率是比直，比值相同不代表： :值相同，它反味的是属圆的育圆程度 【关健能力·保究】 探究一种图的主要几何量 [典例精析】 [典例1门解：(1》根属编国的中心在原流，发无在工 袖上.度脑圆片特家市程分5+-1>>0 又线题为2后，且显过通(.-)， 2c=6, a=25, 8+2=2, 6, 3型 -=1 所以样离的给准才程为后十片-1 (2)(10为u=2V3.6=5,r√6。 状精国的长年轴长为@一2，万，轴他柔2然一2石 项点是桥为《23,0).《一23,0)，(0，w6.(0, [针对圳练]解：)齿精周G:高+活-，可得 弄装平仙表为10，灶丰物装力8，然点堂释为《6,0)，第三章 圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 学业目标 定位 课标要求 学习目标 1.了解圆维曲线的实际背景， 2.了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 通过本节课的学习，要求掌握椭圆的定义（相关 3.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程， 的量的掌握)及椭圆的标准方程（满足的条件）， 4.会根据相关的条件求椭圆的标准方程. 会求与椭圆有关的几何量 5.会求与椭圆有关的量。 必备知识 梳理 答案见P2971 ①情境探究 常数（大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两 取一条定长的细线，把它 个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两个焦点间的 的两端都固定在图板的 距离叫做椭圆的 ,焦距的 称 同一点，套上铅笔，拉紧 为半焦距， 绳子，移动笔尖，这时笔 用集合语言描述椭圆的定义：P={MIMF十 MF2|=2a,2a>FF2). 尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的 二、椭圆的标准方程 两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点 F1,F2,套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的 焦点在x轴上 焦点在y轴上 轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖 标准 -1(a>6>0)兰+若=1a>b>0) Q2X3 (动点)满足的几何条件是什么？ 方程 图形 焦点 坐标 国知识梳理 a.b.c 一、椭圆的定义 的关系 把平面内与两个定点F1,F2的 等于 105 数学选择性必修第一册人教A版 圈科学思维 3椭圆二+少=1的焦点坐标是( 一、思考判断 A.(0,±√3) B.(士√3,0) 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） (1)平面内到两定点距离之和等于定长的点 C.(0,±√5) D.(±√5,0) 的轨迹为椭圆.() 4.方程二+兰-1表示焦点在工轴上的椭圆， n (2)已知F1(一4,0)，F2(4,0),平面内到F1, 则( F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭 A.m>n>0 B.n>m>0 圆.() C.mn0 D.mn<0 (3)已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的 5.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个 一动点，如果延长FP到Q,使得|PQ= 焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程 |PF2,则动点Q的轨迹为圆.() 是 (④)方程克+1(a>0,6>0)表示的曲线 二、思维探究 能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？ 是椭圆.（ 2.设P是椭圆完+若-1上的点，若，R是 椭圆的两个焦点，则PF|十|PFz等于 A.4 B.5 C.8 D.10 关键能力 ·探究 答案见P297 探究一 求椭圆的标准方程 (3)经过点A(√3，-2)和点B(-2√3,1). 目知识深化 求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数 法.利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a> |FF2|:利用待定系数法要先定形（焦点位 置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2十ny2= 【典例2】一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外 1(m>0,n>0,m≠n)的形式. 切，与圆Q2:(x一3)2十y2=81内切，试求这 @典例精析 个动圆圆心的轨迹方程. 【典例1】根据下列条件，求椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为（一4,0）和(4， 0),且椭圆经过点(5,0)： (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和 (1,0): 106 。第三章圆锥曲线的方程 名师点拔 椭圆 用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 C.已知点F1(一1,0)，F2(1,0),动点P满 足|PF|+|PF2|=1,则点P的轨迹是 定 根据条件判断椭圆的焦点是 在x轴上，还是在轴上，还 椭圆 是在两个坐标轴上都有可能 D.已知点F1(一1,0)，F2(1,0),动点P满 提银判断说方程芳行可 足|PF|+|PF2|=3,则点P的轨迹是 设 a>b>0)或yx a+方la>>0) 椭圆 或整式形式mx+y-1(m>0, [针对训练2]如果动点M(x,y)满足 1>0.m≠) 根据已知条件建立关于 √x2+(y-1)+x+(y+2)2=3,则点M(x, 找关系 a,b,c（或m,n)的 y)的轨迹是( 方程组 A.椭圆 B.双曲线 第四 得结论 根据求得的结果写出椭 圆标准方程 C.抛物线 D.线段 [针对训练1](1)已知椭圆的焦点为F,(一2， [针对训练3】若方程导 y2 a亡12=1表示焦点 0),r(2,0,且经过P(3,-),则椭圆的标 3 在y轴上的椭圆，则实数α的取值范围是 准方程为 (2)与椭圆 +=1有相同焦点，且过点(3， 探究三 焦点三角形 5 9 √15)的椭圆的标准方程为 知识深化 探究二 椭圆标准方程的应用 椭圆中的焦点三角形 (1)椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2构成 自知识深化 的△FPF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的 椭圆标准方程中，分母都大于零且不相等.在解 焦点三角形问题时，要充分利用椭圆的定义，解 题时，不仅要注意分母都大于零，还要注意分母 三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，如求 相等时该方程就变成了圆的方程. △FPF2的面积问题，|PF,|·IPF2|的最值 @典例精析 问题 【典例3】若方程号十千2-1表示焦点在1 (2)对于求焦点三角形的面积，若已知∠FPF2, 轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( 可利用S=2PEI1PR1·m∠RPR.把 A.(-0∞，2) B.(-2,2) |PFI·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF|+ C.(-2,0) D.(0,2) IPF2|=2a及余弦定理求出|PF1I·IPF2|,这 【典例4】（多选）下列说法正确的有( 样可以减少运算量。 A.已知点F(一1,0)，F2(1,0),动点P满 (3)关于椭圆中的焦点三角形△FPF2,常见的 足|PF1+|PF2|=4,则点P的轨迹是 结论有：(1)△F1PF2的周长为2a十2c;(2)若 椭圆 B.已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满 点P()是椭圆后+若=1a>6>0)上任 足|PF|十|PF2|=2,则点P的轨迹是 一点，且∠FPF2=0,则△FPF2的面积S= 107。- 数学选择性必修第一册人教A版 tan乞，在选择题、填空题中可以直接使用此 [针对训练4幻如图，已知经 公式求椭圆焦点三角形的面积； 过椭圆芳+荒=1的右焦 (4)对于椭圆上的点P,∠FPF2随着点P从 点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A,B 长轴端点向短轴端点的移动而变大，当点P在 两点，F是椭圆的左焦点 短轴端点时，∠FPF2最大. (1)求△AF,B的周长； 典例精析 (2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有 变化吗？为什么？ 【典例5】已知F,F是椭圆60十益=1的两 个焦点，P是椭圆上的任一点 (1)求|PF|·|PF2的最大值： (2)若∠FPF,=,求△PFB的面积. 探究四与椭圆有关的轨迹问题 鲁知识深化 1.对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这 一条件不能忽视。 (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不 能是变量. (3)常数2a必须大于两定点间的距离，否则 轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆 的限制条件 名师点拨 2.椭圆定义的两个应用 1.椭圈的定义具有双向作用，即若|MF十 (1)若1MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|> 1MFz|=2a(2a>|F1F2|),则，点M的轨迹 0),则动点M的轨迹是椭圆. 是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点 (2)若点M在椭圆上，则|MF|十|MF2|= 的距离之和必为2a. 2a. 2.解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利 【典例6已知P是椭圆+苦-1上一动点， 用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等 O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方 知识求解 程为 。108 。第三章圆锥曲线的方程 名师点拔 内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程， 1 求轨迹方程的常用方法 直 设出曲线上动点的坐标(x,y) 方法 后，可根据几何条件直接转换成 法 x,间关系式 定 若动点运动的几何条件满足某种 方法 已知曲线的定义，可用待定系数 法 法求出轨迹方程 微探究忽略椭圆焦点位置的讨论致错 有些问题中的动点轨迹是由 相关 另一动点按照某种规律运动 点法 方法 而形成的，只要把所求动点 代入 的坐标“转移”到另一个动 【典例7】已知椭圆的标准方程为号+洁=】 法 点在运动中所遵循的条件中 去 (m>0),并且焦距为6，则实数m的值为 [针对训练5]如图所示，已知动圆P过定点 A(-3,0),并且在定圆B:(x一3)2十y2=64的 随堂演练 ·达标 答案见P3001 1.椭圆层+y=1上一点P到一个焦点的距离 4若方程 。y2 2m-=1表示椭圆，则实数m 为2，则点P到另一个焦点的距离为( 满足的条件是 A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知椭圆4x2十ky2=4的一个焦点坐标是 5设B,是椭圆写+苦=1的两个焦点，P 4 (0,1),则实数k的值是( 是椭圆上的点，且|PF|：PFz|=2：1,求 A.1 B.2 C.3 D.4 △FPF2的面积 3.(多选)若方程x2十ky2=2表示焦点在y轴 上的椭圆，那么实数飞的取值可以是() A.2 B.1 C.0.5 D.0.3 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a,b,c,e的儿何1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正 意义 确地画出它的图形. 2.会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何 2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方 意义解决相关问题 程研究它的性质，并能画出相应的曲线， 109。.